Table Of ContentFrank Beichelt
Zuverlässigkeits- und
Instandhaltungstheorie
Zuverlässigkeits- und
Instandhaltungstheorie
Von Prof. Dr. Frank. Beichelt
Hochschule für Technik und Wirtschaft (FH)
Mittweida
83
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1993
Prof. Dr. Frank Beichelt
Geboren 1942 in Hilbersdorf, Kreis Freiberg. 1961-66 Studium der
Mathematik, Spezialrichtung Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathema
tische Statistik, an der Friedrich-Schiller-Universität Jena. 1972 Promo
tion zum Dr. rer. nat. an der Bergakademie Freiberg über "Optimale
Inspektion und Erneuerung technischer Systeme". 1978 Promotion zum
Dr. sc. techn. an der Hochschule für Verkehrswesen "Friedrich List"
Dresden über "Theoretische Grundlagen der optimalen Planung prophy
laktischer Maßnahmen in der Instandhaltung". Mitglied der New York
Academy of Seiences und der IEEE Reliability Society.
Die Deutsche Bibliothek-CIP-Einheitsaufnahme
Beichelt, Frank:
Zuverlässigkeits-und Instandhaltungstheorie I von Frank
Beichelt. - Stuttgart : Teubner, 1993
ISBN 978-3-519-02985-4 ISBN 978-3-663-11921-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-11921-0
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elektronischen Systemen
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1993
Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner Stuttgart 1993
VORWORT
Mit der immer komplizierter werdenden Technik steigen auch die Anforderungen
an die Zuverlässigkeitsarbeit in allen Bereichen der Industrie und des Ver
kehrswesens. Damit wächst einerseits die Notwendigkeit der Anwendung mathe
matischer Methoden, andererseits sind die Möglichkeiten der modernen Rechen
technik voll nutzbar zu machen. Das vorliegende Buch will diesen Erforder
nissen Rechnung tragen. Es vermittelt mathematische Grundlagen, die für eine
wissenschaftliche Fundierung der Zuverlässigkeitsarbeit unentbehrlich sind.
Gleichzeitig bereitet es einen Einstieg in zuverlässigkeitstheoretische Spe
zialliteratur vor, führt aber auch selbst auf wichtigen Teilgebieten bis an
den Stand der Forschung heran. Das Studium des Bandes erfordert Grundkennt
nisse aus der Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie in de.n Umfang, wie sie
Studierenden technischer Studiengänge vermittelt werden.
Nach einem einführenden Kapitel bringt Kapitel 2 die zuverlässigkeitstheore
tische Interpretation bekannter wahrscheinlichkeitstheoretischer Grundbe
griffe sowie Standardmodelle der Zuverlässigkeitstheorie. Die Kapitel 3 - 5
beschäftigen sich mit bereits bewährten, aber auch neueren Methoden der Zu
verlässigkeitsanalyse komplizierter technischer Systeme, insbesondere mit
modernen Methoden der Zuverlässigkeitsanalyse von Kommunikationsnetzen. (Ein
Teil der in diesen Kapiteln enthaltenen Forschungsergebnisse des Autors und
seiner Mitarbeiter resultieren aus dem von der Deutschen Forschungsgemein
schaft geförderten Projekt "Zuverlässigkeitsanalyse komplexer Systeme".) Die
Kapitel 6 und 7 behandeln Instandsetzungsstrategien für Systeme, die Sprung
bzw. Driftausfällen unterliegen.
Das Buch ist für Studierende technischer und technomathematischer Studien
gänge an Fach- und Technischen Hochschulen bestimmt. Aber auch Praktiker,
Lehrbeauftragte und Spezialisten werden es mit Gewinn lesen.
Würzburg, im Oktober 1992 F. Beichelt
INHALTSVERZEICHNIS
Seite
SYMBOLE UND ABKÜRZUNGEN 9
1 EINFÜHRUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 GRUNDBEGRIFFE UND -MODELLE ...................................... 15
2.1 Einfache Systeme ......... , ...................................... 15
2.1.1 Definition ...................................................... 15
2. 1. 2 Wahrscheinlichkeitstheoretische Kenngrößen ...................... 16
2.1.3 Alterung ........................................................ 20
2.1.4 Ausfallrate ..................................................... 22
2. 1. 5 Verfügbarkei t ................................................... 28
2.2 Klassen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ..................... 29
2.2.1 Parametrische Klassen ........................................... 29
2.2.2 Nichtparametrische Klassen ...................................... 34
2.3 Strukturierte Systeme ........................................... 40
2.3.1 Einführung ...................................................... 40
2.3.2 Seriensysteme ................................................... 40
2.3.3 Redundante Systeme .............................................. 43
2.3.4 Parallelsysteme ................................................. 46
2.3.5 k-aus-n-Systeme ................................................. 48
3 MONOTONE BINÄRE SYSTEME ......................................... 53
3.1 Einführung ...................................................... 53
3.2 Boolesche Funktionen ............................................ 54
3.3 Strukturfunktionen .............................................. 57
3.3. 1 Grundlagen ...................................................... 57
3.3.2 Pivotzer legung .................................................. 63
3.3.3 Pfad- und Schnittdarstellungen .................................. 65
3.3.4 Erzeugung von Orthogonalformen .................................. 71
3.4 Numerische Zuverlässigkeitsanalyse .............................. 76
3.4.1 Exakte Berechnung der Systemverfügbarkeit ....................... 76
3.4.2 Abschätzungen für beliebige Systeme ............................. 79
3.4.3 Abschätzungen für k-aus-n-Systeme ............................... 84
3.5 Importanz von Elementen ......................................... 87
3.5.1 Einführung ...................................................... 87
3.5.2 Birnbaum-Importanz .............................................. 88
3.5.3 Importanz und Verfügbarkeitszuwachs ............................. 90
3.6 Modulare Zerlegung .............................................. 94
3.7 Ereignisbäume ................................................... 95
INHALTSVERZEICHNIS 7
4 STOCHASTISCHE NETZSTRUKTUREN ............... ..................... 99
4.1 Einführung ...................................................... 99
4.2 Graphentheoretische Grundbegriffe .............................. . 99
4.3 Netzstrukturen ................................................. 104
4.3.1 Einführung ..................................................... 104
4.3.2 Zusammenhangszahlen ............................................ 105
4.3.3 Stochastische Netzstrukturen ................................... 106
4.4 Stochastische Netzstrukturen als monotone binäre Systeme ...... . 107
4. 4.1 Einführung ..................................................... 107
4.4.2 Pivotzerlegung ................................................. 109
4.4.3 Pfad-Schnitt-Methode ........................................... 110
4.4.4 Erzeugung der (u,v)-Minimalwege ................................ 112
4.4.5 Erzeugung der (u,v)-Minimalschnitte ............................ 116
4.4.6 Erzeugung der Gerüste .......................................... 120
4.5 Dekomposition .................................................. . 125
4.5.1 Einführung ..................................................... 125
4.5.2 Paarweise Zusammenhangswahrscheinlichkeit ...................... 128
4.5.3 Zusammenhangswahrscheinlichkeit ................................ 134
4.6 Reduktion ...................................................... 138
4.6.1 Einführung ..................................................... 138
4.6.2 Elementare Reduktionen ......................................... 139
4.6.3 Reduktion und Pivotzerlegung ................................... 142
4.6.4 Reduktionsgleichungen .......................................... 144
4.6.5 Spezialfälle ................................................... 146
5 MARKOVSCHE SYSTEME ............................................. 152
5.1 Einführung ..................................................... 152
5.2 Stochastische Prozesse- Grundbegriffe ........................ . 152
5.3 Markovaehe Ketten .............................................. 154
5.4 Homogene Markoysche Ketten .................................... . 156
5.4.1 Grundbegriffe ................................................... 156
5.4.2 Kolmogorovsche Gleichungen ..................................... 157
5.4.3 Stationäre Zustandswahrscheinlichkeiten ........................ 167
5.4.4 Verweildauern .................................................. 172
5.4.5 Konstruktion Markovscher Systeme ............................... 174
5.4.6 Er langsehe Phasenmethode ....................................... 179
5.5 Geburts- und Todesprozesse ......................... ............ 181
5.6 Poissonsche Prozesse ........................................... 190
5.6.1 Homogener Poissonprozeß ........................................ 190
5.6.2 Inhomogener Poissonprozeß ...................................... 194
8 INHALTSVERZEICHNIS
6 INSTANDSETZUNG BEI SPRUNGAUSFÄLLEN ....................... ...... 201
6.1 Einführung ..................................................... 201
6.2 Erneuerungstheoretische Grundlagen ............................ . 203
6.2.1 Grundbegriffe .................................................. 203
6.2.2 Erneuerungsfunktion und Erneuerungsgleichung ................... 206
6.2.3 Rekurrenzzeiten ................................................ 214
6.2.4 Asymptotisches Verhalten von Erneuerungsprozessen .............. 216
6.2.5 Stationäre Erneuerungsprozesse ................................. 221
6.3 Altersabhängige Erneuerung .................................... . 222
6.4 Blockerneuerung ................................................ 231
6.5 Vergleich von altersabhängiger Erneuerung und Blockerneuerung .. 235
6.6 Instandsetzung durch Erneuerung und minimale Reparatur ........ . 239
6.6.1 Undifferenzierte Systemausfälle ................................ 239
6.6.2 Differenzierte Systemausfälle .................................. 247
6.7 Instandsetzung auf der Basis von Reparaturkostenlimits ......... 256
6.7.1 Konstante Reparaturkostenlimits ................................ 256
6.7.2 Zeitabhängige Reparaturkostenlimits ............................ 262
7 INSTANDSETZUNG BEI DRIFTAUSFÄLLEN .............................. 269
7.1 Einführung ..................................................... 269
7.2 Instandsetzung auf Kostenbasis ................................. 270
7.2.1 Ökonomische Nutzungsdauer bei stetiger Zeit .................... 270
7.2.2 Ökonomische Nutzungsdauer bei diskreter Zeit ................... 273
7.2.3 Vorgabe von Limits für die Reparaturkosten ..................... 274
7.2.4 Vorgabe eines Limits für die Reparaturkostenrate ............... 280
7.3 Instandsetzung auf der Grundlage .............................. . 283
technisch-physikalischer Parameter ............................ . 283
7.3.1 Einführung ..................................................... 283
7.3.2 Einseitiger Toleranzbereich .................................... 285
7.3.3 Zweiseitiger Toleranzbereich ................................... 288
7.3.4 Nichtlinearer Parametertrend ................................... 292
ANHANG 1 Landau'sches Ordnungssymbol ................................. 294
ANHANG 2 Laplace-Transformation ..................................... 295
LITERATUR ............................................................. 299
SACH\lÖRTERVERZEICHNIS ................................................. 307
SYMBOLE UND ABKÜRZUNGEN
-
X 1 - x (für eine beliebige Variable x)
X zufällige Lebensdauer eines einfachen Systems
s strukturiertes System
e i-tes Element eines strukturierten Systems
F(t), F(t), f(t), il.(tl Verteilungsfunktion, Überlebenswahrscheinlichkeit,
Verteilungsdichte, Ausfallrate eines einfachen Systems
F (t)' F (t)' il. ( t) entsprechende Kenngrößen für s
s s s
F. (tl, F. (t), il.. (t) entsprechende Kenngrößen für e
1 1 1
X zufällige Länge des n-ten Erneuerungszyklus (Abschn. 6.2)
n
zufälliger Zeitpunkt der k-ten minimalen Reparatur (Abschn. 6.6)
zufällige Zeiten zwischen benachbarten Havarie-, prophylaktischen
Erneuerungen (Kapitel 6)
restliche Lebensdauer
Verteilungsfunktion der restlichen Lebensdauer
Hazardfunktion
Erwartungswert, k-tes Moment von X
Geburts-, Todesraten (Abschn. 5.5)
il. Ausfallraten eines Systems im n-ten Betriebsjahr (Abschn. 6.7.2)
n
{Xt, t ~ 0}; {Z(t), t ~ 0} beliebiger stochastischer Prozeß; Zustandsprozeß
F<t> (x) Verteilungsfunktion von Xt
F (t) stationäre Anfangsverteilung eines Erneuerungsprozesses
5
il. (t) zu F (t) gehörige Ausfallrate
5
5
z_, z Indikatorvariable für den Zustand von ei, S
1 s
z Limit für Reparaturkostenrate (Abschn. 7.2)
'{! Strukturfunktion eines binären Systems S
'{!' cp Verteilungsdichte, Verteilungsfunktion der standard. Normalvert.
p (p1,p2, ... ,pn) Vektor der Verfügbarkeiten der Elemente ei
absolute stationäre Zustandswahrscheinlichkeiten eines stochasti-
sehen Prozesses (Kapitel 5)
h(p) Verfügbarkeit von S
h(t), H(t) Erneuerungsdichte, Erneuerungsfunktion
V Verfügbarkeit
10 SYMBOLE UND ABKÜRZUNGEN
V Menge der n-dimensionalen Vektoren mit den Komponenten 0 oder
n
v(O>, v<ll
Menge der Schnitt-, Pfadvektoren eines monotonen bin. Systems
vt, Rt Vorwärts-, Rückwärtsrekurrenzzeit eines Erneuerungsprozesses
G (V,El Graph mit Knotenmenge V und Kantenmenge E
c = (V,El stochastische Netzstruktur
H, Ü Ersatznetzstruktur, stochastische Ersatznetzstruktur
R(Gl beliebige Zuverlässigkeitskenngröße von G (meist Zusammen
hangswahrscheinlichkeit)
pij (t) Übergangswahrscheinlichkeiten einer homog. Markovschen Kette
qi, qij Übergangsraten einer homogenen Markovschen Kette
T T absolute, bedingte Verweildauern einer Markovschen Kette im
i' i j
Zustand i
T Zeitpunkt der k-ten Erneuerung in einem Erneuerungsprozeß
k
c c c mittlere Kosten für Havarie-, prophylaktische, vollständige
h' p ' V
Erneuerungen
c mittlere Kosten einer vollständigen Erneuerung (Abschn. 7.2)
dh, d d mittlere Zeiten für Havarie-, prophylaktische, vollständige
p ' V
Erneuerungen
c d mittlere Kosten, mittlere Zeit einer minimalen Reparatur
m ' m
K (Instandsetzungs-) Kostenrate
y zufällige Länge eines Erneuerungszyklus
G(t) Verteilungsfunktion von Y
p(t)' p(t) Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls vom Typ 2, Typ 1
c zufällige Kosten je Erneuerungszyklus; zufällige Kosten einer
Reparatur (nur im Abschn. 6.7)
R(x) Verteilungsfunktion der zufälligen Kosten C einer Reparatur
L Reparaturkostenlimit
f(s) Laplace-Transformierte von f(x)
F*(s) Laplace-Stieltjes-Transformierte von F(x)
(f * f ) ( t) Faltung zweier Funktionen f (x) und f (x)
1 2 1 2
lxl Betrag einer reellen Zahl x
JMI Mächtigkeit (= Anzahl der Elemente) einer endlichen Menge M
exp(x) e X
[] Ende eines Beispiels
• Ende einer Definition oder eines Satzes ohne Beweis
I Ende eines Beweises
