Zur Darstellungstheorie der abzählbar unendlichen symmetrischen Gruppe über Körpern der Charakteristik 0 II

77 Pages·1983·2.154 MB·German

by  Andreas Golembiowski

Bayreuther Math. Schr. 15 (1983), 1—77
Zur Darstellungstheorie der abzählbar
unendlichen symmetrischen Gruppe über Körpern
der Charakteristik 0 II
von
Andreas Golembiowski, Bayreuth
ZUSAMMENFASSUNG
In der vorliegenden Arbeit werden im Rahmen einer Untersuchung
der gewöhnlichen irreduziblen Darstellungen der Gruppe S der
finiten Permutationen von 11 Korrespondenzen zwischen maximalen
Linksidealen der Gruppenalgebra FS (F Körper der Charakteristik
O) und Teilmengen des Youngverbandes P(ID beschrieben und analy-
siert. Weiterhin wird auf verschiedene Möglichkeiten der Konstruk-
tion maximaler Linksideale von FS eingegangen.
Diese Arbeit ist die unwesentlich gekürzte Fassung einer
Dissertation, die von der Universität Bayreuth zur Erlangung '
des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften genehmigt
wurde.
(Tag der Einreichung: 10.1.1983; Tag des Kolloquiums: 18.3.1983)
D 703
.-
lm
I n h a 1 t 5 v e r z e i c h n i s
Einleitung
Die Ideale von FS
Einige Eigenschaften der Linksideale von FS
Eine Klasse von maximalen Linksidealen 10
Zur Konstruktion von maximalen Linksidealen 18
Die primitiven Ideale von FS und eine Äquivalenz-
relation auf der Menge der maximalen Linksideale 47
Anhang B: Primitive Ringe und primitive Ideale 73
Literatur 76
1. Einleitung
In der vorliegenden Arbeit werden die in [G] begonnenen Untersu-
chungen zur Darstellungstheorie der Gruppe S := U Sn der finiten
Permutationen von 11 := {1,2,...} über einem Körper F der Charak—
teristik 0 fortgesetzt. Aus formalen Gründen und zur Gewährlei-
ltung einer gewissen Abgeschlossenheit werden in den ersten vier
Abschnitten die entsprechenden Abschnitte von LG] noch einmal
zusammengefaßt. Die Numerierung der dabei zitierten Sätze stimmt
nit der in [G] nahezu völlig überein.
Da S nur einen nichttrivialen Normalteiler, nämlich die alter—
nierende Gruppe A := U An besitzt, sind die Einsdarstellung
und die alternierende Darstellung die einzigen nichttreuen irredu—
ziblen F—Darstellungen von S. Der folgende Satz ermöglicht daher
eine vollständige Übersicht über die endlichdimensionalen F—Dar—
stellungen von S.
1.1 Satz: s besitzt keine treuen F-Darstellungen von
endlichem Grad.
Damit erhebt sich als Nächstes die Frage nach den treuen irredu-
ziblen - und somit unendlichdimensionalen - F-Darstellungen von 3.
Dabei kann man sich insbesondere die Frage nach der Bestimmung
alle: irreduziblen FS-Moduln stellen, wobei FS = U FSn die
Gruppenalgebra von S bezeichnet.
Nach einem Satz von Müller ([5]) gibt es in FS keine minimalen
Linksideale. Ist M = FSm (mEM) ein irreduzibler FS-Modul, so gilt
7
M 5 ;
annFS(m)
dabei ist annFS(m) ein maximales Linksideal von FS. Es bietet
sich daher an, nach den maximalen Linksidealen von FS zu fragen,
insbesondere natürlich nach einer Klassifikation. Als Hauptpunkt
von [G] wurden bereits Fragen in diesem Zusammenhang behandelt.
Besonders wichtig für diese Betrachtungen war der
"Youngverband" P(N) :
Wie bereits in [G] ist auch ein wesentlicher Teil dieser Arbeit
die Beschreibung und Untersuchung von Korrespondenzen zwischen
Idealen bzw. Linksidealen von FS und Teilmengen bzw. Unterstruk-
turen (z.B. Mengen von Ketten) von P(IU .
Ich danke an dieser Stelle Herrn Prof. Dr. A. Kerber und
Herrn Prof. Dr. W. Müller für ihre Unterstützung und Gesprächs-
bereitschaft.
Weiterhin danke ich Herrn Dr. Clausen und Herrn Dr. Dischinger
für viele anregende Gespräche. Insbesondere ist meine Auseinander-
setzung mit diesem Thema aus einem Gespräch mit Herrn Dr. Clausen
hervorgegangen. Er hat ferner beim Lesen des Erstentwurfs des
sechsten Abschnitts bemerkt, daß sich die dort behandelten Er—
gebnisse prägnanter und übersichtlicher mit Hilfe der auf Seite
50/51 eingeführten Begriffe darstellen lassen.
_.._.5...
2. Die Ideale von FS
Die im folgenden ohne Beweis wiedergegebenen Aussagen sind
alle der Arbeit [3] entnommen.
Ist B ein (zweiseitiges) Ideal von FS (kurz: B 4 FS), so läßt
es sich in der Form
B = u (a‘sn)
n€]N ‘
darstellen. Für nEIJ ist BnFSn ‚sicher ein Ideal von FSn und
daher Summe gewisser einfacher Komponenten von FS“. Da diese
einfachen Komponenten durch Partitionen von n parametrisiert
sind (siehe Kap. 2 in [4])‚ ist die folgende Definition sinn-
voll:
A(B) == {mEP(IIN) | e“eB} ;
e° bezeichnet dabei das zentralprimitive Idempotent, welches
die zur Partition « von n (kurz: urn) gehörige einfache Kom—
ponente von a erzeugt. — A(B) hat nun folgende Eigenschaften,
die sich im wesentlidhen aus dem Verzweigungssatz (Satz 2.4.3
in [4]) ergeben:
& (i) aEA(B) =>{ßep(m) | ß>u} 5A(B)
(ii) Ist yEP(IIN) , so gilt: {GEP(IIN) [.5 >y}£A(B) => YeA(B).
Eine Teilmenge X von P(ID heißt abgeschlossen, wenn für sie
die Aussagen von 2.1 zutreffen; ferner bezeichnet zu T 5 P(IU
cl(T) 5 P(IU die kleinste abgeschlossene Menge, die T enthält;
cl(T) heißt die abgeschlossene Hülle von T.
Definiert man nun noch zu T'5 P(IH
I(T) := (STITET) (Das von den eT‚TET, erzeugte Ideal
von FS),
so gelten die folgenden zentralen Aussagen:
2.2 Satz: Es seien B,C € FS, T 5 P(IN).Dann gilt:
(i) I(A(B)) = B; A(I(T)) = cl(T).
(ii) A(BnC) = A(B)nA(C); A(B+C) = cl(A(B)UA(C))-
(iii) Die Abbildung A : B i'—» A(B) ist eine
Bijektion zwischen den Idealen von FS und
den abgeschlossenen Teilmengen von P(nfl . Die
Inverse zu A ist I : T F?» I(T).
Man kann nun weiter beweisen:
2.3 Satz: (1) FS istnoethersch (bezüglich Ketten von Idealen).
(ii) Jedes Ideal von FS wird von einem einzigen Ele-
ment erzeugt.
g _
-
(iii) P < FS ist genau dann ein Primideal, wenn
jede in A(P) minimale Partition "rechteckig"
lä£;
(iv) Jede Summe einer Familie von Primidealen ist
ein Primideal oder ganz FS.
Weiterhin gilt:
2.4 Satz: I((12)) und I((2)) sind die einzigen maximalen (zwei-
seitigen) Ideale von FS.
3. Einige Eigenschaften der Linksideale von FS
Ist L ein Linksideal von FS (kurz: L < FS), so gilt für jede
unendliche Teilmenge K von 11 L = U (LnFsk) . Die Durch-
schnitte Lk := LnFSk sind Linksiäääle von Fsk’ und es ist
bezüglich der kanonischen Einbettungen Lk_fi—+Ll (k < 1) mit K als
Indexmenge L & lim Lk .
Unter Berücksichtigung grundlegender Eigenschaften von direkten
Limites (siehe Anhang in [G]) konnten wir zeigen:
3.2 Satz: Es seien L,M < FS, K 5 Ei mit [KI = w. Ferner sei
für alle kEK Lk % Mk. Dann gilt
?
t"ua
Für Quotientenmoduln — die man auf naheliegende Weise ebenfalls
als direkte Limites auffassen kann — gilt:
3.5 Satz: Es seien L,M < FS mit Fä/i & Fä/&. Dann gilt:
(i) Es existiert ein noenl‚ so daß für alle n > n°
(ii) L a"M .
_10_ w
4. Eine Klasse von maximalen Linksidealen
Bei der Untersuchung der maximalen Linksideale von Es liegt es
nahe, zuerst diejenigen zu betrachten, die durch das folgende
Lemma beschrieben werden:
4.1 Lemma: Es sei L < FS. Sind die Durchschnitte Ln für un-
endlich viele nEli maximal in a‚ so ist L maxi-
mal in FS (L < FS).
Wir beschränkten uns zuerst auf die Betrachtung der Klasse
)f‚:={L<FSI 3 V Lk<'Fsk}.
kOEN k > k0
Zu LEJZ sei kLeli die kleinste Zahl mit
Lk < FSk für alle k > kL .
Die im letzten Teil dieses Kapitels betrachteten Verallgemeine-
rungen von Spechtmoduln liefern Beispiele für Elemente L von
X mit kL>1.
Als Hauptergebnis dieses Abschnittswurde eine Korrespondenz
zwischen einer gewissen Äquivalenzrelation auf 33 und einer