Table Of ContentISBN 978-3-663-15173-9 ISBN 978-3-663-15736-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-15736-6
Zum Problem von Lagrange.
Vier Vorträge von JOHANN RADON in Erlangen,
gehalten im llathematisohen Seminar der Hamburgisohen Universität
(7.-24. Juli 1928).
Das Problem der Variationsrechnung, das man heute allgemein
nach LAGRANGE benennt, findet in der Literatur eine etwas ungleich
mäßige Behandlung. Die neueren Lehrbücher beschränken sich meist
darauf, nach Aufstellung der Differentialgleichungen des Problems die
etwa durch die Schlagworte Extremalenfeld und E-Funktion gekenn
zeichneten hinreichenden Bedingungen des Extrems zu entwickeln, und
widmen der Theorie der zweiten Variation wenig oder keinen Raum;
nur das bekannte Lehrbuch von BoLZA (Vorlesungen über Variations
rechnung, Leipzig u. Berlin 1909) geht ausführlich auf diesen Punkt ein.
Dieser Umstand Jiegt in der Natur der Sache begründet; die
Theotie der zweiten Variation beim Problem von LAGRANGE, von
CLEBSCH1) zuerst entwickelt, von A. MAYERz) in wesentlichen Punkten
ergänzt und von v. EscHERICH8) zu einem gewissen Abschluß gebracht,
hat in der Form, wie sie in den Schriften der eben genannten Verfasser
vorliegt, einen recht komplizierten und wenig übersichtlichen Charakter.
Außerdem ist die Theorie der konjugierten Punkte trotz der weit
gehenden Ergebnisse von v. EscHERICH nicht so weit ausgebaut, als es
wünschenswert wäre.
Nun war es mir im Vorjahre') gelungen, gerade den letztgenannten
Punkt in formal recht durchsichtiger Art zu erledigen; ich begrüßte
daher die Einladung der Harnburgischen Universität zu einer Reihe von
Vorträgen über Variationsrechnung besonders freudig und will mich
meiner Aufgabe im folgenden in dem Sinne entledigen, daß ich eine
Theotie der 2. Variation in der Form entwickle, die mir die einfachste
scheint und gleichzeitig zu meinen eben erwähnten Ergebnissen führt.
Voraus leite ich kurz die Gleichungen von LAGRANGE in der derzeit
einfachsten mir bekannten Weise ab, um eine gewisse Abrundung zu
erzielen. Nebenher will ich besonders auf die Anwendungen der Gruppen
theorie in der Variationsrechnung hinweisen, einen Gegenstand, dem
die Lehrbücher wenig Beachtung schenken.
1) CREJ.LES Journal, Bd. 55 (1858).
2) CnELLES Journal, Bd. 69 (1868).
3) Wiener Sitzungsberichte, Bd. 107 (1898), 108 (1899).
4) 1111nchener Sitzungsberichte, Bd. 57 (1927).
2 J. Radon.
Erster Vortrag:
Die Gleichungen von Lagrange und die Grenzformel.
Die Probleme der Variationsrechnung mit einer unabhängigen
Veränderlichen lassen sich ungezwungen an eine Frage über unter
bestimmte Systeme von Differentialgleichungen anschließen.
Sei ein "Kurvenbogen C0" durch die Gleichungen dargestellt:
a < x < b, i=1,2, ... ,n
wo die y~ (x) mit ihren ersten Ableitungen stetig sein sollen. Er genüge
<
den m n Differentialgleichungen:
(M) /11 = 1,2, ... ,m.
Wir setzen dabei die Funktionen f!p mit ihren Ableitungen nach den yi
als stetig voraus in einer "Umgebung erster Ordnung" von Co:
<
wobei ~(x), ~'(x) für a-~ x<a durch ~(a), ~'(a), für b<x
+
< b ~ durch 11J (b), '!Ii' (b) zu ersetzen sind. Ferner sollen die m
reihigen Determinanten der Matrix:
(~)
ayi
in keinem Punkte von Co gleichzeitig verschwinden.
Der Bogen Co soll nun bezüglich (M) "frei" heißen, wenn es möglich
ist, von denselben Anfangswerten (a, yiJ (a)) aus einen ebenfalls dem
System (M) genügenden Kurvenbogen nach einem beliebigen Endpunkte
(b, Yi) zu ziehen, wenn die ri zu den yiJ (b) hinreichend benachbart sind.
Andernfalls heiße Co bezüglich (M) "gebunden".
Wir suchen notwendige Bedingungen dafür, daß Co bezüglich (M)
gebunden ist.
Wir wenden dazu eine von Buss6) stammeRde Methode an: zu
den m Funktionen f!p bestimmen wir zuerstn-mweitere f!m+l, ••• , "."
derart, daß auch f!m+l • ·. f!n mit ihren Ableitungen nach den y~ stetig
sind und daß die Funktionaldeterminante:
a( rpl fj2 .•. rpn)
..1 = ar IJ.ill Y2' .. • Yn')
längs Co nicht Null wird. Das geht, wie man unschwer einsieht, unter
den eingeführten Voraussetzungen immer. Längs C haben die Funk-
0
5) Trans. Amer. Math. Soc., Bd. 19 (1918).
Problem von Lagrange. 3
tionen 'Pm+l • • • 'Pn gewisse Werte c.Jm+l (x) · · · CtJn (x), die stetige Funk
tionen von x sind. Co genügt also den Differentialgleichungen:
'Pt (xyy') = 0,
'Pm (xyy') = 0,
(B)
'Pm+l (xyy') = 6Jm+l (x),
'Pn (xyy') = 6Jn (x).
Um jetzt Co unter Einhaltung von (l\1) zu "variieren", genügt es,
die oo zu variieren und das neue System (B) von Differentialgleichungen
unter Erhaltung der Anfangswerte Yi (a) zu integrieren. Zweckmäßig
machen wir dabei die oo von n Parametern e1 ••• En linear abhängig,
setzen also in einheitlicher Schreibweise:
(B') z=1,2,···,n,
= mf = 0 für i = 1, 2, ... , m.
flli
(Wir benutzen die bekannte Vereinbarung, Summationen nach doppelt
auftretenden Stellenzeigern nicht anzuschreiben.)
Die Lösungen von (B'), die die Anfangsbedingungen:
erfüllen, seien mit Yi(x, e1 • • • En) bezeichnet. Unter Benutzung der
Ergebnisse von GRüNWALL 6) folgt, daß diese Funktionen mit ihren Ab
leitungen nach sämtlichen Veränderlichen sowie mit den Ableitungen
0 °2~i = 0 °2~i in dem Gebiete a <X< b, !eil< E (e genügend klein)
X E(! E(! X - - -
stetig sind.
Nun wird, wenn Co bezüglich M gebunden ist, für keine Wahl
der mf (x) die Determinante:
0 (yl _:__:_ • Yn) :f O
o
(e Ev)
1 • • •
sein dürfen. Denn sonst könnten wir ja die Gleichungen Yi(b, e) = Yi
für zu den y<J (b) benachbarte Yi stets auflösen.
Schreiben wir kurz:
( oY i ) = ''I~ (x) ,
, 0 Ek E=O I
6) Annals of Math. (2), 20, (1919).
4 J. Radon.
so genügen die "'~(x) den Differentialgleichungen:
und den Anfangsbedingungen:
1J~(a) = 0.
Es werde nun das zu diesem System "adjungierte System" :
(A.)
betrachtet. Es hat n linear-unabhängige Lösungssysteme:
;.}, ;.L ... ,
;.~ (i= 1,2, ... , n).
Für jedes von ihnen gilt offenbar:
_!_ ().Ii' "'hk ) -- ).I! k
dx i Piy~ i 00i
oder:
b
;.q rp. , "hk I = J;.q (J)~ dx.
t tYA 'I b t t
a
Da weder die Determinante I; .l I noch Ir piy~ I für x = b Nnll ist,
folgt: das Verschwinden von 111~ I für x = b ist gleichbedeutend mit dem
der Determinante:
Ist also Co gebunden bezüglich (l'YI), so muß die letztgenannte Deter
minante für alle stetigen Funktionen (J>~(x) (w~ = 0 für i = 1, 2, ... , m)
Null sein.
Hieraus folgt durch eine leichte Überlegung: Es gibt ein Lösungs
system (J.1, • •• , Än) von (A), wobei nicht alle ;.i Null sind, so daß:
für alle stetigen (J>I! mit w1 = w2 = · · · = wm = 0. Das heißt aber,
daß Äm+l = · · · = Än = 0 sein müssen. So folgt:
Zu jeder "gebundenen" Lösung von (M) existieren Multiplikatoren
J.1 (x) ... Äm (x), die nicht sämtlich identisch Null sind. Sie sind stetige
Funktionen von .x und erfüllen die Gleichungen:
Problem von Lagrange. 5
:).
;:
(~ ~', ~ ~ ~:
(D)
a<x<b
Um nun auf das Problem von LAGRANGE zu kommen, führen wir
eine weitere unbekannte Funktion y ein, die mit x, Y1 . · • Yn durch die
0
Differentialgleichung:
y{,-f(x, Y1 · · · Yn, y). .. · y~) = 0
verknüpft ist. f soll den analogen Stetigkeitsvoraussetzungen genügen
wie die Pi· Als Anfangswert von y werde Null vorgeschrieben. Es
0
ist dann:
Jb
Yo(b) =I= f(xyy')dx.
a
Soll nun der Bogen Go eim Extremum des Integrals I unter den
Nebenbedingungen (M) liefern, wobei die Endpunkte von G fest bleiben,
0
so wenden wir das gewonnene Ergebnis auf den Bogen G~ an, der durch
J:z:
(06) Yi = yl/ (x), Yo = f(xyo yO') dx
gegeben ist. Er muß bezüglich des Systems:
rpp. (x, y, y') = 0
(M')
=
y~-f(xyy') 0
offenbar gebunden sein. Also existieren Multiplikatoren l0, .l1 ~ • • • , lm,
die den Gleichungen genügen:
~~ = 0, lofv,+l(l fJI(lv,- :x (lofv;+l(J fJI(lv;) = 0
genügen. Da l konstant ist, können wir - von l = 0 abge
0 0
sehen - lo = 1 voraussetzen und erhalten so die Gleichungen von
LAGRANGE, die man zweckmäßig in folgender Form zu schreiben pflegt:
F(x, y, y', l) = f+l(J rp(l,
(L) iiFv;
Fv,-----a:;:- = 0.
Die Kurven, welche (M) und (L) befriedigen, heißen die Extremalen des
Lagrangeschen Problems. Ein Extremalenbogen G der so beschaffen
0,
ist, daß die Gleichungen (D) für ihn nur durch l1 = ... = lm = 0
ösbar sind, heißt normal, andernfalls wird er als anormal bezeichnet.
6 J. Radon.
Es sei eine Kurvenschar vorgelegt:
Yi = Yi (x, E),
< <
Der Bogen x1 (E) x x1 (E) dieser Kurven sei mit Oe bezeichnet.
xdE ) und a:s (E ) sollen dabei zwei stetig differenzierbare Funktionen mit
X1 (0) = a, a:s (O) = b sein. Die Kurvenbogen Oe s~Yllen (M) erfüllen
und es soll 0 mit dem früher ebenso bezeichneten Bogen identisch sein.
0
Dann werde gesetzt:
~J(a)
I(E) = f(x, y(x, E), y' (x, E)) dx
:!:t(•)
und die "erste Variation" von I bzw. von den Endkoordinaten (x1, y1)
bzw. (x1, y1) durch:
0 X1 (E))
~!L=o' (
«YI = { dx1 OE 1=0 1
_ ( OXJ (E)) •=o '
oE
definiert. Ist 0 eine Extremale, so erhält man in bekannter Weise
0
(man addiert zuerst ~u f unter dem Integral die Summe Ä.<' cp<' und inte
griert nach der Differentiation nach E partiell) die Grenzformel:
Diese Grenzformel erlaubt in gewissen Fällen, Integrale der
Gleichungen von LAGRANGE anzugeben, und zwar dann, wenn das Va
riationsproblem gegenüber einer Gruppe von Punkttransformationen in
variante Eigenschaften besitzt.
Um mit dem einfachsten Fall zu beginnen, sei I gegenüber den
Transformationen einer eingliedrigen Gruppe invariant, ebenso das
System (M). Dann wenden wir auf den Extremalenbogen 0 die Trans
0
formationen der Gruppe an und erhalten gerade eine solche Schar 0
1,
wie wir sie oben betrachtet haben. dx, Jyi gibt dann die infinitesimale
Transformation der Gruppe. Aus der Invarianz von I folgt sogleich :
(F-y~ F"i) dx+ F11j dyil ~ = 0,
XI
d. h. es ist
(N) (F-yiF11j) «Yx+F11j dyi
längs jeder Extremale konstant. Also ergibt sich: Sind I und (M) gegen
über den Transformationen einer eingliedrigen Gruppe mit der infini
tesimalen Transformation
Problem von Lagrange. 7
a a
dx-+dyi-
ax ayi
invariant, so ist (N) ein Integral der Gleichungen von LAGRANGE 7).
So liefert z. B. das Variationsproblem, ein Integral der Form:
b
JJ(k)ds
a
zum Extrem zu machen (k die erste Ki'iimmung, s der Bogen einer
Raumkurve), unter Heranziehung der Bewegungsgruppe 6 Integrale der
Lagrangeschen Gleichungen. Ich habe darüber hinaus zeigen können8),
daß in diesem Falle . die Integration auf Quadraturen zurückgeführt
werden kann.
Etwas allgemeiner ist folgender Satz: bei der infinitesimalen Trans
formation der Gruppe trete zu fdx additiv ein vollständiges Differential
dW(x, y). (M) sei wieder invariant. Dann folgt ebenso wie oben:
(F-y~F11;) dx+ F11; dyi-W(x, y)
ist ein Integral der Gleichungen von LAGRANGE.
Auf Grund dieser Bemerkung ergeben sich z. B. die 10 Integrale
der Dynamik eines Punktsystems, dessen Potential V zeitunabhängig und
bewegungsinvariant ist. Betrachten wir nämlich das Wirkungsintegral:
t,
f
(T-V)dt,
tl
wo T die kinetische Energie ist und sein Verhalten bei der Gruppe der
"Galileitransformationen ". Bei den Bewegungen sind T und V invariant,
ebenso bei der Transformation
t = t+ c, x = x, y = y, z = z.
Nun sind noch die Transformationen vom folgenden Typus zu untersuchen:
x = x+ ct, y = y, z = z, t = t.
V bleibt wieder invariant, aber T ändert sich. Und zwar verhalten
sich die einzelnen Glieder von T so:
~ [(~~r+ (~~r+ (~irJ
[(dXi) +( dyi) +( dZi) + . +
ffli 2 2 2] dXi mi .I
- 2 dt dt dt fni c dt 2 c.
7) Vgl. E. NoETHER, Invariante Variationsprobleme, Gött. Nachr. 1918.
8) BLASCHKE, Differentialgeometrie, 1. Bd., Berlin 1921, S. 35ff.
