Table Of ContentShmuel M. Avital
Sara J. Shettleworth
Ziele des Mathematikunterrichts -
Ideen fiir den Lehrer
__ Aus dem Programm _________
Didaktik der Mathematik
Lehrbucher
Grundfragen des Mathematikunterrichts,
von E. Wittmann
Der Mathematikunterricht in der Primarstufe,
von G. Muller und E. Wittmann
Anwendungsprobleme im Mathematikunterricht
der Sekundarstufe I, von M. Glatfeld (Hrsg.)
Didaktik mathematischer Probleme und Aufgaben,
von G. Glaeser (Hrsg.)
Mathematik fur Lehrer in Ausbildung und Praxis,
von G. Glaeser
Erganzende Literatur
Ziele des Mathematikunterrichts -
Ideen fiir den Lehrer
von Sh. M. Avital und S. J. Shettleworth
Das Schulbuch im Mathematikunterricht,
von M. Glatfeld (Hrsg.)
Fehleranalysen im Mathematikunterricht,
von H. Radatz
Mathematisches Denken bei Vor- und Grundschulkindern,
von E. Wittmann
________________________ _
~---Vieweg--
Shmuel M. Avital
J.
Sara Shettleworth
Ziele des Mathematikunterrichts
Ideen fiir den Lehrer
Friedr. Vieweg & Sohn BraunschweiglWiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Avital. Shmuel M.I
Ziele des Mathematikunterrichts: Ideen fUr d.
Lehrer/Shmuel M. Avital; Sara J. Shettleworth.
[Obers.: Karl Heidenreich]. - Braunschweig;
Wiesbaden: Vieweg, 1983.
Einheitssacht.: Objectives for mathematics
learning <dt.)
ISBN-13: 978-3-528-08515-5 e-ISBN-13: 978-3-322-84390-6
DOl: 10.1 007/978-3-322-84390-6
NE: Shettleworth, Sara J.:
Titel der englischen Originalausgabe:
Objectives for Mathematics Learning
Some Ideas for the Teacher
© The Ontario Institute for Studies in Education 1968
Obersetzung: Karl Heidenreich, Reutlingen
1983
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1983
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1983
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andere Medien. Dieser Vermerk umfaat nicht die in den §§ 53 und 54 URG ausdriicklich erwahnten
Ausnahmen.
v
Geleitwort
Jeder engagierte Lehrer wird fiir neue Methoden aufgeschlossen sein, die eine
Kontrolle und Steuerung des Unterrichts auf bessere Lernergebnisse hin
versprechen. Daher ist es verstandlich, daB Konzepte zur "Lernzielorien
tierung" und "Operationalisierung" des Unterrichts, die in den sechziger
Jahren in den USA entwickelt wurden und sich Anfang der siebziger Jahre
schnell auch in Europa ausgebreitet haben, auf sehr groBes Interesse gestoBen
sind. Wie viele didaktische Neuansatze ist auch die Lernzielorientierung weit
iibertrieben worden und hat zu Fehlentwicklungen gefiihrt, die den Mathe
matikunterricht und die Lehrerausbildung teilweise noch heute belasten:
inhaltsleere, aufwendige Formalismen zur Aufspaltung von Grobzielen in
Fein- und Feinstlernziele erdriicken die Eigendynamik und die Substanz des
mathematischen Lernstoffes, hahere Lernziele, die der Operationalisierung
nicht zuganglich sind, werden von leicht operationalisierbaren Techniken
in den Hintergrund gedrangt.
Die vorliegende Obersetzung, im englischen Original 1968 erschienen, ist
eine der ganz wenigen Publikationen aus dieser Zeit, die sich von der allge
meinen Modestramung kritisch abgesetzt haben, und zeugt so fiir die gesunde
didaktische Intuition der Autoren. Professor Shmuel Avital, ein international
anerkannter Mathematikdidaktiker, hat sich in seinen Arbeiten hauptsachlich
mit der Frage beschiiftigt, wie man mathematische Aktivitiiten von Schulern
anregen kann. Das fur die Hand des Lehrers verfaBte Buch ist von diesem
Ansatz durchdrungen und steHt somit eine interessante Synthese von Pro
blem- und Lernzie1orienti<;rung dar, von der ich eine Auflockerung der
manchmal etwas verhiirteten Diskussion iiber diese Themen erhoffe.
Dortmund, im Juli 1982
Erich Wittmann
VI
Aus der Einleitung der Originalausgabe
Diese Monographie hl:lndelt von den Zielen des Mathematikunterrichts,
und zwar vorwiegend fur die Sekundarstufen I und II. Es wird versucht,
ein Modell fur die Leistungsniveaus darzustellen, die den Grad des Ver
stehens genauer beschreiben, der von Schulern bei der Bewaltigung unter
schiedlicher mathematischer Aufgaben erwartet wird. Wir hoffen, daB der
Lehrer das Modell dazu verwenden wird, spezielle Lernziele fur jeden Unter
richtsinhalt zu konstruieren. Er erreicht damit nicht nur Vertrautheit mit
den Begriffen und Sprechweisen der neuen Lehrgange fur Mathematik,
sondern auch Problemlosefahigkeit auf hoherem Niveau.
Die Monographie entstand aus der Dissertation des einen Autors (Avital),
"Higher Level Thinking in Secondary School Students' Attainment in
Mathematics", die im Jahr 1967 an der Universitat Toronto eingereicht
wurde. Der Beitrag der Koautorin (Shettleworth) bestand darin, die Ideen
und Beispiele zu klaren und in eine fUr Lehrer hilfreichere Form zu bringen.
Die im Text enthaltenen mathematischen Aufgaben wurden wahrend einer
24jahrigen Unterrichtstatigkeit an hoheren Schulen gesammelt. Manche
Aufgaben sind selbst erfunden, die anderen stammen aus verschiedenen
Quellen, von denen einige in der Bibliographie erwahnt sind. Es ist unmog
lich, fUr jede einzelne Aufgabe die genaue QueUe anzugeben.
Wir hoffen aufrichtig, daB diese Monographie dazu beitragt, das Lehren und
Lernen der Mathematik, der Konigin und Dienerin der Wissenschaften, zu
verbessern.
VII
Inhaltsverzeichnis
1 Griinde fiir eine Taxonomie mathematischer Lemziele . . . . . . . . . . .. 1
1.1 Das Curriculum im Wandel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1
1.2 Allgemeine Erziehungsziele ............................ 1
1.3 Allgemeine Lernziele des Mathematikunterrichts . . . . . . . . . . .. 2
1.4 Spezielle Lernziele und Evaluation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3
1.5 Die Gefahr der Dberbetonung von Lernzielen
niedrigen N iveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4
1.6 Die Unbestimmtheit von Verstandnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4
1.7 Die Notwendigkeit eines Modells fur die
Lernzielbestimmung ................................ " 5
2 Eine Taxonomie mathematischer Lemziele .................... 7
2.1 Niveaus mathematischen Denkens ....................... 7
2.2 Die Kategorien der Taxonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8
3 Lemen von Begriffen, Verallgemeinerungen und
Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
3.1 Wissen ............................................ 10
3.2 Verstehen .......................................... 13
3.3 Anwenden .......................................... 18
4 Problemlosen ........................................... 22
4.1 Unterschiede zwischen algorithmischem Denken
und Problemlosen auf hoherem Niveau ................... 22
4.2 Analyse ........................................... 24
4.3 Synthese ........................................... 30
5 Was kann der Lehrer tun? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1 Yom Erreichen der Un terrichtsziele .................... " 41
5.2 Aufgabenanalyse ..................................... 42
5.3 Es gibt keine etablierte Methode ........................ 43
VIII Inhaltsverzeichnis
5.4 Der Lehrer muB sich der vollen Spannweite mathematischer
Leistungskategorien bewuBt sein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5 Gutes Verstehen ist wesentlich .......................... 44
5.6 Man setze zahlreiche Modelle ein ........................ 45
5.7 Man konfrontiere die SchUler mit Problemlosungen
auf hoherem Niveau .................................. 47
5.8 Man betone allgemein anwendbare Strategien .............. 49
5.9 Man unterrichte Verfahren, nicht Formeln ................. 50
5.10 Man baue den Unterricht auf Problemen auf ............... 50
5.11 Bewertung von SchUlerleistungen ........................ 52
5.12 Man experimentiere mit Methoden zur Anregung
von Denken auf hoherem Ni veau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53
6 Einige zusatzliche Ziele und Anregungen fiir den Unterricht ....... 54
6.1 Wirksamkeit von Losu~gsverfahren ...................... 54
6.2 Verstandnis von Begriffen ............................. 55
6.3 Ein fragenforderndes Klima ............................ 57
6.4 Individuelle Lekture mathematischer Texte ..... . . . . . . . . . .. 59
6.5 Die Fiihigkeit zur systematischen Untersuchung
eines Problems ...................................... 62
6.6 Ein Modell fur besseren Unterricht zur Erreichung
der Lernziele ....................................... 65
Anhang: Zusatzliche Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68
Literaturverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79
1
1 Griinde flir eine Taxonomie mathematischer Lernziele
1.1 Das Curriculum im Wandel
Das mathematische Curriculum befindet sich gegenwartig im Umbruch. In
der ganzen Welt werden Lehrplane, Lehrgange und Methoden des Unterrichts
und der Darbietung fortlaufend verandert, iiberarbeitet und neu entworfen.
Themen, die gewohnlich in hoheren Klassenstufen unterrichtet wurden, wer
den unteren Klassenstufen zugeordnet, und neue Themen, mit denen man sich
friiher nur an der Universitat beschaftigt hat, werden in den Lehrplan der
Schule eingefiihrt.
Die wichtigsten Fragen, die sich aus diesem Vorgang ergeben, sind: Was sind
die Ziele dieser Veranderungen, wie werden diese Ziele erreicht, wie konnen
wir uns vergewissern, ob diese Ziele erreicht wurden? Diese Fragen beziehen
sich sowohl auf allgemeine als auch spezielle Erziehungsziele, auf den Unter
richt, der sich an diesen Zielen orientiert, und auf die Evaluation dieses Unter
richts.
1.2 Allgemeine Erziehungsziele
Die Wahl der Lernziele fiir den Mathematikunterricht wird durch viele Fak
toren beeinfluBt. Zuerst werden allgemeine Erziehungsziele formuliert. Diese
betreffen die Ergebnisse des Schulunterrichts, die unter geseUschaftlichen
oder personlichen Aspekten als wiinschenswert betrachtet werden. Sie haben
ihren Ursprung in der Weltanschauung und dem kulturellen Hintergrund der
fiir die Planung des Erziehungswesens Verantwortlichen.
In einer Arbeit wie der vorliegenden, in der ein System von Lernzielen spezieU
fiir den Mathematikunterricht dargesteUt wird, soUen die zugrundeliegenden
aUgemeinen Erziehungsziele zu Beginn deutlich angegeben werden. Wir setzen
mit]. S. Bruner voraus, daB es "das Ziel des Lernens ist, Wissen im Zusammen
hang eines Beziehunsgefiiges zu erwerben, das es erlaubt, dieses Wissen pro
duktiveinzusetzen" (1959, S.189). Andersgesagt soUte ein Bestand an Wissen,
wie er in der Schule vermittelt wird, nicht nur als eine Grundlage fiir das
Erlernen neuer Inhalte dienen, sondern auch als "produktives Wissen" ["gener
ative learning"], das einen in die Lage versetzt, iiber das Gelernte hinauszu
gehen. Diese Art des Wissens umfaBt die Fahigkeit, neue Zusammenhii.nge
und Beziehungen innerhalb des gelernten Stoffes und zwischen dem gelernten
2 1 Griinde fur eine Taxonomie mathematischer Lemziele
Stoff und anderen Gebieten zu sehen. Dariiber hinaus machen wir folgende
Annahme: Wenn Mathematik sinnvoll gelernt und behalten werden soll, muB
der Unterricht methodisch jeweils dem Weg der historischen Entwicklung des
betreffenden Gebietes folgen. Auf diesem ergaben sich neue Entdeckungen
und Verallgemeinerungen aus Versuchen, Probleme zu lasen, die im Kontext
des bereits Bekannten formuliert waren. Diese Annahme bedeutet fur den
Schulunterricht: der SchUler muB immer wieder versuchen, Probleme zu lasen,
die an das bereits Gelernte anknupfen, aber daruber hinaus gehen [genetisches
Prinzip).
1.3 Aligemeinen Lernziele des Mathematikunterrichts
Die allgemeinen Ziele des Mathematikunterrichts werden oft im Hinblick auf
praktischen Nutzen formuliert. Wheeler (1963) fUhrt allgemeine Ziele an wie:
1. Anwendung im Alltag, 2. Verwendung als Werkzeug in anderen Wissen
schaften und 3. Einubung in das logische Denken.
Wir gehen davon aus, daB die Mathematik neben ihrem praktischen Wert, der
sicherlich nicht grenzenlos ist, in sich selbst den Wert fur die Beschiiftigung
mit ihr tragt und keiner Rechtfertigung von auBen bedarf. Unter diesem
Gesichtspunkt ist die Wertschatzung der Mathematik ebensosehr Teil eines
erfiillten Lebens wie die Wertschatzung von Musik oder Literatur. So wie in
der Schule Aufsatzkunde unterrichtet wird, als Folge und mit dem Ziel einer
hohen Einschatzung der Literatur, und Musik unterrichtet wird im Hinblick
auf einen spateren musikalischen KunstgenuB, so sollten auch einige Gebiete
der Mathematik auf Grund ihres intrinsischen Wertes in allen Klassenstufen
des Lehrplans der Sekundarstufe enthalten sein.
Der wichtigste Teil der Lernerfahrung ist echte Begegnung mit lebendiger
Mathematik, d. h. mit den Methoden, durch welche sie yom Einfachsten zum
Kompliziertesten entwickelt wird. Nur in einer derartigen Begegnung kannen
die SchUler in sinnvoller Weise die Struktur und die Eigenart des Faches ken
nenlernen. Eines der Hauptziele der neuen Lehrplane fur Mathematik ist es,
den SchUlern mehr Gelegenheiten zu geben, bei der logischen Formulierung
und Ableitung mathematischer Begriffe mitzuwirken. Zu den maglichen
Ergebnissen einer solchen Mitwirkung gehart das Erreichen einiger der Lern
ziele fUr den Mathematikunterricht, die yom Cambridge Committee on
School Mathematics (1963) formuliert wurden: Der SchUler solI 1. Vertrauen
in seine eigenen analytischen Fahigkeiten gewinnen, 2. die Genauigkeit der
Kommunikation, wie sie durch mathematische Symbolsysteme geleistet wird,
wertschatzen lernen und 3. Ansatze zu einem Verstandnis der Reichweite und
Grenzen der Mathematik entwickeln.
