Table Of ContentZerlegung von Tensorprodukten
einfacher Moduln der symmetrischen Gruppe
von
JohannesOrlob
DIPLOMARBEIT
inMathematik
vorgelegtder
Fakulta¤tfu¤rMathematik,InformatikundNaturwissenschaftender
Rheinisch-Westfa¤lischenTechnischenHochschuleAachen
Juni2006
Angefertigtam
LehrstuhlDfu¤rMathematik
bei
ProfessorDr.G.Hi(cid:223)
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 5
1 GrundlagenausderDarstellungstheorie 7
1.1 DarstellungenvonGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 IdempotenteundBlo¤cke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 RadikalundSockel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 DirekteZerlegungenvonModuln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 UnzerlegbareundprojektiveModuln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Zerlegungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Brauercharaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Blo¤ckefu¤rGruppenalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 DefektgruppenvonBlo¤cken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.10 TensorproduktevonkG-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 DarstellungstheoriedersymmetrischenGruppe 23
2.1 Charakteristik0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 AllgemeinerFall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 NakayamasVermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 ZerlegungvonspeziellenProdukten 31
3.1 MullineuxsVermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 AllgemeineszuV(cid:10)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Permutations-,Specht-undYoungmoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 ZerlegungvonD(n(cid:0)1;1)(cid:10)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 AngewandteMethodenundProbleme 53
4.1 ZerlegungvonModuln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 ProblemeundKniffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 AngewandteKondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.1 F2S8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.2 F3S8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.3 F2S9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.4 F3S9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4.5 F5S9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.6 F7S9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.7 F2S10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.8 F3S10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.9 F5S10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A Ergebnisse 65
A.1 h (S ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
p n
A.2 LegendeundBemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A.3 S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
A.3.1 F2S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
A.3.2 F3S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
A.3.3 F5S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3
4 INHALTSVERZEICHNIS
A.4 S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
A.4.1 F2S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
A.4.2 F3S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
A.4.3 F5S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.5 S7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A.5.1 F2S7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A.5.2 F3S7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
A.5.3 F5S7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A.5.4 F7S7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.6 S8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.6.1 F2S8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.6.2 F3S8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.6.3 F5S8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.6.4 F7S8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
A.7 S9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.7.1 F2S9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.7.2 F3S9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.7.3 F5S9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A.7.4 F7S9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.8 S10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
A.8.1 F2S10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
A.8.2 F3S10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.8.3 F5S10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B GAP-Routinen 123
B.1 DieMullineuxabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.2 DimensionsberechnungvonkondensiertenModuln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Vorwort
NehmetHolzvomFichtenstamme,
Dochrechttrockenla(cid:223)tessein,
Da(cid:223)dieeingepre(cid:223)teFlamme
SchlagezudemSchwalchhinein.
KochtdesKupfersBrei,
SchnelldasZinnherbei,
Da(cid:223)dieza¤heGlockenspeise
Flie(cid:223)enachderrechtenWeise.
AusDasLiedvonderGlocke
vonF.Schiller.
Die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe auf n Punkten, S , weckt bis heute das Interesse vieler
n
Mathematiker. Obwohl sie in einigen Teilen schon weit entwickelt ist, lassen sich immer noch viele interes-
santeFragenstellen.ZumBeispiel:Wasla¤(cid:223)tsichu¤berdieStrukturdesTensorprodukteszweiereinfacherkS -
n
Modulnaussagen?IstkeinKo¤rpereinKo¤rperderCharakteristikNull,sokannmanmitderDeterminantenform
undderLittlewood-RichardsonRegeldieZerlegungeinessolchenProduktesbestimmen;manvergleichedazu
Abschnitt2.9in[11].
Ist die Charakteristik von k = p > 0, so wurde bis jetzt noch kein Verfahren gefunden, mit dem man die
Zerlegung des Tensorproduktes zweier einfacher kS -Moduln in unzerlegbare Moduln angeben kann. Mulli-
n
neuxgibtin[17]eineAbbildungan,diemanauchMullineuxabbildungnennt,undvermutet,dassmanmitihr
dasTensorprodukteineseinfachenkS -ModulsmitdemSignumsmodul beschreibenkann.DieseVermutung
n
habenFordundKleshchevin[6]bewiesen.
Eine speziellere Frage zu Tensorprodukten ist: Gibt es zwei einfache Moduln, deren Dimension echt gro¤(cid:223)er
als eins ist, so dass das Produkt dieser beiden wieder einfach ist? Nach [22] ist die Antwort nein, falls k die
CharakteristikNullhat.GowundKleshchevgebenin[8]eineVermutungan,wanneinTensorprodukteinfach
ist. In [2] wird gezeigt, dass im modularen Fall nur fu¤r p = 2 solche einfachen Tensorprodukte vorkommen
ko¤nnen.In[9]wirdeinTeilderVermutungvonGowundKleshchevbewiesen.EinTeilderVermutungistnoch
offen.
DurchdenheutigenStandderTechnikistesmo¤glich Experimente(cid:147),dashei(cid:223)t,BerechnungenvonBeispielen,
(cid:148)
durchzufu¤hren,derenDurchfu¤hrungfru¤herunmo¤glicherschien.DasZieldieserArbeitistes,mitHilfedercom-
putergestu¤tztenDarstellungstheorieEinsichten u¤berdieStrukturvonTensorprodukten einfacherkS -Moduln
n
immodularenFallzubekommen.Dabeiwirdhauptsa¤chlichdieZerlegungvonTensorprodukteninunzerlegbare
ModulnunddieStrukturdieserSummandenbetrachtet.DieBerechnungderZerlegungenderTensorprodukte
unddieBerechnungderStrukturderunzerlegbarenSummandenwirdmitderMeatAxe,[20],realisiert.Mitder
MeatAxe istesmo¤glich,konkretDarstellungenvonGruppen indieHandzunehmen(cid:147) undzuuntersuchen.
(cid:148)
AlsweiteresHilfsmittelwirdGAP,[7],benutzt.
6 INHALTSVERZEICHNIS
Der Inhalt des ersten Kapitels besteht aus allgemeinen Grundlagen zur modularen Darstellungstheorie von
Gruppen.
DaszweiteKapitelgehtaufdieirreduziblenDarstellungenvonS sowiederenParametriserungdurchPartitio-
n
nenvonnein.ZudemwirddieNakayama-Vermutung,diediep-BlockeinteilungderirreduziblenDarstellungen
beschreibt,amEndedesKapitelsaufgefu¤hrt.
SpezielleTensorproduktewerdenimdrittenKapitelbetrachtet.ZuerstwirddieMullineuxabbildungangegeben.
Dann werden Tensorprodukte eines Moduls mit sich selbst betrachtet. Der gro¤(cid:223)te Teil des Kapitels wird von
demBeweiszurZerlegungdesTensorproduktesdeseinfachenModulszurnatu¤rlichenDarstellungvonS mit
n
sichselbsteingenommen.DieVermutungzurZerlegungdesProdukteswurdeausderBetrachtungderberech-
netenBeispielegewonnen.
AufdenthoretischenHintergrundzurZerlegungeinesModulsunddiehierbeiauftretendenProblemesowiede-
renLo¤sungenbeidenBerechnungenmitderMeatAxe wirdimviertenKapiteleingegangen.Desweiterenwird
dieGrundideeeineswichtigenHilfmittels,derFixpunktkondensation,kurzvorgestellt.MitdiesemWerkzeug
istesmo¤glich,auchsehrgro(cid:223)eModulnmitdemRechnerzubearbeiten.
DieErgebnissederberechnetenBeispielewerdenimletztenKapitelaufgefu¤hrt.Abschlie(cid:223)endwerdengenutzte
GAP-Routinenangegeben.
Das Thema der Diplomarbeit verdanke ich Herrn Prof. Dr. Gerhard Hi(cid:223). Weiter mo¤chte ich mich bei ihm fu¤r
dieguteBetreuungbedanken.Einsehrgro(cid:223)erDankgehtanHerrnDr.FelixNoeske,dersichimmerZeitfu¤rdie
FragenseinesPadawansnahm.Zudemmo¤chteichauchHerrnProf.Dr.KlausLuxdanken,dermirbeimeinen
Problemen mit der MeatAxe half. Herrn Dr. Ju¤rgen Mu¤ller verdanke ich den Beweis fu¤r meine Vermutung,
deramEndedesdrittenKapitelsaufgefu¤hrtwird.Zudemdankeichihmfu¤rdieinteressantenGespra¤cherund
um das Thema dieser Arbeit. Ich mo¤chte mich auch bei allen anderen Mitarbeitern des Lehrstuhls D fu¤r Ma-
thematik fu¤r die gute Arbeitsatmospha¤re bedanken und auch dafu¤r, dass man ohne gro¤(cid:223)ere Terminabsprache
vorbeikommenundFragenstellenkann.
Kapitel 1
Grundlagen aus der Darstellungstheorie
DiesesKapitelgibteineU¤bersichtderGrundlagenundgenutztenMethodendermodularenDarstellungstheorie
an. In diesem ganzen Kapitel sei A ein Ring mit 1 und alle A-Moduln seien A-Rechtsmoduln und endlich
erzeugt.
1.1 Darstellungen von Gruppen
ZurUntersuchungvonGruppenmitComputernistesno¤tig,dieseineinerfu¤rdenComputererfassbarenForm
darzustellen.DiesgeschiehtindieserArbeitmittelsDarstellungeneinerGruppedurchMatrizen.
DieMeatAxe,diehauptsa¤chlichgenutztwurde,arbeitetgenaumitsolchenMatrizen.DeshalbsollderZusam-
menhangzwischenDarstellungundGruppekurzerla¤utertwerden.
EsseienindiesemAbschnittkeinKo¤rper,Aeinek-Algebra,Gl (k)seidieMengederinvertierbarenMatrizen
n
inkn(cid:2)n undGeineendlicheGruppe.
1.1.1De(cid:2)nition
EineDarstellungvonAisteink-Algebrenhomomorphismus
X:A!kn(cid:2)n:
Dabeihei(cid:223)tnderGrad vonX.ZweiDarstellungenXundYvomGradnhei(cid:223)ena¤quivalent,fallseineMatrix
P 2Gl (k)existiertmit
n
X(a)=P(cid:0)1Y(a)P fu¤rallea2A:
(cid:3)
Darstellungen von Asindeigentlich nureine andere Sichtweise aufdie A-Moduln. Die folgende Bemerkung
gibtdenZusammenhangzwischenDarstellungenundModulnan.
1.1.2Bemerkung
AusDarstellungenvonAla¤sstsichleichteinA-ModulkonstruierenundandererseitsauchDarstellungenaus
Moduln.IstXeineDarstellungvonAvomGradn,sowirdk1(cid:2)n durch
va:=vX(a)fu¤rv 2k1(cid:2)n;a2A
zumA-Modul.
SeiumgekehrtM einA-Modul.Dannwa¤hleeinek-BasisvonM undbetrachtefu¤ra2AdieMatrixX(a)des
vonaaufM bewirktenEndomorphismusbezu¤glichdergewa¤hltenBasis.DannistXeineDarstellungvonA.
EineandereBasiswahlergibtimallgemeinenaucheineandereDarstellung.
Weiter gilt: Sind M und N zwei isomorphe A-Moduln, dann sind die korrespondierenden Darstellungen
a¤quivalent. Insbesondere sind zwei Darstellungen, die vom selben Modul bewirkt werden, a¤quivalent. Damit
erha¤ltmaneineBijektionzwischendenIsomorphieklassenderA-Modulnundden A¤quivalenzklassenvonA-
Darstellungen. (cid:3)
7
8 1.Kapitel.GrundlagenausderDarstellungstheorie
1.1.3De(cid:2)nition
EineDarstellungXvomGradnhei(cid:223)treduzibel,fallsZ 2Gl (k)existiertmit
n
X (a) 0
Z(cid:0)1X(a)Z = 1 fu¤rallea2AundderGradvonX ; X >0:
(cid:3) X (a) 1 2
2
(cid:18) (cid:19)
IndiesemFallsindX undX DarstellungenvonA.ExistiertkeinsolchesZ,sohei(cid:223)tXirreduzibel.Existiert
1 2
einZ mit(cid:3)=0,dannhei(cid:223)tXzerlegbar.Andernfallshei(cid:223)tXunzerlegbar. (cid:3)
MitderobigenDe(cid:2)nitionfolgtnun:
1.1.4Bemerkung
Es sei M ein A-Modul, N (cid:20) M ein Untermodul von M und B eine Basis von N. Erga¤nzt man B zu einer
Basis von M und betrachtet die entsprechende Darstellung X von M bezu¤glich dieser Basis, so hat diese die
folgendeGestalt:
X (a) 0
X(a)= 1 fu¤rallea2A:
(cid:3) X (a)
2
(cid:18) (cid:19)
HierbeiistX dievonN bewirkteDarstellungbezu¤glichBundX einevonM=N bewirkteDarstellung.
1 2
Ist umgekehrt X eine reduzible Darstellung von M, so existiert ein Untermodul N von M, der eine zu X
1
a¤quivalentenDarstellungbewirkt.DerFaktormodulM=N bewirktdanneinezuX a¤quivalenteDarstellung.
2
Damit ist M ein einfacher A-Modul genau dann, wenn X irreduzibel ist und es gilt: M ist unzerlegbar als
A-Modulgenaudann,wennXunzerlegbarist. (cid:3)
1.1.5De(cid:2)nition
EineDarstellungvonGu¤berkvomGradnisteinGruppenhomomorphismus
X:G!Gl (k):
n
(cid:3)
Ist X eine Darstellung von kG vom Grad n, so ist Xj eine Darstellung von G u¤ber k. Ist umgekehrt X eine
G
DarstellungvonG,sowirddurch
X( a g ):= a X(g )
i i i i
i i
X X
eineDarstellungvonkGde(cid:2)niert.DaGeineBasisvonkGist,genu¤gtesXj zubetrachtenumnachzupru¤fen,
G
obXirreduzibelistoderunzerlegbar.Abschlie(cid:223)endwirdnochdieDe(cid:2)nitiondesCharakterseinerDarstellung
angegeben.
1.1.6De(cid:2)nition
EsseiXeineDarstellungvonkGvomGradn.Dannhei(cid:223)t
(cid:31): G ! k
g 7! Spur(X(g))
derCharaktervonX. (cid:3)
1.2.IdempotenteundBlo¤cke 9
1.2 Idempotente und Blo¤cke
MitHilfevonIdempotenteneinesRingesistesmo¤glich,mehru¤berdenAufbaudesRingeszuerfahren.Eine
ZerlegungeinesRingesinIdealekorrespondiertzueinerZerlegungderEinsdesRingesinIdempotente.Dieser
ZusammenhangzwischenIdealenundIdempotentenwirdhierdargestellt.
1.2.1De(cid:2)nition
EinElemente 2 Ahei(cid:223)tIdempotent,fallse 6= 0undee = egilt.ZweiIdempotenteeunde0 sindorthogonal
zueinander,fallsee0 = 0 = e0egilt.MannennteinIdempotentprimitiv,wennessichnichtalsSummezweier
orthogonalerIdempotenteschreibenla¤sst.EinIdempotenthei(cid:223)tzentral,fallsesimZentrumvonAliegt.Iste
einzentralesIdempotent,dasprimitivimZentrumvonAist,sonenntmanezentralprimitiv. (cid:3)
EsfolgennunzweiSa¤tze,dieeinenZusammenhangvonIdempotentenvonAunddirektenZerlegungenvonA
angeben.
1.2.2Satz
Es sei e + (cid:1)(cid:1)(cid:1) + e = 1 2 A eine Zerlegung der Eins in paarweise orthogonale Idempotente. Dann ist
1 n
A=e A(cid:8)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:8)e A.Iste primitivfu¤ralle1(cid:20)i(cid:20)n,danniste Afu¤ralle1(cid:20)i(cid:20)nunzerlegbar.Sindalle
1 n i i
e zentral,sogilte A = Ae ,dashei(cid:223)t:e AisteinzweiseitigesIdealfu¤ralle1 (cid:20) i (cid:20) n.Sindallee zentral
i i i i i
primitiv,soiste AunzerlegbaralszweiseitigesIdeal.
i
Beweis:
ManvergleichedieLemmata(7.1),(7.2),(7.3)und(7.4)ausKapitelIin[5]. (cid:3)
1.2.3Satz
EsseiA=A (cid:8)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:8)A undA 6=0fu¤ralle1(cid:20)i(cid:20)n.Esseiweiter1=e +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+e mite 2A .Dannist
1 n i 1 n i i
fe geineMengevonpaarweiseorthogonalenIdempotenten.IstA unzerlegbarfu¤ralle1 (cid:20) i (cid:20) n,danniste
i i i
primitivfu¤ralle1(cid:20)i(cid:20)n.IstA einzweiseitigesIdealbeziehungsweiseeinzweiseitigesunzerlegbaresIdeal
i
fu¤ralle1(cid:20)i(cid:20)n,danniste primitivbeziehungsweisezentralprimitivfu¤ralle1(cid:20)i(cid:20)n.
i
Beweis:
ManvergleichedieLemmata(7.1),(7.2)und(7.3)ausKapitelIin[5]. (cid:3)
1.2.4De(cid:2)nition
EinBlockvonAisteinunzerlegbares,zweiseitigesIdealBvonA,wobeiB =eB =Be=eBefu¤reinzentral
primitivesIdempotentevonAist.EinA-ModulM geho¤rtzumBlockB oderliegtimBlockB,fallsMe=M
ist. (cid:3)
LiegteineZerlegungvonAinunzerlegbare,zweiseitigeIdealevor,solassensichdieunzerlegbarenA-Moduln
eindeutigeinemBlockvonAzuordnen.
1.2.5Bemerkung
Esseif0g6=M einunzerlegbarerA-ModulundA=e A(cid:8)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:8)e AeineZerlegungvonA,wobeie zentral
1 n i
primitiv fu¤r alle 1 (cid:20) i (cid:20) n ist. Dann geho¤rt M zu genau einem Block e A, das hei(cid:223)t Me = M und weiter
i i
Me =f0gfu¤rj 6=i.AlleUnter-undFaktormodulnvonM liegenine A.Insbesonderegeho¤rtjedereinfache
j i
A-ModulzueinemBlock.
Beweis:
NachVoraussetzungist1=e +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+e .DannistM =Me (cid:8)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:8)Me .Daf0g6=M undM unzerlegbar
1 n 1 n
ist,folgtM =Me fu¤rein1(cid:20)i(cid:20)nundMe =f0gfu¤rj 6=i.DamitfolgtauchdieAussagefu¤rUnter-und
i j
Faktormoduln. (cid:3)
10 1.Kapitel.GrundlagenausderDarstellungstheorie
1.3 Radikal und Sockel
WichtigeUntermodulneinesModulssindseinRadikalundseinSockel.UmdieStruktureinesModulsna¤her
zubestimmen,wirdausgehend vondiesenbeidenBegriffenseineRadikal-undSockelreihesowieseineLoe-
wyla¤nge de(cid:2)niert. Diese beiden Reihen erlauben es, mehr Informationen u¤ber den Aufbau eines Moduls zu
erhalten.IndiesemAbschnittseiAeineendlich-dimensionalek-Algebra.
1.3.1De(cid:2)nition
Es sei M ein A-Modul. Der minimale Untermodul von M, dessen Faktormodul halbeinfach ist, hei(cid:223)t das
RadikalvonM.Erwirdmitrad(M)bezeichnet. (cid:3)
1.3.2De(cid:2)nition
EsseiMeinA-Modul.DasiteRadikalradi(M)istde(cid:2)niertalsdasRadikalvonradi(cid:0)1(M),wobeirad0 :=M
ist.DieReihe
M =rad0(M)>rad(M)>(cid:1)(cid:1)(cid:1)>radr(M)=f0g
hei(cid:223)t Radikalreihe von M. Weiter hei(cid:223)t der Faktormodul radi(cid:0)1(M)=radi(M) der ite Kopf von M. Der 1.
KopfvonM wirdderKopfvonM genannt. (cid:3)
1.3.3De(cid:2)nition
Es sei M ein A-Modul. Der gro¤(cid:223)te halbeinfache Untermodul von M hei(cid:223)t der Sockel von M. Er wird mit
soc(M)bezeichnet. (cid:3)
1.3.4De(cid:2)nition
EsseiM einA-Modul.Mande(cid:2)niertdenitenSockelvonM durch
soc (M)=soc (M):=soc(M=soc (M));
i i(cid:0)1 i(cid:0)1
wobeisoc (M):=f0gist.MannenntdieReihe
0
f0g=soc (M)<soc (M)<(cid:1)(cid:1)(cid:1)<soc (M)=M
0 1 l
SockelreihevonM. (cid:3)
1.3.5Satz
EsseiM einA-Modul.DannsinddieLa¤ngenderRadikal-undSockelreihegleich.MannenntdieLa¤ngeder
SockelreiheLoewyla¤ngevonM.Desweiterengilt
radl(cid:0)i(M)(cid:18)soc (M):
i
Beweis:
VergleicheSatz(8.19)ausKapitelIin [18]. (cid:3)
1.3.6Satz
EsseiM einA-ModulundldieLoewyla¤ngevonM.Dannsinda¤quivalent:
1. M hateineeindeutigeKompositionsreihemiteinfachenFaktoren.
2. DeriteKopfvonM isteinfach,fu¤ralle1(cid:20)i(cid:20)l.
3. DeriteSockelvonM isteinfach,fu¤ralle1(cid:20)i(cid:20)l.
Erfu¤lltM einedieserEigenschaften,sonenntmanM uniseriell.
Beweis:
SieheProposition5ausKapitelIIAbschnitt4in [1]. (cid:3)
ZumSchlussdesAbschnittswirdeineFormvonNakayamasLemmaangegeben,dieimpraktischenTeildieser
Arbeitgenutztwird.
1.3.7Lemma
EsseiM einA-Modul.GiltM=rad(M)=hv +rad(M)jv 2M; 1(cid:20)i(cid:20)ni ,danngilt
i i A
M =hv j1(cid:20)i(cid:20)ni :
i A
Beweis:
SieheKorollar(5.3)in [4]. (cid:3)
