Table Of ContentlzJAa(': IF "SV}[TLOSl ". d J
Lt\()d ZJ lI~I,i\)(;lif..L· i 11;tjl:l\ l1J sr-:Jst\ a
Dirc::kwr: Scfik. Zl'PCEV!C
PREDGOVOR
R<:ccnzcnri: Nlhad SuUrCH~, Pc:d.'.;go;k;\ akaJcil1ip u Zenici
Saf~t ZeLle. Bihac
Ova zbirka zadataka namijenjenaje ucenicima pr\Zog razreda srednjih skola.
Hariz /\GH~. TU71a
Zadaci su birani i rasporeaeni tako da se U ok.-vim iste oblasti prvo nalaze sasvim
jednostavni zadaci cije rjesavaoje ne trail veee oapore, a: zatim se nailazi oa neSto
teze i na kraju su zadaci za cije rjdavanje je potreboa posebna "kondicija". Tezi
Korcktor: Auto!
zadaci, po mojoj pmcjeni, oznaceni su zvjezdicom iza oznake zadatka. U drugom
dijelu zbirke za svaki zadatak je data uputa, kompietno rjesenje, ili sarno rezu!tat.
Tchnicki ureJnik' Flr.:rcl DAUTO\'IC
Cjelovita rjesenja su ponudena za vecinu tezih zadataka.
Nadamo se ria ce Zbirka biti od koristi ucenicima koji traie nesto vise od
DTP: Alltor onoga sto naJaze u samim udibeoicima matematike za prvi razred srednjih skola, i
da ce omoguciti dodatno utvraivanje, ponavljanje i samostalno vjezbanje.
St:lInp:.t: DD' cr.A' . T0j.~i(;i
Na kraju, izrazavam posebnu zahvalnost recenzentima koji su detaljno
Tim'::: 2 SUO primj\.nb
pregJeJali rukopis, provjeriti rezultate vecine zadataka i svojim primjedbama i
prijedlozima znatno doprinijeli podizanju kva!iteta zbirke.
~~lP_ PllOI;~~~~iji
. .. u
:<:<.l,'II.d:l.1 1l1.'. I\~I./.,lk.d':.I blbilotd. . a
Il I"'Ti~ I H~f-';CgJJ\ 1\\(, S.lrJjCYll Autor
I15 1 .(0 7.) J.) I.07 !i.I·)·
I !-It ~K1C. Adem
I
lbil k~\ mJ.I[JkJ i7. matCIll.Hikc Z.l 1_ razrcu
i ~[uhjih ;knLI I .. \<.kll\ HlI~bc -S;!f;ljCVO :
I SI i~l!\hl. ZUfU. -26--1 str g:Jf pnkui : 2--1
len1
""V." ".I'
[' ~,k:}::;,' \ lin!{!.,: :'. c' i\Jll~~. ~llilurc i 5fwr~.\. n.t QSI\{l\ II od('br~:1jJ \,ij~~a z:.. (\d<lbir
\hi,krul.J \,J (); i!~ :01'1 i!,,,!inc:. broj 0.1-3~-3':o}~ 02 <'uohrii() jr ')' ~J UJ::b~T~lk n l!po(rc~\1
""""""",,,.1'
S,r,'o'" j~ zJ)1ra:liod -;\".1].." k(TI;~uj~. 'JiTHW!:.l\ Jilj~ 1 ud;'bCltib [.e~ oli'_lbrmj.1 lzdavilCJ
\;, . !";l~:I.J knFi:Jn:~. \l1'.l:W/J\ ~!lj~ i p~c,LIJ\ IjJ k:1' tenD d;eb
IStP; 995S-10-57X-O
3
1. OSNOVNI POJMOVI MATEMATICKE LOGIKE
1.1. Sta je iskaz?
1.2. Kaje od slijedecih recenica su iskazi:
a) 5t3 ~ 8 b) 17 jt prolt broj G) 5v~ki pamn broj jt dj()ljinrr Z
d) Stranice kvadrata sujednake e) x-5 ~ 20
1.3. Odrediti istinltosnu vrijednost datog iskq.za:
a) -3 je prirodan broj. b) 7 je prost broj. c) 3-4 = 4-32
d) 2+5 = 5+2 e) (_1)5= 1 ,. f) Kvadratje pravougaonik.
1.4. Ako je p(x): 2x2-4<3, odrediti istinitosne vrijednosti:
a) ,(p(l)) b) ,(p(2» c) ,(prO»~ d) T(p(-!))
1.5. Sta je konjunkcija iskaza?
1.6. Formiraj tablicu istinitosti konjunkcije iskaza p i q.
1.7. Dati su iskazi p i q. Napis] iskaz pAq, ako!je:
a) p: 2 > 3 , g: 1+0 = I
b) p: Dijagonale pravougaonika slljednake.
q: Dijagona\e pravougaonika se polovc.
1.8. Odrediti istinitosnu vrijednost date konjunkcije:
a) (1+1 =3)"(2+5~7) b) (5<S),,(4>2) c) (1<7)".(-2<3)
1.9. Staje disjunkcija dva iti viSe iskaza:
1.1 o. Formiraj disjunkciju pvq, datih iskaza pig, aka je:
a) p: 2=1+1, q: 3+0=30 b) p: -6<2, g: -3-2 ~-5
1.11. Sastavi istinitosnu tab lieu disjunkcije. . C!~,
1.12. Odrediti istinitosnu vrijednost\ijate disjunkcije:
a) (2J=S)v(l~5)b) (1)II)v(3+3~6) c) (l2:4~6)v(J¥15)
1.13. Koji iskaz nazivamo negacija datog iskaza?
Ll4. Sastavi tablicu istinitosti negacije.
1>
1.15. Datje iskaz p. Odredi negaciju iskaza P 'aka je:
a) p: 3-7=4 b) p: l+l~2 c) p: Traugaoje k,adrat.
16. Odredi istinitosnu vrijednost datog iskaza:
a) l(1~I) b) l(l+1~3) c) 1(5)7) dJ 'iI-2~:;)
17. Izracunaj:
IT 11
a) A-L b) TvJ_ c) -Lv
Sastaviti istinitosne tab lice za date slozvne iskaze
(p, q i f.SU ma kakvi iskazi):
US.a) pvp b) pvq c) (pvq)vr d) pv(q'Jr)
1.19.a) p"p b) P,\q c) (pAq)M d) P,\(qM)
1.20.a) (p"q)vr h) (pvr) ,,(qvr) c) p"(qvr) d) p~.( q-,r)
1.21. Sta je implikaeija iskaza A i iskaza B?
1.22. Sastavi istinitosnu tablieu implikaeije (A=>B). 1.40. 5taje tautolagija?
1.41. Pomocu isiinitosriih tabliea utvrdi koji ad slijedecih sJoze~ih iskaza su 1
tautologije: a) (pvp) = p \:J'). (pA lp) =? pc) (p=q) <=> (lq=> .p)
1.23. Fonniraj implikaciju p => q, datih iskaza p i q, ako je:
1.42. Do,kazi d", su sIijedeci slozeni iskazi tautologije:
a) p: xEN; q: XEZ b) p: x>5. q: x>-3 e) p: 4+I~S, q: 2·0~O
a) (pAq)Af ¢> pA(qAf) b) (pvq)vr <=> pv(qvr)
1.24. Odrcdi istinitqsnu vrijcdnost date implikacije:
=> c) pv(qAf) <=> (pvq)A(pvr) d) pA(qvr) C> (pAq)V(pAr)
a) xEN XEQ b) XEZ => XEQ
e) (pVq)Ap <=> p f) (pAq)Vp <=> p
c) x>O => x>-l d) 1+3~5 => 3>7
1.43. Dokazati istinitost slijedecih (formula) iskaza (De Morganovi zakoni)!':
(p
Izracunaj: a) l(PAq) <=> clpvl q) b) p v q <=> A ;:;)
1.25.a) l T =>.1 b) T=>l.l c) (lTA.1) =>.1 d) T => (..LA l.1) 1.44. Dokazati istinitost slijedeCih formula:
1.26.a) l (T=> T)v.1. b) (.l=> T)A l.l c) clT=>.l) => T d) C-L=> T)=>( l.iA.l) a) l(pAlp) b) l(lp)<=>p c) «p=>q)A(q=>r» => (p=?r)
1.27. Kako definisemo ekvivaleneiju dva iskaza? Iskazi rijecima slijedece iskaze:
1.28. Sastavi istinitosnu tab lieu ekvivaleneije iskaza p i q. l.45.a) (3XEN) x<7 b) (3XEZ) x>O c) (3XEN) x+I~IO
1.29. Formiraj ekvivalcnciju datih iskaza A i B: d) (3XEN) (x=7 v x> II) e) (3XEZ) (x~O) f) (3!xEN)(x+S~9)
a) A: 3<5, B: 2-1~3 b) A: 2'~4, B: (_1)3~_1 1.46.a) ('\IxER) x'>-2 b) ('\Ix, YER) x+ry+x c) ('\Ix EN) x~x
1.30. Odredi istinitosnu vrijednost date ekvivalencije: d) ('\IxEN) x>O e) (Vx,YER) x-r-(Y-x) t) ('\Ix)(xEN =? xEl)
a) (1=5) <=> l(2<3) b) l(5 ~4+1) <=> (6)9) 1.47.a) (ltxEN)(3YEZ) x-y>O b) ('\IXEQ)(ltYEZ) x'+y';o;O
l..L
1.31. Izracunaj: a) (TAT)o.1 b) (.l=>T) 0 c) (ITv.l) <=> T c) ItxEN)(:J!YEZ) x+rll d) ('\IxEZ)(3IYEQ) x-2y~O
1.32. Ako je XE {0,3,S:}, odrediti istinitosnu vrijednost slijedecih iskaza:
a) (x+I=4) 0 (x>0) b) (x>1 A x>3) <=> (x>4) Aka su A, B i C rna koji iskazi, a A, B i C njihove negacije) dati
slozeni iskaz F napisati u disjunktivnam obliku:
Sastavi istinitosne tablice datih iskaza:
1.33.a) (pAq) => P b) (p=>q) <=> p e) (lpvq) <=> p 1.48.* F=AvB => AAC
Jr)' :
1.34.a) pv(q => b) (pA lr) <=> (p=>(qAf» e) (p=>q) <=> (lq=> lp)
1.50* F=(BACV(AAB»v(A,\B => BAC)v(AAC) Q(C AB)t-,(A.~B)
Popuniti date tabliee za date vrijednosti varijable x: l.51.* Ako su Ai B rna koji iskazi i slozeni iskaz F(A, B) odreden slUedecom
tabelom, napisati F(A, B) u obliku fannule":
1.35;-.'_ _____' -;~~-~~--~~~-~-~-~~ Bl
b)
~-4-"x l~g~E3 r-~-'--~-'~~=-
!f-,-(x-+-I =>-X->-7)-If-._""-i'-+I-,0'.J1f-"-3 +1--,,5'--lt ..I ._1 IC 'r' A f----~ I
g : o F(AI,
1.36.;-. _______
± DfTl.w I o I O·
f---~_x"_'_·_.~ ..:c'L...l1_2___.l.1_=__~ 110 I I
L[_ -5 7 1 o 0
«(X>3)=>(x-l'"1) 0 x<4). ~ ~L.-J L_~'c--c---'-'_---'-~ ~
L----'_-L._.l i O.J
1.37. - .
1 52 *a) b)
1~)=->(x+Ix~ 2)<=>x<41) .1 -3 1 :4.1- 1 5 1 7 DJLl~JIJ , A B F(AoBq A B FCA, B) I
0 0 0 0 I i
1.3 8;--.- ---'--------,---:-...-cc-r-. 0 I I 0 I I I
~I)V(X-l~;)) I R_5_1'IL_6 ----,--I _ll_IL...1.3. .JI_I9 I 0 I I 0 0 J
<=> x>5) -I . _ ...J1 I I 0 1 I I 0
1.39;.-'_ ___
I-I
Il ,«(x<2)A(x+2x-3 » => x<l).1 -3 . JJ 0 I. .11 2I"" ANucg\talsctaln1 ~i sDkea zt jvelo orgzan!a~ c(e1n8 0s6a . 0~, a1 8ta?c Ia.n) -saj r1 .s t,otsli mattmatiCar i logica,
7
6
I'
!
!, 1.53.' Ako su A, B i C ma koji iskazi, a slozeni iskaz F(A, B, C) odreden Dati su skupaYi A i B. Odrediti uniju AUB aka je:
I datom tabelom, napisati F(A, B, C) u obliku formule: 2.17.a) A= (4, -II, IS), B = {O, -3, 4, 9, IS}
j" a) b) ,
b) A={-8,-4,1l,20}, B={-2,-I,II,20,9}
\i>·1-j A B C FrA,B,Cf A B C F(A, B, c) A={-I4,3,'-i,5,8}, B={-I2,-3,5,8,9)
I 0 l€ 0 0 0 0 0 I
d) A={4,8,I7}, B={-6,8,17,I9}
I 0 II I 0 0 0 I I 0 2.18.a) A = {xl XEN A x<7}, B = (x IX EN A x>2)
0 ! 0 0 0 I 0 I
b) A={xlxENAX<20}, B={xlxENAx<II}
0 J I I 0 I I 0
J c) A= {XIXEZ/,.-3 cx<7j, B={xlxEN0X<10}
I 0 0 I I 0 0 I
. d) A={xlxEZAX<2}, B={xlxE~Ax>l}
I 0 I 0 I 0 I 0
2.19. Ispitaj istinitost datihjednakosti, pri cemuje A' ina koji neprazan skup:
I I 0 I I I 0 I
L I I I I I I I I a) AUA=A b) AUO = A c) 0U0 = 0 d) AU(AU0)= 0
2.20. Sta je presjek skupa A i skupa B?
2.21. Predstavi presjek dva praizvoljna skupa pomocu Venovih dijagrama.
Dati su skupovi A i B. Odrediti presjek AnB'ako je:
2.22.a) A={4,-I3, 17}, B={-4,-3,4,9,17}
2. OSNOVNI ELEMENT! TEORIJE SKUPOVA
b) A = {-6, -4, I, 25}, B = { -2, -4, I, 25, 33}
c) A = {-4, -3, 2, 5, 8}, B = {-5, -3, 5, 8, 9}
2. I. Sta se podrazumijeva pod poj mom "skup"?
d) A={4,-8, 12}, B={-8,8,I2,48).
2.2. Staje element nekog skupa?
2.23.a) A={xlxENAX<9}, B={xlxENAX>3}
2.3. Kako se oznacavaju skupovi?
b) A={xlxENAX<20}, B={xlxENAx<19}
Navredi sve elemente datog skupa A ako je: c) A={xlxEZAx<17}, B={xlxENAX>3}
2.4.a) A = {·5, -4, 0, 4) b) A={a, b, c, x) c) A ""{O, I} d) A ={T,-L} d) A={xlxEZAX<30}' B={xlxENAX>5}.
2.24. Ispitaj istinitost datihjednakosti, pri cemuje A ma koji (neprazan) skup:
2.5.a) A={xlxEN Ax<5} b) A={xlxEZAX+3=10} c) A={xlxENAx+I<4}
a) AnA=A b) An0=A c) 0,,0=0 d) An0=0
2.6.a) A=lxIXEN A x<7 A x,;S) b) A={x I xENAx<I} c) A={x I XEZA-I<x<5}
2.7.a) A =0 b) A = { } c) A = (0) d) A={0, B, N, Z, Q, R} 2.2S.Datisuskupovi:A=,{-7,-I}, B={-1,3,4, 7, II} i C={-8,-7,4, 11, IS}.
2.8. Date s!<upove predstavi pomocu Venovih" dijagrama: Odrediti:a) AuB b) AnC c) (AuB)uC d) (AnB)nC
a) A={-I,O, 1,2,7} b) B={0,8, 11,4,23) c) A={-6,-5,3,4,9, II} e) (AuB)nC f) (AnB)uC g) (AnC)u(BnC) h) «AuB)nC)nA
2.9. K.ada kaiemo daje skup A podskup skupa B i pisemo A<;;;B? 2.26. Dati su Venavi dijagrami (SI.2.26.): '
A _____ B
2. I O. Sta je pravi podskup skupa A ? ~ ~
2. II. Odredili sve podskupove datog skupa A ako je: ~
°_2
a) A={-2,3} b) A={-7,O,6} c) A={1,9, 16,29) d) {-I, 0, 2, 7,100) ,
, I
2.12. Odre.:!;li x ako vdjedi:
, II
a) (-I,4)c{-5,-1,3,x,7) b) (5,7,9}c{-2,3,5,6,9,x)
'4 SI. 2.26.
c) {2,3Ic{-2,2,x} ,
2.13. Staje partitivni skup datog skupa A?
2.14. Odre.:!ili partitivni skup PIA) datog skupa A: Odrediti: a) A b) B c) AuB d) AnB
a)_ A={iJ, I} b) A={O, 3, S} c) A={-9,6, II} d) {a, 0, b, -7, c}
2.15. Stajeunija skupa Ai skupa B? 2.27. Odrediti vrijednost varijable x ako vrijedi:
2.16. Predstavi uniju dva proizvoUna skupa pomocu Venovih dijagrama, a) {_4,1,O}n{_S,x,4,1,11}=(0,1}
b) {5,x,_7}n(_5,2,4,5,-7,18}=(2,5,-7}
j* John Venn -€lIS34 1923.) je eng!eski !ogicar c) {5,S, 14}n{-I,4,5,8, 16}={x,5} d) {l1,O,20,6}n{-4,O,4,5, I} ={x}
9
8
Akaje U~{ 1,2,3,4,5, 6, ~', 8, 9,10, I 1,12,13,14, IS), A=(I, 2, 3, 4. 7},
2~28. Aka je AuB~{ -1,0, 1,2, 3,4, 5, 6), A"B~{l, 2, 6), Auf 6, 8, 9}~ B~{3, 4,5,6, I I, Ill, C~{3, 4, 7, 8, J2, 13, J4), D~{J, 7,14),
odrediti skupove prCI113 :::1 ijedecim datim podacima eX je oznaka za
= {O, 1, 2,4,6, 3, 9} j Bv{ -3,4, 9} = {-3, -I, 1, 2, 3, 4, 5,6, 9},
odrediti skupov~-A i B. komplement ,~l:upa X U odnosu na skup U)
229. Aka je AuB~{a, b,c, d, e, fJ, AnB ~ {a, c, d}, Au{2, b, 8}~{a, b, c, d, 2, 8} i
Bu{-3, e, f}~{a, c, d, e, f, -3}, adrediti skupave A i B. 2.49.a) (Au B)n(DIC); b) (C n 0) n(Ou(Au B));
230. Dati su skura vi ,{\ ~(I, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9) i B ~(2, 4, 5, 6, 8). Odrediti skup X 2<50.a) (Ai10)u(8nl') b) «(AuB)ve)n(BvA» ;
za koji vrijedi: A"X~{3, 5}, BuX~{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. -
251.a) (AvB)ul_::uDJ b) «A n O)v(Bue))nA.
2.31. Kada kazemo da Sll dva skupa di~junktni skupovi?
232. Aka je dat skup A~{O, 1, 2, 3, 4), adredi bar jedan skup kaji je disjunktan 252.a) (A i1 8)n(C i1 0) b) (A u 0) I(E IC)
sa skupom A. 253.a) (AnB)\(CuO) b) «AnE)uO)I(euD)
233. Definiraj razliku skupa Ai skupa B!
2.54.a) «(A n B)" (A u e) nO b) (AuB)u(BnC)
234. Dati su skupavi A ~(l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) i B~{-I, -2, -3, 5, 6, 8, 9). Odrediti:
aJ AlB . b) B\A cJ (AIB)uA d) A,,(AIB) 2<55.a) (AvD)n(BuC) b) (A u B)u(B "C) u(Au 0).
235. Rijesi zadatak 2.34. pomocu Venovih dijagrama.
236. Odrediti AlB, B\Ai (AIB)u(B\A) aka je dato:
a) A~{-3,2,3,4}, B~{1,2,4,5,7,8} Pomocu skupova A, B i C simholima izraziti skup D koji je osjencen na datoj slici:
b). A~{1,5,-7,11}, B~{l,4,5,-7,9}. 2.56. 257.
237_ Koji skup nazivarno slmetricna raz!ika skupa Ai skupa B? A
B
2.3-:8. Odrediti sirnetricnu razliku· A,6.B datih skupova Ai B:
aJ A ~ (-4, -2, 0\ 2, 3,7), B ~ {l, -2, 0, 5, 8}
b) A ~ (O, 2, -1,4), B ~ (3, -4, 2, -7, 9).
2.39_ Simetricne razlike iz prethodnog zadatka predstavi pomocll Venovih
dijagrama.
2A1€ . Dati su skllpovi A ~: {4, 7, -3, 8}, B~{ -I, -2,4, 5, 8}. Odrediti skupove:. c
a) Ai1B .. b) RM c) (Ai1B)i1B d) (MB)i1(A"B)
2ALAko je AcB, koji skup se naziva komplement skupa A 1I odnnsu na skup B.
2.42_ Dati su skupovi A j B. Odrediti kornpiement skupa Au odnosu n3 B (eBA)
aka je: .
B
a) A~{O, 1,2,3} B ~ (-1,0, I, 2, 3, 4, 7, 8) 2.58. 2,59<
A~~~
b) A~ (0, 5) B~{0,1,4,5,6) / ',\\
c) A~(-3,2,3,5J B~ {-5<-3,-1,2,3,4,5, IO}. /
2AY-.. Dokazati tabebrno iii analiticki, daje
a) (AUB) I B ~ AI(AnB) b) (A"B) IC ~ (AIC) n (BlC)
Dokazati da za neprazne skupove A, B i C nijedi:
C )
2.44'«.) (AuB)uC ~ Au(BuC) b) (AnB)nC ~ An(BnC)
2A5.a) (AuB)"C ~ (AnC)u(BnC) b) (AnB)uC ~ (AuC).~.(BuC)
lAo,_ .• ) CI(AuB) ~ (CIA)n(CIB) b) CI(AnB) ~ (CIA)L;(CIB)
2A7_a) An(BlC) ~ (AnB)\(AnC) b) Au(B\C) ~ (AuB)\(CIA)
lAS .• ) (AuB)\(AuC) ~ (B\A)n(B\C) b) (AnB)IC ~ An(BIC)
1 I
10
,1I 2.60. 2.61. A A
B 2.68.
A
i '
8 8
)
0
D
)
7
c
c )
c
2.70. Kako se deftni'e Dekartov (Descartes) " proi~od skupa A i skupa B?
2.71. Odredi AxB ako je dato:
Pomocu skupova A, B, C D izraziti skup E osjencen na datoj slici: a) A={ 10, -7}, B={I, -2} b) A= {I, 5, -3}, B = {4, -2}
2.62. A 2.63. c) A={O, 2, 9}, B={-I, 0, 2} d) A ={6, 3, OJ, B={2, -3, 5}
2.72. Odredi skupove AxB i BxA ako su dati skupoyi A i B:
a) A={0,-2},B {0,3} b) 'A={-I,-5,3},B={3,2}
c) A={I,2,7},B={-2,2,6} d)A={3,0,-6},B={0,1,9}
, 2.73. Koristeci rezultate prethodnog zadatka odrediti istinitosnu yrijednost
8
I jednakosti AxE = BxA . .
o 2.74. Odrediti skupo;e A i B ako je poznat skup AxB:
a) AxB = {CO, 2), (0, -3), (0, 5), (3, 2), (3, -3), (3, 5)}
b) AxB = {(-I, 6), (-1, 8)(-1,10), (5, 6), (5,8)(5,10), (7, 6), (7,8)(7, 10)}.
2.75. StaJe kyadrat skupa A?
c
2.76. Odredi kvadrat datog skupa A ako je:
a) A={O, I} b) A={1,2,3} c) A={0,-1,3,4}
2.64. A 2.77. Dekartov proizvod AxB={(O, 5), (0, 6), (0, 7), (I, 5), (1, 6), (1, 7)) predstayi
pornocu sheme.
2.78. Dekartoy proizvod AxB={(I, 5), (1, 6), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 8), (3, 5),
(3,6), (3,8), (4, 5), (4, 6), (4, 8)} predstavi pomoeu mreze.
B
2.79. Ako su A, B i C ma kakvi skupoyi, dokazati tac~ost jednakosti:
o D a) Ax(BuC) = (AxB)u(AxC) b) Ax(BnC) = (AxB)n(AxC).
2.80. Sta je relacUa izmedu skupa A i skupa B?
2.81. Sta je relacija u skupu A?
2.82. U skupu A={ 1,2,3,4,5,6) dataje reiacUa xpy c> x<y. Napisati reiacUu
2.67. A
p kao skup uredenih parova.
I
2.83. U skupu A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dataje relaelja xpy c> x y (x dijeli y).
Predstayiti relaciju p pomocu tabliee.
2.84. Relacije.iz dva prethodna zadatka predstaviti pomocu grafa relacije.
2.85. Koju relaciju nazivamo relacija ekvivalencije?
D
~. Rene Descartes (! 596 ~ 1650.). puzr,ati francuskl matema!ic::rr i fjlozof
12 13
8) ..
2.86: U skupu cijelifl. brojeva Z definisanaje relacija p 11J. slijedeci nacin: 2 3 4 -5 7
xpy <=:> xq(mod 2)(x i y pri dijeljellju sa ~ O'"jU isti ostatak). 2.103.Zastofunkcijaf:A~A,f~ (7 -5 7 3 8 7 ,gdJeJe
Pokazati daje p re!acija ekvivalenciJe.
2.87. Koju relaciju na~ivamo reladja uredenja (pori'tka): A ~ {2, 3, 4, -5, 7, 8}, nije sirjekcija?
2.88. U skupu A~{l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) definisanaje reheUa p na slijedeci 2.104. Za kakvu funkciju kaielllo daje injektivna funkcija iii injekcija?
nacin: xpy <=> XS;y.
I 2 3 4 5 6)
a) Pokazati daje relacija p relleksivna, antisimet"-icna j tranzitivna 2.I05.Datajefunkeijaf:A-l>B,f= (4 5 6 7 8 9 ,gdjeje
(tj. daje relaeija poretka).
b) Nacrtati gt:afreJacije p. c) Sastaviti tablicu reIacije p. A~{I, 2, 3, 4, 5, 6}, B~{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Utvrditi da lije data [unkcija
2.89. Kada za relaeUu peAxB kazemo daje funkcija sa Au B? injekcija. Zasto ova funkcija nije sirjekcija?
2.90. Nekaje data funkcija f: A -> B, gdje je A~( 1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9}, 2.106. Za kakvu funkeiju kaielllo daje bijekcija?
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9J' .
B ~ (-3, 0, 1,2,6,8, 10), f~ (0 1 -3 2 6 0 8 2 1 . Odrediti: 2.107. Dataje funkcija f: A -l> B, f~ (3 4 5 6 7
a) f(l) b) f(3) c) f(5) d) f(8) e) [(9) A~{ I, 2, 3, 4, 5, 8}, B~{3, 4, 5, 6, 7, IO}. Utvrditi daje data funkcija bijekcija.
2.108. Koja funkcija ima inverznu funkciju?
2 3 4 -5 7 8J
2.91. Nekaje data funkeUa f: A -l> A, f~ (7 _ 5 7 3 8 7 ' gdje je 2.109. Stajc iuverzna funkcija rl(x) (bijektivne) funkeije f(x)?
I 2 3 4 5 8)
A~{2, 3, 4, -5, 7, 8}. Odrediti: a) f(2) b) f(3) e) f(f(2») d) f(f(3») 2.110. Datajc bijekcija f: A -l> B, f~ (3 4 5 6 7 10 ,gdje su
2.92. Dataje funkcija f: N -.;> 2N ,f(x)~2x+2, N~( 1,2,3,4, .,., n, n+l, ... }.
Odrediti domenu i kodomcllu funkcije. A ~ (1,2,3,4,5, 8} i B ~ (3,4,5,6,7, 10}. Odrediti inverznu funkciju [I.
2.93. Na skupu N dataje funkcija f(x) ~ 3x-I. Odrediti : 2.111. Ako je [(x) ~ 3x·l funkeija definisana u skupu realnih brojeva R,
f(l), f(2), f(3), f(IO), f(ll). odrediti njenu inverznu funkciju flex).
2.94. Aka je na skupu Z data funkeija f(x) ~ 5x-7, odrediti 2.112. Odrediti inverznu funkciju [I(X) date fllnkcije [(x) ako je:
[(-3), frO), f(5), f(f(I», f([(·2». c) f(x) = x -3
a) [(x) ~ 3-x b) f(x)~ IOx+5 x+5
23 -4 -5 10)
2.95. Na skupu A~{2, 3, -4, ·5, 10} data jefunkeija f = ( . 2.113. U skupu realnih brojeva R date su funkcije (koje su bijekcije)
32-·5 -4 2
Odrediti f(2), f(-4), f(lO), f(f(3», f(f(-5», f(f(f(2»). formlilallla: [(x) = 3x+ I I. g(x) = -2x-+3. Od re d"I tr:
5
(r'
a) ['I (x) b) g.I(X) c) 0 g-I)(X)
2.96. Dataje funkcija f: R -l> R, f(x) ~ 2x+l, (Rje skup svih realnih brojeva).
Odrediti: a) f(O) b) f(-3) c) f(5) d) f(f(2) 2.114. Aka je f(x) ~ x, odrediti f([([(2000»).
2.97. Ako je data funkeija f(x) = 5x+2 u skupu Z, odrediti x iz uvjeta: 2.115.Akojef(x)=3x-l, odrediti [(x).
a) f(x) ~ 7 b) f(x) = 2 c) f(x) ~ 12 d) f(x) ~-13 2.1 16. Odrediti frO) ako je 3 f(x) + f(5x) ~ x-4.
2.98. Dataje fUllkeija {: Z -.;> Z formulom [(x) ~-5x+1 u skupu 2.117. Dataje funkcija f(x) ~ x-5. Odrediti funkciju g(x) ako je
A = (-3 ,0,2,4,1'1). Odrediti [(A). f(3-g(x» ~ 2x+ 1.
2.99. Aka su date funkeije f: N -.;> N, f(x) ~ x+2 i g: N -.;> N, g(x) = 3x-l, 2.118. Ako jef(x) ~ x+ I i f(3x+2+g(x» ~ x+6, odrediti g(x).
odrediti: 2.119. Ako je [(x) ~ ax'+bx+c, dokazati da za svako x vrijedi:
a) fog b) gof c) fof d) gog f(x+3) - 3f(x+2) + 3f(x+ I) - f(x) ~ O.
2.100. Date su funkeije na skupu Z fonnulama f(x) = x+3 , g(x) ~ 2x-l,
2.120. Staje binarna operacija u skupu A?
h(x)~x-5.0dredlti: a) (fog)oh b) fo(goh) 2.121. Nekaje u skupu N definisana operacija * ovako: x*y x+y+ 3.
=:
2.10 l. U skupu R date su fUllkeijc [ormulama: f(x) ~ x' - 3, g(x) = x2+5. Odrediti:
Odrediti: a) fog b) go f a) 2*3 b) 3*5 c) I *8 d) (2*4)*5 e) (3*4)*(2*5)
2.102. Kakva funkcija se nazi va sirjektivna funkcij!l (sirjekdja)? 2.122. Sta nazivarno algebarska struktura.
15
14
3.21. UtHditi koji od datih brojeva su djeljivi sa 2:
17, 423, 72848, 3564, 82101,IQ403052?
3.22. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog broja sa 3."
3.23. Meau datim brojevima prona,;i one brojeve koji nisu djeljivi sa 3 :
3. SKUPOVI BROJEVA 723, 5004, 90204, 2368, 480015" 4001, 201102.
3.24. Ispitaj djeljivost datih brojeva sa 3 ne izvrSavajuCi operaciju dijeljenje:
3.1. Prirodni brojevi (N ) a) 5460 b) 14040 c)7230012 d) 1013313
3.25. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog broja sa 9.
I!i.
Odrediti zbir prirodnih brojeva: 3.26. lspitaj djeljivost datih brojeva sa 9: .
a) 40410 b) 902403 c) 90079 d) 71901162
aJ 11+24 b) 524+112 c) 317+2246 d) 5784+3425
3.27. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog breja sa 5.
112_0drediti razliku prirodnih brojeva:
3.28. Koji od datih brojeva nisu djeljivi sa 5:
[;a) 38-23 b) 145-119 c) 5147 -3132 d) 2487-439
74300 5425, 14532, 601805, 2503004, ,331105?
3.29. Doka.zi; Prirodan broj je djeljiv sa 5 ako mUje. cifrajedinica djeljiva sa 5.
Odrediti proizvod (produkt) prirodnih brojeva:
3.30. Ako se kvadrat rna kog nepamog broja umanJI zaJedan, dobIvem broJ je
133.a) 8·10 b) 15·100 c) 245·1000 d) 943·10000
djeIjiv sa 8. Dokazati. . .. .
\!:4.a) 15·4 b) 124· 17 c) 735·233 I d) 784453 I
3.31* Dokazatidaje suma prirodnih brojeva od I do. 1000 djeljIva sa brojem 143.
h 3.32.* Dokaii: Ako je bar jedan [aktor pnrodnog bro)a a d)eljIV sa nebm
Koristeci se zakonima asocijacije i komutacije izracunati:
prirodnim brojem, ondaje i broj a djeljiv sa tim prirodnim brojem.
d.5·a) 2+237+8+13 b) 117+459+23+1 I c) 52+4314+18+116
3.33. lspitaj da lije izraz 43·15·37 djeIjiv sa 5. .
3.6.a) 34+112+338+188+162 b) 215+81+245+185+155
3.34. Zbir tri uzastopna prirodna broja uvijekje djeljiv sa 3. DokazatI!
c) 144+731+300+156+169 d) 11+127+500+89+173
3.35. Proizvod dva uzastopna pama broja uvijekje djeljiv sa 8. Dokazati! .
3.7.a) 2-4·5·25 b) 4·19·25 c) 125.4.8.25
3.36. Razlika kvadrata dva uzastopna nepama broja djeljivaje sa 8. Dokazatt!
38.a) ].8·5·25 b) 4·8·25·3 c) 2·8·50· 125· I I
3.37. Dokazati da, ako je zbir tri broja djeljiv sa 6, ondaje i zbir njihovih
[9. IZIacunati vrijednost datog izraza:
kubova djeIjiv sa 6. . ' .. ..
a) (72+6)·5 b) (J 9-11)-4 c) 3{2+53)+(57-43)-2 3.38. Dokazati daje zbir kubova tri uzastopna pnrodna braja djeljlv sa 9.
3.10. Kakav broj nazivamo prostim?
. n3 -n .
3. I I. Odrediti proste [aktore datih brojeva: 3.39.*a) Akoje nEN, tadaje -6-EN. Dokazatr! ,
a) 36 b) 210 c) 770 d) 273 e) 25194
3.12. Kakav broj nazivamo najveci zajedniCki djeHlac datih brojeva? n'-n-J2 . k '1
b) Akoje nE NI ~}, tadaje EN. Do azatl.
n-3
3.13. Odrediti najveci zajednicki djelilac brojeva (NZD):
c) Akoje p prost broj i p>3, dokazati daje broj p'-I djeljiv sa 24.
a) 18 i 54 b) NZD(300, 400)~? c) NZD(120, 240, 330)~?
3. I 4. Kada kaiemo da su dva broja uzajamno prosti brojevi?
3.40. Ako su a i b prirodni brojevi,dokazati daje aq(a+b) paran broj.
3.15. Koji od datih parova brojeva su uzajanmo prosti:
a) 3il2 b) 12i25 c) 99i 16 d) 100i33? 3.41. Dokazati daje za svaki prirodan broj n; izraz n(n'-I)(n'-5n+26) djeIjiv
3.16. Koji broj zovemo najmanji zajednicki sadriilac datih brojeva?
3. I 7. Odrediti najmanji zajednicki sadriilac (NZS) datih brojeva: 3.42. Dsao k12a0za. ti daje izraz n4 + 2n 3+ 1 In , +10n dJ.e.IJ.IV sa 24 za sva k'I p'n.r o d an
a) NZS(3, IS) b) NZS(J2, 8) c) NZS(J4, 15) d) NZS(I I, 23)
~n. , ... '. .
3.18. Koliki je ostatak nakon dijeljenja broja a sa b ako je: 3.43. Dokazati daje izraz n3+3n -0--3 djeljIV sa 48 za svakI neparan broj n.
a) a~7, ~3 b) a~155, ~14 c) a~3425, b~26 d) a~888, b~233? ~4.* Skup svih prostih brajevaje beskonacan. Dokazatt!
3.19. Za svaka dva prirodna broja a i b postoje brojevi q i r tako da vrijedi
a=bq+r. Aka su dati brojevi a i b, odrediti q j t::
a) a=17, ~3 b) a~34, ~27 c) a~345,~45 d) a~12, ~70.
3.20. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog broja sa 10, 100 i 1000.
17
3.2.' Cijeli brojevi (Z) 3.66. * Dokaii da za svaka dva cijela broja a i b vrijedi : la + bl $Ial + Ibl·
3.67. Dokazati: Ako su qva cijela broja djeljiva sa m, ondaje i njihov zbir
Odreditj zbir (razliku) cije lih brojeva:
djeljiv sa m.
.45.a) 3+(4) ; b) -3+(-7) c) -6+11+(-5) d) 4+27+(-30)+(-2) . 3.68. Proizvod dva cUela brojaje djeljiv sa m aka je bar jed an od tih brojeva
~346a) 5-(-6) '. b) --4-(-2) c) -8 -(-7) d) -2-(-11)-3
djeljiv sa m. Dokazati!
f 4 ;.a) -8-(-6)+(-1) b) 14-(-12)-(+22) c) -6-(-24H2-(-I3)
3.69. Dokazati: Ako je cijeli broj a djeljiv sa min, gdje su min uzajamno
prosti, tadaje broj a djeljiv i ,s a mn.
{J .~i.2t Kolika je vrijcdnDst izraz3 x+y-z aka je:
V )
aJ x~-Ly~-2;,z=-3. b) x"'-10 vo2 Z~O c) x~-5.y~-3,z~2 370. Dokazati daje izraz -"-+.':..+.':...cijeli broj za svaki paran broj n.
3.44.0dreditia-ba~oje: " , . 12 8' 24
a a+ I a
a) a=15, b=I9, b) a=56, b=-23, c) a=-9, b=-13.
3.7 L Odrediti sve cijele brejeve a i b za koje vrijedi - + -- ~ - .
b+l b b
-! .Izrac,unat!. vr.ije~nost datog izraza (izvrsavajuci naznacena mnozel~a, sabiranja, * . ' 14x+S . 17x-5 '1' b
QUU ..2 .. L-'1l<1flJa, dlJelJenJa): 3.72. Postoji Ii cijeli broj x za kOJi bi brojevi ~9- I --1-2 '- bl loa
(iSO_a) (-3)-(4) b) (-I}C-I I) c) (-2)·(+9) d) (+8)-(-5)
cijeli?
0:5:,,) 5(-1)(-3) b) (-3)(-7)2 c) (-6) (-2)+(-3)(-S) d) (-3)-(-1)-(-2)(-7) 3.73* Ako funkcija f(x) ~ ax'+bx+c za sve cjelobrojne vrijednosti varijable x
(!.):'\
(-8):(-4) b) (-12):6 c) 28:(-7) d) (-40):(-8) dobija cijele vrijednosti, dokazati da su brojevi c, a+b i 2a cijeli.
()),. 15·(-1):(-3) b) (-12):(-4)·(-2)
oj (-18):(-2)+(-1)-(-8) d) 100(-20)+(-3)
3',5~. ~,ij~sijednacinu: a) x+5=2 b) 17+x=15 c) 35,+x=11
3.5S. Staje apsolutna vrijednost cijelog broja? 3,3. Racionalni brojevi (Q)
3.56. Koji (cijeli) brojevi imaju apsolutnu vrijednost 5?
3.74. Sta su racionalni brejevi?
Odrcdi vrijednost datog izraza:
U.s!",) H b) )241 cJ 1-171 d) /+1441 3.75. KoJ"lod d att' h'bro'J evan"I Jerac' lOnIa an:-3" 4 -54 , -1ISt , --87 , -IISI' , v' -2 .
\2)8.311 PHS) b) 12-51-14-171 c) 14-1S +3)-12 -201+ I 3.76. Sta znaci prosiriti razlomak?
3.59''''1 -1-14 + 31 +[3 -(2-1) +(5 -8)1 b) )-7I+/-3I+1)+IS-ill
Date razlomke prosiriti sa datirn brojem:
3.60."') 11-5IP-101 b) H!·HI3-SI c) /-28+3511-3+81 3.77.a) 54 'sa2. b) 7-2,5 0-3. c) ~I8Is a4.
Rijesiti datujednacinu (sa apsolutnirn vrijednostima): 14
23 -I
3.61 IXi~lb) Ixl~5 cJ Ixl~lO d) !xl~15 3.78.a) ~,sa-l0. b) -,sa-5 c) 9,sa3.
-S -12
e) /+ 2 ~ 6 . f) Ixl-l ~ 7 g) 2/x) +4 ~Ixl +16 h) 7 -Ix/ ~-2 3.79. Date razlomke skratiti sa izabranim cijelim brojem:
64
4 5 24 -16
e)
3.62 .• ) Ix-21~8 ; b) Ix+II~7 c) Ix-41+3~18 d) 5+\x-61~]7 a) - b) ~ c) - d) 4
-56
6 IS 36 2
Ix! '" -x
J .63, Za kojc cijele brojeve X vrijedi :a) ? b) Ixl ~ x ? 3.80 Za svaki dati racionalan broj napisati njegovu reciprocnu vrijednost:
.!. ~ ~
a) b) cJ 25 d) e) 6
Odredi sve cijeJe brojeve x za koje je: 5 7 13 -5
3.64.0) Ixl <2 b) Ixl <I c) Ixl <5 d) Ixl<10
IxJ;>1
3.65 1~>1 b) IXI2>8 c) IXI2>4 d) 00
19
18
Prosirivanjem-datih razlomaka sa odabranim brojevima dovesti razlomke na
zajednicki nazivnik: lzracunati vrijednost datog izraza:
3.8I.a) 5I "'"72 b) 74 '43 c) 8II '45 d) 76 ' 2283 (2+~J4 b) 5{4+~) c) (7-Hs d) 2l(1 6-T25 )
3.82.0) 23 ' 4I ';5; 32' 35"' 7 "76'5"4'3"8 I 17 3 b) 24- ·3 d) 163- ··5·
b) 30 c) d) 5' 15'20 5 4 4
(5-i}6
-12{~-2)
Saberi (oduzmi) date racionalne brojeve (razlomke): b) d)
-+-+-
I 3 571 3 5 I
-4 +-4 c) -6 +-6 +-6 d) 14 14 14 b) ~(2-~) c) (5-J.1~
7 5 4 2 5 8 5 14 13 II 4) 3
c) ---+- d) --+--- i:UI-S)
9 9 3 3 3 23 23 23 (3-n~
b) c)
3.85.a) -2 +-7 --4 b) .J..5. +~~ _2 c) ~_~_ 50 d) .!.! _.J..5. + 2..l. -I)
9 9 9 19 19 19 -31+ 3-1+ 3-1 25 25 25 b) 238 : ( 1+35)\ c) (3. + ~ 1(.3.
d8~) ~+~ b) ~ +lI. c) 20 2 I d) -9 +3- -4 3 4) 2
''--- " 5 3 12 8 27 9 18 II 22 33 II 15 6 4
b) -+_.---
6 23 8 28 3 4 3 4 5 13 26 25 5
b) -+-- c) -+--- d) -----
S 10 20 25 50 75 16 48 64 20)
b) (~+~):(.4._
b) 3-2- c) 8-8- d) I--~ 2 5 9 27
7 3 15 2 1 2 2 I 2
8-+5.1 -10.2- 12--63-:5-
5
b) 2.-2 c) -+10 d) 2._1 3 8 3+ 3 3 11 b)
15 II 5 3.104.*a) I 3 2
8--5- 2-
2 4 3
Pomnozi date racionalne brojeve:
3 1 2 3 I) I
2 3 4 3 c) -2 '5- '1-4 d) ::-~.3..~ ( 28:14+13:22+13.911+4:12.37
5 4 b) 7 4 7 6 II 14 3 -1 3.105.*a) - I 2
67--47·-
16 10 b) 14 25 c) _6 .7- .3-3 d) -9 '-4 '3-0 7 7
25 4 75 7 II 6 14 28 3 II 6143 251
24: ---: -+6-: 9 20: 2-+ 25-: 1--
3.92.a) 6·43- b) 25- 3 c) 10 26 d) 2.23 10 3.106.* 7 2 9 2114 42 + 157 2 7 : 35
53· --22--: 2- 21-: 4---1
3 15 3 9' 3
/_',' Podijeli racionalne brojeve:
[G~ +~})-G+~)l48:G: ~)
(3.9",~) 12 3 b) 27: ~ c) -64 -8 d) .:::32:2
'-.../ 25 5 16 4 27 9 21 3
G~+~:-n54~:H:~~)
2 2 27 5 6 5 .2. 3.107.*
5" 7 7:9 d) -4
3.94.a) b) 16 16 c)
-2 5
3.108. Rijesiti datujednacinu:
12
3.95.a) 25:4 b) ~5: 1 0 c) 6:19; d) 12: -43 b) 4+5x=-47- c) -2x. +·2-I- =3
3.109. Zbir dva racionaln" broja je racionalan loroj. Dokazi!
20 21
