Table Of ContentAndreas Bartholome | Josef Rung | Hans Kern 
Zahlentheorie 
für Einsteiger 
Eine Einführung für Schüler, Lehrer, Studierende 
und andere Interessierte 
Mit einem Geleitwort von Jürgen Neukirch 
7., aktualisierte Auflage 
STUDIUM 
VIEWEG+ 
TEUBNER
Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek 
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der 
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über 
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar. 
Dr. Andreas Bartholome" und Josef Rung unterrichten am Hans-Leinberger-Gymnasium 
in Landshut. 
Anschrift: Jürgen-Schumann-Straße 20, 84034 Landshut 
Dr. Hans Kern unterrichtet am Schyren-Gymnasium in Pfaffenhofen/Ilm. 
Anschrift: Niederscheyerer Straße 4, 85276 Pfaffenhofen 
Online-Service: http://www.andreasbartholome.de 
1. Auflage 1995 
2., überarbeitete Auflage 1996 
3., verbesserte Auflage 2001 
4., durchgesehene Auflage 2003 
5., verbesserte Auflage 2006 
6., überarbeitete und erweiterte Auflage 2008 
7., aktualisierte Auflage 2010 
Alle Rechte vorbehalten 
© Vieweg+Teubner Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Nastassja Vanselow 
Der Vieweg+Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. 
www.viewegteubner.de 
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daher von jedermann benutzt werden dürften. 
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg 
Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin 
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. 
Printed in Germany 
ISBN 978-3-8348-1213-1
Geleitwort 
„Von der Mathematik habe ich nie etwas verstanden!" Wann immer wir Mathe 
matiker uns als Mathematiker zu erkennen geben, wird uns dieses freimütige 
Bekenntnis der Ignoranz serviert, meist im Tonfall  der Genugtuung und mit 
der Gebärde des Triumphes, so als ob man sich damit in die Gemeinschaft der 
normalen Menschen einreiht, denen eine menschliche Seele innewohnt und ein 
warmes Herz in der Brust schlägt. 
An der Mathematik liegt es nicht, dass sie in so misslichem Ansehen steht. Wer 
ihr im echten Sinne begegnet ist, weiß, dass sie eine Welt der Wunder und der 
Schönheit ist, und wird sich vor dem obigen Ausruf ebenso verwahren wie vor 
stolzem Bekenntnis, nicht zu wissen, wer Beethoven ist. So muss es wohl an der 
Art liegen, wie sie unterrichtet wird, die Mathematik. 
Das vorliegende Buch von A. Bartholome , J. Rung und H. Kern setzt die 
sem Zerrbild unserer Wissenschaft die schöne Wahrheit entgegen. Es ist an die 
Schüler und - mit gutem Grund - an die Lehrer des Gymnasiums gerichtet. Ihr 
Gegenstand ist die Zahlentheorie, die „Königin unter den mathematischen Wis 
senschaften". Die Autoren haben für die Schule ein vorbildliches kleines Werk 
geschaffen. Es lebt von dem Wissen erfahrener Lehrer, von der Liebe echter Ma 
thematiker zu ihrem Metier und von einer heiteren Lebendigkeit der Darstel 
lung. Kluge Auswahl und weise Beschränkung des Stoffes zeichnet die Autoren 
als treffliche Lehrmeister aus. Nirgendwo werden „Klappern" zu billigem Erfolg 
herangezogen,  überall handelt es sich um echte und wesentliche  mathemati 
sche Probleme und Ereignisse, die in verständlicher Weise dargestellt werden, 
und von denen man sicher sein kann, sie auch im Bereich moderner Forschung 
anzutreffen. 
Die Darstellung ist in einer schwungvollen, verführerischen Sprache gefasst, die 
im jugendlichen Leser eigene Vorstellung und eigene Phantasie  hervorzurufen 
vermag. Die vielen Aufgaben sind so gestellt, dass sie dem erfolgreichen Bear 
beiter zum echten mathematischen Erlebnis werden können. Er wird später mit 
Freude berichten: „Ich habe einmal die Mathematik verstanden". 
Das Buch ist als ein Addendum zum gewöhnlichen mathematischen Unterricht 
am Gymnasium zu verstehen. Würde dieser Unterricht  von seiner quälenden 
Überladenheit befreit  und auf allen Stufen in dieser Weise geführt,  so könnte 
sich das Bild der Mathematik in der Gesellschaft zum Besseren wenden. 
Regensburg, Dezember 1994  Prof. Dr. Jürgen Neukirch
Vorwort 
„...Was Sie mir von Ihrer Seite wie irn Auftrag von Herrn Euler sagen, ist zweifellos viel 
glänzender. Ich meine das schöne Theorem von Herrn Euler über Primzahlen und seine 
Methode, zu testen, ob eine gegebene Zahl, wie groß auch immer sie sein möge, eine 
Primzahl ist oder nicht. Was Sie sich bemühten, mir über den Gegenstand zu berichten, 
erscheint mir sehr scharfsinnig  und Ihres großen Meisters würdig. Aber finden Sie 
nicht, dass es für die Primzahlen beinahe zuviel Ehre ist, soviel Gedanken über sie 
zu verbreiten, und sollte man nicht Rücksicht auf den verwöhnten Geschmack unserer 
Zeit nehmen? Ich unterlasse es nicht, allem, was aus Ihrer Feder kommt, Gerechtigkeit 
widerfahren zu lassen, und bewundere Ihre großen Geisteskräfte, um die misslichsten 
Schwierigkeiten zu überwinden; aber meine Bewunderung verstärkt sich, wenn das 
Thema zu nützlichen Erkenntnissen führen kann. Ich schließe hierin die gründlichen 
Untersuchungen über die Stärke von Balken ein, von denen Sie sprechen..." 
soweit Daniel Bernoulli in einem Antwortbrief an Nicolaus Fuß, den Assistenten Eulers 
(nach A. Weil). 
Wir werden dennoch nicht über die Stärke von Balken berichten, sondern den 
Primzahlen die Ehre antun. Dazu wollen wir die Leser dieses Buches im Klas 
senzimmer abholen und ins so helle und doch geheimnisvolle Reich der Zahlen 
führen.  Dieses Buch handelt  von dem, was schon die kleinen Kinder  können 
und kennen: vom Zählen und den natürlichen Zahlen 1,2,3  und so weiter. Das 
Buch wurde für die Schulbank geschrieben: für Pluskurse oder Freiwillige Ar 
beitsgemeinschaften  in Mathematik  und  Informatik,  als Anregung für  Jugend 
-  forscht -  Arbeiten oder als Hilfe für das Lösen von Aufgaben  aus dem Bun 
deswettbewerb Mathematik.  (Es wurde in den Schuljahren  1991/92 und  92/93 
in einem  Pluskurs  am  Hans-Leinberger-Gymnasium  in Landshut  verwendet. 
Teile von  ihm  dienten  bei  der  Durchführung  eines  Proseminars  an  der  Uni 
versität  Regensburg.)  Dieses  Buch  möchte  etwas von  dem  spielerischen  und 
experimentellen  Charakter  der  Zahlentheorie  vermitteln,  es wird  zeigen,  wie 
man den Computer sinnvoll einsetzen kann- und es soll verdeutlichen, welche 
Grenzen  diesem  Rechenknecht  gesetzt  sind.  Auch der  Lehrer  und  Liebhaber 
wird sicher einiges Spannendes in dem Buch entdecken.  In der Schule bleiben 
ja leider das Rechnen und die Algebra meist im rein Formalen. Dagegen ist die 
bescheidenste  Geometrieaufgabe  oft  mit  einer  kleinen Erkenntnis  verbunden. 
Auch im Algebraunterricht  könnte das so sein. Es ist ein Unterschied, ob man 
um des Rechnens willen rechnet, oder ob man rechnet, weil man einer aufregen 
den Entdeckung auf der Spur ist. Es ist etwas anderes, die binomischen Formeln 
zu üben um des übens willen, oder ob man mit ihrer Hilfe Erkenntnisse  über 
die Zahlen sammelt. Wir hoffen, der Leser wird hier einiges finden. 
Wer unser  Buch studiert,  soll dabei viel Handwerkliches  mitbekommen,  auch 
Anwendungen  des doch etwas trockenen  Algebrastoffes  lernen  (viele der  über
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300 Aufgaben sind Routine, aber so manche sind sehr schwer und fordern alle 
Kraft und Phantasie!). Sie oder er soll aber auch ein wenig Theorie mitbekom 
men. Denn nur eine gute Theorie zeigt uns, „was dahintersteckt". 
Schließlich -  und vielleicht ist dies das wichtigste -  möge das Buch allen zur 
Erbauung und zum Trost dienen! 
Inhaltlich haben wir uns als Ziel gesteckt, einen wichtigen Primzahltest zu ver 
stehen, wie er von fertigen Computerprogrammen zur Zahlentheorie verwendet 
wird. Dabei gehen wir nicht immer geradlinig auf das Ziel zu, sondern verwei 
len gerne am Wegrand, ja nehmen auch Umwege auf uns, wenn wir dort eine 
bunte Blume zu entdecken meinen. An viel Schönem mussten wir vorübereilen 
und manch Wichtiges (Überlegungen zur Rechenzeit etwa) achtlos liegen las 
sen. Aber der Leser weiß ja, der Mensch ist endlich (besonders die Autoren) 
und muss sich mit dem Unvollkommenen zufriedengeben. Dennoch hoffen wir, 
der Leser wird sich auf dieser Reise über die vielen schönen Kostbarkeiten von 
Herzen freuen. 
Den einzelnen Abschnitten dieser „Reise" haben wir Zitate aus Sonja Kowa-
lewskajas Jugenderinnerungen vorausgestellt und wir würden uns sehr freuen, 
möchte unsere Leserin (Leser) am Ende doch mit Sonja ausrufen: „... ungeach 
tet all der Klagen und des Jammers (ob der Fehler der Verfasser) war die Fahrt 
doch herrlich"(Kowalewski [1968]). Wer sich zu sehr über die Fehler ärgert, mö 
ge an das Gebet der heiligen Theresia von Avila denken: „Herr! Lehre mich die 
wunderbare Weisheit, dass ich mich irren kann". 
Viel Vergnügen bei der Arbeit mit diesem Buch wünschen die Verfasser. 
Andreas Bartholome, Josef Rung, Hans Kern 
Zur sechsten und siebten  Auflage 
Als wir die sechste Auflage vorbereiteten, haben wir uns entschlossen, die Teile 
über das Rechnen mit langen Zahlen und die zugehörigen  Pascalprogramme 
wegzulassen. Wir haben sie durch Mathematik ersetzt. Unter anderem war es 
unser Ziel an ein paar Beispielen das Verallgemeinern zu lehren. Das ist eine 
hohe Kunst, die man nur durch Tun lernen kann. So wie man Singen nur durch 
Singen lernt. Sehr oft wird ja von den zur Zeit allgemeinsten Voraussetzungen 
ausgegangen. Mit diesen werden dann eine Fülle von Sätzen bewiesen und auf 
Seite 93 des Buches kommt das erste Ergebnis, welches man „mit Händen grei 
fen" kann. Erst auf Seite 200 erfährt der gutwillige Leser, das was er eigentlich 
schon immer wissen wollte. Mathematik wird oft von „oben herab" gelehrt. So 
lernen Studenten gleich in der ersten Woche ihres Studiums Körper, Vektor 
räume, Ringe und Kategorien kennen. Keine anderen Beispiele als Q und  E
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sind ihnen bis dahin begegnet. Sie ahnen nicht, was endliche Körper sind. Eine 
spannende Frage zu diesen Begriffen kann ihnen nicht einfallen. 
Wir versuchen an manchen Stellen den Weg „von unten" zu wandern. Wir lernen 
die Primzahlen kennen und den Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung. 
Uns begegnen unendlich viele endliche Körper  Z/pZ, wenn p eine Primzahl 
ist. In einem zweiten Schritt wird gefragt: Kann man ähnliche Argumente in 
einer wenig veränderten Situation auch verwenden. So studieren wir den Ring 
Z[</>] dabei ist <j> die Zahl des goldenen  Schnittes, die Lösung der Gleichung 
x2 — x — 1 =  0. Hier gelten ähnliche Gesetze wie in den ganzen Zahlen, den 
guten alten Freunden. 
So bekommt das Buch zwei Stränge. Einen Lesestrang, der durch Z, die Menge 
der ganzen Zahlen, führt.  Ein zweiter Lesestrang führt  durch %[<j>]  den Ring 
der „goldenen Zahlen". Abschnitte, die sich mit den goldenen Zahlen befassen 
sind mit einem „goldigen" Bildchen verziert. Dieser zweite Weg zeigt sich im 
Rückblick. Man kennt den Verlauf des ersten Weges und sieht so leichter wie 
andere Pfade verlaufen.  Hat  man den zweiten Weg studiert, so erfährt  man 
wieder Neues über die ganzen Zahlen. Neue Fragen nach weiteren Verallgemei 
nerungen tauchen auf. In diesem Büchlein können wir Ihnen nicht nachgehen. 
Für diesen zweiten Lesestrang ist allein Andreas Bartholome  verantwortlich. 
Für alle dort auftretenden Dunkelheiten und Fehler ist nur er zu beschimpfen. 
In der siebten Auflage haben wir einige Fehler beseitigt und versucht manches 
klarer zu schildern. 
Auch haben wir uns entschlossen die Programme etwas an den Rand zu drängen. 
Wir trennen  sie klar ab vom übrigen Stoff. Wen das langweilt  überlese sie. 
Andererseits helfen sie, sich mit wenig Aufwand  eine Fülle von Beispielen zu 
verschaffen.  Als Programmiersprache haben wir Lisp gewählt. Es ist eine sehr 
alte Sprache, die zunächst wegen der vielen Klammern ungewohnt scheint. Aber 
diese Sprache ist sehr nahe an der Mathematik. Alles ist Funktion. Man wird 
nicht durch unklare Begriffe wie Objekte, Klassen etc. abgelenkt. Für das, was 
wir benötigen, reichen jeweils ein paar Zeilen Programm aus. Wir haben nur 
Software verwendet die unter der GNU Lizenz steht. Und zwar clisp und ein 
Computeralgebrasystem  Maxima. Es basiert auf Lisp und ist auch völlig frei. 
Die Programme funktionieren in jedem Betriebssystem. 
Noch eine Bemerkung zu den Aufgaben: Die Fülle und - manchmal - die Schwie 
rigkeit sollen nicht entmutigen. Viele sind zum reinen Üben da. Sie laden zum 
Wandern in der geistigen Landschaft ein. Manche der Aufgaben sollen den Leser 
anregen die Gedanken im Text in leicht abgewandelten Situationen nachzuvoll-
ziehen. Sehr lehrreich  ist es, sich selbst  Aufgaben  zu stellen. Eigene Fragen 
bewegen innerlich mehr. Geduldiger denkt man über sie nach und lernt daher 
am meisten. Andere Aufgaben ragen wie Wände hoch. Sie sind für die Schwin-
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delfreien, die ihre Kraft am Felsen erproben wollen. Wem sie zu steil erscheinen, 
kann und sollte sie als Belebung der Landschaft wahrnehmen und vielleicht erst 
beim zweiten Lesen einen Kletterversuch wagen. 
Auf der Internetseite http://www.andreasbartholome.de/ 
kann der Leser zu einigen Aufgaben  Lösungen und zu manchen Themen des 
Buches Ergänzungen finden. Unsere E-Mail-Adressen sind: 
j osefrungOgmx.de 
[email protected] 
Landshut im Dezember 2009, die Autoren.
Inhaltsverzeichnis 
1  Vollständige Induktion  1 
1.1  Das kleinste Element  1 
1.2  Das Prinzip vom Maximum  10 
1.3  Das Induktionsprinzip  10 
1.4  Zusammenfassung  21 
2  Euklidischer Algorithmus  25 
2.1  Teilen mit Rest  25 
2.2  Stellenwertsysteme  28 
2.3  Größter gemeinsamer Teiler  35 
2.4  Rechnen mit Kongruenzen  44 
2.5  Gruppen und Ringe  50 
2.5.1  Gruppen  51 
2.5.2  Homomorphismen  59 
2.5.3  Ringe  66 
2.6  Geheimniskrämerei  75 
2.7  Primzahlen  80 
2.7.1  Natürliche Primzahlen  80 
2.7.2  Ein kleiner Spaziergang zum Primzahlsatz  93 
2.7.3  Primelemente in anderen Ringen  95 
2.8  Der chinesische Restsatz  101 
2.9  Die Euler-Punktion  113 
3  Der kleine Fermatsche  Satz  122 
3.1  Kleiner Fermat  122 
3.2  Die Ordnung einer Zahl modulo einer Primzahl  127 
3.3  Primitivwurzeln  129 
3.4  Quadratische Reste  135 
3.5  S. Germains Beitrag zum Problem von Fermat  147 
3.6  Verschlüsseln mit dem Kleinen Fermat  151 
3.7  Logarithmieren modulo p  153 
3.8  Einheiten in Primpotenzmoduln  156 
3.9  Fermat in anderen Ringen  161