zadanie_tralalala.pdf (PDFy mirror)

0.02 MB·

Rozważony zostanie naskok dziecka o masie m = 42 [kg] z wysokości z = 0,5 [m] na
1
siedzisko huśtawki o masie m = 8 [kg] i długości liny l = 1,2 [m] zawieszonej na wysokości
2
h = 1,6 [m]. Celem obliczeń jest wyznaczenie maksymalnej siły obciążającej huśtawkę 𝐹.
Maksymalne wydłużenie to x=0,05*l.

Położenie huśtawki względem dziecka w chwili wyskoku.
Rysunek przedstawia zależności długości h, l oraz z względem siebie. Dziecko po
wyskoku na wysokość x znajduje się w punkcie A. W tym punkcie energia potencjalna
dziecka liczona względem podłoża wynosi:
𝐸 = 𝑚 𝑔𝑧
𝐴 1
i stanowi ona całkowitą energię układu w punkcie A (położenia dziecka), który znajduje się w
odległości x od podłoża, gdyż energia kinetyczna w punkcie A wynosi zero.
W punkcie B, podobnie jak w punkcie A, energia kinetyczna jest równa zero. Zatem
energia całkowita układu w punkcie B (gdy dziecko jest już na huśtawce) jest to suma energii
potencjalnej grawitacyjnej dziecka (masa dziecka i huśtawki łącznie to 50kg) oraz energii
potencjalnej sprężystości liny:
1
𝐸 = (𝑚 +𝑚 )𝑔(ℎ−𝑙 −𝑥)+ 𝑘 𝑥2
𝐵 1 2 2 𝑚𝑎𝑥
gdzie:
𝑘 – maksymalny współczynnik sprężystości liny.
𝑚𝑎𝑥
Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej suma energii potencjalnej
i kinetycznej układu w punkcie A i punkcie B jest stała (z pominięciem sił oporu):
𝐸 +𝐸 = 𝐸 +𝐸
𝑝𝐴 𝑘𝐴 𝑝𝐵 𝑘𝐵
Podstawiając do wzoru wartości liczbowe otrzymany zostaje maksymalny
współczynnik sprężystości liny 𝑘 ., gdzie x=0.05l
𝑚𝑎𝑥
1
𝑚 𝑔𝑧 = (𝑚 +𝑚 )𝑔(ℎ−𝑙 −𝑥)+ 𝑘 𝑥2
1 1 2 2 𝑚𝑎𝑥
2𝑔(𝑚 𝑧−𝑚 ℎ+𝑚 𝑙 +𝑚 𝑥−𝑚 ℎ+𝑚 𝑙 +𝑚 𝑥)
1 1 1 1 2 2 2
𝑘 =
𝑚𝑎𝑥 𝑥2
2∙9,81(42∙0,5−42∙1,6+42∙1,2+42∙0,05∙1,2−8∙1,6+8∙1,2+8∙0,05∙1,2)
𝑘 =
𝑚𝑎𝑥 0,05∙1,22
N
=218 [ ]
m

Maksymalna siła obciążająca wynosi:
𝐹 = 𝑘 ∙𝑙 = 218∙1,2 = 261,6 [N]
𝑚𝑎𝑥