Table Of Content(cid:19)
U N I W E R S Y T E T S Z C Z E C I N S K I
GRZEGORZ SZKIBIEL, CZESL AW WOWK
ZADANIA
Z ARYTMETYKI SZKOLNEJ
I TEORII LICZB
SZCZECIN 1999
SPIS TRES(cid:19)CI
Przedmowa...................................................5
Cze(cid:19)s(cid:19)c I { Zadania...........................................7
,
Cze(cid:19)s(cid:19)c II { Rozwiazania....................................51
, ,
1. Podstawowe w lasno(cid:19)sci liczb ca lkowitych.......7 51
1.1. Podzielno(cid:19)s(cid:19)c liczb ca lkowitych......................7 51
1.2. Zasada indukcji matematycznej ................... 8 53
1.3. Dzielenie z reszta................................10 55
,
1.4. Cze(cid:19)s(cid:19)c ca lkowita..................................11 56
,
1.5. Dzielenie z reszta { dalsze w lasno(cid:19)sci..............12 59
,
1.6. Najwiekszy wsp(cid:19)olny dzielnik.....................13 61
,
1.7. Najmniejsza wsp(cid:19)olna wielokrotno(cid:19)s(cid:19)c .............. 15 62
1.8. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki...............16 64
2. Liczby pierwsze..................................17 66
2.1. Pojecie liczby pierwszej..........................17 66
,
2.2. Ile jest liczb pierwszych?.........................17 67
2.3. Wnioski z zasadniczego twierdzenia arytmetyki...18 68
4
2.4. Uwagi o funkcji π(x) ............................21 70
2.5. Twierdzenie Dirichleta...........................22 71
2.6. Liczba dzielnik(cid:19)ow oraz funkcja Eulera............23 73
2.7. Rozk lad na czynniki duz_ych liczb naturalnych....24 75
3. Liczby w r(cid:19)oz_nych systemach pozycyjnych....26 77
3.1. Pojecie pozycyjnego systemu zapisu liczb.........26 77
,
3.2. Wykonywanie obliczen(cid:19) w r(cid:19)oz_nych systemach
pozycyjnych.....................................28 82
3.3. U lamki w r(cid:19)oz_nych systemach pozycyjnych........30 85
4. Algorytm Euklidesa.............................34 89
4.1. Szukanie NWD..................................34 89
4.2. R(cid:19)ownania liniowe................................36 93
4.3. Rozwiazywanie r(cid:19)ownan(cid:19) liniowych ................ 37 94
,
5. Kongruencje......................................39 98
5.1. Podstawowe w lasno(cid:19)sci kongruencji ............... 39 98
5.2. Kongruencje a wielomiany.......................40 100
5.3. Kongruencje a r(cid:19)ownania.........................41 102
5.4. Ma le Twierdzenie Fermata.......................42 103
5.5. Pewne zastosowania twierdzenia Eulera .......... 44 105
5.6. Rozwiniecie okresowe a kongruencje..............46 108
,
5.7. Zastosowania twierdzenia Wilsona ............... 48 109
5.8. Jeszcze jedno twierdzenie o kongruencjach........49 110
Bibliogra(cid:12)a................................................112
PRZEDMOWA
Jeden z wybitnych matematyk(cid:19)ow naszego stulecia, G.H. Hardy
powiedzia l:
Elementarna teoria liczb powinna by(cid:19)c uwaz_ana za jeden
z najw la(cid:19)sciwszych przedmiot(cid:19)ow w poczatkach wykszta lcenia
,
matematycznego. Wymaga ona bardzo ma lo uprzedniej wiedzy,
a przedmiot jej jest uchwytny i znajomy. Metody, kt(cid:19)ore sto-
suje, sa proste, og(cid:19)olne i nieliczne, i nie ma sobie r(cid:19)ownej w(cid:19)sr(cid:19)od
,
nauk matematycznych w odwo laniu sie do naturalnej ludzkiej
,
ciekawo(cid:19)sci1.
Mamy nadzieje, z_e umieszczenie w programie zawodowych
,
studi(cid:19)ow matematycznych takich przedmiot(cid:19)ow jak arytmetyka szkol-
naiarytmetykabedzieokazjadozilustrowanias l(cid:19)owG.H.Hardy’ego.
, ,
Zadania z arytmetyki szkolnej i teorii liczb to skrypt adre-
sowany w pierwszym rzedzie do student(cid:19)ow studi(cid:19)ow zawodowych,
,
kt(cid:19)orzy zetkna sie z teoria liczb w ramach przedmiot(cid:19)ow arytmetyka
, , ,
szkolna i arytmetyka. Poniewaz_ w skrypcie umie(cid:19)scili(cid:19)smy wiele
zadan(cid:19) z olimpiad matematycznych, wiec moz_e on by(cid:19)c przydatny
,
takz_euczniomozainteresowaniachmatematycznych. Polecamynasz
skrypt r(cid:19)owniez_ studentom starszych lat studi(cid:19)ow matematycznych,
zainteresowanym wyk ladem z kryptogra(cid:12)i, poniewaz_ nie da sie stu-
,
diowa(cid:19)c tego przedmiotu bez znajomo(cid:19)sci elementarnej teorii liczb.
Aby na wyk ladzie z kryptogra(cid:12)i szybciej przej(cid:19)s(cid:19)c do realizacji za-
sadniczych hase l, pewne zagadnienia z teorii liczb bedzie moz_na po-
,
1
G.H. Hardy: A Mathematician’s Apology, 1940
6 Przedmowa
zostawi(cid:19)c s luchaczom do samodzielnego przeczytania w niniejszym
skrypcie.
Skrypt sk lada sie z dw(cid:19)och cze(cid:19)sci. W pierwszej cze(cid:19)sci znajduja
, , , ,
sie najwaz_niejsze twierdzenia przypadajace na dany rozdzia l oraz
, ,
zadania do rozwiazania. Natomiast w drugiej cze(cid:19)sci umie(cid:19)scili(cid:19)smy
, ,
szczeg(cid:19)o lowe rozwiazania. Poniewaz_ w nauce matematyki istotna
, ,
rzecza jest umiejetno(cid:19)s(cid:19)c rozwiazywania r(cid:19)oz_nych problem(cid:19)ow, przeto
, , ,
rozwiazania zadan(cid:19) (ze skryptu) nalez_y czyta(cid:19)c dopiero po wielu
,
samodzielnych pr(cid:19)obach wykonania zadania. Cze(cid:19)s(cid:19)c zadan(cid:19) zamiesz-
,
czonych w skrypcie jest pomys lu autor(cid:19)ow, ale znaczna cze(cid:19)s(cid:19)c zosta la
,
zaczerpnieta z literatury, kt(cid:19)orej spis znajduje sie na kon(cid:19)cu skryptu.
, ,
Zadania u loz_one sa w kolejno(cid:19)sci od latwiejszych do trudniejszych,
,
ale najtrudniejsze zadania niekoniecznie znajduja sie na kon(cid:19)cu para-
, ,
grafu. Pomineli(cid:19)smy tez_ stosowane czesto w literaturze oznaczenie *
, ,
dla zadan(cid:19) trudniejszych, poniewaz_ wydaje sie nam, z_e istnieje spora
,
grupa Czytelnik(cid:19)ow, kt(cid:19)orzy zniechecaja sie do pracy nad problemem
, , ,
z ,,gwiazdka".
,
W skrypcie obowiazuje powszechnie stosowana symbolika. Jest
,
ona wyja(cid:19)sniana w poczatkowych fragmentach odpowiednich para-
,
graf(cid:19)ow oraz w tekstach niekt(cid:19)orych zadan(cid:19).
CZES(cid:19)C(cid:19) I { ZADANIA
,
1. Podstawowe w lasno(cid:19)sci liczb ca lkowitych
1.1. Podzielno(cid:19)s(cid:19)c liczb ca lkowitych. M(cid:19)owimy, z_e liczba
ca lkowita m ̸= 0 dzieli liczbe ca lkowita a, jez_eli istnieje taka liczba
, ,
ca lkowita n, z_e m·n = a. Fakt ten zapisujemy m|a. Na przyk lad
3|276, bo 276 = 3 · 92. Je(cid:19)sli liczba m nie dzieli a, co oznacza,
z_e nie istnieje z_adna liczba ca lkowita n, dla kt(cid:19)orej mn = a, to
piszemy m̸|a. Jez_eli m|a, to m(cid:19)owimy tez_, z_e m jest dzielnikiem
liczby a, natomiast liczbe a nazywamy wielokrotno(cid:19)scia liczby m.
, ,
1.1.1. Rozstrzygnij, czy 5|12354, czy 5|12345.
1.1.2. Pokaz_, z_e je(cid:19)sli m|a, to m|(−a).
1.1.3. Uzasadnij, z_e je(cid:19)sli m|a oraz b jest dowolna liczba ca l-
, ,
kowita, to m|ab.
,
1.1.4. Wiadomo, z_e 15|225. Rozstrzygnij, czy 15|675 oraz
czy 15|5775.
1.1.5. Za l(cid:19)oz_my, z_e m|ab dla pewnych liczb ca lkowitych m, a
i b. Czy m musi wtedy dzieli(cid:19)c a lub b?
1.1.6. Pokaz_, z_e jez_eli m|a oraz m|b, to m|a+b i m|a−b.
1.1.7. Wiadomo, z_e 14|784. Pokaz_, z_e 14|770 orazz_e 14|812.
8 Cze(cid:19)s(cid:19)c I { Zadania
,
1.1.8. Wiadomo, z_e 14|784. Czy 7|784? A czy 7|817?
1.1.9. Zgadnij, czy 14|790, a nastepnie sprawd(cid:19)z swoja
, ,
odpowied(cid:19)z biorac pod uwage poprzednie zadanie.
, ,
1.1.10. Wiadomo, z_e 56|2576. Jaka jest nastepna (po 2576)
,
liczba podzielna przez 56?
1.1.11. Wiemy, z_e 7|315. Wypisz wszystkie liczby wieksze od
,
290 i mniejsze od 340, kt(cid:19)ore sa podzielne przez 7.
,
1.1.12. Za l(cid:19)oz_my, z_e m|a+b. Czy oznacza to, z_e m|a i m|b?
A moz_e oznacza to, z_e m|a lub m|b?
1.1.13. Za l(cid:19)oz_my, z_e m|a+b oraz m|a−b. Czy wtedy m|a i
m|b? Jez_eli nie, to czy potra(cid:12)sz sformu lowa(cid:19)c dodatkowe za loz_enia
o m tak, by nastepujace zdanie by lo prawdziwe.
, ,
Je(cid:19)sli m|a+b i m|a−b, to m|a i m|b.
1.1.14. Pokaz_, z_e je(cid:19)sli m|a oraz n|m, to n|a.
1.1.15. Pokaz_, z_e jez_eli m|a i a ̸= 0, to |m| ≤ |a|.
1.1.16. Pokaz_, z_e jez_eli m|a i a|m, to m = a lub m = −a.
1.2. Zasada indukcji matematycznej. Podczas nauki
matematyki w szkole (cid:19)sredniej czesto korzystali(cid:19)smy z tak zwanej za-
,
sady indukcji matematycznej (ZIM). Przypomnijmy sformu lowanie
tej zasady:
Niech T(n) bedzie zdaniem dotyczacym liczby naturalnej n. Jez_eli
, ,
10 T(m ) jest zdaniem prawdziwym, gdzie m jest pewna liczba
0 0 , ,
nalez_aca do N ;
, , 0
20 z prawdziwo(cid:19)sci zdania T(k) (gdzie k ∈ N , k ≥ m ) wynika
0 0
prawdziwo(cid:19)s(cid:19)c zdania T(k +1);
to zdanie T(n) jest prawdziwe dla kaz_dego n ≥ m .
0
Przez N oznaczyli(cid:19)smy tu zbi(cid:19)or liczb ca lkowitych nieujem-
0
nych, czyli zbi(cid:19)or {0,1,2,...}. Podobnie, przez N oznaczymy zbi(cid:19)or
m
wszystkich liczb ca lkowitych wiekszych lub r(cid:19)ownych m, tj. zbi(cid:19)or
,
Podstawowe w lasno(cid:19)sci liczb ca lkowitych 9
{m,m+1,m+2,...}. Stosujacpowyz_szeoznaczeniamoz_emynada(cid:19)c
,
zasadzie indukcji matematycznej nastepujaca posta(cid:19)c:
, , ,
Niech M ⊂ N bedzie zbiorem takim, z_e
0 ,
10 m ∈ M ;
0
20 dla dowolnego k ∈ N , je(cid:19)sli k ∈ M , to k +1 ∈ M .
m
0
W(cid:19)owczas N ⊂ M .
m
0
Zasada indukcji matematycznej jest r(cid:19)ownowaz_na zasadzie mi-
nimum (ZM), kt(cid:19)ora orzeka, z_e w kaz_dym niepustym zbiorze A liczb
ca lkowitych nieujemnnych istnieje liczba najmniejsza. Wykaz_emy
teraz, z_e z ZIM wynika ZM1.
Przypu(cid:19)s(cid:19)cmy, z_e A jest niepustym zbiorem liczb ca lkowitych
nieujemnych, w kt(cid:19)orym nie ma liczby najmniejszej. Niech B
bedzie zbiorem liczb ca lkowitych nieujemnych zde(cid:12)niowanym w
,
nastepujacy spos(cid:19)ob: n ∈ B ⇐⇒ dla kaz_dej liczby ca lkowitej
, ,
nieujemnej m, jez_eli m ≤ n, to m ∈/ A. Zauwaz_my, z_e 0 ∈/ A, bo
w przeciwnym wypadku w zbiorze A istnia laby liczba najmniejsza,
kt(cid:19)ora by loby 0. Zatem 0 ∈ B.
,
Za l(cid:19)oz_my, z_e n ∈ B. Wtedy n + 1 ∈/ A, gdyz_ w przeciwnym
razie n+1 by loby najmniejsza liczba zbioru A. Wynika to stad,
, , ,
z_e skoro n ∈ B, wiec z de(cid:12)nicji zbioru B mamy
,
n ∈/ A, n−1 ∈/ A, ..., 0 ∈/ A.
Zatem w konsekwencji n+1 ∈ B.
Wykazali(cid:19)smy, z_e zbi(cid:19)or B spe lnia za loz_enia ZIM (w drugim
sformul owaniu), wiec B = N .
, 0
Biorac pod uwage de(cid:12)nicje zbioru B, wnioskujemy, z_e A jest
, , ,
zbiorem pustym, co przeczy naszemu za loz_eniu.
1.2.1. Udowodnij, z_e z zasady minimum wynika zasada in-
dukcji matematycznej.
1.2.2. Korzystajac z zasady indukcji uzasadnij, z_e 3|n3 +5n
,
dla dowolnego n ∈ N .
0
1
Przy pierwszym czytaniu Czytelnik moz_e pomina(cid:19)c to uzasadnienie.
,
10 Cze(cid:19)s(cid:19)c I { Zadania
,
1.2.3. Wykaz_, z_e 7 jest ostatnia cyfra liczby 22n+1, gdy n ∈
, ,
N (liczby 22n +1, gdzie n ∈ N nazywamy liczbami Fermata).
2 0
1.2.4. Uzasadnij, z_e 10|22n −6 dla n ∈ N .
2
1.2.5. Wykaz_, z_e 1 jest ostatnia cyfra liczby 24n−5 dla n ∈ N
, ,
(= N ).
1
1.3. Dzielenie z reszta. Jak wiadomo, je(cid:19)sli mamy ustalona
, ,
liczbe ca lkowita m, to nie kaz_da liczba ca lkowita dzieli sie przez m.
, , ,
Na przyk lad 34 nie dzieli sie przez 5, poniewaz_ nie ma takiej liczby
,
ca lkowitej, kt(cid:19)ora pomnoz_ona przez 5 da iloczyn r(cid:19)owny 34. Oznacza
to, z_e gdyby(cid:19)smy chcieli rozdzieli(cid:19)c 34 zeszyty miedzy pieciu uczni(cid:19)ow,
, ,
tak aby kaz_dy otrzyma l jednakowa ilo(cid:19)s(cid:19)c, to nie potra(cid:12)liby(cid:19)smy tego
,
dokona(cid:19)c. Moz_emy jednakz_e da(cid:19)c kaz_demu uczniowi po 6 zeszyt(cid:19)ow
i pozostana nam jeszcze 4. Dzielac 34 przez 5 otrzymujemy zatem
, ,
6 oraz reszte 4. Fakt ten zapisujemy 34 = 5·6+4.
,
Przypu(cid:19)s(cid:19)cmy, z_e mamy dwie liczby ca lkowite n oraz d, przy
czym d ̸= 0. Dzielenie (z reszta) liczby n przez d polega na
,
znalezieniu liczb ca lkowitych q oraz r takich, z_e n = qd+r oraz
0 ≤ r < |d|. Liczbe r nazywamy reszta z dzielenia n przez d,
, ,
a liczbe q niepe lnym ilorazem lub ilorazem cze(cid:19)sciowym tego dziele-
, ,
nia. Oczywiste jest, z_e d|n wtedy i tylko wtedy, gdy r = 0.
1.3.1. Znajd(cid:19)z niepe lny iloraz i reszte z dzielenia
,
(a) 23 przez 3;
(b) 43 przez 4;
(c) 36 przez 12.
1.3.2. Niech n i d beda liczbami ca lkowitymi, przy czym
, ,
d ≥ 1. Korzystajac z zasady minimum wykaz_, z_e istnieje dok ladnie
,
jedna para liczb ca lkowitych q i r taka, z_e n = dq + r, gdzie
0 ≤ r < d.
1.3.3. Pokaz_, z_e kwadrat liczby ca lkowitej nieparzystej przy
dzieleniu przez 8 daje reszte 1.
,
1.3.4. Pokaz_, z_e suma kwadrat(cid:19)ow dw(cid:19)och kolejnych liczb natu-
ralnych przy dzieleniu przez 4 daje reszte 1.
,
