zada~i po analiti~eskoj geometrii. ~astx 1.

64 Pages·2006·0.37 MB·Croatian

kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet
iGUDESMAN k(cid:0)b(cid:0)
zada(cid:0)i po analiti(cid:0)eskoj geometrii(cid:0)
(cid:0)astx (cid:1)(cid:0)
u(cid:0)EBNOE POSOBIE K KURSU (cid:1)aNALITI(cid:0)ESKAQ GEOMETRIQ(cid:2)
kAZANX (cid:1) (cid:2)(cid:3)(cid:3)(cid:4)
pE(cid:0)ATAETSQ PO RE(cid:3)ENI(cid:4)U(cid:0)EBNO(cid:5)METODI(cid:0)ESKOJKOMISSII MEHANIKO(cid:5)
MATEMATI(cid:0)ESKOGO FAKULXTETA kgu
iGUDESMAN k(cid:0)b(cid:0) zADA(cid:0)I PO ANALITI(cid:0)ESKOJ GEOMETRII(cid:0) (cid:5)ASTX (cid:6)(cid:0)
kAZANX(cid:7) (cid:2)(cid:3)(cid:3)(cid:4)(cid:0) (cid:8)(cid:4) S(cid:0)
rECENZENT(cid:9) DOKTOR FIZ(cid:0)(cid:5)MAT(cid:0) NAUK (cid:6)URYGIN w(cid:0)w(cid:0)
u(cid:0)EBNOE POSOBIE PREDNAZNA(cid:0)ENO DLQ STUDENTOW I KURSA MEHANIKO(cid:5)
MATEMATI(cid:0)ESKOGO FAKULXTETA kgu
pREDISLOWIE
w NASTOQ(cid:7)EM (cid:10)pOSOBII(cid:10) PODOBRANY I METODI(cid:0)ESKI RASPREDELENY
ZADA(cid:0)I PO ANALITI(cid:0)ESKOJ GEOMETRII(cid:0)
w NA(cid:0)ALE KAVDOGO PARAGRAFA PRIWEDENY FORMULY(cid:7) OPREDELENIQ I
DRUGIE KRATKIE POQSNENIQ TEORII(cid:7) NEOBHODIMYE DLQ RE(cid:3)ENIQ POSLE(cid:5)
DU(cid:4)(cid:7)IH ZADA(cid:0)(cid:0)
w KONCE KAVDOGO PARAGRAFA PRIWEDENY (cid:11)POSLE (cid:0)ERTY(cid:12) ZADA(cid:0)I DLQ
POWTORENIQ(cid:0) (cid:8)TA OSOBENNOSTX POMOVET PREPODAWATEL(cid:4) W PODBORE ZA(cid:5)
DA(cid:0) DLQ RABOTY W KLASSE I DLQ DOMA(cid:3)NIH ZADANIJ ILI DLQ POWTORE(cid:5)
NIJ PERED KONTROLXNYMI RABOTAMI(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
wEKTORY NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE
wEKTOROM NAZYWAETSQ UPORQDO(cid:0)ENNAQ PARA TO(cid:0)EK(cid:7) T(cid:0) E(cid:0) PARA TO(cid:0)EK(cid:7)
WZQTYH W OPREDELENNOM PORQDKE(cid:0) pERWAQ TO(cid:0)KA NAZYWAETSQ NA(cid:0)ALOM
WEKTORA(cid:7) WTORAQ EGO KONCOM(cid:0) eSLI OBE TO(cid:0)KI SOWPADA(cid:4)T(cid:7) TO WEKTOR
NAZYWAETSQ NULEWYM(cid:0)
mODULEM WEKTORA (cid:0)A(cid:1)B NE RAWNOGO NUL(cid:4)(cid:7) NAZYWAETSQ DLINA OTREZKA
AB(cid:0) mODULX NULX(cid:5)WEKTORA RAWEN NUL(cid:4) PO OPREDELENI(cid:4)(cid:0) eSLI MODULX
WEKTORA RAWEN (cid:6)(cid:7) TO WEKTOR NAZYWAETSQ EDINI(cid:0)NYM(cid:0)
dWA NENULEWYH WEKTORA (cid:0)A(cid:1)B I (cid:0)C(cid:0)(cid:1)D NAZYWA(cid:4)TSQ RAWNYMI(cid:7) ESLI ONI
KOLLINEARNY(cid:7) NAPRAWLENY W ODNU STORONU I IH MODULI RAWNY(cid:0)
sUMMOJ a(cid:13)b WEKTOROW a I b NAZYWAETSQ WEKTOR(cid:7) KOTORYJ STROIT(cid:5)
SQ TAK(cid:9) OT PROIZWOLXNOJ TO(cid:0)KI O OTKLADYWA(cid:4)T WEKTOR a(cid:7) OT KONCA
OTLOVENNOGO WEKTORA a OTKLADYWA(cid:4)T WEKTOR b(cid:0) tO(cid:0)KA O BUDET NA(cid:5)
(cid:0)ALOM WEKTORA a (cid:13) b(cid:7) A KONEC WEKTORA b KONCOM WEKTORA a (cid:13) b(cid:0)
wEKTOROM a(cid:7) PROTIWOPOLOVNYM WEKTORU a (cid:14) (cid:2)(cid:7) NAZYWAETSQ WEK(cid:5)
(cid:0) (cid:2)
TOR(cid:7) KOLLINEARNYJ WEKTORU a(cid:7) IME(cid:4)(cid:7)IJ TOT VE MODULX I NAPRAW(cid:5)
LENNYJ W STORONU(cid:7) PROTIWOPOLOVNU(cid:4) a(cid:0) eSLI a (cid:14) (cid:2)(cid:7) TO a (cid:14) (cid:2)(cid:0)
(cid:0)
sWOJSTWA SLOVENIQ(cid:9)
a (cid:13) (cid:11)b (cid:13) c(cid:12) (cid:14) (cid:11)a (cid:13) b(cid:12) (cid:13) c (cid:11)ASSOCIATIWNOSTX(cid:12)(cid:15)
a (cid:13) (cid:2) (cid:14) a(cid:15)
a (cid:13) (cid:11) a(cid:12) (cid:14) (cid:2)(cid:15)
(cid:0)
a (cid:13) b (cid:14) b (cid:13) a (cid:11)KOMMUTATIWNOSTX(cid:12)(cid:0)
pROIZWEDENIEM (cid:0)a (cid:0)ISLA (cid:0) (cid:14) (cid:3) NA WEKTOR a (cid:14) (cid:2) NAZYWAETSQ WEK(cid:5)
(cid:2) (cid:2)
TOR(cid:7) KOLLINEARNYJ WEKTORU a(cid:7) MODULX KOTOROGO RAWEN (cid:0) a I KO(cid:5)
j j j j
TORYJ NAPRAWLEN W TU VE STORONU(cid:7) (cid:0)TO I WEKTOR a(cid:7) ESLI (cid:0) (cid:1) (cid:3)(cid:7) I W
PROTIWOPOLOVNU(cid:4) STORONU(cid:7) ESLI (cid:0) (cid:2) (cid:3)(cid:0) eSLI (cid:0) (cid:14) (cid:3) ILI a (cid:14) (cid:2)(cid:7) TO
(cid:0)a (cid:14) (cid:2)(cid:0)
(cid:1)
sWOJSTWA UMNOVENIQ WEKTORA NA (cid:0)ISLO(cid:9)
(cid:6) a (cid:14) a(cid:3)
(cid:3)
(cid:0)(cid:11)(cid:4)a(cid:12) (cid:14) (cid:11)(cid:0)(cid:4)(cid:12)a(cid:3)
(cid:0)(cid:11)a (cid:13) b(cid:12) (cid:14) (cid:0)a (cid:13)(cid:0)b(cid:3)
(cid:11)(cid:0) (cid:13) (cid:4)(cid:12)a (cid:14) (cid:0)a (cid:13) (cid:4)a(cid:5)
zada(cid:0)i
(cid:1)(cid:0) wEKTORY (cid:0)A(cid:1)C (cid:14) a I (cid:0)B(cid:0)(cid:1)D (cid:14) b SLUVAT DIAGONALQMI PARALLELO(cid:5)
GRAMMA ABCD(cid:0) wYRAZITX (cid:0)EREZ WEKTORY a Ib WEKTORY (cid:0)A(cid:1)B(cid:3) (cid:0)B(cid:1)C(cid:3) C(cid:0)(cid:0)(cid:1)D
I (cid:0)D(cid:1)A(cid:7) QWLQ(cid:4)(cid:7)IESQ STORONAMI (cid:9)TOGO PARALLELOGRAMMA(cid:0)
(cid:3)(cid:0) w TREUGOLXNIKEABC PROWEDENA MEDIANAAD(cid:0) wYRAZITX WEKTOR
(cid:0)A(cid:1)D (cid:0)EREZ WEKTORY (cid:0)A(cid:1)B I (cid:0)A(cid:1)C(cid:0)
(cid:4)(cid:0) tO(cid:0)KI E I P SLUVAT SEREDINAMI STORON AB I CD (cid:0)ETYREH(cid:5)
(cid:0)B(cid:0)(cid:1)C(cid:0)(cid:0)A(cid:0)(cid:1)D
UGOLXNIKA ABCD(cid:0) dOKAZATX(cid:7) (cid:0)TO (cid:0)E(cid:1)P (cid:14) (cid:5) wYWESTI OTS(cid:4)DA
(cid:1)
TEOREMU O SREDNEJ LINII TRAPECII(cid:0)
(cid:5)(cid:0) dOKAZATX(cid:7) (cid:0)TO SUMMA WEKTOROW(cid:7) IDU(cid:7)IH IZ CENTRA PRAWILXNOGO
MNOGOUGOLXNIKA K EGO WER(cid:3)INAM(cid:7) RAWNA (cid:3)(cid:0)
(cid:6)(cid:0) w TREUGOLXNIKE NAJTI TAKU(cid:4) TO(cid:0)KU(cid:7) (cid:0)TOBY SUMMA WEKTOROW(cid:7)
IDU(cid:7)IH IZ (cid:9)TOJ TO(cid:0)KI K WER(cid:3)INAM TREUGOLXNIKA(cid:7) BYLA RAWNA (cid:3)(cid:0)
(cid:7)(cid:0) iZ TO(cid:0)KI O WYHODQT DWA WEKTORA (cid:0)O(cid:1)A (cid:14) a(cid:3) (cid:0)O(cid:1)B (cid:14) b(cid:0) nAJTI
KAKOJ(cid:5)NIBUDX WEKTOR (cid:0)O(cid:0)M(cid:1)(cid:7) IDU(cid:7)IJ PO BISSEKTRISE UGLA AOB(cid:0)
(cid:8)(cid:0) nA TREH NEKOMPLANARNYH WEKTORAH
(cid:0)A(cid:1)B (cid:14) p(cid:3) (cid:0)A(cid:1)D (cid:14) q(cid:3) A(cid:0)(cid:0)(cid:1)A(cid:2) (cid:14) r
POSTROEN PARALLELEPIPED ABCDA(cid:2)B(cid:2)C(cid:2)D(cid:2)(cid:0) wYRAZITX (cid:0)EREZ p(cid:3) q I
r WEKTORY(cid:7) SOWPADA(cid:4)(cid:7)IE S REBRAMI(cid:7) DIAGONALX(cid:4) PARALLELEPIPEDA I
DIAGONALQMI GRANEJ (cid:9)TOGO PARALLELEPIPEDA(cid:7) DLQ KOTORYH WER(cid:3)INA
A(cid:2) SLUVIT NA(cid:0)ALOM(cid:0)
(cid:9)(cid:0) dAN TETRA(cid:9)DR OABC(cid:0) pOLAGAQ (cid:0)O(cid:1)A (cid:14) a(cid:3) (cid:0)O(cid:1)B (cid:14) b(cid:3) (cid:0)O(cid:1)C (cid:14)
c(cid:3) WYRAZITX (cid:0)EREZ a(cid:3) b I c WEKTORY (cid:0)M(cid:0)(cid:1)N(cid:3) (cid:0)P(cid:1)Q I (cid:0)R(cid:1)S(cid:7) GDE M(cid:3) P
(cid:2)
I R (cid:1) SEREDINY REBER OA(cid:3) OB I OC(cid:7) A N(cid:3) Q I S (cid:1) SEREDINY
SOOTWETSTWENNO PROTIWOPOLOVNYH REBER(cid:0)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:16)
(cid:10)(cid:0) tO(cid:0)KI K I L SLUVAT SEREDINAMI STORON BC I CD PARALLELO(cid:5)
GRAMMA ABCD(cid:0) pOLAGAQ (cid:0)A(cid:0)(cid:1)K (cid:14) k I (cid:0)A(cid:1)L (cid:14) l(cid:7) WYRAZITX (cid:0)EREZ WEKTORY
k I l WEKTORY (cid:0)B(cid:1)C I C(cid:0)(cid:0)(cid:1)D(cid:0)
(cid:1)(cid:2)(cid:0) w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENY MEDIANY AD(cid:3) BE I CF(cid:0)
nAJTI SUMMU WEKTOROW (cid:0)A(cid:1)D (cid:13) (cid:0)B(cid:1)E (cid:13) (cid:0)C(cid:1)F(cid:0)
(cid:1)(cid:1)(cid:0) wEKTORY (cid:0)A(cid:1)B (cid:14) p I (cid:0)A(cid:1)F (cid:14) q SLUVAT DWUMQ SMEVNYMI STO(cid:5)
RONAMI PRAWILXNOGO (cid:3)ESTIUGOLXNIKA ABCDEF(cid:0) wYRAZITX (cid:0)EREZ p
I q WEKTORY (cid:0)B(cid:1)C(cid:3) (cid:0)C(cid:0)(cid:1)D(cid:3) (cid:0)D(cid:0)(cid:1)E(cid:3) (cid:0)E(cid:1)F(cid:3) IDU(cid:7)IE PO STORONAM (cid:9)TOGO (cid:3)ESTI(cid:5)
UGOLXNIKA(cid:0)
(cid:1)(cid:3)(cid:0) dOKAZATX(cid:7) (cid:0)TO WEKTOR(cid:7) IDU(cid:7)IJ IZ PROIZWOLXNOJ TO(cid:0)KI PLOS(cid:5)
KOSTI W CENTR PRAWILXNOGO MNOGOUGOLXNIKA(cid:7) ESTX SREDNEE ARIFMETI(cid:5)
(cid:0)ESKOE WEKTOROW(cid:7) IDU(cid:7)IH IZ (cid:9)TOJ TO(cid:0)KI K WER(cid:3)INAM MNOGOUGOLXNIKA(cid:0)
(cid:1)(cid:4)(cid:0) w PARALLELOGRAMME NAJTI TAKU(cid:4) TO(cid:0)KU(cid:7) (cid:0)TOBY SUMMA WEK(cid:5)
TOROW(cid:7) IDU(cid:7)IH IZ (cid:9)TOJ TO(cid:0)KI K WER(cid:3)INAM PARALLELOGRAMMA(cid:7) BYLA
RAWNA (cid:2)(cid:0)
(cid:1)(cid:5)(cid:0) w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENA BISSEKTRISA AD UGLA A(cid:0)
wYRAZITX WEKTOR (cid:0)A(cid:1)D (cid:0)EREZ WEKTORY (cid:0)A(cid:1)B I (cid:0)A(cid:1)C(cid:0)
(cid:1)(cid:6)(cid:0) w TETRA(cid:9)DRE ABCD DANY REBRA(cid:7) WYHODQ(cid:7)IE IZ WER(cid:3)INY A(cid:9)
(cid:0)A(cid:1)B (cid:14) b(cid:3) (cid:0)A(cid:1)C (cid:14) c(cid:3) (cid:0)A(cid:1)D (cid:14) d(cid:5)
wYRAZITX (cid:0)EREZ (cid:9)TI WEKTORY OSTALXNYE REBRA TETRA(cid:9)DRA(cid:7) MEDIANU
(cid:0)D(cid:0)M(cid:1) GRANI BCD I WEKTOR (cid:0)A(cid:1)Q(cid:7) GDE Q (cid:1) CENTR TQVESTI GRANI BCD(cid:0)
(cid:1)(cid:7)(cid:0) w (cid:0)ETYREHUGOLXNIKE ABCD (cid:11)PLOSKOM ILI PROSTRANSTWEN(cid:5)
NOM(cid:12) POLOVIM (cid:0)A(cid:1)B (cid:14) m(cid:3) (cid:0)B(cid:1)C (cid:14) n(cid:3) (cid:0)C(cid:0)(cid:1)D (cid:14) p(cid:3) (cid:0)D(cid:1)A (cid:14) q(cid:5) nAJTI WEKTOR
(cid:0)E(cid:1)F(cid:7) SOEDINQ(cid:4)(cid:7)IJ SEREDINY DIAGONALEJ AC I BD(cid:0)
(cid:1)(cid:8)(cid:0) nA WEKTORAH (cid:0)O(cid:1)A(cid:7) (cid:0)O(cid:1)B I (cid:0)O(cid:1)C POSTROEN PARALLELEPIPED(cid:0) dOKA(cid:5)
ZATX(cid:7) (cid:0)TO DIAGONALX OD PROHODIT (cid:0)EREZ CENTR TQVESTI E TREUGOLX(cid:5)
(cid:3)
NIKA ABC(cid:0)
(cid:1) (cid:2)
rADIUS WEKTOR
(cid:0)
rADIUSOM WEKTOROM r TO(cid:0)KI M NAZYWAETSQ WEKTOR (cid:0)O(cid:0)M(cid:1)(cid:7) GDE O (cid:1)
FIKSIROWANNAQ TO(cid:0)KA(cid:0)
zada(cid:0)i
(cid:1)(cid:9)(cid:0) dANY RADIUSY(cid:5)WEKTORY r(cid:2)(cid:3) r(cid:1)(cid:3) r(cid:3) TREH POSLEDOWATELXNYH
WER(cid:3)IN A(cid:3) B I C PARALLELOGRAMMA(cid:0) nAJTI RADIUS(cid:5)WEKTOR(cid:0)ETWERTOJ
WER(cid:3)INY D(cid:0)
(cid:1)(cid:10)(cid:0) zNAQ RADIUSY(cid:5)WEKTORYr(cid:2)(cid:3) r(cid:1)(cid:3) r(cid:3) WER(cid:3)INTREUGOLXNIKA(cid:7)NAJTI
RADIUS(cid:5)WEKTOR TO(cid:0)KI PERESE(cid:0)ENIQ EGO MEDIAN(cid:0)
(cid:3)(cid:2)(cid:0) dANY TRI POSLEDOWATELXNYE WER(cid:3)INY TRAPECII A(cid:11)r(cid:2)(cid:12)(cid:3) B(cid:11)r(cid:1)(cid:12)
I C(cid:11)r(cid:3)(cid:12)(cid:0) nAJTI RADIUSY(cid:5)WEKTORY(cid:9) r(cid:4) (cid:0)ETWERTOJ WER(cid:3)INY D(cid:7) r(cid:2) TO(cid:0)(cid:5)
KI PERESE(cid:0)ENIQ DIAGONALEJ I r(cid:2)(cid:2) TO(cid:0)KI PERESE(cid:0)ENIQ BOKOWYH STORON(cid:7)
ZNAQ(cid:7) (cid:0)TO OSNOWANIE AD W (cid:0) RAZ BOLX(cid:3)E OSNOWANIQ BC(cid:0)
(cid:3)(cid:1)(cid:0) dOKAZATX(cid:7) (cid:0)TO PRQMYE(cid:7) SOEDINQ(cid:4)(cid:7)IE SEREDINY PROTIWOPO(cid:5)
LOVNYH REBER TETRA(cid:9)DRA(cid:7) PERESEKA(cid:4)TSQ W ODNOJ TO(cid:0)KE I DELQTSQ W
NEJ POPOLAM(cid:0) dOKAZATX(cid:7) (cid:0)TO W (cid:9)TOJ VE TO(cid:0)KE PERESEKA(cid:4)TSQ I PRQMYE(cid:7)
SOEDINQ(cid:4)(cid:7)IE WER(cid:3)INY TETRA(cid:9)DRA S CENTRAMI TQVESTI PROTIWOPO(cid:5)
LOVNYH GRANEJ(cid:0)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:16)
(cid:3)(cid:3)(cid:0) zNAQ RADIUSY(cid:5)WEKTORY r(cid:2)(cid:3) r(cid:1)(cid:3) r(cid:3) TREH POSLEDOWATELXNYH WER(cid:5)
(cid:3)IN PARALLELOGRAMMA(cid:7) NAJTI RADIUS(cid:5)WEKTOR r TO(cid:0)KI PERESE(cid:0)ENIQ
DIAGONALEJ PARALLELOGRAMMA(cid:0)
(cid:0)
(cid:3)(cid:4)(cid:0) zNAQ RADIUSY(cid:5)WEKTORY rA(cid:3) rB(cid:3) rD I rA (cid:0)ETYREH WER(cid:3)IN
PARALLELEPIPEDA ABCDA(cid:2)B(cid:2)C(cid:2)D(cid:2)(cid:7) NAJTI RADIUSY(cid:5)WEKTORY (cid:0)ETYREH
OSTALXNYH EGO WER(cid:3)IN(cid:0)
(cid:3)(cid:5)(cid:0) rADIUSY(cid:5)WEKTORY (cid:0)O(cid:1)A (cid:14) r(cid:2)(cid:3) (cid:0)O(cid:1)B (cid:14) r(cid:1) I (cid:0)O(cid:1)C (cid:14) r(cid:3) SLUVAT
(cid:4)
REBRAMI PARALLELEPIPEDA(cid:0) nAJTI RADIUS(cid:5)WEKTOR TO(cid:0)KI PERESE(cid:0)ENIQ
DIAGONALI PARALLELEPIPEDA(cid:7) WYHODQ(cid:7)EJ IZ WER(cid:3)INY O(cid:7) S PLOSKOS(cid:5)
TX(cid:4)(cid:7) PROHODQ(cid:7)EJ (cid:0)EREZ WER(cid:3)INY A(cid:3) B I C(cid:0)
(cid:3)
kOORDINATY WEKTOROW
lINEJNOJ KOMBINACIEJ WEKTOROW a(cid:2)(cid:3) a(cid:1)(cid:3) (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3) ak S KO(cid:1)FFICIENTAMI
(cid:2) (cid:1) k
(cid:0) (cid:3) (cid:0) (cid:3) (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3) (cid:0) NAZYWAETSQ WEKTOR
(cid:2) (cid:1) k
(cid:0) a(cid:2) (cid:13) (cid:0) a(cid:1) (cid:13) (cid:5)(cid:5)(cid:5) (cid:13) (cid:0) ak(cid:5)
(cid:2)
lINEJNAQ KOMBINACIQ(cid:7) WSE KO(cid:9)FFICIENTY KOTOROJ RAWNY NUL(cid:4)(cid:9) (cid:0) (cid:14)
(cid:1) k
(cid:0) (cid:14) (cid:5)(cid:5)(cid:5) (cid:14) (cid:0) (cid:14) (cid:3)(cid:7) NAZYWAETSQ TRIWIALXNOJ(cid:0)
wEKTORY a(cid:2)(cid:3) a(cid:1)(cid:3) (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3) ak NAZYWA(cid:4)TSQ LINEJNO ZAWISIMYMI(cid:7) ESLI
SU(cid:7)ESTWUET NETRIWIALXNAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ (cid:9)TIH WEKTOROW RAW(cid:5)
NAQ NUL(cid:4)(cid:9)
(cid:2) (cid:1) k
(cid:0) a(cid:2) (cid:13)(cid:0) a(cid:1) (cid:13) (cid:5)(cid:5)(cid:5) (cid:13) (cid:0) ak (cid:14) (cid:2)(cid:5)
eSLI VE RAWNA NUL(cid:4) TOLXKO TRIWIALXNAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ WEK(cid:5)
(cid:0)
TOROW a(cid:2)(cid:3) a(cid:1)(cid:3) (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:3) ak(cid:7) (cid:9)TI WEKTORY NAZYWA(cid:4)TSQ LINEJNO NEZAWISIMY
MI(cid:0)
uPORQDO(cid:0)ENNAQ PARA e(cid:2)(cid:3) e(cid:1) NEKOLLINEARNYH WEKTOROW NAZYWAETSQ
BAZISOM NA PLOSKOSTI(cid:0)
kOORDINATAMI WEKTORA a PO OTNO(cid:2)ENI(cid:3) K BAZISU e(cid:2)(cid:3) e(cid:1) NAZY(cid:5)
WA(cid:4)TSQ (cid:0)ISLA X(cid:3) Y (cid:7) TAKIE(cid:7) (cid:0)TO a (cid:14) Xe(cid:2) (cid:13) Y e(cid:1)(cid:5)
dWA WEKTORA a (cid:14) X(cid:3) Y (cid:3) b (cid:14) X(cid:2)(cid:3) Y (cid:2) RAWNY TOGDA I TOLXKO
f g f g
TOGDA(cid:7) KOGDA RAWNY IH SOOTWETSTWU(cid:4)(cid:7)IE KOORDINATY(cid:9) X (cid:14) X(cid:2)(cid:3) Y (cid:14)
Y (cid:2)(cid:5)
nEOBHODIMYM I DOSTATO(cid:0)NYM USLOWIEM KOLLINEARNOSTI DWUH WEK(cid:5)
TOROW a (cid:14) X(cid:3) Y (cid:14) (cid:2)(cid:3) b (cid:14) X(cid:2)(cid:3) Y (cid:2) (cid:14) (cid:2) QWLQETSQ PROPORCIONALX(cid:5)
f g (cid:2) f g (cid:2)
NOSTX IH SOOTWETSTWU(cid:4)(cid:7)IH KOORDINAT(cid:9) X(cid:2) (cid:14) (cid:0)X(cid:3) Y (cid:2) (cid:14) (cid:0)Y(cid:5)
(cid:5)
eSLI a (cid:14) X(cid:3) Y (cid:3) b (cid:14) X(cid:2)(cid:3) Y (cid:2) (cid:7) TO
f g f g
a (cid:13) b (cid:14) X (cid:13) X(cid:2)(cid:3) Y (cid:13) Y (cid:2) (cid:3)
f g
a b (cid:14) X X(cid:2)(cid:3) Y Y (cid:2) (cid:3)
(cid:0) f (cid:0) (cid:0) g
(cid:0)a (cid:14) (cid:0)X(cid:3) (cid:0)Y (cid:5)
f g
uPORQDO(cid:0)ENNAQ TROJKA e(cid:2)(cid:3) e(cid:1)(cid:3) e(cid:3) NEKOMPLANARNYH WEKTOROW NAZY(cid:5)
WAETSQ BAZISOM W PROSTRANSTWE(cid:0)
rAWENSTWO(cid:7) KOLLINEARNOSTX(cid:7) PROIZWEDENIE WEKTORA NA (cid:0)ISLO(cid:7) SUM(cid:5)
MA WEKTOROW W PROSTRANSTWE OPREDELQ(cid:4)TSQ ANALOGI(cid:0)NO PLOSKOSTI(cid:7) S
TOJ LI(cid:3)X RAZNICEJ(cid:7) (cid:0)TO W PROSTRANSTWE WEKTOR IMEET NE DWE(cid:7) A TRI
KOORDINATY a (cid:14) X(cid:3) Y(cid:3) Z (cid:0)
f g
Z
Y
e(cid:1)
a
e(cid:3)
a
Y X
e(cid:2)
e(cid:1) e(cid:2)
X
rIS(cid:0) (cid:6)(cid:0)
nEOBHODIMYM I DOSTATO(cid:0)NYM USLOWIEM KOMPLANARNOSTI TREH WEK(cid:5)
TOROW a (cid:14) X(cid:3) Y(cid:3) Z (cid:3) b (cid:14) X(cid:2)(cid:3) Y (cid:2)(cid:3) Z(cid:2) (cid:3) c (cid:14) X(cid:2)(cid:2)(cid:3) Y (cid:2)(cid:2)(cid:3) Z(cid:2)(cid:2) QWLQETSQ
f g f g f g
RAWENSTWO
(cid:0) X Y Z (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) X(cid:2) Y (cid:2) Z(cid:2) (cid:0) (cid:14) (cid:3)(cid:5)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) X(cid:2)(cid:2) Y (cid:2)(cid:2) Z(cid:2)(cid:2) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
zada(cid:0)i
(cid:3)(cid:6)(cid:0) dANY TRI WEKTORA a (cid:14) (cid:2)(cid:3) (cid:17) (cid:3) b (cid:14) (cid:4)(cid:3) (cid:6) (cid:3) c (cid:14) (cid:18)(cid:3) (cid:2) (cid:5)
f g f(cid:0) g f (cid:0) g
nAJTI WEKTORY (cid:6)(cid:12) (cid:2)a (cid:13) (cid:4)b (cid:18)c(cid:15) (cid:2)(cid:12) a (cid:13) (cid:2)(cid:17)b (cid:13) (cid:6)(cid:17)c(cid:0)
(cid:0)
(cid:3)(cid:7)(cid:0) pREDSTAWITX WEKTOR c KAK LINEJNU(cid:4) KOMBINACI(cid:4) WEKTOROW a
I b W KAVDOM IZ NIVESLEDU(cid:4)(cid:7)IH SLU(cid:0)AEW(cid:9)
(cid:6)
(cid:6)(cid:12) a (cid:14) (cid:17)(cid:3) (cid:2) (cid:3) b (cid:14) (cid:4)(cid:3) (cid:18) (cid:3) c (cid:14) (cid:6)(cid:3) (cid:19) (cid:15)
f (cid:0) g f g f (cid:0) g
(cid:2)(cid:12) a (cid:14) (cid:18)(cid:3) (cid:17) (cid:3) b (cid:14) (cid:4)(cid:3) (cid:3) (cid:3) c (cid:14) (cid:6)(cid:20)(cid:3) (cid:21) (cid:15)
f g f(cid:0) g f g
(cid:4)(cid:12) a (cid:14) (cid:8)(cid:3) (cid:2) (cid:3) b (cid:14) (cid:17)(cid:3) (cid:19) (cid:3) c (cid:14) (cid:20)(cid:3) (cid:4) (cid:5)
f(cid:0) g f g f (cid:0) g
(cid:3)(cid:8)(cid:0) uSTANOWITX(cid:7) W KAKIH IZ NIVESLEDU(cid:4)(cid:7)IH SLU(cid:0)AEW TROJKI WEK(cid:5)
TOROW a(cid:3) b I c BUDUT LINEJNO ZAWISIMY(cid:7) I W TOM SLU(cid:0)AE(cid:7) KOGDA (cid:9)TO
WOZMOVNO(cid:7) PREDSTAWITX WEKTOR c KAK LINEJNU(cid:4) KOMBINACI(cid:4) WEKTO(cid:5)
ROW a I b(cid:9)
(cid:6)(cid:12) a (cid:14) (cid:18)(cid:3) (cid:2)(cid:3) (cid:6) (cid:3) b (cid:14) (cid:6)(cid:3) (cid:17)(cid:3) (cid:2) (cid:3) c (cid:14) (cid:6)(cid:3) (cid:6)(cid:3) (cid:8) (cid:15)
f g f(cid:0) g f(cid:0) (cid:0) g
(cid:2)(cid:12) a (cid:14) (cid:8)(cid:3) (cid:17)(cid:3) (cid:2) (cid:3) b (cid:14) (cid:20)(cid:3) (cid:8)(cid:3) (cid:4) (cid:3) c (cid:14) (cid:4)(cid:3) (cid:8)(cid:3) (cid:4) (cid:15)
f g f(cid:0) g f(cid:0) g
(cid:4)(cid:12) a (cid:14) (cid:8)(cid:3) (cid:6)(cid:21)(cid:3) (cid:6)(cid:2) (cid:3) b (cid:14) (cid:21)(cid:3) (cid:2)(cid:17)(cid:3) (cid:6)(cid:8) (cid:3) c (cid:14) (cid:21)(cid:3) (cid:19)(cid:3) (cid:4) (cid:0)
f (cid:0) g f(cid:0) (cid:0) g f g
(cid:3)(cid:9)(cid:0) dAN PARALLELOGRAMM ABCD(cid:0) tO(cid:0)KI E I F DELQT STORONU
AB NA TRI RAWNYE (cid:0)ASTI(cid:7) A TO(cid:0)KI K(cid:3)L I M STORONU BC NA (cid:0)ETYRE
RAWNYE (cid:0)ASTI(cid:0) pRINIMAQ ZA BAZIS WEKTORY (cid:0)D(cid:0)(cid:1)E (cid:14) e(cid:2) I (cid:0)F(cid:0)M(cid:1) (cid:14) e(cid:1)(cid:7)
NAJTI KOORDINATY WEKTORA (cid:0)A(cid:0)(cid:1)K(cid:0)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:16)
(cid:3)(cid:10)(cid:0) dANY TRI WEKTORA a (cid:14) (cid:18)(cid:3) (cid:4) (cid:3) b (cid:14) (cid:2)(cid:3) (cid:3) (cid:3) c (cid:14) (cid:17)(cid:3) (cid:2) (cid:5)
f g f g f g
pODOBRATX (cid:0)ISLA (cid:6) I (cid:7) TAK(cid:7) (cid:0)TOBY TRI WEKTORA (cid:6)a(cid:3) b I (cid:7)c SOSTAWILI
TREUGOLXNIK(cid:7)ESLINA(cid:0)ALO WEKTORA b SOWMESTITX S KONCOM WEKTORA (cid:6)a(cid:7)
A NA(cid:0)ALO WEKTORA (cid:7)c S KONCOM WEKTORA b(cid:0)
(cid:4)(cid:2)(cid:0) dANY TRI WEKTORA a (cid:14) (cid:18)(cid:3) (cid:19)(cid:3) (cid:2) (cid:3) b (cid:14) (cid:4)(cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:17) (cid:3) c (cid:14)
f g f g
(cid:8)(cid:3) (cid:6)(cid:3) (cid:6) (cid:5) nAJTI WEKTORY (cid:6)(cid:12) (cid:4)a (cid:2)b (cid:13) c(cid:15) (cid:2)(cid:12) (cid:18)a (cid:13)(cid:8)b (cid:13) (cid:17)c(cid:0)
f(cid:0) (cid:0) g (cid:0)
(cid:4)(cid:1)(cid:0) pREDSTAWITX WEKTOR d KAK LINEJNU(cid:4) KOMBINACI(cid:4) WEKTOROW
a(cid:3) b I c W KAVDOM IZ NIVESLEDU(cid:4)(cid:7)IH SLU(cid:0)AEW(cid:9)
(cid:6)(cid:12) a (cid:14) (cid:2)(cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:6) (cid:3) b (cid:14) (cid:18)(cid:3) (cid:19)(cid:3) (cid:3) (cid:3) c (cid:14) (cid:4)(cid:3) (cid:2)(cid:3) (cid:17) (cid:3) d (cid:14) (cid:17)(cid:3) (cid:6)(cid:2)(cid:3) (cid:4) (cid:15)
f g f g f (cid:0) g f (cid:0) g
(cid:2)(cid:12) a (cid:14) (cid:18)(cid:3) (cid:2)(cid:3) (cid:3) (cid:3) b (cid:14) (cid:3)(cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:17) (cid:3) c (cid:14) (cid:8)(cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:6) (cid:3) d (cid:14) (cid:2)(cid:18)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:6)(cid:8) (cid:15)
f (cid:0) g f (cid:0) g f(cid:0) g f (cid:0) g
(cid:4)(cid:12) a (cid:14) (cid:4)(cid:3) (cid:18)(cid:3) (cid:8) (cid:3) b (cid:14) (cid:2)(cid:3) (cid:19)(cid:3) (cid:6) (cid:3) c (cid:14) (cid:6)(cid:2)(cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:8) (cid:3) d (cid:14) (cid:3)(cid:3) (cid:2)(cid:3)(cid:3) (cid:6)(cid:21) (cid:0)
f g f (cid:0) g f g f g
(cid:4)(cid:3)(cid:0) pOKAZATX(cid:7) (cid:0)TO KAKOWY BY NI BYLI TRI WEKTORA a(cid:3) b I c I TRI
(cid:0)ISLA (cid:0)(cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:8)(cid:7) WEKTORY (cid:0)a (cid:4)b(cid:3) (cid:8)b (cid:0)c(cid:3) (cid:4)c (cid:8)a KOMPLANARNY(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:4)(cid:4)(cid:0) dANY (cid:0)ETYRE WEKTORA a (cid:14) (cid:6)(cid:3) (cid:18)(cid:3) (cid:4) (cid:3) b (cid:14) (cid:8)(cid:3) (cid:17)(cid:3) (cid:2) (cid:3) c (cid:14)
f g f (cid:0) (cid:0) g
(cid:7)(cid:8)