Table Of ContentNaziv udžbenika: Zadaci iz linearne algebre
Autori: Dr Zoran Stojaković, redovni profesor Prirodno-matematičkog
fakulteta u Novom Sadu
Dr Ivica Bošnjak, docent Prirodno-matematičkog fakulteta
u Novom Sadu
Recenzenti: Dr Đura Paunić, redovni profesor Prirodno-matematičkog
fakulteta u Novom Sadu
Dr Rade Doroslovački, redovni profesor Fakulteta tehničkih
nauka u Novom Sadu
Izdavači: Prirodno-matematički fakultet, Novi Sad
“SYMBOL”, Novi Sad
Štampa: “SYMBOL”, Novi Sad
CIP – Каталогизација у публикацији
Библиотека Матице срске, Нови Сад
512.64(075.8)(076)
СТОЈАКОВИЋ, Зоран
Zadaci iz linearne algebre / Zoran Stojaković, Ivica Bošnjak. –
Novi Sad : Prirodno-matematički fakultet : Symbol, 2004 (Novi
Sad: Symbol). – 210 str. : graf. prikazi ; 25 cm
1. Бошњак, Ивица
а) Линеарна алгебра – задаци
COBISS.SR-ID 194643719
UNIVERZITET U NOVOM SADU
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET
DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Zoran Stojaković Ivica Bošnjak
ZADACI IZ
LINEARNE ALGEBRE
- drugo izdanje -
NOVI SAD
2005
Sadrˇzaj
1. Vektorski prostori................................................. 5
2. Linearne mnogostrukosti.......................................... 39
3. Unitarni vektorski prostori........................................ 53
4. Linearne transformacije........................................... 79
5. Matrice...........................................................103
6. Polinomne matrice. Karakteristiˇcni koreni i vektori................143
7. Kanoniˇcke forme sliˇcnosti......................................... 189
8. Kvadratne i hermitske forme...................................... 209
1
2
3
Predgovor
Ova zbirka primera, zadataka i problema pripremljena je prema pro-
gramu predmeta Linearna algebra za studente matematike i informatike
Prirodno-matematiˇckog fakulteta u Novom Sadu. Zbirka moˇze biti od ko-
ristiistudentimadrugihfakulteta, presvegatehniˇckih, ekonomskihiostalih
koji koriste metode linearne algebre.
Na poˇcetku svake glave dat je opˇsiran pregled teorije, definicije i teo-
reme ˇcije poznavanje je potrebno za reˇsavanje zadataka koji slede. Ve´cina
zadatakajereˇsena,zanekesudatauputstva,ajedandeojeostavljenˇcitaocu
za samostalno reˇsavanje. Zbirka sadrˇzi i ispitne zadatke iz predmeta Line-
arna algebra, a takod¯e i izvestan broj zadataka iz matematiˇckih ˇcasopisa.
Uzbirkunisuukljuˇcenizadacikojiseodnosenanumeriˇckemetodeline-
arne algebre, a ˇcitaoce koji ˇzele da se upoznaju sa tom oblaˇs´cu upu´cujemo
na knjigu D. Herceg, Z. Stojakovi´c, Numeriˇcke metode linearne algebre -
zbirka zadataka, Grad¯evinska knjiga, Beograd, 1989.
AutorisezahvaljujurecenzentimadrD- uriPauni´cuidrRadetuDoroslo-
vaˇckom na korisnim primedbama.
Novi Sad,
Autori
7. maj 2004.
Predgovor drugom izdanju
U drugom izdanju dodat je jedan broj novih zadataka, a neki zadaci
koji u prvom izdanju nisu imali reˇsenja sada su kompletno reˇseni.
Novi Sad,
Autori
10. novembar 2005.
GLAVA 1
Vektorski prostori
1.1. Neka je (V,+) komutativna grupa, a (F,+,·) polje. V je vektorski
(ili linearni) prostor nad poljem F, ako je definisano preslikavanje F ×V →
V, pri ˇcemu sliku para (α,a) oznaˇcavamo sa αa, tako da za svako α,β ∈
F, a,b ∈ V vaˇzi
(1) α(a+b) = αa+αb,
(2) (α+β)a = αa+βa,
(3) (αβ)a = α(βa),
(4) 1a = a,
gde je sa 1 oznaˇcen neutralni elemenat za mnoˇzenje polja F.
Vektorski prostor V nad poljem F oznaˇcava´cemo i sa V(F) .
Elemente skupa V nazivamo vektorima i oznaˇcavamo ih malim slovima
latinice a,b,c,..., a elemente skupa F nazivamo skalarima i oznaˇcavamo ih
malim grˇckim slovima α,β,γ,....
Vektorski prostor nad poljem realnih (kompleksnih) brojeva nazivamo
realni (kompleksni) vektorski prostor.
1.2. Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Tada za svako α ∈ F,
a ∈ V vaˇzi
(1) α0 = 0 ,
V V
(2) 0 a = 0 ,
F V
(3) (−α)a = α(−a) = −(αa),
(4) αa = 0 ⇔ (α = 0 ∨a = 0 ),
V F V
gde je sa 0 oznaˇcen neutralni element grupe (V,+) (koji se naziva nula-
V
vektor), a sa 0 neutralni elemenat za sabiranje polja F .
F
1.3. Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Podskup W skupa V
je potprostor vektorskog prostora V, ako i samo ako je W vektorski prostor
nad poljem F u odnosu na restrikcije na W sabiranja vektora i mnoˇzenja
vektora skalarom.
5
6 1. VEKTORSKI PROSTORI
1.4. Neprazan podskup W vektorskog prostora V nad poljem F je
potprostor od V ako i samo ako za svako α,β ∈ F, a,b ∈ W
αa+βb ∈ W.
1.5. Uslovizprethodnogstava(1.4)ekvivalentanjesaslede´cimuslovom:
za svako α ∈ F, a,b ∈ W
αa ∈ W ∧ a+b ∈ W.
1.6. Svaki vektorski prostor V(F) ima bar dva potprostora, to su sam
prostor V i tzv. nula-prostor {0}, tj. vektorski prostor koji se sastoji samo
od nula-vektora. Te potprostore nazivamo trivijalnim, druge potprostore,
ako postoje, nazivamo pravim.
1.7. U vektorskom prostoru presek proizvoljne familije potprostora je
potprostor.
1.8. U vektorskom prostoru V(F), vektor v je linearna kombinacija
vektora a ,...,a ako i samo ako postoje skalari α ,...,α takvi da je
1 n 1 n
v = α a +···+α a .
1 1 n n
1.9. Ured¯enun-torku(a ,...,a )elemenatanekogskupaS naziva´cemo
1 n
niz1 elemenata iz S. Da bi se izbegla zabuna, preslikavanje skupa prirodnih
brojeva u S (koje se uobiˇcajeno naziva niz), naziva´cemo beskonaˇcni niz.
1.10. Ako je S neprazan podskup vektorskog prostora V(F), onda
se skup svih linearnih kombinacija vektora iz S naziva lineal (ili linearni
omotaˇc) skupa S i oznaˇcava sa L(S). Dakle,
L(S) = {α a +···+α a | n ∈ N, α ∈ F, a ∈ S}.
1 1 n n i i
Ako je S prazan skup, onda je L(S) = {0}.
Ako je (a ,...,a ) niz vektora vektorskog prostora V, onda je
1 n
L((a ,...,a )) = L({a ,...,a }).
1 n 1 n
Umesto L({a ,...,a }) pisa´cemo skra´ceno L(a ,...,a ).
1 n 1 n
1.11. AkojeS podskupilinizvektoravektorskogprostoraV(F), onda
je L(S) potprostor vektorskog prostora V.
L(S) je najmanji potprostor koji sadrˇzi S.
L(S) je presek svih potprostora koji sadrˇze S.
1Termin,,ured¯enan-torka”jenezgodanzakoriˇs´cenjejersenjimeodred¯ujekolikoele-
menataimaun-torci,ˇstonajˇceˇs´cenijepoznatoilinijebitno. Naprimer,izraz,,...podniz
niza...” se veoma komplikuje kada ga treba formulisati jezikom ured¯enih n-torki.
U literaturi se za ured¯enu n-torku pored termina ,,niz” koriste i termini ,,lista” i
,,sistem”.
1. VEKTORSKI PROSTORI 7
1.12. Ako je S podskup (niz vektora) vektorskog prostora V(F), onda
kaˇzemo da je potprostor L(S) generisan skupom (nizom) S, a elemente S
nazivamo generatorima potprostora L(S).
U specijalnom sluˇcaju, ako je L(S) = V, onda S generiˇse V, a elementi
S su generatori vektorskog prostora V. Ako postoji niz ili konaˇcan skup S
takav da je L(S) = V, kaˇzemo da je vektorski prostor V konaˇcno generisan.
1.13. U vektorskom prostoru V(F) niz vektora (a ,...,a ) je linearno
1 n
zavisan, ako i samo ako postoje skalari α ,...,α , od kojih je bar jedan
1 n
razliˇcit od nule, takvi da je
α a +···+α a = 0.
1 1 n n
Niz vektora koji nije linearno zavisan je linearno nezavisan.
Umesto ,,niz vektora (a ,...,a ) je linearno zavisan (nezavisan)” govo-
1 n
ri´cemo i ,,vektori a ,...,a su linearno zavisni (nezavisni)”.
1 n
1.14. Poredak vektora u nizu ne utiˇce na njegovu linearnu zavisnost
odnosno nezavisnost.
Niz vektora koji sadrˇzi nula-vektor je linearno zavisan.
Niz vektora koji sadrˇzi linearno zavisan podniz je linearno zavisan.
Svaki podniz linearno nezavisnog niza vektora je linearno nezavisan.
Ako su u nizu vektora bar dva vektora jednaka, onda je taj niz linearno
zavisan.
1.15. Bazakonaˇcnogenerisanogvektorskogprostorajenizvektorakoji
je linearno nezavisan i koji generiˇse vektorski prostor.
1.16. Svaki konaˇcno generisan nenula vektorski prostor ima bazu.
1.17. Ako je V(F) konaˇcno generisan nenula vektorski prostor, on-
da svaki niz generatora tog vektorskog prostora sadrˇzi podniz koji je baza
vektorskog prostora.
1.18. U vektorskom prostoru V(F) niz vektora je baza ako i samo ako
je taj niz maksimalan linearno nezavisan niz.
1.19. U vektorskom prostoru V(F) niz vektora je baza ako i samo ako
je taj niz minimalan niz generatora.
1.20. UvektorskomprostoruV(F)nizvektora(a ,...,a )jebazaako
1 n
i samo ako se svaki vektor x ∈ V moˇze na jedinstven naˇcin napisati u obliku
n
X
x = α a , α ,...,α ∈ F.
i i 1 n
1
