Table Of ContentNon-perturbative Effects in field
theory and gravity
Alexander Pritzel
Mu¨nchen 2014
Non-perturbative Effects in field
theory and gravity
Alexander Pritzel
Dissertation
an der Fakult¨at fu¨r Physik
der Ludwig–Maximilians–Universita¨t
Mu¨nchen
vorgelegt von
Alexander Pritzel
aus Schmallenberg
Mu¨nchen, den 2. Juli 2014
Erstgutachter: Georgi Dvali
Zweitgutachter: Cesar Gomez
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 27.11.2014
Zusammenfassung
Nichtperturbative Effekte spielen eine zentrale Rolle fu¨r das Verst¨andnis
der Dynamik von Quantenfeldtheorien, wie z.B. fu¨r Confinement oder den
Zerfall schwarzer Lo¨cher. In dieser Arbeit betrachten wir zwei Systeme
in denen nichtperturbative Effekte eine zentrale Rolle spielen. Im ersten
Teil bescha¨ftigen wir uns mit der Dynamik nichtabelscher Eichtheorien; im
zweiten Teil versuchen wir bestimmte mysterio¨se Eigenschaften schwarzer
Lo¨cher in einem Modell von Dvali und Gomez aufzukla¨ren.
Nichtabelsche Eichtheorien sind ein zentrales Element des Standardmodells
der Teilchenphysik. Viele dynamische Aspekte dieser Theorien sind immer
noch unklar. N = 1 supersymmetrische Yang-Mills Theorien mit Eichgruppe
SU(NC) haben Doma¨nenwa¨lle mit besonderen Eigenschaften. Man erwartet,
dass Eichfelder mit Chern-Simons(CS) Term auf ihrem Weltvolumen leben.
Im ’t Hooft Limes von großem NC verhalten sich diese sehr a¨hnlich zu D-
Branen in Stringtheorie. A¨hnliche Dom¨anenw¨alle werden auch in nicht su-
persymmetrischen Yang-Mills Theorien vermutet. Wir konstruieren ein ein-
faches Modell in dem ein Eichfeld mit CS Term auf einem Doma¨nenwall
lokalisiert ist. Hierzu erweitern wir ein vorheriges Modell von Dvali und
Shifman. Daraufhin leiten wir die Eigenschaften des CS Terms aus Effek-
ten der darunterliegenden mikroskopischen Theorie ab. Dann schauen wir
uns die eigentlich interessante Theorie an. Der neue Teil unserer Unter-
suchung ist hierbei der Fokus auf den topologischen Teil der Yang-Mills The-
orie. Dieser erlaubt es, robuste Aussagen zu machen, obwohl die Theorie
stark gekoppelt ist. Wir konstruieren die effektive Wirkung bei niedrigen
Energien fu¨r die superymmetrische und die nicht supersymmetrische Yang-
Mills Theorie. Wegen der Massenlu¨cke ist dies eine topologische Feldtheorie.
Diese topologische Feldtheorie enkodiert sowohl die Aharanov-Bohm Phasen
in der Theorie als auch die Phasen durch Schnittpunkte von Flussschla¨uchen.
In dieser topologischen Feldtheorie sehen wir, dass die Weltvolumentheorie
vi Abstract
der Dom¨anenw¨alle einen CS Term mit Niveau NC entha¨lt. Dieser CS Term
wurde bereits in vorherigen Arbeiten auf Basis stringtheoretischer Konstruk-
tionen vermutet. Hier geben wir die erste feldtheoretische Konstruktion.
Wir nutzen diese Konstruktion auch um die Unterschiede zwischen super-
symmetrischen und nicht supersymmetrischen Dom¨anenw¨allen zu zeigen.
Danach zeigen wir Verbindungen der beobachtete Effekte zu a¨hnlichen Effek-
ten in kritischer Stringtheorie auf und geben einige Spekulationen inwieweit
das Verhalten dieser Doma¨nenwa¨lle eine Analogie zum fraktionellen Quanten
Hall Effekt habe.
Im zweiten Teil der Arbeit untersuchen wir nichtperturbative Aspekte der
Physik schwarzer Lo¨cher. Hierzu betrachten wir ein Modell von Dvali und
Gomez in dem schwarze L¨ocher als Bose-Einstein-Kondensate (BEC) schwach
wechselwirkender Gravitonen in der N¨ahe eines quantenkritischen Punktes
beschrieben werden. Hier konzentrieren wir uns auf nichtpertubative Eigen-
schaften eines systems attraktiv selbstwechselwirkender nicht relativistischer
Bosonen das als ein vereinfachtes Modell fu¨r Graviton BECs von Dvali und
Gomez vorgeschlagen wurde. In dieser Arbeit betrachten wir dieses System
prima¨r mit einer vollst¨andig nichtperturbativen Methode die exakte Diago-
nalisierung genannt wird. Zun¨achst untersuchen wir Verschra¨nkungseigenschaften
des Grundzustandes des Systems. Hierbei zeigen wir, dass der Grundzustand
in der N¨ahe des quantenkritischen Punktes stark verschra¨nkt ist. Um dies
pra¨zise zu machen fu¨hren wir die sogenannte Fluktuationsverschra¨nkung ein.
Daraufhin berechnen wir diese Gr¨osse zun¨achst in einer Bogoliubov-Analyse
und extrahieren sie dann auch aus der exakten Diagonalisierung. Wir betra-
chten dann die Zeitevolution des Systems. Hier sind wir interessiert daran
ein Analog der vermuteten schnellen Chiffrierung von schwarzen Lo¨chern zu
finden die von Hayden und Preskill vorgeschlagen wurde. Hier beschra¨nken
wir uns auf eine schw¨achere Eigenschaft, sogenanntes schnelles Quanten-
brechen. Wir zeigen, dass in unserem vereinfachten Modell die Quanten-
brechzeit konsistent mit der Zeitskala, die fu¨r das schnelle Chiffrieren im
Kontext schwarzer Lo¨cher vermutet wird, ist. Abschließend zeigen wir auf,
wie diese Resultate in verschiedene Richtungen erweitert werden ko¨nnen.
Abstract
Nonperturbative effects are crucial to fully understand the dynamics of quan-
tum field theories including important topics such as confinement or black
hole evaporation. In this thesis we investigate two systems where nonpertur-
bative effects are of paramount importance. In the first part we study the
dynamics of non-abelian gauge theories, while in the second part we try to
shed light on mysterious properties of black holes using a model proposed
earlier by Dvali and Gomez.
Non-abelian gauge theories are the central element in the standard model of
particle physics and many dynamical aspects remain elusive. N = 1 super-
symmetric Yang-Mills theories with SU(NC) allows for domain walls with
several curious properties. They are expected to have gauge fields with a
Chern-Simons (CS) term living on their worldvolume, while in the ’t Hooft
limit of a large number of colors many of their properties seem reminiscent
of string theoretic D-Branes. Similar domain walls were also conjectured to
be present in non supersymmetric Yang Mills theories. In our work, we in-
vestigate this problem from several points of view. We construct a toy model
of how to localize a gauge field with a CS term on a domain wall extending
earlier work by Dvali and Shifman. We then derive the peculiar properties of
CS terms in terms of effects of the underlying microscopic dynamics. Then
we look at the actual theory of interest. Here the main novelty is the focus
on the topological part of the Yang-Mills theory allowing us to make robust
statements despite working in a strongly coupled theory. We construct the
low energy effective action of both the non-supersymmetric as well as the su-
persymmetric Yang Mills theory, which due to the presence of a mass gap is a
topological field theory. This topological field theory encodes the Aharanov-
Bohm phases in the theory as well as phases due to intersection of flux tubes.
In this topological field theory we see that the worldvolume theory of domain
walls contains a level NC CS term. The presence of this term was already
viii Abstract
conjectured in ealier works based on string theoretic constructions. Here we
give its first purely field theoretical construction. Within this construction
we also illuminate differences between domain walls in the supersymmetric
and non-supersymmetric case.
Lastly we try to relate the effects observed to similar effects in critical string
theories and we also speculate on whether the behaviour of these domain
walls is due to an analog of the fractional quantum hall effect.
In the second part of this thesis we investigate non-perturbative aspects of
black hole physics. Here we consider a model for a low energy description of
black holes due to Dvali and Gomez, where black holes are described in terms
of a Bose-Einstein condensate (BEC) of weakly interacting gravitons near a
quantum critical point. We focus on nonperturbative properties of a system
of attractively self-interacting non-relativistic bosons, which was proposed
as a toy model for graviton BECs by Dvali and Gomez. In this thesis we
investigate this system mostly relying on a fully non-perturbative approach
called exact diagonalization. We first investigate entanglement properties
of the ground state of the system, showing that the ground state becomes
strongly entangled as one approaches the quantum critical point. In order to
make this notion precise we introduce the notion of fluctuation entanglement.
We then compute it in a Bogoliubov analysis and extract it from the exact
diagonlization procedure as well. We also consider the real time evolution of
the system. Here we are interested in finding an analog of the conjectured
fast scrambling property of black holes originally introduced by Hayden and
Preskill. We only consider the weaker notion of quantum breaking and show
that the toy model has a quantum break time consistent with the fast scram-
bling time scale conjectured in the black hole context. We then conclude by
pointing out several possible extensions of these results.
Contents
Zusammenfassung v
Abstract vi
1 Introduction and Outline 1
1.1 Nonabelian Gauge Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Black Holes and Information Paradox . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Branes in Field Theory 9
2.1 Yang-Mills Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Basics of YM theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Axions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Electric and Magnetic Charges in YM Theory . . . . . 19
2.2 Gauge Theories at large Nc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Mesons and Glueballs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Baryons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Large N as a Classical Limit . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4 Large N and θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.5 Summary of large N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Non-Local Operators and TFT . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Non-Local Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Duality Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3 Topological Field Theories . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Localization of Gauge Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 Dvali-Shifman Mechanism . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.2 Localization of CS term . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 TFT for YM-Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
x CONTENTS
2.5.1 Classification by the Choice of Line Operators . . . . . 62
2.5.2 Construction of the TFT . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6 SYM Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.1 Lagrangian density of SYM . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.2 Gluino Condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.7 SYM Domain Walls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.7.1 Exact Domain Wall Tension . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.7.2 TFT for SYM Domain Walls . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.8 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.8.1 Summary of results presented so far . . . . . . . . . . . 89
2.8.2 Interpretation in terms of noncritical string theory . . . 92
3 Bose Einstein Condensates and Black Holes 103
3.1 Classical Black Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.1.1 Schwarzschild Black Holes . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.1.2 Thermodynamics of Classical Black holes . . . . . . . . 106
3.2 Semiclassical Black Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.1 Hawking radiation & information paradox . . . . . . . 110
3.2.2 Scrambling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2.3 Black Holes & Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3 Graviton condensates and Black holes . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4 Attractive Bosons as a Toy Model for Black Holes . . . . . . . 115
3.5 Chaos & Instabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.5.1 A simple quantum mechanical system near an instability121
3.6 Quantum break time in unstable systems . . . . . . . . . . . . 124
4 Papers 127
4.1 CS Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.1 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.3 2+1d Chern Simons Electrodynamics . . . . . . . . . . 128
4.1.4 Dvali-Shifman localization mechanism . . . . . . . . . 129
4.1.5 Induced Chern-Simons Term . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.1.6 Localization of Chern-Simons theory . . . . . . . . . . 130
4.1.7 Magnetic events and confinement . . . . . . . . . . . . 133
4.1.8 Chern-Simons coefficient quantization . . . . . . . . . . 134
4.1.9 Etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1.10 Conclusions and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
