Table Of ContentYAPI STATİ Ğİ
I I
Hasan KAPLAN
Denizli-2013
(İlk Baskı 1999-Gözden Geçirilmekte olan Taslak Kitap)
1
Yapı Statiği 2, Ders Notları- Prof. Dr. Hasan KAPLAN, Pamukkale Üniversitesi ĠnĢaat Mühendisliği Bölümü-Denizli
ÖNSÖZ
Bu kitapta, deplasman yöntemi ile çubuklardan oluĢan taĢıyıcı sistemlerin analizi yer
almaktadır. Çubuklardan oluĢan taĢıyıcı sistem modellerinin sonlu elemanlar yönteminin
çubuk sistemler içi özel uygulaması olan rijitlik matrisi yöntemi ile çözümü hedeflenmiĢtir.
Rijitlik matrisi yöntemi, bir taĢıyıcı sistemin tanımlanmıĢ düğümlerde birleĢen elemanlar ile
modellenmesi ve sisteme etkiyen yükler ile sistemin özellikleri arasında yazılacak iliĢki ile
düğümlerdeki ötelenme ve dönemlerin hesaplanmasına dayanmaktadır. Sistemin bilinmeyen
deplasmanları ile bilinen yükleri arasında iliĢki kuran matrisin oluĢturulması ile çözüm
yapılmaktadır. Kitabın lisans düzeyinde okutulmakta olan YAPI STATĠĞĠ II derslerinde
kaynak alınması beklenmektedir. Bunun yanında Yüksek Lisans düzeyinde de verilen Ġleri
Yapı Analizi konularında da yararlı olabilecektir.
Birinci bölümde, çubuk taĢıyıcı sistemler ve hiperstatiklik dereceleri, ikinci bölümde,
çubuklardan oluĢan taĢıyıcı sistemlerin ve çubukların serbestlik dereceleri yer almaktadır.
Üçüncü bölümde, rijitlik kavramı verilmekte ve çubuklar için rijitlik etki katsayılarının nasıl
elde edildiği verilmektedir. Dördüncü bölümde koordinat dönüĢümü yer almıĢtır. Altıncı
bölümde rijitlik matrisi yöntemi, yedinci bölümde ise çubuklardan oluĢan çeĢitli taĢıyıcı
sistem modellerinin rijitlik matrisi ile çözümü verilmektedir. Sekizinci ve dokuzuncu
bölümlerde kısaca Açı ve Cross yöntemleri ele alınmıĢtır. Ek1‟de yapı analizi için bilinmesi
Ģart olan matrisler ve matrislerle iĢlemler yer almaktadır. Ek2‟de ise çok kullanılan bazı
tablolar verilmiĢtir.
Yapıların taĢıyıcı sistemlerinin analizinde deplasman yöntemine dayalı yazılımlar
kullanılmaktadır. Hiperstatik sistemlerin çözümünün Kuvvet, Cross ve Açı yöntemleri
kullanılabilmektedir. Kuvvet yöntemi, her taĢıyıcı sistem için sistematik olmadığından
programlamaya elveriĢli değildir. Bir takım basitleĢtirici kabuller içeren Cross ve Açı (ikisi
aynı) yöntemleri ise kesin sonuçlardan oldukça uzaklaĢmaktadırlar. Bilgisayarlar ile yapılan
çözümlerde kullanılan sonlu elemanlar yöntemi ile en uyumlu olanı Rijitlik matrisi
yöntemidir. Açı ve Cross yöntemleri için kullanılan denklemler rijitlik matrisi yöntemi ile
ilgili denklemlerden kolayca elde edilebilmektedir.
Bu kitapta uygulanmakta olan YAPI STATĠĞĠ II dersi kapsamında yer alan konular
verilmeye çalıĢılmıĢtır. Rijitlik matrisi ile ilgili kavramların anlaĢılması ile kolayca
öğrenilebilecek olan Açı ve Cross (Moment Dağıtma) yöntemi ile ilgili kısımlar kısa
tutulmuĢtur. Mekanik ve Yapı statiği I dersi kapsamındaki konuların (özellikle kuvvet
yöntemi) biliniyor olması, anlama kolaylığı sağlayacaktır.
Kitabın geliĢtirilmesi için interaktif yazılımlar kullanılması ile mümkündür. Ele alınana
örneklerin yük-deplasman iliĢkilerinin yazılımlar ile görsel olarak ifade edilmesi ve
okuyucuya sunulması mümkündür. Yapı statiği I Müfredatı içinde yer alan, Kuvvet Metodu
ve Tesir çizgileri de kitap kapsamı içine alınabilir. Perdeli yapıların hesabı için bir bölüm
ayrılabilir. DavranıĢa yönelik daha fazla görseller içeren örnekler ve çözümlerdeki kabullerin
dayandığı bazı temel prensipler de kitaba ilave edilebilir.
Faydalı olması ümidi ile
Hasan KAPLAN, 2013
2
Yapı Statiği 2, Ders Notları- Prof. Dr. Hasan KAPLAN, Pamukkale Üniversitesi ĠnĢaat Mühendisliği Bölümü-Denizli
1. Hiperstatik Sistemlerin Tanımı ........................................................................................... 5
1.1 GİRİŞ ...................................................................................................................................................... 5
1.1.1 Yapılan Kabuller ......................................................................................................................................... 7
1.1.2 Statikçe Hiperstatiklik ............................................................................................................................... 7
1.1.3 Hiperstatiklik Derecesinin Hesaplanması ................................................................................... 11
2. SERBESTLİK DERECELERİ ................................................................................................... 17
2.1 GİRİŞ ................................................................................................................................................... 17
2.2 Çubuklar ve Serbestlik Dereceleri .......................................................................................... 18
2.3 Sistem Serbestlik Derecesi......................................................................................................... 21
2.3.1 Düzlem Kafes sistemin Serbestlik Derecesi ............................................................................... 21
2.3.2 Uzay Kafes Sistemin Serbestlik Derecesi ..................................................................................... 22
2.3.3 Düzlem Çerçevenin Serbestlik Derecesi ...................................................................................... 22
2.3.4 Uzay Çerçevenin Serbestlik Derecesi ............................................................................................ 23
2.3.5 Düzlem Izgara Sistemin Serbestlik Derecesi .............................................................................. 24
3. Rijitlik ve Rijitlik Etki Katsayıları .................................................................................... 25
3.1 Giriş .................................................................................................................................................... 25
3.2 Rijitlik kavramı ve rijitlik denklemi ...................................................................................... 25
3.3 Çubuk rijitlik denklemleri ......................................................................................................... 27
3.3.1 Düzlem kafes çubuğu rijitlik denklemi ......................................................................................... 28
3.3.2 Düzlem Çerçeve Çubuğu Rijitlik Denklemi ................................................................................. 31
3.3.3 Düzlem Çerçeve Çubuğu rijitlik etki katsayıları ....................................................................... 34
3.3.4 Izgara Sistem Çubuğu Rijitlik Denklemi ...................................................................................... 43
3.3.5 Uzay Çerçeve Çubuğunun Rijitlik Katsayıları ............................................................................ 45
4. KOORDİNAT DÖNÜŞÜMÜ .................................................................................................... 49
4.1 Düzlem sistemler için koordinat dönüşümü ....................................................................... 49
4.1.1 Düzlem Kafes Sistemde koordinat dönüşümü .......................................................................... 51
4.1.2 Düzlem Çerçeve Çubuğunda Koordinat Dönüşümü................................................................ 52
4.2 Uzay sistemler için koordinat dönüşümü ............................................................................ 52
4.2.1 Uzay çerçeve Çubuğu Transformasyon Matrisi ........................................................................ 54
4.3 Sistem Koordinatlarında Eleman Rijitlik Denklemi ......................................................... 56
5. ANKASTRELİK UÇ KUVVETLERİ ........................................................................................... 58
6. RİJİTLİK MATRİSİ YÖNTEMİ .............................................................................................. 61
6.1 Giriş .................................................................................................................................................... 61
6.2 Rijitlik Matrisi Yönteminde İşlem Sırası ............................................................................... 61
6.3 Kotlama Tekniği ............................................................................................................................ 62
7. RİJİTLİK MATRİSİ YÖNTEMİ -ÇÖZÜMLÜÖRNEKLER....................................................... 66
7.1 GİRİŞ ................................................................................................................................................... 66
8. AÇI METODU .......................................................................................................................... 122
8.1 GİRİŞ ................................................................................................................................................. 122
8.2 Rijitlik Matrisi Yöntemi ile ilişki ............................................................................................ 122
8.3 Düğüm noktası sabit sistemlerin Açı yöntemi ile çözümü ........................................... 124
8.3.1 Düğüm noktası sabit sistemlerin Açı yöntemi ile çözümü İçin Takip edilecek adımlar
127
8.4 Düğüm noktası Hareketli sistemler ..................................................................................... 135
9. CROSS YÖNTEMİ ................................................................................................................... 135
9.1 GİRİŞ ................................................................................................................................................. 135
9.2 Düğüm noktaları Sabit Sistemler .......................................................................................... 135
9.2.1 Moment Dağıtma ve geçiş katsayıları ........................................................................................ 136
3
Yapı Statiği 2, Ders Notları- Prof. Dr. Hasan KAPLAN, Pamukkale Üniversitesi ĠnĢaat Mühendisliği Bölümü-Denizli
9.2.2 Düğüm Noktası sabit sistemlerin Çözümünde İşlem Sırası .............................................. 137
10. BİLGİSAYAR İLE MODELLENEREK ÇÖZÜMÜ YAPILAN ÇEŞİTLİ TAŞIYICI
SİSTEMLER ..................................................................................................................................... 141
10.1 SAP90 İLE İLGİLİ BİLGİLER .................................................................................................... 141
10.2 BAZI PROBLEMLER İÇİN SAP90 DATA DOSYALARI ...................................................... 147
Bilgisayar ile çözümü yapılan bazı taĢıyıcı sistemlerin modelleri verilmiĢtir. Çözümde SAP 90
vey a SAP2000 kullanılmıĢtır. .......................................................................................................................... 150
10.3 SAP2000 İLE YAPI ANALİZİ ................................................................................................... 152
4
Yapı Statiği 2, Ders Notları- Prof. Dr. Hasan KAPLAN, Pamukkale Üniversitesi ĠnĢaat Mühendisliği Bölümü-Denizli
BÖLÜM I
1. Hiperstatik Sistemlerin Tanımı
1.1 GİRİŞ
Gerçekte taĢıyıcı sistemi oluĢturan elemanlar üç boyutludur. Ancak bir çok taĢıyıcı sistem
elemanının sadece uzunlukları kullanılarak taĢıyıcı sistem Ģeması elde edilir. Bu tür
elemanlara çubuk, oluĢturulan sisteme de çubuk sistemler denilmektedir. Lisans düzeyindeki
yapı analizi derslerinde de bu sistemlerin kesit tesirlerinin belirlenmesi hedeflenir. Bu kitabın
önemli bir bölümü, çubuklardan oluĢan taĢıyıcı sistemlerin analizine ayrılmıĢtır. Ele alınan
tipik çubuk sistemler; sürekli kiriĢ, düzlem kafes, düzlem çerçeve, uzay çerçeve, ızgara sistem
ve uzay kafes sistemler olarak sınıflandırılabilir (ġekil 1.1).
a) Sürekli kiriş b) Düzlem kafes kiriş
c)Düzlem çerçeve
d) Tek katlı uzay çerçeve
f) Uzay kafes
e)Izgara Sistem
ġekil 1.1 Çubuklardan oluĢan taĢıyıcı sistemler
Bilgi ve iletiĢim çağının en vazgeçilmez aracı bilgisayarlar olmaktadır. Her alanda
kullanılmaya baĢlayan bilgisayarlar yapı analizinde de kullanılmaktadır. Bilgisayar
kullanımının yaygınlaĢması ile klasik yöntemler yerini modern yöntemlere terk etmektedir.
Bilgisayar gerektirmeyen yöntemlerle çözümler yapılarak sistemlerin davranıĢlarının
öğrenilmesi de önem arz etmektedir. Yapısal analiz yapacak olan mühendis adayları, yaklaĢık
yöntemlerle ancak davranıĢ bilgisi ve kesit tesirleri hakkında bilgi edinebilmektedir.
5
Yapı Statiği 2, Ders Notları- Prof. Dr. Hasan KAPLAN, Pamukkale Üniversitesi ĠnĢaat Mühendisliği Bölümü-Denizli
Uygulamaya atıldığında, tüm çözümlerin bilgisayar ile yapıldığı bir ortamla karĢılaĢılmakta,
teori ve uygulama arasında geçiĢ sağlayamamaktadır. Bunun için Lisans düzeyinde verilen
Yapı Statiği derslerinde sadece el ile çözüme dayalı yöntemlerin öğretilmesinin yanında,
bilgisayar destekli modern yöntemlerin de verilmesi gerekmektedir.
Bir köprü (kiriş)
Bir sanayii yapısında düzlem kafes sistem kullanılması
Hasar görmüĢ bir taĢıyıcı sistem
ġekil 1.2 Çubuklarla teĢkil edilen çeĢitli yapılar
Bu kitapta bir takım basitleĢtirici kabullere dayalı olarak geliĢtirilen klasik yöntemler ile daha
kesin çözümler sunan modern yöntemlerin bir karĢılaĢtırılması da yapılmaktadır. El ile
çözüme dayalı klasik yöntemlerin lisans düzeyindeki eğitimde kullanılması ancak gerçek
6
Yapı Statiği 2, Ders Notları- Prof. Dr. Hasan KAPLAN, Pamukkale Üniversitesi ĠnĢaat Mühendisliği Bölümü-Denizli
sistemlerin çözümünde mutlaka bilgisayarlar kullanılarak daha gerçekçi çözümlerin yapılması
gerektiği hususu da açık bir Ģekilde ortaya konmaktadır.
1.1.1 Yapılan Kabuller
Bu kitapta verilen çözümlerde Ģu kabuller yapılmaktadır;
Ele alınan sistemler statik yükler için çözülmektedir
Sistemler için yük-deplasman iliĢkisinin lineer olduğu kabul edilmiĢtir. Böylece ele alınan
sistemlerin malzemesinin Hooke yasasına uyduğu kabul edilmiĢtir.
Deplasmanların sistemin geometrisine nazaran çok küçük olduğu dolayısıyla yapının
geometrisinde bozulma olmadığı kabul edilmektedir.
Süperpozisyon prensibi geçerlidir. Bu durumda, farklı yüklemeler için elde edilen kesit
tesirleri ve deplasmanlar süperpozisyon prensibi ile toplanarak, yüklerin tamamının birlikte
etkimesi halindeki kesit tesirleri ve deplasmanlar elde edilebilecektir.
Gerçekte, betonarmeden teĢkil edilen taĢıyıcı sistemlerde malzemenin yük-deplasman iliĢkisi
lineer olmamaktadır. Ancak uygulamada, yapıların büyük bir bölümü küçük miktarda
deplasman yapacak Ģekilde dizayn edilmektedirler. Deplasman değerlerinin, elemanın
geometrisi yanında çok küçük olması halinde sistemlerin lineer davrandığı kabul edilebilir.
Daha hassas çözüm gerektiren yapılar için lineer olmayan elosto-plastik davranıĢ dikkate
alınarak analizler yapılmalıdır.
1.1.2 Statikçe Hiperstatiklik
XYZ Uzayında, dıĢ yüklerin etkisinde olan bir taĢıyıcı sistemi ele alalım. Sistemin dengede
olması için x,y ve z eksenlerine göre yazılacak denge denklemlerinin sağlanması gerekir.
Yani her eksen için, eksen doğrultusunda etkiyen doğrusal kuvvetlerin toplamı ve eksen
etrafında etkiyen momentlerin toplamı sıfıra eĢit olmalıdır.
(1.1)
Denge denklemindeki yük ifadesi içine mesnet reaksiyonları da dahil edilmektedir. DıĢ yükler
elemanlar tarafından mesnetlere aktarılmakta ve aktarılan bu kuvvetlere karĢı mesnetlerde
reaksiyonlar oluĢmaktadır. Sistemin dengede olabilmesi için, mesnetlerde oluĢan
reaksiyonların da dikkate alınması ile yazılacak olan 1.1 denge denklemlerinin sağlanması
gerekir.
düzlem veya uzay sistemler için denge denklemi sayısı farklıdır. Uzay sistem için her eksen
yönünde kuvvetler ve her eksen etrafında momentler olmak üzere toplam altı adet denge
denklemi yazılabilir. Düzlem taĢıyıcı sistemlerde denge denklemi sayısı üçe inecektir. Bu
durumda denge için 1.2 de ifadesi ile verilen Ģartların sağlanması gerekir.
7
Yapı Statiği 2, Ders Notları- Prof. Dr. Hasan KAPLAN, Pamukkale Üniversitesi ĠnĢaat Mühendisliği Bölümü-Denizli
(1.2)
Bir taĢıyıcı sistemin analizi, “yüklerden dolayı oluĢan; mesnet reaksiyonlarının,
deformasyonların ve sistemi meydana getiren elemanların iç kuvvetlerinin hesaplanmasını
kapsar”. Eleman iç kuvvetli olan Eksenel kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme momentinin
elemanların uzunlukları boyunca nasıl değiĢtiğinin grafik olarak gösterilmesi ve maksimum
değerlerinin ortaya konulması da analizin amacıdır. Ġç kuvvetlere kesit tesirleri, çizilen
grafiklere de kesit tesirleri diyagramı da denilmektedir.
İzostatik Sistem: Bir taĢıyıcı sistemde, mesnet reaksiyonları ve herhangi bir kesitteki kesit
tesirleri denge denklemleri ile hesaplanabiliyorsa, bu tür sistemlere izostatik sistemler denilir.
Hiperstatik Sistem: Bir taĢıyıcı sistemde denge denklemlerinden fazla bilinmeyen varsa bu
tür sistemlere statikçe hiperstatik sistemler denilir. TaĢıyıcı sistem içten veya dıĢtan
hiperstatik olabilir. Bazı sistemler hem içten hem de dıĢtan hiperstatiktir.
Dıştan hiperstatik sistemler; Bir sistemin mesnet reaksiyonlarının sayısı denge
denklemlerinden fazla ise sistem dıĢtan hiperstatik olur. Bir uzay taĢıyıcı sistemin mesnet
reaksiyonu sayısı 6 dan fazla ise sistem dıĢtan hiperstatik olur. Düzlem sistemde ise mesnet
reaksiyonu sayısı 3‟ten fazla ise sistem dıĢtan hiperstatik olur. ġekil 1.1‟de verilen sistemler
dıĢtan hiperstatik sistemler için örnek olarak verilebilir.
ġekil 1.3 Hiperstatik düzlem sistemler
ġekil 1.3‟de verilen düzlem sistemlerin mesnet reaksiyonları sayısı 6 dır. Düzlem sistemler
için üç adet denge denklemi vardır. Bu sistemlerde hiperstatiklik derecesi 6-3=3 Ģeklindedir.
Her iki sistem de 3. dereceden dıĢtan hiperstatiktir. Bu sistemlerin çözümü için mesnet
reaksiyonlarının hesaplanması yeterli olacaktır.
8
Yapı Statiği 2, Ders Notları- Prof. Dr. Hasan KAPLAN, Pamukkale Üniversitesi ĠnĢaat Mühendisliği Bölümü-Denizli
ġekil 1.4 Mafsal bulunan sistemlerde hiperstatiklik derecesi
TaĢıyıcı sistemin herhangi bir kesitinde bazı kesit tesirlerinin sıfır olması söz konusu olabilir.
Örneğin ara mafsal bulunan bir kesitte eğilme momenti sıfır olacaktır. Bu durum, ilgili kesitte,
sistem için ilave bir denklemin yazılabilmesini sağlamaktadır. Sistemin hiperstatiklik derecesi
belirlenirken ara mafsal olup olmadığına da bakılmalıdır. ġekil 1.4‟de verilen sistemlerde
birer ara mafsal bulunduğundan hiperstatiklik derecesi her iki sistem için de 2‟dir.
İçten hiperstatik sistemler; Bir sistemin mesnet reaksiyonlarının hesabı için denge
denklemleri yeterli ancak tüm sistemdeki kesit tesirlerinin belirlenmesi için denge
denklemleri yetersiz kalıyorsa, sistem içten hiperstatik olur (ġekil 1.5)
ġekil 1.5 Ġçten hiperstatik taĢıyıcı sistemler
ġekil 1.5‟de verilen çerçeve ve kafes sistemi ele alalım. Her iki sistemin de bilinmeyen
mesnet reaksiyonları sayısı 3 tür. Mesnet reaksiyonları denge denklemleri ile
9
Yapı Statiği 2, Ders Notları- Prof. Dr. Hasan KAPLAN, Pamukkale Üniversitesi ĠnĢaat Mühendisliği Bölümü-Denizli
belirlenebilecektir. Ancak, kesim yapılarak taĢıyıcı sistemin dengesi yazılacak olursa, kesit
tesirleri sayısının denge denklenmelerinden fazla olduğu görülecektir. Bu yüzden çubukların
kesit tesirlerinin hesabı için denge denklemleri yeterli olamayacaktır.
ġekil 1.5a‟daki çerçeve sistem üçüncü dereceden içten hiperstatiktir. ġekil 1.5c‟deki gibi
çerçevenin bir çubuğu kesilerek sistem izostatik hale gelecektir. ġekil 1.5b‟deki kafes
sistemin izostatik hale gelmesi için ise diyagonal çubuklardan birinin kesilmesi
gerekmektedir(ġekil 1.5d). ġu halde, Ģekil 1.5b‟de görülen kafes sistem 1. dereceden içten
hiperstatik olmaktadır.
İçten ve dıştan hiperstatik sistem:TaĢıyıcı sistemler hem içten hem de dıĢtan hiperstatik
olabilirler. Ġçten ve dıĢtan hiperstatik sistemler için, Ģekil 1.5‟de verilen sistemlerin kayıcı
olan mesnetlerinin sabit hale getirilerek elde edildiği ve Ģekil 1.6‟da verilen sistemleri örnek
olarak verebiliriz.
ġekil 1.6 DıĢtan ve içten Hiperstatik taĢıyıcı sistemler
ġekil 1.6 da verilen her iki sistemde de bilinmeyen mesnet reaksiyonlarının sayısı 4 tür.
Düzlem sistemler için denge denklemi sayısı 3 olduğuna göre sistemler 1. dereceden dıĢtan
hiperstatiktir. Aynı zamanda Ģekil 1.6a‟daki sistemde bir kapalı çerçeve meydana gelmiĢ
olduğundan çubuklardan birisinin kesilmesi halinde üç adet bilinmeyen kesit tesiri de ortaya
çıkacaktır. Dolayısıyla bu sistem 3. dereceden içten de hiperstatiktir. Böylece, çerçeve 4.
dereceden hiperstatiktir. ġekil 1.6b‟deki sistem ise 1. dereceden içten hiperstatik olmaktadır.
ġekil 1.6b de verilen kafes sistem toplam 2. dereceden hiperstatik olmaktadır.
ġimdi de ġekil 1.7‟de verilen uzay çerçeveyi inceleyelim. Dört adet ankastre mesnedi olan
uzay çerçevenin mesnetlerinden birisi üzerinde reaksiyonlar gösterilmiĢtir. Doğrusal kuvvetler
R ile eksenler etrafındaki dönmeler ise M ile gösterilmiĢtir. ġekil 1.7‟deki çift oklar, ilgili
eksen etrafındaki momentleri göstermektedir. Her düğümde 6 adet mesnet reaksiyonu
olduğundan, iki yönde de tek açıklı ve tek katlı uzay çerçevede toplam bilinmeyen mesnet
reaksiyonu sayısı 24 adettir. Uzay sistem için 6 adet denge denklemi söz konusu olduğuna
göre, sistem 24-6=18 dereceden dıĢtan hiperstatiktir. Mesnet reaksiyonları belirlendikten
sonra 4 adet kolonun kesit tesirleri hesaplanabilir ancak kiriĢler kapalı çerçeve
oluĢturduğundan bir kesim yapılması gerekir. Uzay sistemde, bir kesitte, iki kesme kuvveti,
bir eksenel kuvvet, iki eğilme momenti ve bir burulma momenti olmak üzere toplam altı adet
kesit tesiri olduğundan bir kesim ile 6 adet bilinmeyen ortaya çıkacaktır. Buna göre
sistemimiz 6. Dereceden içten de hiperstatiktir. Sistemin toplam hiperstatiklik derecesi
18+6=24 tür.
10
Yapı Statiği 2, Ders Notları- Prof. Dr. Hasan KAPLAN, Pamukkale Üniversitesi ĠnĢaat Mühendisliği Bölümü-Denizli
