yang-mills to seiberg-witten (plus appendices)

196 Pages·2012·8.14 MB·English

YANG-MILLS TO SEIBERG-WITTEN VIA TQFT
THE WITTEN CONJECTURE

(cid:2173) (cid:4666)(cid:2206),(cid:2206)(cid:4667)
(cid:2318) (cid:4666)(cid:2206)(cid:4667) (cid:3404) (cid:2187)(cid:2206)(cid:2198) (cid:4678) (cid:2169) (cid:4679)(cid:3533)(cid:2779)(cid:2195)(cid:4666)(cid:2169)(cid:4667)(cid:2175)(cid:2179) (cid:4666)(cid:2169),(cid:2326)(cid:4667)(cid:2187)(cid:2206)(cid:2198)(cid:4666)(cid:2185) (cid:4666)(cid:2168)(cid:2777)(cid:4666)(cid:2326)(cid:4667)(cid:4667)(cid:4666)(cid:2206),(cid:2206)(cid:4667)(cid:4667)
(cid:2169) (cid:2777) (cid:2778)
(cid:2779)
(cid:2326)(cid:1488)(cid:2729)

Black Hills State University
March 22, 2012
Greg Naber

Abstract
The differential topology of smooth 4-manifolds has witnessed a number of revolutionary
upheavals in the recent past, no few of which have resulted from an encounter with theoretical
physics. One of the most spectacular of these was the emergence of the Seiberg-Witten
invariants from Edward Witten’s quantum field theory interpretation of the Donaldson
invariants. The terrain one must traverse to follow this development is arduous and I will attempt
to provide only a brief aerial view, but references will be provided for those who wish to explore
the territory in earnest.
Mathematical Framework for Classical Gauge Theories:

         • A smooth, oriented, (semi-) Riemannian manifold (M, g)
(space or spacetime)

• A finite-dimensional vector space V (internal space) equipped
with an inner product ( , )

• A Lie group G (internal structure group) together with a
representation ρ:G → GL(V) of G on V that is orthogonal
with respect to ( , )

• A smooth, principal G-bundle G (cid:1396) P → M over M and a
connection (gauge field) ω on P with curvature
(field strength) F
ω

• A cross-section ψ of the vector bundle P × V associated to
ρ
G (cid:1396) P → M by the representation ρ (wave function)

• An action functional S(ω, ψ), invariant under the action of G,
whose stationary points (ω, ψ), i.e., solutions to the Euler-
Lagrange equations (field equations), are the physical field
configurations

More details and many examples are available in Chapter 2 of [8].
Also see [TGP 1], pages 28-32.

Donaldson’s 1983 Theorem (Fields Medal):
(cid:2184)(cid:2878)(cid:4666)(cid:2169)(cid:4667) (cid:3404) (cid:2777) (cid:3642) (cid:2173) (cid:3406) (cid:3398)(cid:2191)(cid:2186)
(cid:2779) (cid:2169)

Contrast this with Friedman’s 1982 classification of compact, simply 

connected, oriented, topological 4‐manifolds. Every unimodular, 
symmetric, (cid:1338)‐valued bilinear form is the intersection form of at 

least one such manifold. A corollary is that there are over 10 
million topologically distinct compact, simply connected, 

oriented, topological 4‐manifolds with rank ((cid:1834) (cid:4666)(cid:1839);(cid:1338)(cid:4667)(cid:4667)=32 that 
(cid:2870)
admit no smooth structure. 

Proof: ( More details are available in Appendix B of [7] )

(cid:2175)(cid:2177)(cid:4666)(cid:2779)(cid:4667) (cid:1396) (cid:2172) (cid:1372) (cid:2169) (cid:4666)(cid:2159)(cid:2190)(cid:2187)(cid:2200)(cid:2196) (cid:2185)(cid:2194)(cid:2183)(cid:2201)(cid:2201) (cid:2778)(cid:4667)
(cid:2778)

For any Riemannian metric (cid:2189) on (cid:2169), any connection (cid:2259) on (cid:2175)(cid:2177)(cid:4666)(cid:2779)(cid:4667) (cid:1396) (cid:2172) (cid:1372) (cid:2169)
(cid:2778)
that is (cid:2189)-anti-self-dual (cid:4666)(cid:1499) (cid:2162) (cid:3404) (cid:3398)(cid:2162) (cid:4667) satisfies the Yang-Mills equations.
(cid:2259) (cid:2259)

(cid:1788)(cid:1815)(cid:1820)(cid:1805): (cid:1802)(cid:2878)(cid:4666)(cid:1787)(cid:4667) (cid:3404) (cid:2777) (cid:3642) (cid:1819)(cid:1821)(cid:1803)(cid:1808) (cid:1820)(cid:1808)(cid:1809)(cid:1814)(cid:1807)(cid:1819) (cid:1805)(cid:1824)(cid:1809)(cid:1819)(cid:1820) (cid:4666)(cid:1794)(cid:1801)(cid:1821)(cid:1802)(cid:1805)(cid:1819)(cid:4667)
(cid:2779)

A (global) gauge transformation of (cid:2175)(cid:2177)(cid:4666)(cid:2779)(cid:4667) (cid:1396) (cid:2172) (cid:1372) (cid:2169) is an automorphism of
(cid:2778)
the bundle that covers the identity on (cid:2169) and two connections are gauge
equivalent if they differ by such an automorphism.
For a generic choice of (cid:2189) the moduli space (cid:2327)(cid:4666)(cid:2172) ,(cid:2189)(cid:4667) of gauge equivalence
(cid:2778)
classes of (cid:2189)-anti-self-dual connections on (cid:2172) looks like
(cid:2778)

Donaldson Polynomial Invariants:
(cid:2237) (cid:4666)(cid:2169)(cid:4667),(cid:2186) (cid:3404) (cid:2777),(cid:2778),(cid:2779),…
(cid:2186)

(cid:2237) (cid:4666)(cid:2169)(cid:4667) (cid:1488) (cid:1338)
(cid:2777)
(cid:2778)
(cid:2237) (cid:4666)(cid:2169)(cid:4667): (cid:2164) (cid:4666)(cid:2169);(cid:1338)(cid:4667) (cid:1372) (cid:1338)(cid:4674) (cid:4675),(cid:2186) (cid:3404) (cid:2778),(cid:2779),…
(cid:2186) (cid:2779)
(cid:2779)

(cid:2169) is a compact, simply connected, oriented, smooth 4-manifold with
(cid:2184)(cid:2878)(cid:4666)(cid:2169)(cid:4667) (cid:3408) 1
(cid:2779)
and odd and
(cid:2175)(cid:2177)(cid:4666)(cid:2779)(cid:4667) (cid:1396) (cid:2172) (cid:1372) (cid:2169)
(cid:2193)
is the (cid:2175)(cid:2177)(cid:4666)(cid:2779)(cid:4667)-bundle over (cid:2169) with Chern class k > 0. For generic Riemannian
metric (cid:2189), the moduli space
(cid:2327)(cid:4666)(cid:2172) ,(cid:2189)(cid:4667)
(cid:2193)
of gauge equivalence classes of (cid:2189)-anti-self-dual connections on (cid:2172) is either
(cid:2193)
empty or a smooth, oriented manifold of dimension
(cid:2186)(cid:2191)(cid:2195) (cid:2327)(cid:4666)(cid:2172) ,(cid:2189)(cid:4667) (cid:3404) (cid:2785)(cid:2193) (cid:3398) (cid:2780)(cid:3435)(cid:2778) (cid:3397) (cid:2184)(cid:2878)(cid:4666)(cid:2169)(cid:4667)(cid:3439).
(cid:2193) (cid:2779)

(cid:2186)(cid:2191)(cid:2195) (cid:2327)(cid:4666)(cid:2172) ,(cid:2189)(cid:4667) (cid:3404) (cid:2777) (cid:1436) (cid:2237) (cid:4666)(cid:2169)(cid:4667) (cid:3404) sum of the signed points in (cid:2327)(cid:4666)(cid:2172) ,(cid:2189)(cid:4667)
(cid:2193) (cid:2777) (cid:2193)

If (cid:2186)(cid:2191)(cid:2195) (cid:2327)(cid:4666)(cid:2172) ,(cid:2189)(cid:4667) (cid:3404) (cid:2779)(cid:2186) (cid:3408) 0, then
(cid:2193)
(cid:2778)
(cid:2237) (cid:4666)(cid:2169)(cid:4667): (cid:2164) (cid:4666)(cid:2169);(cid:1338)(cid:4667) (cid:1372) (cid:1338)(cid:3428) (cid:3432)
(cid:2186) (cid:2779)
(cid:2779)
is, morally at least, given by
(cid:2237) (cid:4666)(cid:2169)(cid:4667)(cid:4666)(cid:2206)(cid:4667) (cid:3404) (cid:3505) (cid:2246)(cid:4666)(cid:2206)(cid:4667)(cid:2186)
(cid:2186)
(cid:2327)(cid:4666)(cid:2172) ,(cid:2189)(cid:4667)
(cid:2193)
where
(cid:2246):(cid:2164) (cid:4666)(cid:2169);(cid:1338)(cid:4667) (cid:1372) (cid:2164)(cid:2779)(cid:4666)(cid:2327)(cid:4666)(cid:2172) ,(cid:2189)(cid:4667);(cid:1335)(cid:4667)
(cid:2779) (cid:2193)

is a certain map defined by Donaldson which, intuitively at least, associates 2-
forms on (cid:2327)(cid:4666)(cid:2172) ,(cid:2189)(cid:4667) to surfaces in (cid:2169).
(cid:2193)

This “definition” is naïve in the extreme, even after you know what 
the Donaldson μ‐map is, but setting it all straight involves a 
tremendous amount of technical labor. Most of the difficulties 
arise from the fact that (cid:2279)(cid:4666)(cid:1842) ,(cid:1859)(cid:4667) is generally not compact. Naïve 
(cid:3038)
as it is, it conveys something of the  correct flavor and is often the 
way the invariants are thought of in physics. For a sketch of the 
“real” definition, see [TGP 2], pages 69‐76. 

The (cid:2237) (cid:4666)(cid:2169)(cid:4667) are not topological invariants, but are invariant under orientation
(cid:2186)
preserving diffeomorphism. For this reason, they can be used to distinguish
manifolds that are homeomorphic, but not diffeomorphic.
There are infinitely many Donaldson invariants (cid:2237) (cid:4666)(cid:2169)(cid:4667),(cid:2186) (cid:3404) (cid:2777),(cid:2778),(cid:2779),…, they are
(cid:2186)
extraordinarily difficult to compute, and the computational labor increases
exponentially with (cid:2186). However, in the Spring of 1994, there was a
breakthrough.

Combine all of the Donaldson invariants (cid:2237) (cid:4666)(cid:2169)(cid:4667),(cid:2186) (cid:3404) (cid:2777),(cid:2778),(cid:2779),… into the
(cid:2186)
Donaldson (formal power) series
(cid:2998)
(cid:2237) (cid:4666)(cid:2169)(cid:4667)(cid:4666)(cid:2206)(cid:4667)
(cid:2186)
(cid:2318) (cid:4666)(cid:2206)(cid:4667) (cid:3404) (cid:3533)
(cid:2169)
(cid:2186)!
(cid:2186)(cid:2880)(cid:2777)

Kronheimer-Mrowka Structure Theorem:
If (cid:2169) is of “KM-simple type”, then there exist (cid:2167) ,…,(cid:2167) (cid:1488) (cid:2164) (cid:4666)(cid:2169);(cid:1338)(cid:4667) (KM-
(cid:2778) (cid:2201) (cid:2779)
basic classes) and rational numbers (cid:2183) ,…,(cid:2183) (coefficients) such that
(cid:2778) (cid:2201)
(cid:2201)
(cid:2173) (cid:4666)(cid:2206),(cid:2206)(cid:4667)
(cid:2169)
(cid:2318) (cid:4666)(cid:2206)(cid:4667) (cid:3404) (cid:2187)(cid:2206)(cid:2198)(cid:4678) (cid:4679)(cid:3533)(cid:2183) (cid:2187)(cid:2206)(cid:2198)(cid:4666)(cid:2167) (cid:4666)(cid:2206),(cid:2206)(cid:4667)(cid:4667)
(cid:2169) (cid:2200) (cid:2200)
(cid:2779)
(cid:2200)(cid:2880)(cid:2778)

The point is that, despite all expectations to the contrary, (cid:2318) (cid:4666)(cid:2206)(cid:4667) is
(cid:2169)
determined by a finite amount of data.

The Structure Theorem was announced in the Spring of 1994. In the Fall of
1994 a bombshell was dropped and the breakthrough was rendered moot. To
tell the story we must return to 1988.
Donaldson Invariants as Intersection Numbers:
(cid:2315) (cid:2315) (cid:3400) (cid:2743)(cid:2779)(cid:4666)(cid:2169),(cid:2183)(cid:2186) (cid:2172)(cid:4667) (cid:4670)(cid:2259), (cid:2162)(cid:2878)(cid:4671)
(cid:2321) (cid:2878) (cid:2259)
↓ ↓ ↑
(cid:2315)/(cid:2321) (cid:2315)/(cid:2321) [ω]
Moduli Space of Associated vector bundle with Section (cid:2201)
all connections fiber (cid:2743)(cid:2779)(cid:4666)(cid:2169),(cid:2183)(cid:2186) (cid:2172)(cid:4667)
(cid:2878)

(cid:2327) (cid:3404) (cid:2201)(cid:4666)(cid:2315)/(cid:2321)(cid:4667) (cid:1514) (cid:2201) (cid:4666)(cid:2315)/(cid:2321)(cid:4667)
(cid:2777)

Recall that the Euler number of an oriented real vector bundle E→X of fiber 
dimension 2k over a compact, oriented manifold of dimension 2k can be 
computed in a number of ways, e.g.,  

1. (Poincaré‐Hopf) The intersection number (cid:1871)(cid:4666)(cid:1850)(cid:4667)(cid:1514)(cid:1871) (cid:4666)(cid:1850)(cid:4667), where (cid:1871) is a 
(cid:2868)
generic section and (cid:1871)  is the 0‐section. 
(cid:2868)
2. (Gauss‐Bonnet‐Chern) (cid:1516) (cid:1857)(cid:4666)(cid:1850)(cid:4667), where (cid:1857)(cid:4666)(cid:1850)(cid:4667) is the Euler class. 
(cid:3025)

Is there an analogous Gauss-Bonnet-Chern type
integral representation of the Donaldson invariants?

“This is such stuff as quantum field theory is made of.”
-Nigel Hitchin

so,
“who ya gonna call”?
-Ghostbusters
Ed Witten [10] found such a (formal) integral representation of the Donaldson
invariants as expectation values of certain observables in his 1988

Topological Quantum Field Theory (TQFT)

Field Content:
Gauge Field (Connection) (cid:2259)
+
“Matter Fields”

Bosonic Fermionic

(cid:2256) (cid:1488) (cid:2743)(cid:2777)(cid:4666)(cid:2169),(cid:2183)(cid:2186) (cid:2172)(cid:4667) (cid:2241) (cid:1488) (cid:2743)(cid:2777)(cid:4666)(cid:2169),(cid:2183)(cid:2186) (cid:2172)(cid:4667)

(cid:2245) (cid:1488) (cid:2743)(cid:2777)(cid:4666)(cid:2169),(cid:2183)(cid:2186) (cid:2172)(cid:4667) (cid:2258) (cid:1488) (cid:2743)(cid:2778)(cid:4666)(cid:2169),(cid:2183)(cid:2186) (cid:2172)(cid:4667)

(cid:2257) (cid:1488) (cid:2743)(cid:2779)(cid:4666)(cid:2169),(cid:2183)(cid:2186) (cid:2172)(cid:4667)
(cid:2878)

(cid:2740) (cid:3404) (cid:4666)(cid:2259),(cid:2256),(cid:2245),(cid:2241),(cid:2258),(cid:2257)(cid:4667)
+
“Donaldson-Witten Action (cid:2175) (cid:4670)(cid:2740)(cid:4671)”
(cid:2160)(cid:2179)

(cid:2778) (cid:2778) (cid:2778)
(cid:2175) (cid:4670)(cid:2740)(cid:4671) (cid:3404) (cid:3505) (cid:1794)(cid:1818) (cid:4668) (cid:1780) (cid:1512) (cid:1780) (cid:3397) (cid:1780) (cid:1512)(cid:1499) (cid:1780) (cid:3398) (cid:2767) (cid:1512) (cid:4670)(cid:2767),(cid:2766)(cid:4671) (cid:3397) (cid:1809)(cid:1804)(cid:2769)(cid:2768) (cid:1512) (cid:2767) (cid:3398)
(cid:2160)(cid:2179) (cid:2769) (cid:2769) (cid:2769) (cid:2769)
(cid:2781) (cid:2781) (cid:2779)
(cid:1787)

(cid:2779)(cid:1809)(cid:4670)(cid:2768),(cid:1499) (cid:2768)(cid:4671)(cid:2755) (cid:3397) (cid:1809)(cid:2766)(cid:1804)(cid:2769) (cid:1499) (cid:1804)(cid:2769)(cid:2755) (cid:3398) (cid:2768) (cid:1512)(cid:1499) (cid:1804)(cid:2769)(cid:2751) (cid:4669)