Table Of ContentWykłady ze Wste˛pu do Matematyki
Jacek Cichon´
WPPT, Politechnika Wrocławska
MAJ 2012
Spis tres´ci
1 RachunekZdan´ 7
1.1 ZdaniaiWaluacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Przegla˛dNajwaz˙niejszychTautologii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 MetodyDowodzeniaTwierdzen´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 NotacjaPolska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 C´wiczeniaizadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Zbiory 20
2.1 AksjomatEkstensjonalnos´ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 OperacjeMnogos´ciowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 DiagramyVenna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 C´wiczeniaizadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Kwantyfikatory 32
3.1 Definicjakwantyfikatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Własnos´cikwantyfikatorów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Kwantyfikatoryograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Działaniauogólnione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 C´wiczeniaizadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 RelacjeiFunkcje 43
4.1 PodstawoweKlasyRelacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 FunkcjeLogiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 ObrazyiPrzeciwobrazy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 IndeksowaneRodzinyZbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 ProduktyKartezjan´skie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7 FunkcjeCharakterystyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.8 C´wiczeniaizadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Relacjerównowaz˙nos´ci 57
5.1 Rozbicia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Konstruowanieobiektówmatematycznych . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 C´wiczeniaizadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Cze˛s´ciowePorza˛dki 64
6.1 Wyróz˙nioneelementy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Porza˛dkinarodzinachfunkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3 LiniowePorza˛dki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1
6.4 LematKuratowskiego-Zorna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.5 Dobreporza˛dki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.6 C´wiczeniaizadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7 IndukcjaMatematyczna 78
7.1 Definicjerekurencyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2 Zbioryskon´czone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.3 Permutacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.4 SymbolNewtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.5 ZasadaDirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.6 C´wiczeniaizadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8 Teoriamocy 90
8.1 TwierdzeniaCantora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2 Zbioryprzeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.3 Zbiorymocycontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.4 Algebramocy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.5 Funkcjeobliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.6 C´wiczeniaizadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9 DrzewaiRelacjeUfundowane 103
9.1 RelacjeUfundowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.2 SystemyPrzepisuja˛ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.3 Drzewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.4 C´wiczeniaizadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A AlgebryBoole’a 111
A.1 Ciałazbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.2 Ideałyifiltry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.3 Twierdzenieoreprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.4 C´wiczeniaizadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
B Kraty 122
B.1 Kratyzupełne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.2 Tablicesemantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B.3 C´wiczeniaizadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
C Aksjomatyteoriimnogos´ci 130
C.1 Aksjomaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
C.2 Oniesprzecznos´ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
D LiczbyPorza˛dkoweiKardynalne 136
D.1 IndukcjaPozaskon´czona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
D.2 FunkcjaHartogsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
D.3 LiczbyKardynalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
D.4 Pote˛gowanieLiczbKardynalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
D.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
E Wskazówkidozadan´ 150
Bibliografia 155
Indeks 156
Wste˛p
Ksia˛z˙kazawieradziewie˛c´wykładówpos´wie˛conychomówieniuorazuporza˛dkowaniu
podstawowych poje˛c´ matematycznych. Ich tres´c´ odpowiada w przybliz˙eniu wykła-
dom ze “Wste˛pu do Matematyki”, które autor wielokrotnie prowadził dla studentów
Instytutu Matematycznego Uniwersytetu Wrocławskiego oraz Wydziału Podstawo-
wychProblemówTechnikiPolitechnikiWrocławskiej. Autorpragniegora˛copodzie˛-
kowac´prof.B.We˛glorzowiorazprofW.Kordeckiemuzaszereguwag,którepomogły
uporza˛dkowac´ iunowoczes´nic´ materiał. Dzie˛kuje˛ równiez˙ studentomWPPTPWrza
pomocweliminowaniuusterekzwczes´niejszychwersjitejksia˛z˙ki.
Główna cze˛s´c´ ksia˛z˙ki odpowiada zakresowi materiału który obowia˛zywał wszy-
stkichstudentówitenzakresmateriałupowiniendobrzeopanowac´ kaz˙dystudentin-
formatyki i matematyki. Cze˛s´ci ksia˛z˙ki umieszczone w dodatkach stanowia˛rozsze-
rzeniepodstawowegokursu.
1. Wwykładziepierwszymomawiamypodstawowepoje˛ciaRachunkuZdan´.Wy-
kładopieramynapoje˛ciuwaluacji,zewzgle˛dunaliczne,zwłaszczawinforma-
tyce,zastosowaniauogólnien´ tegopoje˛cia. Głównymcelemtegowykładujest
przegla˛dpodstawowychtautologiiorazwprowadzeniupoje˛ciareguływniosko-
wania.
2. Wwykładziedrugimzajmujemysie˛ RachunkiemZbiorów. Rozwaz˙aniaopie-
ramyoAksjomatEkstensjonalnos´ci.Pierwszymdowodzonymprzeznasfaktem
jesttwierdzenieRussell’aonieistnieniuzbioruwszystkichzbiorów. Naste˛pnie
omawiamy własnos´ci sumy, przekroju i róz˙nicy zbiorów. Wszystkie dowody
sprowadzamydoRachunkuZdan´.
3. W wykładzie trzecim zajmujemy sie˛ własnos´ciami kwantyfikatorów W tym
miejscu wykład traci nieco na precyzji. Interpretacje˛ kwantyfikatorów redu-
kujemydoRachunkuZbiorów. ZbardziejprecyzyjnymwprowadzeniedoRa-
chunkuPredykatówstudencizapoznaja˛sie˛nawykładziezLogikiMatematycz-
nejlubLogikiAlgorytmicznej.Elementemwymagaja˛cymszczególnejuwagisa˛
uzasadnienia zalez˙nos´ci pomie˛dzy wyraz˙eniami zbudowanymi z bloku dwóch
kwantyfikatorów. W wykładzie tym omawiamy równiez˙ poje˛cie sumy i prze-
krojudowolnejrodzinyzbiorów.
4. Wykład czwarty pos´wie˛camy relacjom. Definiujemy podstawowe klasy rela-
cji, w tym poje˛cie funkcji. Zajmujemy sie˛ obrazami i przeciwobrazami zbio-
4
rówprzezrelacje. Omawiamyfunkcjelogiczne-pokazujemy,z˙estandardowy
zestawspójnikówlogicznychjestzupełny(syntezaformułyodbywasie˛ zapo-
moca˛tabeliwartos´cirozwaz˙anejfunkcji). Naste˛pnieomawiamyindeksowane
rodzinyzbioróworazproduktykartezjan´skie. Wkon´cuwprowadzamypoje˛cie
funkcjicharakterystycznejzbioru.
5. Wykładpia˛typos´wie˛conyjestwcałos´cirelacjomrównowaz˙nos´ci. Pokazujemy
w nim, jak startuja˛c z liczb naturalnych moz˙na zdefiniowac´ liczby całkowite,
wymierneirzeczywiste.
6. Wykład szósty pos´wie˛cony jest cze˛s´ciowym porza˛dkom. Po wprowadzeniu
podstawowych poje˛c´ omawiamy porza˛dki na rodzinach funkcji. Celem tego
fragmentu rozwaz˙an´ jest przybliz˙enie czytelnikom notacji f = O(g). Na-
ste˛pnieomawiamylinioweporza˛dkiiporza˛dekleksykograficznynaprzestrzeni
słów. PrzechodzimydoprezentacjiLematuKuratowskiego-Zornaijegopod-
stawowychkonsekwencji. WprowadzamyAksjomatWyboru. Podkoniectego
wykładuomawiamypoje˛ciedobregoporza˛dku.
7. W wykładzie pos´wie˛conym Indukcji Matematycznej pokazujemy jej równo-
waz˙nos´c´ zdobrymuporza˛dkowaniemzbioruliczbnaturalnych,omawiamyde-
finicjerekurencyjne. Przypominamypoje˛ciepermutacjiiwprowadzamysym-
bolNewtona. Rozwaz˙aniakon´czymyzasada˛Dirichleta.
8. W wykładzie ósmym omawiamy poje˛cie równolicznos´ci i nierównos´ci mocy.
Twierdzenie Cantora - Bernsteina wyprowadzamy za pomoca˛Lematu Bana-
cha. Omawiamyzbioryprzeliczalneizbiorycontinuum. Głównymobszarem
zainteresowan´ jestzbiórN∪{ℵ0,2ℵ0},jednakpodkoniecrozdziałuwprowa-
dzamyhierarchie˛ liczb(cid:105) dlan∈N.
n
9. Wykładdziewia˛typos´wie˛conyjestrelacja˛ufundowanym, systemomprzepisu-
ja˛cym oraz drzewom. Tematy te umieszczone sa˛w głównej cze˛s´ci ksia˛z˙ki ze
wzgledunaichlicznezastosowaniawinformatyce.
10. WdodatkuAznajdujesie˛ wprowadzeniedoteoriialgebrBoole’a. Rozpoczy-
namyoddefinicji,akon´czymynasłabejwersjitwierdzeniaStone’aoreprezen-
tacji. Wtrakcierozwaz˙an´ pojawiasie˛ poje˛cieciałazbiorów.
11. WdadatkuBwprowadzamypoje˛ciekratyidowodzimytwierdzenieKnastera-
Tarskiego o punkcie stałym. Za jego pomoca˛podajemy alternatywny dowód
LematuBanacha.Naste˛pnieomawiamydrzewa,dowodzimytwierdzenieKöniga
oistnieniunieskon´czonejgałe˛zi. Nazakon´czeniewprowadzamypoje˛cietablic
semantycznychdlarachunkuzdan´.
12. WdodatkuComawiamysystemaksjomatówteoriimnogos´ciZermelo-Fraen-
kel’aizagadnieniazwia˛zanezniesprzecznos´cia˛tejteorii.
SPISTRES´CI 6
13. WdodatkuDomawiamyliczbyporza˛dkoweorazliczbykardynalne. Rozwaz˙a-
niakon´czymyomówieniem,jakimalefemmoz˙ebyc´ liczbacontinuum.
14. W dodatku E znajduja˛sie˛ szkice rozwia˛zan´ lub wskazówki do trudniejszych
zadan´.
Zdos´wiadczeniaautorawynika,z˙epierwszedziewie˛c´wykładówmoz˙nazrealizo-
wac´ wtrakciepierwszegosemestrustudiówinformatycznychorazmatematycznych.
Aby to osia˛gna˛c´ nalez˙y wykład prowadzic´ stosunkowo szybko. Najbardziej obszer-
nym poje˛ciowo jest wykład szósty, pos´wie˛cony cze˛s´ciowym porza˛dkom. Nalez˙y go
rozbic´ naconajmniejczterygodzinywykładowe.
Do kaz˙dego wykładu doła˛czone sa˛c´wiczenia oraz zadania. C´wiczenia sa˛ruty-
nowe i stosunkowo proste. Powinny byc´ przerobione przez wszystkich studentów.
Zadaniasa˛niecotrudniejszeiwymagaja˛pewnegopomysłu. Oprócztychzadan´ stu-
dencipowinnizostac´ zache˛cenidozapoznaniasie˛ zewszystkimizadaniamizwia˛za-
nymiztematamiomawianyminawykładziezksia˛z˙ki[6].
Jakoliterature˛ pomocnicza˛dowykładówmoz˙napolecic´ ksia˛z˙ki[4]oraz[7]. Stu-
dentom, którzy moga˛czuc´ niedosyt formalizmu logicznego po trzecim wykładzie,
moz˙na polecic´ ksia˛z˙ke˛ [1]. Jako literature˛ pomocnicza˛do materiału omawianego w
dodatkachmoz˙napolecic´ pozycje[3],[5]oraz[2].
1 Rachunek Zdan´
Reductioadabsurdum,whichEuclid
lovedsomuch,isoneofa
mathematician’sfinestweapons.Itis
afarfinergambitthananychess
gambit:achessplayermayofferthe
sacrificeofapawnorevenapiece,
butamathematicianoffersthegame.
G.H.Hardy
RachunekZdan´ jestdziałemlogikimatematycznejbadaja˛cymzwia˛zkipomie˛dzy
zdaniamiutworzonymizezmiennychzdaniowychzapomoca˛spójnikówlogicznych.
W klasycznym rachunku zdan´ - a takim włas´nie rachunkiem zdan´ zajmowac´ sie˛ be˛-
dziemy podczas tego wykładu - przyjmuje sie˛, z˙e kaz˙demu zdaniu moz˙na przypisac´
jedna˛zdwóchwartos´cilogicznych-prawde˛lubfałsz.Wrozwaz˙aniachnaszychtres´c´
zdan´ niebe˛dziemiałaz˙adnegoznaczenia. Waz˙nabe˛dzietylkoichwartos´c´ logiczna.
1.1 ZdaniaiWaluacje
Symbolep ,p ,p ,...nazywac´ be˛dziemyzmiennymizdaniowymi. Symbole(cid:62)i⊥
0 1 2
sa˛stałymi; symbol(cid:62)nazywamyzdaniemzawszeprawdziwezas´ ⊥nazywamyzda-
niem zawsze fałszywym. Oprócz zmiennych zdaniowych rozwaz˙ac´ be˛dziemy spój-
nikilogiczne: ∧, ∨, ¬, →, oraz↔. Spójnik∧nazywamykoniunkcja˛, ∨nazywamy
alternatywa˛, ¬ nazywamy negacja˛ba˛dz´ zaprzeczeniem. Kolejne dwa spójniki lo-
giczne nazywamy implikacja˛i równowaz˙nos´cia˛. Do konstrukcji je˛zyka Rachunku
Zdan´ potrzebujemy jeszcze dwóch symboli. Sa˛nimi nawiasy. Pierwszy z nich, „(”,
nazywamynawiasemotwieraja˛cymzas´drugi,„)”,nawiasemzamykaja˛cym.
Okres´limy teraz poje˛cie zdania Rachunku Zdan´. Posłuz˙ymy sie˛ w tym celu tak
zwana˛technika˛rekurencyjna˛.
Definicja1.1(Zdania)
1. Zmiennezdanioweorazstałe(cid:62)i⊥sa˛zdaniami.
2. Jes´liwyraz˙eniaϕiψsa˛zdaniami,torówniez˙zdaniamisa˛naste˛puja˛cewyraz˙e-
nia: (ϕ∧ψ),(ϕ∨ψ),(ϕ→ψ),(ϕ↔ψ)i¬ϕ.
3. Dowolne wyraz˙enie jest zdaniem, jes´li moz˙e zostac´ zbudowane ze zmiennych
zdaniowych w wyniku zastosowania pewnej skon´czonej liczby reguł z punktu
(2).
7
ROZDZIAŁ1. RACHUNEKZDAN´ 8
Z powyz˙szej definicji moz˙na wyprowadzic´ kilka podstawowych faktów o rodzinie
wszystkichzdan´.
Przykład1.1 Jakoprzykładpokaz˙emy,z˙ewkaz˙dymzdaniuwyste˛pujeparzystaliczba
nawiasów. Rozwaz˙my mianowicie rodzine˛ Ω tych wszystkich wyraz˙en´, które maja˛
parzysta˛ilos´c´nawiasów.Wtedyrodzinazmiennychzdaniowychzawierasie˛wrodzinie
Ω, bowiem zero jest liczba˛parzysta˛. Zauwaz˙my naste˛pnie, z˙e jes´li wyraz˙enia ϕ i ψ
sa˛elementamirodzinyΩ,czylimaja˛parzysta˛liczbanawiasów,torówniez˙wyraz˙enia
(ϕ∧ψ), (ϕ∨ψ), (ϕ → ψ), (ϕ ↔ ψ) i ¬ϕ maja˛parzysta˛ilos´c´ nawiasów. Zatem
kaz˙dezdaniejestelementemrodzinyΩ,cokon´czydowód.
Wartos´ciamilogicznyminazywamysymbole0i1,któreinterpretujemyjakofałsz
iprawde˛. Nazbiorzewartos´cilogicznych{0,1}okres´lamydziałania∧, ∨, ⇒, ⇔
oraz¬: zapomoca˛naste˛puja˛cejtabelki:
p q p∧q p∨q p⇒q p⇔q ¬p
1 1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 0 1 1 1
Czytelnikpowinienzwrócic´uwage˛narozróz˙nieniemiedzyspójnikamilogicznymi∧,
∨,→,↔,¬orazdziałaniami∧,∨,⇒,⇔oraz¬.
Definicja1.2 Waluacja˛nazywamy dowolny cia˛g π = (w ,w ,w ,...) wartos´ci lo-
0 1 2
gicznych.
Dla dowolnego zdania ϕ oraz dowolnej waluacji π = (w ,w ,w ,...) moz˙emy
0 1 2
okres´lic´ wartos´c´ π(ϕ)waluacjiπ naϕ. Procestennazywamywartos´ciowaniemzda-
niazdaniaϕnazadanejwaluacjiπ.
Definicja1.3(Wartos´ciowanie) Niech π be˛dzie waluacja˛. Dla dowolnej zmiennej
zdaniowej p okres´lamy π(p ) = w . Jes´li ϕ oraz ψ sa˛zdaniami i okres´lone sa˛juz˙
i i i
wartos´ciπ(ϕ)orazπ(ψ)),to
1. π((cid:62)) = 1,
2. π(⊥) = 0,
3. π(ϕ∧ψ) = π(ϕ)∧π(ψ),
4. π(ϕ∨ψ) = π(ϕ)∨π(ψ),
5. π(ϕ→ψ) = π(ϕ)⇒π(ψ),
6. π(ϕ↔ψ) = π(ϕ)⇔π(ψ),
7. π(¬ϕ) = ¬(π(ϕ)).
Powyz˙szadefinicjamoz˙ewygla˛dac´ naniecoskomplikowana˛. Lecztakwistocienie
jest. Stanietosie˛ zpewnos´cia˛jasnejuz˙ poprzes´ledzeniupierwszegoprzykładu.
Przykład1.2 Niech π = (1,0,1,1,1,1,...) oraz niech ϕ = ((p ∨p )∧(¬p )).
0 1 2
Wtedy
π(ϕ)=π((p ∨p )∧(¬p ))=π(p ∨p )∧π(¬p )=
0 1 2 0 1 2
(π(p )∨π(p ))∧¬(π(p ))=(1∨0)∧¬(1)=1∧0=0.
0 1 2
ROZDZIAŁ1. RACHUNEKZDAN´ 9
Obliczeniatemoz˙nazapisac´ troche˛ mniejformalnie,alezatobardziejczytelnie
π(ϕ)=(1∨0)∧(¬1)=1∧0=0.
Definicja1.4 Zdanieϕnazywamytautologia˛,cozapisujemyjako|=ϕ,jes´liπ(ϕ)=
1dladowolnejwaluacjiπ.
Najprostsza˛tautologia˛jest oczywis´cie zdanie (cid:62). Inny prosty przykład to zda-
nie p ∨¬p . Zauwaz˙my, z˙e do zbadania, czy dane zdanie jest waluacja˛wystarczy
0 0
tylkotenfragmentwaluacji,któryodpowiadazmiennymwchodza˛cymwskładanali-
zowanegozdania. Ułatwiatoznaczniebadanietego,czydanezdaniejestwaluacja˛i
sprowadzatozagadnieniedoznanejzeszkołys´redniejmetodyzero-jedynkowej.
Przykład1.3 Pokaz˙emy,z˙ezdanie((p ∨p )∨p )↔(p ∨(p ∨p ))jesttautologia˛.
0 1 2 0 1 2
Niechϕ=((p ∨p )∨p )orazψ =(p ∨(p ∨p )).Rozwaz˙mynaste˛puja˛ca˛tabelke˛:
0 1 2 0 1 2
p p p p ∨p p ∨p ϕ ψ ϕ↔ψ
0 1 2 0 1 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 1
W tabelce tej mamy 8 wierszy, gdyz˙ istnieje 8 = 23 równych kombinacji wartos´ci
logicznych p , p i p . W kolejnych kolumnach ustalonego wiersza prowadzone sa˛
0 1 2
wszystkiepomocniczeobliczenia, którychcelemjestwyznaczeniewartos´cilez˙a˛cejw
ostatniejkolumnie. Rozwaz˙anezdaniejesttautologia˛,gdyz˙wostatniejkolumniewy-
ste˛puja˛tylkowartos´ci1.
Zwróc´my uwage˛ na to, z˙e metoda tabelek zero - jedynkowych okres´la automa-
tyczna˛metode˛ badania tego, czy dane zdanie jest tautologia˛. Zagadnienia tego typu
nazywamy rozstrzygalnymi. Jednak metoda ta dla zdan´ zbudowanych ze 100 zmie-
nnych zdaniowych wymagałaby rozpatrzenia 2100 ≈ 1.2·1030 przypadków, co jest
zadaniemznacznieprzekraczaja˛cymmoceobliczeniowewspółczesnychkomputerów.
Niewiadomo,czyistniejeistotnieszybszyalgorytmrozstrzygaja˛cyodanymzdaniu,
czyjestonotautologia˛.
Definicja1.5 Zdanieϕnazywamysprzecznym,jes´liπ(ϕ)=0dladowolnejwaluacji
π.
Zdania sprzeczne nazywane sa˛czasem anty-tautologiami. Zauwaz˙my, z˙e zdanie
ψjestsprzecznewtedyitylkowtedy,gdyzdanie¬ψjesttautologia˛.Podobnie,zdanie
π jest tautologia˛wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie ¬ψ jest sprzeczne. Najprostszym
przykładem zdania sprzecznego jest zdanie ⊥. Innym prostym przykładem zdania
sprzecznegojestp ∧¬p .
0 0
Definicja1.6 Zdanie ϕ nazywamy spełnialnym, jes´li istnieje waluacja π taka, z˙e
π(ϕ)=1.
