Wst¦p do analizy falkowej Notatki z wykªadu

161 Pages·2008·2.51 MB·Polish

Wstƒp do analizy falkowej
Notatki z wyk“adu
Maciej Paluszy«ski
4 wrze–nia 2008
Spis tre–ci
1 Wstƒp 3
2 Funkcje o warto–ciach zespolonych 4
3 Przestrze« Hilberta 8
4 Przekszta“cenie Fouriera 41
5 Dodatek: kilka transformat 76
6 Analiza Wielorozdzielcza 77
7 Algorytmy Numeryczne 122
8 Materia“y na laboratorium 139
2
Rozdzia“ 1
Wstƒp
3
Rozdzia“ 2
Funkcje o warto–ciach
zespolonych i ca“kowanie
Zak“adamy, »e czytelnik zna liczby zespolone, wie, co to s¡ funkcje o war-
to–ciach zespolonych, i potra(cid:28) je ca“kowa¢. Kr(cid:243)tko tylko przypomnimy naj-
wa»niejsze zwi¡zane z tym fakty. Powiemy te» parƒ s“(cid:243)w o ca“ce Lebesgue’a.
Funkcja o warto–ciach zespolonych to, po prostu, funkcja przyjmuj¡ca
warto–ci w ciele liczb zespolonych.
f : E → C.
E
Na naszym wyk“adzie dziedzin¡ bƒdzie jaki– podzbi(cid:243)r zbioru liczb rze-
R R2
czywistych lub p“aszczyzny . Rozdzielaj¡c czƒ–¢ rzeczywist¡ i urojon¡
f
warto–ci funkcji mo»emy j¡ zapisa¢ w postaci
f = f +if ,
1 2
f f f
gdzie 1 i 2 s¡ funkcjami o warto–ciach rzeczywistych. 1 nazywamy czƒ–ci¡
f f f
rzeczywist¡ a 2 czƒ–ci¡ urojon¡ :
f = (cid:60)f, f = (cid:61)f.
1 2
Podstawowe pojƒcia analizy takie jak ci¡g“o–¢ czy r(cid:243)»niczkowalno–¢ przeno-
sz¡ siƒ “atwo na przypadek funkcji o warto–ciach zespolonych. M(cid:243)wimy, »e
f x f f
funkcja jest ci¡g“a w punkcie 0 je»eli obie czƒ–ci 1 i 2 s¡ w tym punk-
f x f f
cie ci¡g“e. M(cid:243)wimy, »e funkcja jest r(cid:243)»niczkowalna w 0 je»eli 1 i 2 s¡
x
r(cid:243)»niczkowalne w 0, oraz
f(cid:48)(x ) = f(cid:48)(x )+if(cid:48)(x ).
0 1 0 2 0
f(cid:48)
Pochodna te» jest funkcj¡ o warto–ciach zespolonych. Podobnie mo»emy
F
okre–li¢ funkcjƒ pierwotn¡: m(cid:243)wimy, »e funkcja jest funkcj¡ pierwotn¡
4
f x f
funkcji je»eli dla ka»dego z dziedziny mamy
F(cid:48)(x) = f(x).
f
Zauwa»my, »e funkcja pierwotna funkcji jest okre–lona z dok“adno–ci¡ do
f
sta“ej-oczywi–ciezespolonej(je»elidziedzina sk“adasiƒzkilkuoddzielnych
przedzia“(cid:243)wtosta“eoczywi–ciemog¡by¢r(cid:243)»nenaposzczeg(cid:243)lnychczƒ–ciach).
f
Podobnie postƒpujemy z ca“kowaniem. Dowoln¡ funkcjƒ pierwotn¡ funkcji
f
nazywamy jej ca“k¡ nieoznaczon¡. M(cid:243)wimy te», »e funkcja jest ca“kowalna
[a,b] f
w sensie Riemanna (lub Lebesgue’a) na odcinku je»eli obie jej czƒ–ci 1
f [a,b]
i 2 s¡ ca“kowalne na , i piszemy
(cid:90) (cid:90) (cid:90)
b b b
f(x)dx = f (x)dx+i f (x)dx
1 2
a a a
Zasadnicze twierdzenie analizy te» otrzymujemy natychmiast z elementarnej
F f
teorii: Je»elifunkcja jestdowoln¡funkcj¡pierwotn¡funkcji naprzedziale
[a,b]
, to
(cid:90)
b
f(x)dx = F(b)−F(a).
a
Podkre–lmy (cid:21) powy»szy wz(cid:243)r napisali–my dla przypadku funkcji o warto-
–ciach zespolonych, ale wynika on wprost, i w “atwy spos(cid:243)b, z analogicznego
wzoru dla funkcji o warto–ciach rzeczywistych. Nie bƒdziemy ju» pisa¢ szcze-
g(cid:243)“(cid:243)w, ale wszystkie twierdzenia znane z analizy funkcji o warto–ciach rze-
czywistych przenosz¡ siƒ natychmiast na funkcje o warto–ciach zespolonych.
Odnosi siƒ to do r(cid:243)»niczkowania iloczynu, r(cid:243)»niczkowania funkcji z“o»onej
(oczywi–cie, kiedy takie z“o»enie ma sens, czyli pierwsza nak“adana funk-
cja musi mie¢ warto–ci rzeczywiste), ca“kowania przez czƒ–ci czy ca“kowania
f g
przez podstawienie. Na przyk“ad, niech funkcje i bƒd¡ dwoma r(cid:243)»niczko-
f f g g
walnymi funkcjami o warto–ciach zespolonych, a 1, 2, 1 i 2 ich czƒ–ciami
rzeczywistymi i urojonymi.
f = f +if , g = g +ig .
1 2 1 2
5
x
Obliczymy pochodn¡ iloczynu w jakim– punkcie dziedziny.
(f ·g)(cid:48)(x) = ((f +if )·(g +ig ))(cid:48)(x)
1 2 1 2
= (f ·g +f ·ig +if ·g −f ·g )(cid:48)(x)
1 1 1 2 2 1 2 2
= ((f ·g −f ·g )+i(f ·g +f ·g ))(cid:48)(x)
1 1 2 2 1 2 2 1
= (f ·g −f ·g )(cid:48)(x)+i(f ·g +f ·g )(cid:48)(x)
1 1 2 2 1 2 2 1
= f(cid:48)(x)g (x)+f (x)g(cid:48)(x)−f(cid:48)(x)g (x)−f (x)g(cid:48)(x)+
1 1 1 1 2 2 2 2
+i(f(cid:48)(x)g (x)+f (x)g(cid:48)(x)+f(cid:48)(x)g (x)+f (x)g(cid:48)(x))
1 2 1 2 2 1 2 1
= (f(cid:48)(x)+if(cid:48)(x))g (x)+i(f(cid:48)(x)+if (x))g (x)+
1 2 1 1 2 2
+f (x)(g(cid:48)(x)+ig(cid:48)(x))+if (x)(g(cid:48)(x)+ig (x))
1 1 2 2 1 2
= f(cid:48)(x)(g (x)+ig (x))+(f (x)+if (x))g(cid:48)(x)
1 2 1 2
= f(cid:48)(x)·g(x)+f(x)·g(cid:48)(x).
Uwaga: Ci¡g“o–¢, r(cid:243)»niczkowalno–¢ czy ca“kowalno–¢ to pojƒcia zde(cid:28)nio-
wane przy pomocy pojƒcia zbie»no–ci. Zbi(cid:243)r liczb zespolonych ma naturaln¡
metrykƒ, wiƒc bez problemu mogliby–my zde(cid:28)niowa¢ powy»sze pojƒcia nie
odwo“uj¡c siƒ do teorii funkcji o warto–ciach rzeczywistych, czyli bez rozdzie-
lania czƒ–ci rzeczywistej i urojonej. Otrzymaliby–my, oczywi–cie, to samo.
Nie ma tu wiƒc »adnych problem(cid:243)w.
Przyk“ad: Funkcj¡, kt(cid:243)ra stale bƒdzie siƒ przewija¢, jest funkcja wyk“adni-
cza
(cid:88)∞ (ix)n
f(x) = eix = .
n!
n=0
x
Dla rzeczywistego mamy wzory
eix = cosx+i sinx,
eix cosx sinx
a wiƒc czƒ–ci¡ rzeczywist¡ funkcji jest a czƒ–ci¡ urojon¡ . Wi-
eix 2π
dzimy wiƒc, »e jest okresowa o okresie , oraz
(cid:161) (cid:162)
eix (cid:48) = (cosx)(cid:48) +i(sinx)(cid:48)
= −sinx+i cosx
= i(cosx+i sinx)
= ieix.
Funkcjƒ tƒ “atwo wiƒc r(cid:243)»niczkowa¢ i ca“kowa¢.
6
Ca“ka Lebesgue’a
Ca“kaLebesgue’a(zkt(cid:243)rejkorzystamynatymwyk“adzie)nier(cid:243)»nisiƒbardzo
odca“kiRiemanna. Funkcjaci¡g“anaprzedzialesko«czonymjestca“kowalna
i w sensie Riemanna i w sensie Lebesgue’a i ca“ki s¡ sobie r(cid:243)wne. W obu
przypadkach ca“ka reprezentuje pole obszary zawartego pomiƒdzy wykresem
OX
aosi¡ (je»elimy–limyoca“cefunkcjiowarto–ciachrzeczywistych),wziƒte
+ OX −
ze znakiem je»eli wykres jest powy»ej osi i ze znakiem je»eli wykres
OX
jest poni»ej osi . Obie ca“ki r(cid:243)»ni¡ siƒ sposobem obliczenia tego pola. W
przypadku ca“ki Riemanna dzielimy dziedzinƒ funkcji i obszar pod wykresem
przybli»amyprzezpionoweprostok¡tyzbudowanenatakpodzielonejdziedzi-
nie. W przypadku ca“ki Lebesgue’a dzielimy zbi(cid:243)r warto–ci funkcji, i obszar
pod wykresem przybli»amy przez poziome (cid:18)paski(cid:17) w nim zawarte. Oczy-
wi–cie, dla wystarczaj¡co regularnych funkcji obie konstrukcje prowadz¡ do
tego samego. Wyliczymy obecnie kilka fakt(cid:243)w dotycz¡cych ca“ki Lebesgue’a.
Nie bƒdziemy wnika¢ w szczeg(cid:243)“y teorii tej ca“ki, chcemy tylko przypomnie¢
fakty z kt(cid:243)rych bƒdziemy korzystali.
• f
Funkcja jest ca“kowalna wtedy i tylko wtedy, gdy ca“kowalna jest
|f|
funkcja . Jest wiƒc inaczej ni» w przypadku ca“ki Riemanna, dla
|f| f
kt(cid:243)rej funkcja mo»e by¢ ca“kowalna, a nie.
• f
Je»eli funkcja nie jest ca“kowalna w sensie Lebesgue’a, to w zasadzie
|f|
oznaczato,»epoleobszarupodwykresem jestniesko«czone. Bardzo
rzadkie s¡ przypadki funkcji, kt(cid:243)re mog“yby by¢ nieca“kowalne w sensie
Lebesgue’a z przyczyn (cid:18)strukturalnych(cid:17). Jest to istotna r(cid:243)»nica z ca“k¡
Riemanna, gdzie “atwo mo»e siƒ zdarzy¢, »e funkcja ograniczona jest
nieca“kowalna (cid:21) wystarczy »e ma du»o punkt(cid:243)w nieci¡g“o–ci.
• f → f E f
Je»eli n w ka»dym punkcie zbioru , oraz wszystkie funkcje n
g
s¡ wsp(cid:243)lnie ograniczone przez jak¡– funkcjƒ ca“kowaln¡ , czyli
(cid:90)
|f (x)| ≤ g(x), g(x)dx < ∞,
n oraz
E
to (cid:90) (cid:90)
f(x)dx = lim f (x)dx.
n
n→∞
E E
Jest to tak zwane twierdzenie Lebesgue’a o zbie»no–ci ograniczonej.
Bƒdziemy z niego czƒsto korzysta¢.
7
Rozdzia“ 3
Przestrze« Hilberta
Przestrze« liniowa
Przestrze« liniowa to zbi(cid:243)r, kt(cid:243)rego elementy (na kt(cid:243)re zwyczajowo m(cid:243)wmy
(cid:18)wektory(cid:17)) mo»na dodawa¢, odejmowa¢ i mno»y¢ przez liczby (skalary). Ska-
lary mog¡ by¢ liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, i czasem podkre–la
siƒ, »e przestrze« liniowa o kt(cid:243)rej mowa jest rzeczywista (skalarami s¡ liczby
rzeczywiste) lub zespolona (skalarami s¡ liczby zespolone). My najczƒ–ciej
rozwa»a¢ bƒdziemy przestrzenie liniowe zespolone, gdy» z punktu widzenia
teorii matematycznej tak jest najwygodniej. Dzia“ania na wektorach musz¡
spe“nia¢ zwyk“e warunki zwi¡zane z liczbami, takie jak przemienno–¢, “¡cz-
no–¢ rozdzielczo–¢ mno»enia wzglƒdem dodawania i temu podobne. Podzbi(cid:243)r
przestrzeni liniowej, kt(cid:243)ry sam w sobie te» jest przestrzeni¡ liniow¡ (to zna-
czy jest zamkniƒty ze wzglƒdu na dodawanie i odejmowanie wektor(cid:243)w, oraz
mno»enie przez skalary) nazywamy podprzestrzeni¡ linow¡.
E
Przyklad: Rozwa»my zbi(cid:243)r wszystkich funkcji
f : R → C,
czyli funkcji zmiennej rzeczywistej o warto–ciach zespolonych. Dodawanie,
odejmowanie funkcji i mno»enie przez skalar okre–lamy zwyczajnie, punk-
(f +g)(x) = f(x)+g(x)
towo. Na przyk“ad . Z tak okre–lonymi dzia“aniami
E
zbi(cid:243)r jest zespolon¡ przestrzeni¡ liniow¡ (jest tak»e, oczywi–cie, rzeczywi-
H E
st¡ przestrzeni¡ liniow¡). Niech bƒdzie podzbiorem sk“adaj¡cym siƒ z
funkcji parzystych, czyli takich, »e
∀ x ∈ R f(−x) = f(x).
H E
Nietrudno zauwa»y¢, »e jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni .
8
Przestrze« metryczna
Przestrzenie liniowe kt(cid:243)re bƒdziemy rozwa»a¢ bƒd¡ jednocze–nie przestrze-
niami metrycznymi. Przypomnijmy wiƒc kr(cid:243)tko pojƒcie przestrzeni metrycz-
X
nej. Przestrze« metryczna to zbi(cid:243)r w kt(cid:243)rym zde(cid:28)niowana jest funkcja
odleg“o–ci (tak zwana metryka), czyli funkcja dw(cid:243)ch zmiennych
d : X ×X → R,
o nastƒpuj¡cych w“asno–ciach:
d(x,y) = d(y,x)
(a). czyli metryka jest symetryczna,
d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y)
(b). , jest to tak zwana nier(cid:243)wno–¢ tr(cid:243)jk¡ta,
d(x,y) ≥ 0 d(x,y) = 0 ⇔ x = y
(c). oraz .
W przestrzeni metrycznej mo»na m(cid:243)wi¢ o tak zwanej topologii, czyli o
{x }
zbie»no–ci ci¡g(cid:243)w. M(cid:243)wimy, »e ci¡g n element(cid:243)w przestrzeni metrycznej
X x ∈ X
jest zbie»ny do elementu , je»eli
n→∞
d(x,x ) −−−→ 0.
n
Przestrze« metryczna zupe“na
Wa»n¡ w“asno–ci¡ przestrzeni metrycznych jest tak zwana zupe“no–¢ (w sen-
sie topologicznym). W przestrzeniach zupe“nych ci¡gi spe“niaj¡ce warunek
Cauchy’ego s¡ zbie»ne. Przypomnijmy ten warunek. Niech bƒdzie dany ci¡g
x ,x ,... X
1 2 przestrzeni metrycznej . Ci¡g ten spe“nia warunek Cauchy’ego,
je»eli
∀ (cid:178) > 0 ∃ N ∈ N ∀ m,n ≥ N d(x ,x ) < (cid:178).
m n (3.1)
X
Przestrze« metryczna jest zupe“na (w sensie topologicznym), je»eli ka»dy
{x } X X
ci¡g n w spe“niaj¡cy warunek (3.1) ma w granicƒ. Jako matematycy
musimy wspomnie¢ o tym warunku, ale na tym wyk“adzie nie bƒdziemy go
roztrz¡sa¢. Wszystkie przestrzenie z kt(cid:243)rymi bƒdziemy mieli do czynienia
s¡ zupe“ne. Nie bƒdziemy tego dowodzi¢. Podkre–lmy jeszcze raz: w“asno–¢
przestrzeni metrycznych m(cid:243)wi¡ca, »e ci¡gi spe“niaj¡ce warunek Cauchy’ego
(3.1) s¡ zbie»ne to tak zwana zupe“no–¢ (w sensie topologicznym). Kiedy
przejdziemy do pojƒcia bazy przestrzeni liniowej bƒdziemy te» m(cid:243)wi¢ o zu-
pe“no–ci w sensie algebraicznym. Warto pamiƒta¢, »e to zupe“nie inne po-
jƒcia.
9
Przestrze« Hilberta
E
Przestrzeni¡ Hilberta nazywamy przestrze« liniow¡ w kt(cid:243)rej zde(cid:28)niowany
jest iloczyn skalarny, czyli funkcja dw(cid:243)ch zmiennych
(cid:104)·,·(cid:105) : E ×E → C,
spe“niaj¡ca nastƒpuj¡ce warunki
(cid:104)x,y(cid:105) = (cid:104)y,x(cid:105)
(a). (m(cid:243)wimy, »e iloczyn skalarny jest antysymetryczny),
(cid:104)x+y,z(cid:105) = (cid:104)x,z(cid:105)+(cid:104)y,z(cid:105) (cid:104)αx,y(cid:105) = α(cid:104)x,y(cid:105)
(b). , (m(cid:243)wimy, »e iloczyn ska-
larny jest liniowy wzglƒdem pierwszej zmiennej),
(cid:104)x,y + z(cid:105) = (cid:104)x,y(cid:105) + (cid:104)x,z(cid:105) (cid:104)x,αy(cid:105) = α(cid:104)x,y(cid:105)
(c). , (m(cid:243)wimy, »e iloczyn
skalarny jest antyliniowy wzglƒdem drugiej zmiennej),
(cid:104)x,x(cid:105) ≥ 0 (cid:104)x,x(cid:105) = 0 ⇔ x = 0
(d). oraz
x,y,z E α
( to dowolne wektory z przestrzeni , to dowolna liczba zespolona, a
···
kreska oznacza sprzƒ»enie zespolone).
Uwaga: M(cid:243)wi¡c –ci–le przestrze« Hilberta musi spe“nia¢ jeszcze dwa wa-
runki: musi by¢ o–rodkowa (czyli musi posiada¢ przeliczaln¡ bazƒ topolo-
giczn¡), oraz musi by¢ przestrzeni¡ metryczn¡ zupe“n¡ (wzglƒdem metryki
otrzymanej z iloczynu skalarnego, kt(cid:243)r¡ opiszemy poni»ej). Wszystkie prze-
strzenie kt(cid:243)re bƒdziemy rozwa»a¢ bƒd¡ spe“nia“y te dwa dodatkowe warunki,
i nie bƒdziemy zajmowali siƒ szczeg(cid:243)“ami.
Istnienie iloczynu skalarnego pozwala nam m(cid:243)wi¢ o tak zwanej geometrii.
Mo»na zde(cid:28)niowa¢ pojƒcie prostopad“o–ci wektor(cid:243)w, k¡ta miƒdzy wektorami
i innych geometrycznych pojƒ¢. Iloczyn skalarny daje nam tak zwan¡ normƒ,
czyli d“ugo–¢ wektor(cid:243)w.
Norma wektora
(cid:107) · (cid:107) E
Norm¡ nazywamy funkcjƒ na przestrzeni liniowej o warto–ciach rze-
czywistych, spe“niaj¡c¡ warunki
(cid:107)x(cid:107) ≥ 0 (cid:107)x(cid:107) = 0 ⇔ x = 0
(a). oraz ,
(cid:107)αx(cid:107) = |α|(cid:107)x(cid:107)
(b). ,
(cid:107)x+y(cid:107) ≤ (cid:107)x(cid:107)+(cid:107)y(cid:107)
(c). (nier(cid:243)wno–¢ tr(cid:243)jk¡ta)
10