Wiskunde: algebra, analyse en meetkunde

466 Pages·2016·23.6 MB·Dutch

Wiskunde: algebra, analyse
en meetkunde
Prof. Gert Sonck
Bachelor Bio-ingenieurswetenschappen
Bachelor ingenieurswetenschappen: architectuur
september 2018
Copyright 2018 Gert Sonck - Vrije Universiteit Brussel
'
Achtste uitgave, september 2018
Dit werk wordt vrijgegeven onder de Creative Commons licentie CC BY 4.0.
Jekandelicentienalezenophttp://creativecommons.org/licenses/by-nc/
3.0. Alle gebruikte foto’s zijn eigendom van de auteur
Inhoudsopgave
1 Getallen en functies ..................................... 11
1.1 Symbolische sommaties 11
1.2 Complexe getallen 11
1.3 Combinatoriek 11
1.4 Cyclometrische getallen 12
1.5 Functies en grafieken 12
1.6 Goniometrische en cyclometrische functies 12
1.7 Oefeningen bij Hoofdstuk 1 12
2 Limieten, afgeleiden, integralen ....................... 17
2.1 Limieten van functies 17
2.2 Asymptoten van functies 17
2.3 Afgeleiden en afgeleide functies 17
2.4 Functieonderzoek 17
2.5 Onbepaalde integralen 18
2.6 Oefeningen bij Hoofdstuk 2 18
3 Logica en verzamelingen ............................... 23
3.1 Logica 23
3.2 Verzamelingen 23
3.3 Bewijstechnieken 24
3.4 Oefeningen bij Hoofdstuk 3 24
4 Stelsels en matrices ..................................... 27
4.1 Matrices 27
4.2 Stelsels van lineaire vergelijkingen 27
4.3 Determinanten 27
4.4 Oefeningen bij Hoofdstuk 4 28
5 Ruimtemeetkunde ....................................... 31
5.1 Vectoren 31
5.2 Vectorvergelijkingen van rechten en vlakken 31
5.3 Coördinaten 31
5.4 Parametervergelijkingen en Cartesische vergelijkingen 31
5.5 Afstand, norm en inproduct 31
5.6 Onderlinge ligging van rechten en vlakken 32
5.7 Vectorieel product en volumes 32
5.8 Oefeningen bij Hoofdstuk 5 32
6 Lineaire transformaties ................................. 37
6.1 Vectoren in (cid:82)n en bewerkingen 37
6.2 Het euclidisch inproduct van vectoren, afstand en norm 45
6.3 Definitie en voorbeelden van lineaire transformaties 52
6.4 Meetkundige voorbeelden van lineaire operatoren 54
6.5 Eigenschappen van lineaire transformaties 63
6.6 Algemene spiegelingen en loodrechte projecties 77
6.7 Toepassing: Benaderde oplossingen van een vergelijking 86
6.8 Oefeningen bij Hoofdstuk 6 88
7 Diagonalisatie van matrices ............................ 93
7.1 Deelruimten 94
7.2 Lineaire onafhankelijkheid en afhankelijkheid 102
7.3 Basis van een deelruimte 107
7.4 Rang van een matrix 116
7.5 Kleinste kwadraten oplossingen van stelsels 124
7.6 Eigenwaarden en eigenvectoren 133
7.7 Toepassing: Bevolkingsmigratie 145
7.8 Oefeningen bij Hoofdstuk 7 150
8 Rijen en toepassingen ................................ 155
8.1 Convergentie van rijen van reële getallen 156
8.2 De volledigheid van de reële getallen 174
8.3 Continuïteit 179
8.4 Nulpunten en benaderingsmethoden 188
8.5 Oefeningen bij Hoofdstuk 8 199
9 Afgeleiden en toepassingen .......................... 203
9.1 Differentieerbaarheid 203
9.2 De middelwaardestelling 205
9.3 Linearisatie 212
9.4 De Kettingregel 222
9.5 Optimalisatieproblemen 223
9.6 De Stelling van de l’Hôpital 225
9.7 De benaderingsmethode van Newton-Raphson 230
9.8 Oefeningen bij Hoofdstuk 9 235
10 Integralen en toepassingen .......................... 243
10.1 De Riemannintegraal 243
10.2 Oppervlakte van vlakke gebieden 254
10.3 De Hoofdstelling van de calculus 258
10.4 Lengte, volume en oppervlakte 269
10.5 Veralgemeningen van de Riemannintegraal 288
10.6 De errorfunctie van Gauss 311
10.7 Oefeningen bij Hoofdstuk 10 314
11 Differentiaalvergelijkingen ........................... 321
11.1 Oplossingen van differentiaalvergelijkingen 322
11.2 Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde 329
11.3 Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde 342
11.4 Differentiaalvergelijkingen van hogere orde 374
11.5 Stelsels van differentiaalvergelijkingen 376
11.6 Oefeningen bij Hoofdstuk 11 381
12 Krommen en kwadrieken ............................. 391
12.1 Andere coördinatenstelsels 392
12.2 Vectoriële functies van één variabele 400
12.3 Krommen 412
12.4 Krommen in poolcoördinaten 435
12.5 Kwadrieken 442
12.6 Oefeningen bij Hoofdstuk 12 449
Bibliografie ............................................ 457
Index ................................................... 459
Voorwoord
Gedurende de zes jaar secundair onderwijs stond er heel wat wiskunde op
je programma. Wanneer je een wetenschappelijk gerichte opleiding in het
hoger onderwijs aanvat, neemt het belang van wiskundige kennis en vaar-
digheden uiteraard niet af. De beheersing van verschillende wiskundige
technieken zal in andere wetenschappelijke en toegepast wetenschappe-
lijke disciplines in je opleiding onontbeerlijk zijn.
In deze basiscursus wiskunde in opleidingen Bachelor Bio-ingenieursweten-
schappen en Bachelor Ingenieurswetenschappen: architectuur worden on-
derwerpen uit de lineaire algebra en de calculus van functies van één vari-
abele behandeld. Deze onderwerpen diepen leerstof uit het secundair on-
derwijs verder uit om te komen tot technieken die in de wetenschappen en
toegepaste wetenschappen op academisch niveau veelvuldig gebruikt wor-
den. We denken hierbij bijvoorbeeld aan het diagonaliseren van matrices,
met toepassingen bijvoorbeeld in de migratie van populaties, aan het voor-
stellen in parametervorm van krommen in de ruimte, met toepassingen in
de natuurkunde, en aan het oplossen van differentiaalvergelijkingen, met
toepassingen in vele wetenschappelijke domeinen.
Verder wil deze cursus je ervaring laten opdoen met het maken van on-
derbouwde en correcte redeneringen en met het gestructureerd formuleren
van deze redeneringen. Waar mogelijk werden alle afleidingen en bewijzen
in de tekst opgenomen. Zo ontstaat een model van een wetenschappelijke
theorie waarbij de kennis steeds verder uitgebreid wordt door uitdieping en
verder onderzoek van eerder bekomen resultaten.
Er werd grote zorg besteed aan de opbouw, aan de formuleringen en aan
de figuren. Deze figuren zijn meer dan louter illustraties en hebben een be-
langrijke didactische functionaliteit: ze dragen bij tot de conceptvorming en
zijn essentieel voor een goed begrip van de tekst.
8
De definities in de tekst vormen essentiële bouwstenen in de theorie: ze for-
maliseren concepten en leggen begrippen eenduidig vast. Het is in termen
van deze definities dat de wiskundige resultaten precies kunnen geformu-
leerd worden. Een lezing van de tekst is slechts mogelijk na het beheer-
sen van de definities, zowel de precieze formulering ervan als verschillende
voorbeelden die de gedefinieerde concepten illustreren.
Er dient benadrukt te worden dat de wiskundige leerstof in deze cursus niet
kan beheerst worden door de tekst slechts passief door te nemen. De lezer
moet de voorbeelden, afleidingen en bewijzen doorgronden en zelfstandig
kunnen reconstrueren. Slechts op die manier ontstaat er inzicht in de leer-
stof, tot in de details.
Naast het theoriegedeelte vormen de bijhorende oefeningen een essentieel
onderdeel van deze cursus. Enkel door het zelfstandig maken van vele oefe-
ningen, kan men het doel en de draagkracht van de theorie vatten en krijgt
men de nodige vaardigheid in het toepassen van de technieken.
Voor een goede start in deze cursus is het noodzakelijk dat de lezer over
een basis aan wetenschappelijke geletterdheid beschikt en dat de nodige
voorkennis aanwezig is. De eerste vijf hoofdstukken van deze cursus her-
halen onderwerpen die ook voorkomen in de leerplannen wiskunde van het
secundair onderwijs, voor deze hoofdstukken is het boek [Son13] het cur-
susmateriaal. Dit boek kan de student helpen om een inhaalbeweging te
maken indien hij of zij de nodige voorkennis uit het secundair onderwijs
onvoldoende beheerst en zal ook gedurende de verdere studie een handig
naslagwerk blijven. Bij het begin van deze cursus wordt de belangrijkste
voorkennis, die van een student die deze cursus aanvat verwacht wordt,
opgelijst. De student heeft de verantwoordelijkheid om deze voorkennis, in-
dien nodig, zelfstandig op te frissen of bij te werken.
Een eerste versie van deze cursustekst werd geschreven tijdens het eerste
semester van het academiejaar 2010-2011. Tijdens de volgende academie-
jarenwerddeteksttelkensaangepastenverbeterd,metnogmeeraandacht
voor figuren en voorbeelden. Ook de layout van de cursus werd in de zomer
van 2016 opgefrist. De voorliggende versie bevat kleine aanpassingen die
gebeurden tijdens de maand september van 2018.
Mijn oprechte dank gaat uit naar de volgende collega’s en medewerkers
voor hun inzet bij de voortdurende verbetering van de kwaliteit van deze
cursus: Tom Dorissen, Evy Rombaut, Maya Van Campenhout, Mark Sioen,
Karen Van Opdenbosch, Timmy Fieremans, Jordy Vanpoucke, Matthias Floré
en Anna Marconato.
Gert Sonck
september 2018
Voorkennis
Deze cursus bouwt verder op de leerplaninhouden van het vak wiskunde in
het Vlaams secundair onderwijs. De gevolgde studierichting en het bereikte
niveau voor wiskunde is niet dezelfde voor alle studenten die het secundair
onderwijs verlaten. Daarom worden de eerste vijf hoofdstukken gebruikt
voor de herhaling van een aantal begrippen en technieken die misschien
niet voor alle studenten tot de parate kennis behoren. In de onderwijsactivi-
teitenbijdezecursuswordenookenkelelestijdenbesteedaandebijhorende
theorie en oefeningen.
Naast de leerstof die in de eerste vijf hoofdstukken van deze cursus aan bod
komt,wordtervandestudentdiedezecursusaanvateenvlotvaardigheids-
niveau verondersteld voor het rekenen met reële getallen en veeltermen en
voor het oplossen van stelsels. Ook wordt er een sterke basiskennis veron-
dersteld in de vlakke meetkunde en de goniometrie. Voor de herhaling van
deze basiskennis, die behoort tot de leerstof van de tweede en derde graad
in het secundair onderwijs, worden in deze cursus geen onderwijsactivitei-
ten voorzien. Het is de verantwoordelijkheid van de student zelf om, indien
nodig, deze leerstof te herhalen en bij te werken. De veronderstelde basis-
kennis wordt hieronder opgelijst met verwijzing naar de betreffende secties
in het boek [Son13].
1. Algebra
(cid:136) Reële getallen: sectie 1.1 in Wiskundige basisvaardigheden
(cid:136) Orde op reële getallen: sectie 1.2 in Wiskundige basisvaardighe-
den
(cid:136) Machten, machtswortels en logaritmen: sectie 1.3 in Wiskundige
basisvaardigheden
10
(cid:136) Merkwaardige producten: sectie 1.4 in Wiskundige basisvaardig-
heden
Veeltermen: sectie 1.6 in
(cid:136)
emphWiskundige basisvaardigheden
(cid:136) Vergelijkingen en stelsels: sectie 1.7 in Wiskundige basisvaardig-
heden
2. Vlakke meetkunde
(cid:136) Vectoren: sectie 3.1 in Wiskundige basisvaardigheden
(cid:136) Vectorvergelijking van een rechte: sectie 3.2 in Wiskundige basis-
vaardigheden
(cid:136) Coördinaten: sectie 3.3 in Wiskundige basisvaardigheden
Parameterbergelijkingenencartesischevergelijkingvaneenrechte:
(cid:136)
sectie 3.4 in Wiskundige basisvaardigheden
(cid:136) Afstand en norm: sectie 3.5 in Wiskundige basisvaardigheden
(cid:136) Onderlingeliggingvanrechtenenpunten: sectie3.6inWiskundige
basisvaardigheden
(cid:136) Vrije en gebonden vectoren: sectie 3.7 in Wiskundige basisvaar-
digheden
(cid:136) Kegelsneden: sectie 3.8 in Wiskundige basisvaardigheden
(cid:136) Grafischoplossenvanstelselsongelijkheden: sectie3.9inWiskun-
dige basisvaardigheden
3. Goniometrie
(cid:136) Hoeken: sectie 4.1 in Wiskundige basisvaardigheden
Goniometrischegetallenvaneengeoriënteerdehoek: sectie4.2in
(cid:136)
Wiskundige basisvaardigheden
(cid:136) Driehoeksmeting: sectie 4.3 in Wiskundige basisvaardigheden
(cid:136) Goniometrische formules: sectie 4.4 in Wiskundige basisvaardig-
heden
(cid:136) Goniometrischevergelijkingen: sectie4.6inWiskundigebasisvaar-
digheden