Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Wilhelm Rödder· Peter Zörnig
Wirtschaftsmathematik
für Studium und Praxis 3
Analysis 11
Mit 29 Abbildungen
und 1 Tabelle
t
Springer
Prof. Dr. Wilhelm Rödder
FernUniversität Hagen
Fachbereich Wirtschaftswissenschaft,
Lehrgebiet für Betriebswirtschaftslehre,
insb. Operations Research
Postfach 940
D-S8084 Hagen
Dr. Peter Zörnig
Universidade de Brasilia
Departamento de Matematica
Brasilia, Brasilien
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaurnahme
WIrtschaftsmathematIk für Studium und Praxis. - Berlin :
Heidelberg : New York ; Barcelona; Budapest : Hong Kong :
London : Milan: Paris: Santa Clara : Singapore : Tokyo :
Springer.
(Spri nger-Lehrbuch)
3. Analysis. - 11 I Wilhelm Rödder ; Peter Zörnig. - 1996
ISBN 978-3-540-61716-7 ISBN 978-3-642-59082-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-59082-5
NE: Rödder. Wilhelm
ISBN 978-3-540-61716-7
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@ Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1997
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SPIN 10551299 4212202-5 4 3 2 1 0 - Gedruckt auf säurefreiem Papier
Vorwort
Der vorliegende Lehrtext "Wirtschaftsmathematik flir Studium und Praxis" er
scheintindreiBOOdenmitdenUntertiteln
• LineareAlgebra (Kapitel Ibis9)
• AnalysisI (KapitellObis12)
• AnalysisII (Kapitel 13bis16)
Er ist inhaltsgleichmitdem an der FernUniversitiit (FeU) in Hagen entwickelten
KursMathematikjUrWirtschaftswissenschaftler.
Der Text ist stark strukturiert: Wichtige mathematische Vereinbarungen sind als
Dejinitionen, wichtige Aussagen als Stitze oderderen Korol/are formuliert; Bei
spiele erliiutern mathematische Zusammenhooge oder stellenden Bezug zu wirt
schaftswissenschaftlichen Anwendungen her, Abbildungen visualisieren sie. In
ObungsaufgabenwerdenSieaufgefordert, Ihr Wissen zu iiberprufen. Die Losun
gensindzwarinjedemBandamEndebeigefligt,solltenjedochnurzur Kontrolle
eigenerLosungsvorschliigedienen.
SpeziellanderFernUniversitiit,aberauchverstiirktanPriisenzuniversitiitenundin
derPraxisistderLernendeaufsichselbstgestellt; mitderFoigeoftgroBerUnsi
cherheit hinsichtlich der Einschiitzung eigenen Vorwissens und eines geeigneten
Lemrhythmus. WirhabendieserUnsicherheitRechnunggetragen,indem wireinen
(inallenBOOdengleichen)LeitfadenzurLektiireanbieten. DortwerdenSiesicher
durchdenLehrstoffgefiihrt.
Band 3"AnalysisII"liefertdem Studierendenoderdem Praktikerdie anspruchs
vollerenanalytischen Hilfsmittel flirdie Mikrookonomik, die Produktionstheorie,
dieInvestitionsrechnungoderdasOperationsResearch. FunktionenmehrererVaria
bier, deren Differentiation (und Integration), Differentialgleichungen und Diffe
renzengleichungensinddiemathematischenInhalte. Sieunterscheidensichjedoch
wesentlich von denen entsprechenderKurse flir Mathematiker. Substitutionsraten
(von Produktionsfaktoren), Kreuzelastizitiiten (von Preisen) oder Wachstumsmo
delle(flirdas Volkseinkommen)sind nureinigeeigensfUr die undvonden Wirt
schaftswissenschaftengepriigteBegriffe.DasStudiumvonBand3istauchflirden
Mathematiker, Ingenieur oder Physiker unabdingbar, der ein okonomisches Zu
satzstudiumabsolviert.
vi Vorwort
Wie schon bei den ersten beiden Biinden unterzogen sich Frau Schartl und Frau
Michalik der Mtihe, den Text zu schreiben, und Frau Dr. Piehler war der gute
Geist,beidemtiberdiefachlichen GesprachehinausalleorganisatorischenFiiden
zusarnmenliefen.Ihnenallenseiherzlichgedankt.
Hagen,imJuni 1996
Inhaltsverzeichnis
LeitfadenzurLektiirederWirtscbaftsmatbematik.•.....••..•••.•.•••.•...••.•...••••..•••.ix
InbaltsiibersicbtzuBand1..•••..••••.•.•.•.•..•••....•••...••••..••..•.•••••..••••.•••..•••••••..•••..•••xiv
InbaltsiibersicbtzuBand2 xvi
Symbolverzeicbnis xvii
13.DifferentialrecbnungffirFunktionenmebrererVariabler 1
13.1.ReelleFunktionenmehrererVariabler I
13.2.PartielieAbleitungen 11
13.3.DerBegriffdestotalenDifferentials 22
13.4.AnderungsratenundElastizitaten 31
13.5.PartielleAnderungsratenundElastizitaten 44
14.ExtremabeiFunktionenmebrererVariabler 49
14.1.Grundbegriffe 49
14.2.KonvexitatundKonkavitat... 54
14.3.KriterienzurBestimmunglokalerExtrema 62
14.4.OkonomischeAnwendungsbeispiele 68
14.5.ExtremaunterNebenbedingungen 72
15.Differential-undDifferenzengleicbungen 83
15.1GrundbegriffederDifferentialgleichungen 83
15.2DifferentialgleichungmitgetrenntenVariablen 86
15.3ExakteDifferentialgleichung 90
15.4AhnIichkeitsdifferentialgleichung 95
15.5AllgemeinelineareDifferentialgleichungen 99
15.6LineareDifferentialgleichungenmitkonstantenKoeffizienten 106
15.7LineareDifferentialgleichungeninderOkonomie 110
15.8LineareDifferenzengleichungen 112
15.9LineareDifferenzengleichungeninderOkonomie 120
viii Inhaltsverzeichnis
16.EinigeiikonomischeFunktionen 123
16.1.Nachfragefunktion , 123
16.2.Engel-Funktionen 124
16.3.Angebotsfunktion 125
16.4.Produktionsfunktion 126
16.5.Kostenfunktion 128
16.6. LogistischeFunktion 129
16.7.Lagerkostenfunktion 131
16.8.Treppenfunktion 132
16.9.Weibull-Verteilung 133
16.10.Normalverteilung 135
LiisungenzudenUbungsaufgaben 145
Literaturverzeichnis 169
Stichwortverzeichnis 174
Leitfaden zur Lektiire der
Wirtschaftsmathematik
Durch zahlreiche Gesprache mit Mentoren und Studenten wurden wir angeregt,
diesenLeitfadenzuschreiben.ErsolieineffizientesDurcharbeitenderdrei Bande
ermoglichenundIhnendieScheuvordemStoffnehmen.
FUrdiejenigen unter Ihnen, die an der Schuleden Leistungskurs Mathematik ge
wiihltoderaberbereitseinquantitativesStudienfachabsolviert haben, istdie Wirt
schaftsmathematik ohnehin "Spielerei". Den iibrigen wird empfohlen, ohne Be
riihrungsangste an das Fach heranzugehen: Auch wenn sich Ihr Interesse an den
NaturwissenschaftenbisherinGrenzenhielt- SiefindenheutekaumnocheinStu
dienfachohneformal-mathematischeundEDV-technischeGrundlagen.
Natiirlich gibtes auch fUr den mathematisch gut vorgebildeten Leser viel Neues,
dennder Kurs Wirtschaftsmathematikverfolgtdas Ziel, nebenden bereitsaufge
ziihltenGrundlagengeradedieSachverhaltezuvermitteln,die imLaufeineswirt
schaftswissenschaftlichen Studiums immer wieder gebraucht werden, die in der
SchulmathematikoderStudiengangenderNaturwissenschaftenjedochvemachlas
sigtwerden.
DiefolgendenAusfUhrungenteilenwiraufinLektUreratscWagefUrdenStudentenmit
einerschwacherenunddenmiteinerumfassenderenmathematischenVorbildung.
x LeitfadenzurLektOrederWirtschaftsmathematik
WenigmathematischeVorbildung
ZuniichstsolltenSiez.B. anhand eines einfiihrendenMathematiklehrbuches- im
Literaturverzeichnis mit *gekennzeichnet - tiberpriifen, ob Ihr Wissen aufdem
bundeseinheitlichen Niveau ist, welches ftir eine Hochschulzugangsberechtigung
erwartet wird. Grundziige der Geometrie und Algebra, Rechnen mit Foigen und
ReihensowiederUmgangmitelementarenFunktionenundiihnlicheswirdmeralso
vorausgesetzt.
DennochbietenwirIhneninKapitel lOdesBandes2eineguteWiederholungdes
Stoffs zu Funktionen einer Variablen, Grenzwerten, Stetigkeit sowie zu Foigen
und Reihenan. DiesesKapitelkannvolliglosgelostvonden Kapiteln Ibis9stu
diertwerden!
Rechtbaldschon werdenSie im wirtschaftswissenschaftlichen Studiummit Phii
nomenen konfrontiert, die sich mittels Vektoren und Matrizen, Linearen Glei
chungssystemen oder Determinaten darstellen lassen. Welcher Art diese Phiino
mene seinkonnen, ist in Kapitel I unter dem Titel "Lineare Zusarnmenhiinge in
der Wirtschaft"gezeigt. Es wird keinesfallserwartet, daB Siediese Probleme be
reitsselbstformulierengeschweigedennIOsenkonnen.
StellenSieeinfachmitErstaunenfest, daBmanrecht interessanteFragestellungen
mittelsVektorenund Matrizenbeschreibenkann! GewohnenSiesichandieIndi
zierung von allgemeinen Zahlen, das Surnmationszeichen sowie die Vektoren
undMatrixschreibweise!
DieKapitel 2 bis6sinddann GrundlagenderLinearenAlgebra,angereichert urn
okonomischeAnwendungen. Kapitel 7 geht tiber die Grundlagen hinaus; der In
haltdarfjedochineinemGrundkursnichtfehlen, dadieser inspiiterenSemestem
oderinderPraxisgelegentlichauchalsNachschlagewerkMathematikdienensoil.
Die Inhalte von Kapitel 8 finden sich ebenfalls in allen Lehrbtichem der Wirt
schaftsmathematik. Sollten Sie imHauptstudium Produktionstheorie oderOpera
tionsResearchalsSpezialgebietewahlen,werdenIhnendiehierentwickeltengeo
metrischenVorstellungenntitzen- ansonstenkonnenSiebeimDurcharbeitenvon
Kapitel8dieZtigeletwaslockem.
Kapitel9bereitetaufdieLinearePlanungsrechnungvor,sowiesieinzahlreichen
TeildisziplinenderWirtschaftswissenschaftenAnwendungfindet.
