Wie kommt man darauf?: Einführung in das mathematische Aufgabenlösen

252 Pages·2017·2.16 MB·German

by  Merlin Carl

Merlin Carl
Wie kommt
man darauf?
Einführung in das mathematische
Aufgabenlösen
Wie kommt man darauf?
Merlin Carl
Wie kommt man darauf?
Einführung in das mathematische
Aufgabenlösen
MerlinCarl
FachbereichMathematikundStatistik
UniversitätKonstanz
Konstanz,Deutschland
ISBN978-3-658-18249-6 ISBN978-3-658-18250-2(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-18250-2
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Vorwort
Das selbstständige Beweisen ist für viele Studierende der Hochschulmathematik eine
große Herausforderung. Kommen Beweisaufgaben auf Übungsblättern vor, werden sie
häufig einfach ausgelassen. Führt man dann etwa in den Übungsgruppen Lösungen vor,
istauchfürdie,diedemLösungsvorschlagproblemlosfolgenkönnen,häufigdieFrage:
„Wiekommtmandarauf?“.
DasvorliegendeBuchistderVersuch,dieseFrageineinerfürStudierendehilfreichen
Weise zubeantworten.Esrichtetsich an StudierendederMathematik undangrenzender
Gebiete (wie Physik oder Informatik), die im Studium bereits einige Vorkenntnisse in
linearerAlgebraundAnalysiserworbenhabenundlernenwollen,anmathematischeBe-
weisaufgaben heranzugehen und erste selbstständige Erkundungsgängeauf dem Gebiet
derMathematikzuunternehmen.
Dieses Buch ist die um einige Punkte und zahlreiche Aufgaben sowie Übungen er-
gänzteDarstellung einesProseminarsmitdemThema„StrategienzumAufgabenlösen“,
dasichim Wintersemester2015/2016anderUniversitätKonstanzabgehaltenhabe.Das
Seminar hatte zum Ziel, Studierende der Mathematik in den ersten Semestern in das
selbstständige mathematische Aufgabenlösen einzuführen. Auf der Suche nach passen-
demArbeitsmaterialhabeichzahlreicheAufgabensammlungenundBücherzumAufga-
benlösen gesichtet, ohneindes etwas im Hinblick auf Zielsetzung und Zielpublikumfür
meine Zwecke hundertProzent passendes zu finden. Ein Großteil der Literatur legt den
SchwerpunktaufWettbewerbsmathematik,diesichinihrenAnforderungendeutlichvon
der Hochschulmathematik unterscheidet, obwohl viele der dort verwendeten Prinzipien
wie Schubfachschlüsse, Extremal- oder Invarianzbetrachtungen auch im Hochschulbe-
reich relevantsind. Zu wichtigen Strategien wie der Betrachtung von Spezialfällen oder
Analogienwar,mitAusnahmevonKapitelIIinG.Polyas‚InduktionundAnalogieinder
Mathematik‘ kaum systematisches Übungsmaterial zu finden. Auch Gebiete wie linea-
reAlgebraoderAnalysiswerdenzumeistnurwenig oderprimärmitWettbewerbsbezug
behandelt. So kam ich schließlich dabei heraus, Stoff und Beispiele aus einer Vielzahl
verstreuter Quellen, der mathematischen „Folklore“ und eigenen Ideen, Varianten und
Verallgemeinerungenselbstzugestalten, wobeisich dieKlassiker vonPolyabzw.Polya
undSzegö,„SchuledesDenkens–vomLösenmathematischerProbleme“,„Induktionund
AnalogieinderMathematik“,„AufgabenundLehrsätzeausderAnalysis“,EngelsStan-
V
VI Vorwort
dardwerk „Problem Solving Strategies“, Larsons „Problem Solving Through Problems“
und Grinbergs „Lösungsstrategien“ als besonders fruchtbare Quellen für Strategien und
Beispieleerwiesen.DadieKombinationderThemenundBeispiele,diesich dabeierge-
ben hat, ihren Zweck gut erfüllte, sich in den Bearbeitungen der Übungsaufgaben klare
Lernfortschritteerkennenließen, dasSeminarunterregerBeteiligungderTeilnehmerIn-
nenverliefundvondiesenauchalshilfreichbewertetwurde,habeichmichentschlossen,
sieanderensowohlzumSelbststudiumwieauchalsGrundlageähnlicherVeranstaltungen
zugänglichzumachen.Wiezuerwartenwar,hatdaslängergedauert,alsicherwartethatte:
UnvermeidlichergabensichbeiderArbeitzusätzlicheUnterpunkte,BeispieleundErgän-
zungen,sodassdasvorliegendeBuchnunsowohlthematischalsauchimDetailgradüber
den Stoffumfangdes Seminars hinausgeht. Dabei habeich ein ausgewogenesVerhältnis
zwischenspeziellenLösungsprinzipien(Schubfachprinzip,Induktion,ZornschesLemma,
...),allgemeinenheuristischenStrategien(Beobachtung,Analogie)sowieAnwendungen
aufstudienrelevanteGebiete(Zahlentheorie,Analysis,...)angestrebt.MeinEindruckist,
dassesdadurchbesondersfürdasSelbststudiumgeeignetergewordenist.
Ein wichtiger Bestandteil des Buches sind die Aufgaben, an denen man sich im An-
schlussandieLektüreeinesKapitelsversuchensollte,umdieVerwendungdervorgeführ-
ten Techniken einzuüben. Lösungen zu ausgewählten Aufgaben werden online auf der
Homepage des Buches unter www.springer.com veröffentlicht. Interessierte finden dort
außerdemzweiTests, mitdenensieihrenLernstandinBezugaufLösungsstrategienvor
undnachLektüredesBuchesprüfenkönnensowieeineReiheweitererAufgaben.
IchdankeHeikeCarlundEva-MariaFrittgenfürdieDurchsichtundeinigeKorrektu-
ren zur Einleitung, Lothar Sebastian Krapp für die Durchsicht und zahlreiche hilfreiche
AnmerkungenzuKap.3,4und13sowiePhilippSchlichtfürdieDurchsichtvonKap.14.
WeiterdankeichFrauSchmickler-HirzebruchvomSpringer-VerlagfürdieBetreuungbei
derArbeitandiesemBuch.
SchließlichmöchteichmichbeidenTeilnehmerInnenmeinesProseminarsvomWin-
tersemester2015/2016bedanken,ohnederenlebendigeBeteiligung,hilfreicheAnregun-
genundFragensowiekonstruktiveRückmeldungenichdiesesProjektwohlnichtinAn-
griffgenommenhätte.
Konstanz,den04.04.2017 MerlinCarl
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Lösenlernen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 WozuHeuristik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 DerAufbaudesBuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 DieÜbungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 HinweisefürDozenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 ZudenQuellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 GrundlegendeHinweiseundBasisstrategien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 GeheaufdieDefinitionzurück . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 NimmdasGegenteilderzubeweisendenAussagean . . . . . . . . . . 14
2.3 MachediegegebenenDatensokonkretwiemöglich!Führegeeignete
Bezeichnungenein! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 BringedieDatenineinenmöglichstengenZusammenhang . . . . . . 15
2.5 BetrachteaussagenlogischeVarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 SuchenachführendenSpezialfällen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7 SammlehilfreicheSätze.SucheähnlicheAufgaben . . . . . . . . . . . 18
2.8 MacheeineFallunterscheidung.FührehilfreicheZusatzannahmenein 18
2.9 Wennmöglich,stelledasProblemgraphischdar! . . . . . . . . . . . . . 19
2.10 Formegeschicktum! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.11 VariieredieAufgabe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.12 RekonstruiereLösungen! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.13 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 DasSchubfachprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Schubfachprinzip(Grundformulierung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Schubfachprinzip(AllgemeineForm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Schubfachprinzip(UnendlicheForm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Anwendungsfälle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
3.5 DasiterierteSchubfachprinzipundKönigsLemma . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 LiteraturundweitereBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 DasInduktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 DasInduktionsprinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 LiteraturundweitereBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 DasInvarianzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Halbinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 (Halb-)InvarianzenalsTeilderLösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.5 LiteraturundweitereBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 DasExtremalprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1 DasExtremalprinzipfürMengennatürlicherZahlen . . . . . . . . . . . 76
6.2 DasExtremalprinzipfürMengenreellerZahlen . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 UnendlicherAbstieg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5 LiteraturundweitereBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7 BeobachtungundMustererkennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1 SuggestiveBeobachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 PrüfendeBeobachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 BeobachtungundMustererkennungalsErkundungsstrategie . . . . . . 95
7.4 HeuristischesRückwärtsarbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.6 LiteraturundweitereBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8 Verallgemeinerung,SpezialisierungundAnalogie . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.1 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2 Spezialisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.3 Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.4 Anwendungsfälle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.5 Verallgemeinerung,SpezialisierungundAnalogie
alsErkundungsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Inhaltsverzeichnis IX
8.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.7 LiteraturundweitereBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9 Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.1 GraphentheoriealsAnwendungsgebietundalsLösungsstrategie . . . 133
9.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.3 LiteraturundweitereBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10 KombinatorikundWahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.4 LiteraturundweitereBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.1 InduktioninderZahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2 DasExtremalprinzipinderZahlentheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.3 KombinatorischeStrategieninderZahlentheorie . . . . . . . . . . . . . 169
11.4 GeometrischeInterpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.6 LiteraturundweitereBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12 AufgabenlöseninderLinearenAlgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.1 WähleeineBasis! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.2 DasSchubfachprinzipinderlinearenAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.3 DasExtremalprinzipinderlinearenAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 184
12.4 DasInvarianzprinzipinderlinearenAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.5 VollständigeInduktioninderlinearenAlgebra . . . . . . . . . . . . . . 188
12.6 HeuristischesRückwärtsarbeiteninderlinearenAlgebra . . . . . . . . 191
12.7 BeobachtungundMustererkennunginderlinearenAlgebra . . . . . . 193
12.8 Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
12.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12.10 LiteraturundweitereBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
X Inhaltsverzeichnis
13 AufgabenlöseninderAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
13.1 ZweiAnwendungenvonInterpretationbzw.Visualisierung. . . . . . . 207
13.2 AnwendungendesInduktionsprinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
13.3 DasExtremalprinzipinderAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
13.4 DasSchubfachprinzipundKönigsLemmainderAnalysis . . . . . . . 214
13.5 GebietsspezifischeStrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.7 AbschließendeBemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
14 AufgabenlösenmitdemZornschenLemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
14.1 DasZornscheLemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
14.2 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
14.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
14.4 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Nachwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249