Table Of ContentWhy state of quantum system is fully defined by density matrix
Alexey N. E. Nashev∗
Rzhanov Institute of Semiconductor Physics, 630090 Novosibirsk, Russia and
Novosibirsk State University, 630090 Novosibirsk, Russia
(Dated: February 1, 2016)
We show that probabilities of results of all possible measurements performing on a quantum
system depend on thesystem’s state only through its density matrix. Therefore all experimentally
available information about the state contains in the density matrix. In this study, we do not
postulate that measurements obey some given formalism (such as observables, positive-operator
valued measures, etc.), and do not use Born rule. The process of measurement is considered in a
fully operational manner—as an interaction of a measured system with some black-box apparatus.
6
The key point of our approach is the proof that, for improper mixtures, the expected value of
1
any measurement depends linearly on the reduced density function. Such a proof is achieved by
0
considering appropriate thought experiments. We demonstrate that Born rule can be derived as a
2
natural consequenceof ourresults.
n
a PACSnumbers: 03.65.Ta
J
9
2 I. INTRODUCTION A broad class of measurements described by so-called
positive operator valued measures (POVMs) is known
] When density matrices were invented (by Landau [1] since 1960s [5, 6]. By virtue of Neumark’s theorem [7],
h
p andvonNeumann[2]in1927),onlyonekindofquantum- suchPOVMmeasurementscanbe implemented by mea-
- mechanicalmeasurementswasknown—namely,measure- suring appropriate observables of a larger quantum sys-
nt ments of observables. The observables are characterized tem; therefore they also obey Statement ρ. But it is not
a by Hermitian operators, and probabilities of their mea- clear a priori, whether any possible measurement proto-
u surement’s results obey the Born rule, col can be expressed in terms of POVMs or observables,
q and this is the reason for reconsidering Statement ρ in
1 [ hxi≡Xk xkPk =hψ|xˆ|ψi, (1) tahneswperresteontthpealpaettre.rOquuerstsitound—ysweeillSpecrtoivoindeVtIh.e positive
v where x is the expected value of the observable x, xˆ is
5 h i
0 the corresponding Hermitian operator, Pk is the proba- For the sake of generality, we will consider the pro-
2 bility of the result xk, and |ψi is the state vector of the cess of measurement in a fully operational manner—as
8 measuredsystem. Therule(1)impliesthatthesystemis an interaction of a measured system with some black-
0 in a pure state. In the case of a mixed state, the concept box apparatus, see Fig. 1. For clarity, we will think of
. of density matrix provides the natural generalization of the measured system as of a moving particle that was
1
0 the rule (1): emittedby somesourceandarrivesatthe measuringap-
6 paratus. Wearenotinterestedinanydetailsoftheappa-
x =Tr(ρˆxˆ), (2)
1 h i ratusconstructionandprincipleofoperation,notevenin
: where ρˆ is the density operator (density matrix) of the the question which quantity is actually measured. Also,
v
i givenstate,pureormixed. ThewayleadingfromEq.(1) afate ofthe particleafter the measurementwillnotcon-
X
toEq.(2)iswellknown[3,4],andcanbefoundinnumer- sidered. We are concerned only with the measurement
r ous textbooks. Since Eq. (2) is valid for any observable result, which can be read from the apparatus’ scale. (Of
a
x, then one can come to the following conclusion. course,itisassumedthatbythetimeofthemeasurement
Statement ρ. Probabilities of measurement results the apparatus forgets about previously measured parti-
•
depend on the state of the measured system only through cles. Alternatively, one can suppose that for each mea-
the system’s density matrix ρˆ. surement a new apparatus is taken.) Such (or similar)
But this way of reasoning is restricted by measure- operational point of view was used to give a description
mentsofobservables. Whataboutmeasurementsofgen- ofeffects and operationsin quantum mechanics [8, 9], as
eral type, not necessarily describing by Born rule? In well as to reconstruct quantum theory from simple ax-
this paper, we will show that Statement ρ will remainin ioms [10, 11].
forceforanythinkablemeasurementofquantumsystem.
The aim of the present study is to prove Statement ρ
It is important for our study to distinguish between
for the broadest possible class of measurements, and
proper and improper mixed states, in terminology intro-
without any referring to Born rule.
ducedbyd’Espagnat[12]. Apropermixture ariseswhen
the quantum system is prepared in an unknown pure
state, but probabilities of occurring of each pure state
∗ [email protected] are known. For example, a fully non-polarized electron
2
particle A of a pair of electrons result in the same density matrix
source
ρˆ of one electron. Hence, in order to justify
non-polariz
Statementρ,oneshouldaddressthefollowingthreeques-
tions.
FIG. 1. Schematic representation of measurement by a (Q1)Whetherdifferentimproper mixturescorrespond-
“black-box” apparatus A. The quantum system under mea-
ing to the same density matrix are indistinguishable?
surement is symbolized as a particle, whose trajectory ends
(Q2)Whetherdifferentproper mixturescorresponding
at thedevice A.
to the same density matrix are indistinguishable?
(Q3) Whether a proper mixture and an improper one
spin, described by the density matrix areindistinguishable,iftheycorrespondtothesameden-
sity matrix?
1/2 0 (“Indistinguishability” is meant here in the statistical
ρˆ = , (3)
non-polariz 0 1/2 sense, as equal probabilities of passing any possible ex-
(cid:18) (cid:19)
perimental tests.)
can appear (as a proper mixture) from taking spin-up These questions will be considered in details in the
and spin-down states with equal probabilities 1/2: main part of the paper, Sections II–V. But at first we
will briefly outline our approach, using the spin states
1 1 0 1 0 0 discussed above as an example.
ρˆ = + . (4)
non-polariz 2 0 0 2 0 1 Let us ensure that two-electron states S and T0 ,
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) | i | i
Eqs.(5)and(8),cannotbedistinguishedfromeachother
An improper mixture occurs when two quantum system by any tests on the first electron. Indeed, the state S
| i
areentangled,andthestateofoneofthesesystemsalone canbetransformedinto T byapplyingthe unitaryop-
0
| i
isconsidered. Asanexampleofanimpropermixture,one eratorσˆ tothe spinofthe second electron(for example,
z
can view a pair of electrons in the spin-singlet state, by action of local magnetic field). Hence, if it were be
possible to distinguish between S and T by measur-
0
| i | i
ingthefirst electron,onecouldusethisforinstantaneous
S = |↑i|↓i−|↓i|↑i, (5)
| i √2 communication,whichis unphysical. Thisargumentwas
elaboratedbyZurek[13, 14]providingthereforethe pos-
and ask in which state the first electron is. According itive answer to question Q1—see details in Section II.
to the standard procedure of taking a partial trace, the For answering questions Q2 and Q3, we developed
(reduced) density matrix of the first electron’s spin is
an original approach presented in Sections IV and V.
Here we will illustrate our method by the example of
0 0 0 0 two above-mentioned proper mixtures: the mixture m
1
0 1/2 1/2 0
Tr2ndspin0 1/2 −1/2 0=ρˆnon-polariz, (6) oEfqs.p(i4n)-,upanadndthsepiann-daolowgnousstamteisxtwuirtehmequoaflpsproinb-albefitlitaiensd,
− 2
0 0 0 0
spin-right states, Eq. (7). Let us consider some experi-
mentaltestofthespindegreeoffreedom,anddenotethe
i. e. the first electron is non-polarized. Note that both
probability of passing this test as P. It follows from the
kinds of mixtures ultimately originate from pure states,
affirmativeanswertoquestionQ1,thatP isafunctionof
therefore the probability rules for mixtures follow from
thedensitymatrixfor improper mixturesandpurestates.
the rules for pure states.
We will prove in Section IV that this function is linear.
Thesetrivialexamplesshowthatthesamedensityma-
It is convenient to represent the density matrix ρˆof the
trix ρˆ may appear as a result of either a proper
non-polariz electron spin through the vector of spin polarization p,
mixture, of an improper one. Moreover,different proper
defined by the equality
mixtures may result to the same density matrix: e. g.
the density matrix ρˆnon-polariz may arise from mixing 1
ρˆ=ρˆ + (p σˆ +p σˆ +p σˆ ), (9)
of spin-up and spin-down states according to Eq. (4), non-polariz x x y y z z
2
as well as from mixing of spin-left and spin-right states
( )/√2 and ( + )/√2: σˆx, σˆy, σˆz being the Pauli matrices. So P is a linear
|↑i|−|↓i |↑i| |↓i
function of p:
1 1/2 1/2 1 1/2 1/2
ρˆnon-polariz = 2 1/2 −1/2 + 2 1/2 1/2 . (7) P(p)=a p+b, (10)
(cid:18)− (cid:19) (cid:18) (cid:19) ·
Thisisalsotrueforimpropermixtures—forexample,the where a and b are some coefficients. So far Eq. (10) can
singlet state S , Eq. (5), and the triplet state with spin beappliedonlytoimpropermixturesandtopurestates:
| i
projection 0, forexample,inthespin-singletstate S the polarization
| i
vector p is equal to zero, therefore P = b. In the spin-
+ up state , p = e , and P = a +b; similarly, in the
|T0i= |↑i|↓i√2|↓i|↑i, (8) spin-down|↑sitate ,zp = ez, andz P = az +b. In the
|↓i − −
3
mixture m , the electron spin is either up or down, with “Theorem 1. For an entangled global state of the sys-
1
equal probabilities 1/2; thus the probability of passing tem and the environment all measurable properties of
the test is —including probabilities of various outcomes—cannot
S
depend on the phases of Schmidt coefficients: The state
1 1
P(m1)= P(ez)+ P( ez)=b. (11) of has to be completely determined by the set of pairs
2 2 − S
α , s .”
k k
{| | | i}
In the same way, The idea of the proof can be represented as follows.
1 1 Any state ψSE having the form
P(m )= P(e )+ P( e )=b. (12) | i
2 x x
2 2 −
eψSE = exp(iφk)αk sk εk , (14)
One can see that P(m ) = P(m ) = P(S ) for any ex- | i | i| i
1 2 k
| i X
perimental test. Hence, no test can distinguish between e
propermixtures m1 andm2 andthe entangledstate (im- where exp(iφk) are arbitrary phase factors, can be con-
proper mixture) S . verted into the state ψSE by application of a unitary
Thekeypointo|fiourwayofreasoningistheproofthat operator | i
the probability depends on the density function linearly.
Such a proof will be achieved by considering two novel UˆE = exp( iφk) εk εk (15)
− | ih |
thought experiments in Section IV. k
X
The rest of the paper is organized as follows. In Sec-
to the environment . Since the system “does not
tion II we will see how Zurek’s concept of envariance E S
know” whether the environmentwas subjected to action
gives a proof of Statement ρ for improper mixtures, and
thus gives the answer to question Q1. Section III intro- of UˆE or was not, this action cannot alter any properties
of . Therefore the state of the system must be one
duces some tools which will be used below. Section IV S S
is the central part of the paper; using the thought ex- andthesameforstatevectors ψSE [Eq.(13)]and ψSE
| i | i
[Eq. (14)] of the combined system .
periments shown in Fig. 3, linearity of expected values
SE
as functions of the density matrix will be established in After a proof of Theorem 1, Zurek [14] placed theefol-
lowing
this section for improper mixtures. On the basis of the
“Remark. The information content of the list
latter result, mixtures of general type will be considered
α , s that describes the state of is the same as
inSectionV,thatwillcompletetheproofofStatementρ. k k
{| | | i} S
the information content of the reduced density matrix.”
Then, in Section VI, we will discuss the place of our re-
Thus, the proof of Theorem1 also provesStatement ρ
sults among other assertions of quantum theory of mea-
in the particular case of improper mixtures, i. e. when a
surement. In particular, we will demonstrate that Born
combined system is in a pure state ( is the system
rule can be considered as a consequence of Statement ρ.
SE S
under measurement, and is some other quantum sys-
Concluding remarks will be gathered in Section VII.
E
tem). As a consequence, if a state of a quantum system
Inthisworkweassumethatthenon-measurement part
is an improper mixture, then the expected value E of
of quantum mechanics is standard—in particular, pure
S
a result of measurement on by some apparatus is a
states are described by vectors in Hilbert spaces; a com-
S A
function of the system’s reduced density matrix ρˆ. Let
posite system’s state space is the tensor product of state
us denote this function as F:
spacesofitsparts;theevolutionofstatevectorsbetween
measurements is unitary.
E=F(ρˆ). (16)
ThefunctionF(ρˆ)dependsonchoiceofmeasuringappa-
II. PROOF OF STATEMENT ρ FOR IMPROPER
ratus.
MIXTURES
One can see that the derivation of Statement ρ for
improper mixtures is based on three assumptions listed
A derivationof Statement ρ for the special case of im-
below.
proper mixtures can be found in Zurek’s works on en-
Assumption ψ. When a measured quantum system
variance [13, 14]. Zurek considered a quantum system •
is in a pure state, its state vector ψ contains all infor-
entangled with some environment , so that the com- | i
S E mation about probabilities of measurement outcomes.
binedsystem isinapurestateψSE. Suchajointstate
SE (Assumption ψ just asserts that there are no hidden
canberepresentedintheformofSchmidtdecomposition,
parameters beyond the state vector.)
Assumption U. Any unitary operation in a state
ψSE = αk sk εk , (13) •
| i | i| i space of a quantum system can be implemented by an
k
X appropriate physical device acting to this system.
where unit vectors s are mutually orthogonal and be- Assumption I. Information transfer without phys-
k
| i •
long to the system , as well as unit vectors ε are ical interaction is impossible.
k
S | i
mutually orthogonal and belong to . Then, the follow- NotethatStatementρ,andthus Eq.(16),is alsovalid
E
ing statement was formulated and proved in Ref. 14: for pure states by virtue of Assumption ψ.
4
X G
F 0 1 m (a) A (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) A
Q 0 1 m 2 Y (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)Y(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)fi(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)Y(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
1 S 0 B (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)0(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)1(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
a (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
FIG.2. Preparationofonesystembymeasurementofanother (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
system. The source Q emits two entangled particles (qubits) F b (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
in the Bell state |Φi, Eq. (17). Then the particles are sub- Q
jected to measurements in thebasis {|0i,|1i} by “meters” µ1
andµ2. NearthepointX,theupperqubitappearsinapure
state |0i or |1i, depending on the result of the lower qubit’s G
measurement. Arrows denote trajectories of theparticles. (b) A (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) A
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
Y (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)Y(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)fi(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)Y(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
III. PREPARATION OF ONE SYSTEM BY S 0 B (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)0(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)1(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
MEASUREMENT OF ANOTHER SYSTEM a (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
F b (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
In this Section, we will introduce and discuss three Q m
0 1
auxiliary entities: (i) a quantum system with a two-
dimensionalstatespace(e.g. aspin-1/2particle),which
wewillcallaqubit;(ii)ameasuringdeviceµ(a“meter”) FIG.3. TwothoughtexperimentsusedinaproofofEq.(18).
that performs a projective measurement on a qubit in Experiment (a): source S emits a pair of particles A,B in
some orthonormal basis 0 , 1 (e. g. a Stern–Gerlach the joint state |Ψ0i and, simultaneously, source Q emits a
{| i | i} pair of qubits α,β in the Bell state |Φi, Eq. (17). Three
apparatusformeasuringaspinprojection);(iii)a source
particlesA,B,αpassthroughgateG,thatoperatesaccording
Q that emits on demand a pair of entangled qubits pre-
to Eqs. (19), (20), and particle A is measured by apparatus
pared in the Bell state
A. Experiment(b): thesameasthepreviousexperiment,but
qubitβ is measured by “meter” µ in thebasis {|0i,|1i}.
Φ =(0 0 + 1 1 )/√2. (17)
| i | i| i | i| i
Let us combine these things as shown in Fig. 2. Two
Equation(18)isthecentralresultofthepresentpaper. It
qubits are prepared in the joint state Φ , then they are
| i provides an opportunity to generalize Statement ρ (that
measured successively by “meters” µ and µ . Looking
1 2 is yet justified only for improper mixtures) to arbitrary
at Eq. (17), one can see that the two measurements al-
mixtures, as we will see in Section V.
waysgiveequalresults. Therefore,whentheupperqubit
reaches the point X, one can predict the result of its fu- Let ρˆ0 and ρˆ1 be two density matrices of some par-
turemeasurement—namely,itmustbeequaltotheresult ticle A. One can always choose such a particle B and
obtained by “meter” µ1. It is commonly believed that such two pure states |Ψ0i and |Ψ1i of the combined sys-
such a possibility of prediction means that the qubit ap- temA+B,thatthereduceddensitymatrixofAisequal
pears to be in a definite, pure state x , where x is equal to ρˆ0 for the state Ψ0 , and to ρˆ1 for the state Ψ1 .
to the output of µ . One can conclu|die hence that mea- Then, consider a tho|ughit experiment shown in Fig|. 3ai.
1
surement of the lower qubit in the setup shownin Fig. 2 The sourceS emits a pair of particles A andB prepared
prepares the upper one in a pure state 0 or 1 . inthestate Ψ0 . Simultaneously,anothersourceQemits
Note that the following assumption|isidem|ainded for a pair of ent|angiled qubits α and β in the Bell state Φ ,
| i
this way of reasoning: Eq. (17). Then three particles A, B and α go through
Assumption P. If the probability of finding the a “quantum gate” G that performs the following “con-
qu•bit (by a projective measurement) in the state 0 trolled transformation”:
| i
(or 1 ) is 1, then the qubit is actually in the state 0
(or |1i). | i Ψ 0 G Ψ 0 , (19)
| i | 0i| i→| 0i| i
G
Ψ 1 Ψ 1 . (20)
0 1
| i| i→| i| i
IV. TWO THOUGHT EXPERIMENTS
(Such transformation can be done by an unitary oper-
ation, and thus can be physically realized according to
In this Section, we will see that the function F(ρˆ) in-
Assumption U.) Finally, the particle A is measured by
troduced in Section II is linear. More precisely, we will
the same apparatus that was considered above. We
see that for any twodensity matricesρˆ , ρˆ and anyreal
0 1 are interested in theAexpected value E of the measure-
number λ [0,1]
∈ ment result.
F [(1 λ)ρˆ +λρˆ ]=(1 λ)F(ρˆ )+λF(ρˆ ). (18) Just after leaving the sources, the joint state of four
0 1 0 1
− −
5
particles A,B,α,β is Since this equation is valid for any two density matri-
ces ρˆ , ρˆ , swapping ρˆ and ρˆ also provides a correct
Ψ 0 0 + Ψ 1 1 0 1 0 1
Ψ Φ | 0i| i| i | 0i| i| i. equation:
0
| i| i≡ √2
ρˆ +ρˆ
The gate G transforms it into the following state: F 1 0 =(1 a)F(ρˆ )+aF(ρˆ ). (26)
1 0
2 −
Ψ 0 0 + Ψ 1 1 (cid:18) (cid:19)
0 1
| i| i| i | i| i| i.
√2 Summing up Eqs.(25) and (26), one can make sure that
For the latter state, the reduced density matrix of the ρˆ +ρˆ F(ρˆ )+F(ρˆ )
0 1 0 1
F = (27)
particleAis(ρˆ0+ρˆ1)/2. Therefore,accordingtoEq.(16), 2 2
(cid:18) (cid:19)
ρˆ +ρˆ
E=F 0 1 . (21) foranydensitymatricesρˆ0andρˆ1. ThisjustifiesEq.(18)
2 for the particular case of λ=1/2.
(cid:18) (cid:19)
IteratingEq.(27),onecanproveEq.(18)forinfinitely
Nowwewillconsideramodificationofthisexperiment
many values of λ within the range [0,1]. For example,
shown in Fig. 3b. The only difference between Figs. 3a
let us see that Eq. (18) is correct at λ=1/4:
and 3b is that, in the latter experiment, the qubit β is
measuredinthebasis 0 , 1 (bythe“meter”µ)before
the rest three particle{s|reiac|hi}the gate G. F 3ρˆ + 1ρˆ =F ρˆ0+ ρˆ0+2ρˆ1
Inbothexperiments,thetrajectoryofparticleβ isspa- 4 0 4 1 2
(cid:18) (cid:19) !
tially separated from (and is not interacting to) the rest
toifotnhaebsoeuttupth,itshpearertfoicrleedcaunerteoacAhsstuhmempteiaosnurIinngodienvfoicrema-. = F(ρˆ0)+F ρˆ0+2ρˆ1 = F(ρˆ0)+ F(ρˆ0)+2F(ρˆ1)
Consequently the expected value E of the measuremeAnt 2(cid:16) (cid:17) 2
3 1
result is the same for both experiments. = F(ρˆ0)+ F(ρˆ1).
4 4
Ontheotherhand,the valueofEinthe secondexper-
iment can be expressed via the law of total expectation. This method allows to prove Eq. (18) for any λ = p/2q,
Let E (E ) be the conditional expectation of apparatus where q = 1,2,3,..., and p = 0,1,2,...,2q. The set
0 1
’s result given that meter µ provides the result 0 (1). Λ of all such values of λ is a dense subset of the range
A
Then, [0,1]. Therefore,ifthefunctionF iscontinuous,thenthe
(given above) proof of Eq. (18) for all λ Λ automati-
E=(1 a)E +aE , (22) ∈
− 0 1 cally justifies Eq. (18) for all λ [0,1].
∈
whereaisthe probabilityofobtaining1bymeterµ,and Hence, we have proven Eq. (18), assuming that F(ρˆ)
1 a is the probability of obtaining 0. Note that the is a continuous function. However, one can go further
qu−antity a does not depend on states Ψ and Ψ . andcancel the assumptionof continuity ofthis function,
0 1
Nowwewillshowhowthequantities|E iandE| cainbe considering slightly modified version of the thought ex-
0 1
evaluated through the function F. Let the meter µ gave periments. This issue is discussed in Appendix A.
the answer 0. Then, according to our consideration in In the next Section we will see how Eq. (18) helps
SectionIII,qubitαappearsinthestate 0 justafterthe to expand the range of applicability of Eq. (16) to the
measurement of qubit β. Due to Eq. (1|9i), in this case caseofgeneralmixtures,thatinitsturnallowstojustify
the particlesA andB will remainto be in the state Ψ Statement ρ.
0
| i
after passing through the gate G. The partial density
matrix of the particle A before its measurement will be
V. GENERAL MIXTURES
equal to ρˆ . Thus, according to Eq. (16),
0
E =F(ρˆ ). (23)
0 0 A proper mixture takes place when a system is in
S
Similarly, if the result of measurement of qubit β was 1, somequantumstate,butwedonotknowwhich. Ourig-
then the qubit α will be in the state 1 after this mea- noranceoftheactualstatecanberepresentedbyaprob-
surement. The gate G will change t|hei state of parti- ability distribution over the different states. Generally,
cles A and B from Ψ to Ψ , according to Eq. (20), the actual(unknown)statemaybe notonlyapurestate
0 1
and the partial dens|ityimat|rixiof the particle A before of the system alone, but a pure state of a larger sys-
S
its measurement will be equal to ρˆ . Hence, tem ,when issomeenvironment(sothatthestateof
1 SE E
the system is an improper mixture). We suppose that
E1 =F(ρˆ1). (24) these optionSs cover all possible cases of quantum states.
In other words, we accept the following assumption.
Takingequations(21),(23),(24)intoaccount,onecan
Assumption M. Any state of a quantum system is
rewrite Eq. (22) in terms of the function F(ρˆ): •
either a pure state, or an improper mixture, or a mixture
ρˆ0+ρˆ1 of pure states and/or of improper mixtures taken with
F =(1 a)F(ρˆ )+aF(ρˆ ). (25)
2 − 0 1 some probabilities.
(cid:18) (cid:19)
6
Let us generalize Eq. (16) to the case of states de- butalsoforany states. Thatis,inanycasetheexpected
scribed in Assumption M. Consider a probabilistic mix- valueEdependsonthestateofthemeasuredsystemonly
ture of N pure states of a combined system , where through its density matrix ρˆ.
SE
is the system under study. (Some of these states, or Thoughweconsideredonlymeasurementsbysomedef-
S
evenall,maybepurestatesofthesystem alone.) Each inite measuring apparatus , no special requirements
S A
(kth)stateischaracterizedbyitsreduceddensitymatrix wereimposedon . Soourreasoningdoesnotdependon
A
ρˆk in the state space of , and enters into the mixture the kind of the measuring apparatus. Thus we conclude
S
with some probability pk. The sum of probabilities is that, if two states s1 and s2 of some quantum system
S
unity, aredescribedby the same density matrix,then expected
valuesofallpossiblemeasurementson instates must
1
p +...+p =1. (28) S
1 N be the same as in state s . (Of course, we consider only
2
measurements on system alone.)
By definition, the density matrix ρˆof the whole mixture S
Theprobabilityofoccurringaparticularmeasurement
is equal to
result can be considered as a specific case of expected
N value. Indeed,letX denoteanoutcomeofsomemeasure-
ρˆ= p ρˆ . (29) ment(arandomvariable),andα be somefixedquantity.
k k
Xk=1 Let us define the variable xα that is equalto 1 if X =α,
and equal to 0 otherwise. Obviously, if the apparatus
Let system be measured by apparatus . Since each
kth state isSeither an improper mixture orAa pure state, measures X then it also measures xα, and the expected
value of x is the same as the probability that X takes
one can apply the results of Section II and find that, α
the value α. Therefore any conclusions about expected
for this state, the expected value E of the measurement
k valuescanalsobeappliedtoprobabilities. Hence,forany
result is
two states of system having the same density matrix,
S
E =F(ρˆ ). (30) probabilitiesofallpossibleresultsofwhichevermeasure-
k k
ment on alsomust be the same. Inother words,if two
TheexpectedvalueEforthewholemixturecanbefound states haSve the same density matrix, then all statistical
via the law of total expectation: properties of these states are the same, i. e. there is no
way to distinguish experimentally between these states.
E=p1E1+...+pNEN. (31) Thus,Statementρisproven,andtherebytheobjective
of this paper is achieved.
Therefore, taking Eq. (30) into account,
E=p F(ρˆ )+...+p F(ρˆ ). (32)
1 1 N N
VI. DISCUSSION
It is easy to check by induction, starting from Eq. (18),
that
First of all, it follows from Statement ρ that any mea-
p F(ρˆ )+...+p F(ρˆ )=F (p ρˆ +...+p ρˆ ) . surement is described by a POVM [15]. Indeed, let us
1 1 N N 1 1 N N(33) consider a mixture m of two states s1 and s2 of some
For example, when N =3 quantum system, which are taken with probabilities p
and 1 p respectively. If some experimental yes/no test
−
p1F(ρˆ1)+p2F(ρˆ2)+p3F(ρˆ3) ofthequantumsystemispassedwithprobabilitiesP(s1)
andP(s )instatess ands respectively,thentheprob-
=p F(ρˆ )+(p +p ) p2 F(ρˆ )+ p3 F(ρˆ ) abilityP2(m)ofpassin1gthet2estinthemixtureis,accord-
1 1 2 3 2 3
(cid:20)p2+p3 p2+p3 (cid:21) ing to the law of total probability,
p p
2 3
=p1F(ρˆ1)+(p2+p3)F (cid:18)p2+p3 ρˆ2+ p2+p3 ρˆ3(cid:19) P(m)=pP(s1)+(1−p)P(s2). (35)
p p
=F p1ρˆ1+(p2+p3) 2 ρˆ2+ 3 ρˆ3 On the other hand, density matrices of the states ρˆ(s1),
p +p p +p
(cid:20) (cid:18) 2 3 2 3 (cid:19)(cid:21) ρˆ(s2) contribute into the density matrix of the mixture
=F (p1ρˆ1+p2ρˆ2+p3ρˆ3) ρˆ(m) in the same proportions p and 1 p:
−
(here we kept in mind that p1+p2+p3 =1). ρˆ(m)=pρˆ(s )+(1 p)ρˆ(s ). (36)
1 2
Finally, let us join together Eqs. (32), (33) and (29): −
Hence the probability P of passing the test is an affine
N
E=F p ρˆ F(ρˆ). (34) functionofthedensitymatrix. Then,duetoTheorem2.6
k k!≡ of Ref. 15, there exists a positive Hermitian operator Mˆ
k=1
X such that, for every density matrix ρˆ,
Therefore Eq. (16) is valid not only for pure states and
improper mixtures (that was established in Section II), P(ρˆ)=Tr(ρˆMˆ). (37)
7
Occurring of a definite outcome of a measurement can Kraus maps, etc., but gives no answer to the question
be considered as a test. Therefore for a given measure- whether the statistical interpretation of quantum me-
mentapparatusthereisacollectionofpositiveoperators chanics is unique. A similar approach, in the framework
that correspondto different outcomes. This collection is of the axiomatic approach to quantum theory, consists
a POVM. Hence our results must convince anyone who inpostulatingthatthequantumsystem’sstateisdefined
accepts Assumptions ψ, U, I, P, M formulated above, byonlyfinitenumberofparameters,andthenidentifying
thataquantummeasurementofthemostgeneraltype is this set of parameters with the density matrix [10, 11].
described by a POVM. (ii) The usual “textbook” way consists in construct-
Our study shows that Statement ρ can be justified ing the density matrices by mixing pure states [3], or by
without any use of Born rule. This opens the possibility considering a state of a part of a composite system [4].
toderive Bornrulefromotherpostulatesofquantumme- In this approach, Statement ρ is derived from the Born
chanics(not relatedto measurement)andfromAssump- rule,andonlyformeasurementsofobservables. Applica-
tionsψ,U,I,P,M. Letusillustratethisontheexample bility of Statement ρ to all possible measurements stays
ofmeasuringofthe electronspin, whosestate canbe de- beyond the consideration.
scribedby the polarizationvectorp definedaccordingto (iii) Statement ρ can be derived from possibility of re-
Eq. (9). We consider the experiment of Stern–Gerlach ducing different proper mixtures to the same improper
type, where the electronbeam divides into two branches one. As it follows from a lemma due to Gisin [17], if two
by application of some external field; and there are such proper mixtures have the same density matrix, they can
twostatesp1andp2thatelectronswithspinpolarization bepreparedfromthesamepurestateofacompositesys-
p1 (p2) always take the first (the second) branch. The tembymeasuringaremotesubsystem—seediscussionin
question is: what is the probability P(p) of taking the Ref. 18. However, this method is based on presumption
firstbranchfor the electronwitharbitraryspinpolariza- that Born rule is valid, therefore it does not provide an
tion p within the Bloch ball p 1? For answering this opportunity to prove Born rule.
| |≤
question, it is enough to notice that (i) P(p) is an affine (iv) Von Neumann in his early paper [2] proposed a
function (as discussedabove)and therefore has the form deductive reconstructionof the probabilisticstructure of
ofEq.(10);(ii)themaximalandminimalvaluesofP over quantumtheory(seealsochapterIVinbook[19]). From
theBlochballareachievedatp1andp2correspondingly: very general consideration, he had obtained Eq. (2) for
P(p1)=1,P(p2)=0. Itdirectlyfollowsfromthesetwo measurement of observables (and therefore Born rule as
notices that p1 = p2 =1 (i. e. these states are pure); a particular case). Von Neumann’s derivation is based
| | | |
moreover,p2 = p1 (i. e. these states are orthogonalto onrather strongassumptions aboutobservables. For ex-
−
each other), and finally, P(p) = (p p1 +1)/2. In the ample, he postulated that the expected value of the sum
·
latter equality one can switch from polarization vectors xˆ+yˆis always equal to the sum of expected values of xˆ
p, p1 to density matrices ρˆ, ρˆ1 using Eq. (9), and get andyˆ,evenifobservablesxˆandyˆareincompatible. Our
P(ρˆ)=Tr(ρˆρˆ1), i. e. approach can be considered as dual to von Neumann’s
one: we do not put any constraints onmeasurable quan-
P(ρˆ)= ψ ρˆ ψ , (38)
1 1 tities, but make use of some properties of states, that
h | | i
follow from the thought experiments shown in Fig. 3.
where we made use of purity of the state ρˆ and rep-
1
(v)ThefamousGleason’stheorem[20]alsoenablesone
resent this density matrix through a corresponding unit
togetEq.(2)andthustointroducetheconceptofdensity
vector ψ : ρˆ = ψ ψ . So we have derived Born
1 1 1 1
| i | ih | matrix. But this approachis restrictedto measurements
rule for measuring the electron spin, Eq. (38). It is pos-
of observables, and requires non-contextuality of mea-
sible to generalize this way of justifying Born rule to
surements(thatishardtojustify). Noticealsoapossibil-
the case of arbitrary finite-dimensional Hilbert space—
ity ofa“reverse”use ofGleason’stheorem[21], inwhich
see Appendix F in Ref. 16.
the experimental test is fixed and states of the quan-
Note that, as a by-product, we have established pu-
tum system are varied (unlike the usual setting where
rityandmutualorthogonalityofstatesp andp ,which
1 2
the state is fixed and tests are varied).
correspond to different outcomes of the measurement.
We also emphasize that, like Zurek’s works on envari-
Therefore one need not to postulate that eigenvalues of
ance [13, 14], our study discloses the significant role of
any observable form an orthonormal set of vectors, i. e.
entanglementinestablishingtherulesforprobabilitiesin
thatobservablescorrespondtoHermitianoperators. The
quantum mechanics.
question “why observables are described by Hermitian
operators” thus can be answered: “because of State-
ment ρ and suchbasic property of an observable as exis-
tenceofasetofstates,forwhichthemeasurementresult VII. CONCLUSIONS
is predictable”.
Finally, let us briefly review other ways of introducing This paper is devoted to Statement ρ, which claims
density matrices, and compare them with our approach. that all information about the state of a quantum sys-
(i) Statement ρ can be simply postulated [8, 9]. This tem(i.e. informationaboutprobabilitiesofresultsofall
provides the shortest way to such concepts as POVMs, possible measurements) is encoded in the system’s den-
8
sity matrix. We have shown that Statement ρ can be system A+B, that the reduced density matrix of A is
proven without using any probabilistic postulates, like equaltoρˆ forthestate Ψ ,andtoρˆ forthestate Ψ .
ξ 0 η 1
| i | i
Born rule. Our proof is based on thought experiments We modify source S so that it will emit a pair of parti-
shown in Fig. 3, completed by Zurek’s envariance argu- cles A,B in the joint statee Ψ instead of Ψ . Alsoewe
0 0
ment [13, 14]. The derivation of Statement ρ depends modify gate G so that it w|ill oiperate acco|rdinig to rules
only on quite reasonable Assumptions ψ, U, I, P, M,
similar to Eqs. (19), (20), ebut with Ψ and Ψ in-
0 1
and on the non-measurement part of quantum mechan- | i | i
steadof Ψ and Ψ . Finally,sourceQinthe modified
0 1
ics. This provides also a possibility to justify the Born | i | i
experiments will emit a pair of qubits αe,β in theestate
rule, and to explain the connection between observables
and Hermitian operators.
η λ λ ξ
Φ = − 0 0 + − 1 1 . (A9)
| i sη ξ | i| i sη ξ | i| i
− −
Appendix A: Proof of Eq. (18) without the e
The rest of the setup will be left unchanged.
continuity assumption
LetusanalysetheexpectationvalueoftheparticleA’s
measurementresult,justlikeitwasdoneSectionIV,but
In this Appendix we will suppose that
for the modified setup. It is easy to see that the reduced
density matrix of particle A after passing through the
F(ρˆ ) F(ρˆ ). (A1)
0 1
≤ gate in the first experiment is
This does not lead to any loss of generality, because ρˆ
0 η λ λ ξ
and ρˆ enter into Eq. (18) symmetrically. − ρˆ + − ρˆ . (A10)
1 ξ η
η ξ η ξ
LetusdefineasetΛ [0,1]ofrationalnumbersofthe − −
form p/2q, where q = 1⊂,2,3,... and p = 0,1,...,2q. In
According to definition (A3), this value is equal to ρˆ .
λ
other words, Λ is the set of numbers between 0 and 1
Therefore the expectation value of measurement result
whose representation as a binary fraction has a finite
is equal to F(ρˆ ). Then, almost literally repeating the
λ
length. It was shown in Section IV on the basis of
reasoningbetweenEq.(21)andEq.(25), one canobtain
Eq. (27) that the equality (18) is fulfilled for any λ Λ.
a relation analogous to Eq. (25):
∈
Therefore
F(ρˆ )=(1 a˜)F(ρˆ )+a˜F(ρˆ ), (A11)
λ ξ η
x Λ, F(ρˆ )=(1 x)F(ρˆ )+xF(ρˆ ), (A2) −
x 0 1
∀ ∈ −
wherea˜istheprobabilityofobtaining1bymeterµinthe
where we introduce a shorthand notation modified setup. As a˜ [0,1], the latter equation means
∈
that the quantity F(ρˆ ) is between F(ρˆ ) and F(ρˆ ).
def λ ξ η
ρˆx = (1 x)ρˆ0+xρˆ1. (A3) Therefore, taking Eq. (A8) into account, one can con-
−
clude that
Now let us choose some real number λ such as
F(ρˆ ) F(ρˆ ) F(ρˆ ). (A12)
ξ λ η
0<λ<1, (A4) ≤ ≤
Since these inequalities were derived for arbitrarily
and define a subset Λ− of numbers in Λ, which are less chosen ξ Λ− and η Λ+, then for any ξ Λ− the
then λ, ∈ ∈ ∈
value of F(ρˆ ) is less than F(ρˆ ). That is, F(ρˆ ) is an
ξ λ λ
Λ− = x Λ:x<λ , (A5) upper bound of the set {F(ρˆξ):ξ ∈Λ−}. Therefore,
{ ∈ }
F(ρˆλ) sup F(ρˆξ):ξ Λ− . (A13)
andanothersubsetΛ ofnumbersinΛ,whicharegreater ≥ { ∈ }
+
then λ, Similarly,
Λ+ ={x∈Λ:x>λ}. (A6) F(ρˆλ)≤inf{F(ρˆη):η ∈Λ+}. (A14)
Then, we choose arbitrarily two numbers ξ Λ− and Right-hand sides of the latter two inequalities can be
∈
η Λ+. By definition of Λ− and Λ+, easily calculated. Since Λ is a dense subset of the range
∈
[0,1], then
ξ <λ<η (A7)
supΛ− =infΛ+ =λ. (A15)
and, due to Eqs. (A1) and (A2),
ItfollowsfromEqs.(A1),(A2)and(A15)thatifx Λ−
F(ρˆξ)≤F(ρˆη). (A8) thenF(ρˆx)isnotgreaterthanthequantity(1−λ)F(∈ρˆ0)+
λF(ρˆ ),butcanbemadearbitrarilyclosetothisquantity
1
Now we return to the thought experiments shown in
by appropriate choice of x. Hence,
Fig.3andmodifytheminthefollowingway. Letusselect
such two bipartite states Ψ0 and Ψ1 of the combined sup F(ρˆx):x Λ− =(1 λ)F(ρˆ0)+λF(ρˆ1). (A16)
| i | i { ∈ } −
e e
9
In a similar way, (A16) and (A17):
F(ρˆ )=(1 λ)F(ρˆ )+λF(ρˆ ). (A18)
λ 0 1
−
inf F(ρˆ ):x Λ =(1 λ)F(ρˆ )+λF(ρˆ ). (A17)
x + 0 1
{ ∈ } − Remembering the definition of ρˆ , Eq. (A3), one can see
λ
that Eq. (A18) is exactly the same as Eq. (18). Thus,
Finally,onecaneasilyfindF(ρˆ )fromEqs.(A13),(A14), Eq. (18) is proved for any λ (0,1).
λ
∈
[1] L. Landau,Zeitschrift fu¨r Physik 45, 430 (1927). [11] L. Hardy, “Reconstructing quantum theory,” (2013),
[2] J.vonNeumann,Nachr.Ges.Wiss.G¨ottingen1927,245 arXiv:1303.1538.
(1927). [12] B.d’Espagnat,ConceptualFoundationsofQuantumMe-
[3] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, chanics, Advanced book classics (Advanced Book Pro-
4th ed. (Oxford University Press, USA,1982). gram, Perseus Books, 1999).
[4] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics: [13] W. H. Zurek,Phys. Rev.Lett. 90, 120404 (2003).
Non-relativisticTheory (Butterworth-Heinemann,1977). [14] W. H. Zurek,Phys. Rev.A 71, 052105 (2005).
[5] G. Ludwig, Zeitschrift fu¨r Physik 181, 233 (1964). [15] A.Holevo,QuantumSystems, Channels,Information: A
[6] G. M. Jauch and C. Piron, Mathematical Introduction,DeGruyterStudiesinMath-
Helv.Phys. Acta40, 559 (1967). ematical Physics (DeGruyter,2013).
[7] M.A.Neumark,Izv.Akad.NaukSSSRSer.Mat.4,277 [16] A.Nenashev,“Quantum-mechanicalmeasurementappa-
(1940). ratus as a black box,” (2014), arXiv:1402.2919.
[8] K. Kraus, States, effects, and operations, Lecture notes [17] N. Gisin, Helvetica Physica Acta62, 363 (1989).
in physics (Springer-Verlag,1983). [18] S. Weinberg, “Quantum Mechanics Without State Vec-
[9] A. S. Holevo, Probabilistic and Statistical Aspects of tors,” (2014), arXiv:1405.3483.
QuantumTheory,PublicationsoftheScuolaNormaleSu- [19] J.vonNeumann,MathematicalFoundationsofQuantum
periore (Springer, 2011). Mechanics (Princeton University Press, 1955).
[10] L.Hardy,“Quantum Theory From FiveReasonable Ax- [20] A. M. Gleason, J. Math. Mech. 6, 885 (1957).
ioms,” (2001), arXiv:quant-ph/0101012. [21] A. V.Nenashev, Physica Scripta T163, 014033 (2014).
