Wege zur Analysis: Genetisch — Geometrisch — Konstruktiv

261 Pages·2001·6.92 MB·German

by  Dr. Herbert Schröder (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer-V erlag Berlin Heidelberg GmbH
Herbert Schroder
Wege zur Analysis
genetisch - geometrisch - konstruktiv
Springer
Dr. Herbert Schroder
Universităt Dortmund
Fachbereich Mathematik
Postfach 50 05 00
44221 Dortmund, Deutschland
e-mail: [email protected]
Mathematics Subject Classification (2000): 26-01, 26-03, 01-01
Die Deutsche Bibliothek -CIP·Einheitsaufnahme
Schriider, Herbert:
Wege zur Analysis: genetisch -geometrisch -konstruktiv / Herbert Schroder. -Berlin; Heidelberg; New York; Barce
Iona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Tokio: Springer, 2001
(Springer-Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-42032-3 ISBN 978-3-642-56740-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-56740-7
ISBN 978-3-540-42032-3
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Vorwort
Das vorliegende Buch basiert auf Vorlesungen und Seminaren, die ich in den vergange
nen zehn Jahren an der Universitat Dortmund gehalten habe. Es soll eine Erganzung
zu den ilblichen Standardvorlesungen der Analysis sein und richtet sich vornehmlich
an Studierende des Lehramtsstudiengangs, aber auch an solche, die sich filr die histo
rische Entwicklung der Infinitesimalrechnung interessieren. Von Dozenten kann es zur
Ausgestaltung der an diesen Horerkreis gerichteten Vorlesungen oder als Fundgrube
filr Themen in (Pro-)Seminaren benutzt werden. Auch der bereits ausgebildete Leh
rer kann es zur Fortbildung heranziehen und daraus Anregungen fUr die Einbeziehung
historischer Aspekte in den Unterricht erhalten.
Es werden unter anderem Themen vorgestellt, die wesentlichen Einfiuss auf die Entste
hung der Analysis hatten, in den Anfiingervorlesungen jedoch meist zu kurz kommen,
da ihnen spater eigene Vorlesungen gewidmet sind. Dazu gehoren speziell die Theorie
der Kettenbrilche, die ilblicherweise in der Zahlentheorie angesiedelt ist, die gewohn
lichen Differentialgleichungen und die elementare Differentialgeometrie. Da der vorlie
gende Text vor allem als Erganzung gedacht ist und nicht als einfilhrendes Lehrbuch
zur Analysis konzipiert wurde, setzt er voraus, dass der Leser mit den Grundbegriffen
der Analysis bereits vertraut ist. HierfUr genilgt nahezu jedes Lehrbuch zur Analysis,
wovon einige in den Literaturhinweisen am Ende der Einleitung aufgefilhrt sind.
In der Darstellung folgt das vorliegende Buch nicht der sonst ilblichen deduktiven Vor
gehensweise, bei der die Beispiele nur zur Illustration einer allgemeinen Theorie dienen,
sondern dem "genetischen" Zugang ilber klassische meist "geometrische" Fragen. Ein
besonderes Augenmerk liegt daher auch auf der "konstruktiven" Denkweise.
Da der geometrische Aspekt besonders betont werden soli, enthalt das Buch zahlrei
che Figuren. Ferner sind die wichtigsten Ergebnisse durch Einrahmung hervorgehoben.
Ais Erganzung zu historischen Bemerkungen werden 31 fUr die Analysis maBgebliche
Mathematiker mit kurzen biographischen Notizen und Portiits vorgestellt. Das Buch
enthalt 100 Aufgaben mit Losungshinweisen bzw. vollstandigen Losungen und ebenso
am Ende eines jeden Abschnittes kommentierte Literaturhinweise, die Anregungen fUr
weitere Studien bieten.
Dortmund, im Mai 2001 Herbert Schroder
Inhaltsverzeichnis
Einleitung ....................................................................... 1
Kap. 1 Reelle Zahlen ......................................................... 5
1.1 Der goldene Schnitt .......................................................... 5
1.2 Kettenbrtiche ............................................................... 18
1.3 Transzendente Zahlen ...................................................... 34
1.4 Konstruktive Analysis ....................................................... 43
Kap. 2 Integralrechnung .................................................... 65
2.1 Quadratur und Integration .................................................. 65
2.2 Bogenlange und Windungszahlen ............................................ 86
2.3 Volumen- und Oberfiachenintegrale ......................................... 105
2.4 Gewohnliche Differentialgleichungen ........................................ 115
Kap. 3 Differentialrechnung ............................................... 129
3.1 Ebene Kurven ............................................................. 129
3.2 Extremwerte und Singularitaten ............................................ 158
3.3 Kurven und Flachen im Raum ............................................. 177
3.4 Die Geometrie der Flachen ................................................. 194
Ausblick ....................................................................... 205
Losungshinweise, Losungen, Ergebnisse .................................... 225
Namen- und Sachverzeichnis ................................................ 249
Einleitung
One can invent mathematics without knowing much of its history. One can use ma
thematics without knowing much, if any, of its history. But one cannot have a mature
appreciation of mathematics without substantial knowledge of its history. - Abe She
nitzer
Obwohl die Mathematik allgemein als unhistorisch gilt - zumindest wird sie so in den
Vorlesungen prasentiert - hat sie doch an der Entfaltung unserer Kultur entscheidend
mitgewirkt. So liest man in [RW] tiber die Infinitesimalrechnung:
Dieses leistungsfahige Rechenverfahren, das von Newton und Leibniz gegen Ende des siebzehnten Jahr
hunderts erfunden wurde, hatte einen starkeren Einfluss auf Wissenschaft und Technik als irgendein
anderer Fortschritt. Hundert Jahre vor der Erfindung der Integral- und Differentialrechnung war die
Beschreibung der Bewegung eines Gegenstandes beim freien Fall unter Einfluss der Schwerkraft oder
die Bewegung eines Balls auf einer schiefen Ebene ein Problem, das selbst die grofiten Wissenschaftler
dieser Zeit auf eine harte Probe stellte und zum Aufgeben zwang. Hundert Jahre nach ihrer Entstehung
ermoglichte es die Infinitesimalrechnung dem franzosischen Mathematiker und Physiker Laplace, aile
Himmelsbewegungen, mit Ausnahme unbedeutender Aspekte der Bewegung von Mond und Planeten,
zu erklaren. Er konnte so erste wissenschaftliche Spekulationen liber den Ur sprung des Sonnensystems
auf mathematischer Grundlage anstellen.
Wir wollen die Leistungsfahigkeit der Infinitesimalrechnung an einigen Beispielen de
monstrieren. Wir folgen dabei aber nicht der sonst tiblichen deduktiven Vorgehensweise,
bei der die speziellen Beispiele nur zu Illustrationszwecken ftir die Tragweite einer all
gemeinen Theorie angeftihrt werden, sondern bevorzugen den besonders von F. KLEIN
und O. TOEPLITZ empfohlenen genetischen Zugang. Nach dem langsam schwindenden
Einfiuss der abstrakten und axiomatisch gepragten Mengenlehre haben sich mittlerwei
Ie gerade im didaktischen Bereich immer mehr Autoren diesem Zugang angeschlossen.
Nicht urn die bereits fertige Analysis, moglichst okonomisch dargestellt, urn dem ange
henden Mathematiker von Nutzen zu sein, solI es gehen, sondern urn die Entwicklung
der mathematischen Denkweise, die, an konkreten Problemen erprobt, zur Analysis
geftihrt hat.
Die Analysis ist aus dem Versuch heraus entstanden, das Gebiet der Geometrie rein
arithmetisch zu erschlieBen. Es hat sich aber schon frtih gezeigt (siehe Abschnitt 1.1),
dass dazu die rationalen Zahlen nicht ausreichen. Die Griechen haben es daher zunachst
dabei belassen und nur mit den geometrischen Objekten "gerechnet", die sie noch mit
Zirkel und Lineal konstruieren konnten. 1m Rahmen der reellen Zahlen sind dies aile
diejenigen, die man aus den natiirlichen Zahlen durch endlich viele der elementaren
Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie dem
Ziehen der Quadratwurzel erhalt. Bei der Addition bzw. Subtraktion werden die jewei
ligen Strecken auf der orientierten Zahlengerade in die entsprechende Richtung abge
tragen, zur Multiplikation und Division weicht man in die Ebene aus und verwendet
als Hilfsmittel den Strahlensatz, wahrend man die Quadratwurzeln ebenfalls in der
Ebene am einfachsten mit Hilfe des Hohensatzes im rechtwinkligen Dreieck realisiert.
Aus heutiger Sicht (genauer seit C.F. GAUSS) ist es angebracht, auch komplexe Zahlen
=
zuzulassen. Man beachte, dass die Quadratwurzel einer komplexen Zahl z rei<p mit
r ~ 0 und 0 ~ 'P < 21l" als Vi = y'rei<p/2 definiert ist und beide dazu notigen Operatio
nen, das Ziehen der Quadratwurzel aus r und die Halbierung des Winkels 'P mit Zirkel
und Lineal durchgefiihrt werden konnen. Man konnte die Menge dieser Zahlen daher als
den euklidischen Zahlenkorper bezeichnen. Erst durch die Erfindung der analytischen
H. Schröder, Wege zur Analysis
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001
2 EINLEITUNG
Geometrie urn 1630 durch P. DE FERMAT und R. DESCARTES hat sich der Schritt zum
abstrakten Zahlbegriff und daran anschlieBend zum Funktionsbegriff angebahnt. Die
Zahlen in der Form von Koordinaten, die DESCARTES der Geometrie aufgezwungen
hat - H. WEYL spricht einmal von einer Vergewaltigung - lagen aber keineswegs fer
tig VOL Es hat noch zweieinhalb Jahrhunderte gedauert, bis alle dazu notigen Zahlen
bereitgestellt und die Arithmetisierung der Geometrie endgiiltig vollzogen war.
Obwohl wir die einzelnen Kapitel inhaltlich voneinander getrennt haben, haben sich
die darin dargestellten Themen "reelle Zahlen", "Integralrechnung" und "Differential
rechnung" parallel zueinander entwickelt und zwar fortwahrend in einem Wechselspiel
zwischen Geometrie und Analysis.
Wahrend sich die Charakterisierung reeller Zahlen von arithmetischer Seite am ein
fachsten durch ihre Dezimalbruchentwicklungen anbietet (auf der Grundlage des Folgen
und Reihenbegriffs), legen die geometrischen Fragestellungen der Griechen die Darstel
lung als Kettenbrtiche nahe (basierend auf dem euklidischen Algorithmus). Die Ket
tenbrtiche bilden das zentrale Thema des ersten Kapitels, da sie auch besonders gut
geeignet sind, den Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen und dabei
wiederum zwischen algebraischen und transzendenten Zahlen zu verdeutlichen. Insbe
sondere kann man mit ihrer Hilfe transzendente Zahlen explizit konstruieren. Dartiber
hinaus beweisen wir auch (jedoch mit anderen Mitteln) die 'Transzendenz von e und
Jr. Der Frage, inwieweit man die Kluft zwischen den einzelnen (konstruierbaren) reel
len Zahlen und dem reellen Kontinuum tiberbrticken kann, wollen wir in Abschnitt 1.4
nachgehen. Dabei werden die klassischen Aussagen tiber stetige bzw. differenzierbare
Funktionen, wie der Zwischenwertsatz und der Satz vom Maximum bzw. der Mittel
wertsatz, genauer analysiert und ihre tiblichen Beweise aus konstruktiver Sicht kritisch
beleuchtet. In diesem Zusammenhang beweisen wir auch den Fundamentalsatz der Al
gebra sowie den WeiertraB'schen Approximationssatz.
Am Anfang der Integralrechnung steht das Problem der Quadratur krummlinig be
grenzter Flachen und die Rektifizierung der krummen Begrenzungslinien, vor aHem
der Kreisflache und ihrer Begrenzung, der Kreislinie. Wir zeigen im zweiten Kapi
tel, wie diese Aufgaben zum Integralbegriff gefUhrt haben und wie die Integration als
Umkehrung der Differentiation dartiber hinaus geholfen hat, die oben erwiihnten, in
Form von Differentialgleichungen formulierten Probleme der Bewegung physikalischer
Korper zu lOsen. Wir konnen hier nur die einfachsten Tatsachen der Integralrechnung
bertihren. Der weitere Ausbau beruht auf dem abstrakten Funktionsbegriff, der in der
modernen Analysis die geometrische Anschauung ersetzt hat. Er ist entstanden aus der
Theorie der Fourier-Reihen, die wir in Abschnitt 2.2 kurz streifen, und hat u.a. zu soleh
unanschaulichen Objekten wie nirgends differenzierbaren stetigen Funktionen geftihrt.
Darauf und auf der Theorie der Differentialgleichungen aufbauend ist die Funktional
analysis entstanden. Erst fUr diese benotigt man eine umfassendere Integrationstheorie,
wie sie 1903 von H. LEBESGUE geschaffen wurde. Diese ist aber nicht mehr unser An
liegen, so dass wir auf die weiterfUhrende Literatur zur Analysis verweisen.
Auch das dritte Kapitel beginnt mit geometrischen Problemen, namlich den klassischen,
mit Zirkel und Lineal die Wtirfelverdopplung, die Kreisquadratur und die Winkeldrei
teilung zu bewerkstelligen. Ohne die UnlOsbarkeit dieser Aufgaben beweisen zu k6nnen,
EINLEITUNG 3
haben die Griechen bereits die erst en Schritte iiber den euklidischen Zahlenkarper hin
aus getan, indem sie fiir diese Konstruktionsaufgaben "mechanischen Kurven" her
anzogen, die statt mit Zirkel und Lineal mit anderen mechanischen Hilfsmitteln er
zeugt werden kannen und ausschlieBlich zu diesem Zweck erdacht worden sind. Die
Beschaftigung mit so1chen Kurven, war die treibende Kraft beim weiteren Ausbau der
Differential-und Integralrechnung. Dabei gehen wir auch auf NEWTONS "Potenzreihen
methode" (mit ganzen und gebrochenen Exponenten) ein, mit der er die algebraischen
Kurven, die DESCARTES zur Lasung der von PAPPaS gestellten Probleme erschaffen
hatte, analytisch behandelt hat. Fiir den Fall der Kubiken, den nachst einfachen nach
den Kegelschnitten, hat er damit eine nahezu vollstandige Klassifizierung erreicht. Sei
ne diesbeziiglichen Arbeiten sind (in englischer Ubersetzung) auch heute durchaus noch
lesenswert. Sie bilden den Beginn der so genannten "Singularitatentheorie", die in den
siebziger Jahren unter dem Slogan "Katastrophentheorie" auch auBerhalb der Mathe
matik fiir Aufsehen sorgte.
Besonderen Wert haben wir anschlieBend auf die mehrdimensionale Differentialrech
nung gelegt, bei der neb en den lokalen Eigenschaften von Funktionen oder Nullstellen
gebilden auch globale zum Tragen kommen. Ais ein wichtiges Beispiel wird uns dabei
das Problem der Kartierung der Erde dienen, die Frage nach der Konstruktion ge
eigneter Landkarten. Wir schlieBen mit dem erst en globalen Resultat der klassischen
Differentialgeometrie der Flachen, dem Satz von GauB-Bonnet. Urn den Umfang nicht
zu sprengen, mussten wir jedoch auf die Behandlung weiterer Aspekte, die daran an
kniipfend einerseits zu nichteuklidischen Geometrien oder andererseits zur Topologie
fiihren, verzichten.
Literaturhinweise
Die folgende Literaturauswahl - weitere Literaturhinweise findet man am Ende der ein
zelnen Abschnitte sowie im Ausblick - ist natiirlich stark durch die Kenntnis und noch
mehr durch die Neigungen des Autors gepragt. Insbesondere im Bereich der einfiihren
den Lehrbiicher kannte sie belie big verlangert werden. Wir erwahnen hier nur drei
Bucher, deren Stoffumfang wir als bekannt voraussetzen:
[Sch] Scheid, H.: Folgen und Funktionen, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg,
1997
Hier werden die Grundbegriffe der Analysis mit einer lihnliehen Intention wie im vorliegenden Bueh
prlisentiert. Trotz der Ubersehneidungen ist es aber elementarer ausgeriehtet und kann als ausreichende
Grundlage angesehen werden. Es richtet sieh vornehmlieh an Studierende des Lehramtsstudiengangs.
[Spi] Spivak, M.: Calculus, Addison-Wesley, Menlo Park, 1973
Fiir den Studienanfanger sehr zu empfehlen, um sieh mit der englisehen Spraehe vertraut zu machen.
Obwohl etwas breiter in der Darstellung, lihnelt das Bueh eher den bei uns iibliehen Analysis-Biiehern
und unterseheidet sich somit von anderen anglo-amerikanisehen Calculus-Texten.
[Wall Walter, W.: Analysis I, Springer, Berlin, 19995
Dieser erste Teil des zweiblindigen Werks enthlilt das "Grundwissen" iiber die Differential-und Integral
reehnung fUr Funktionen einer Variablen. Mit den zahlreichen historischen Beziigen zielt es in dieselbe
Richtung wie das vorliegende Bueh, folgt aber weitgehend der iibliehen Darstellung der Grundbegriffe
der Analysis. Es bietet weit mehr als die hier benotigte Grundlage.
Den genetischen Einstieg in die Analysis bieten:
[Kle] Klein, F.: Elementarmathematik von hOheren Standpunkte aus, Bde. 1-3, Springer,
Berlin, 19684,3,3
4 EINLEITUNG
Der Autor gilt als Mitbegriinder der genetischen Methode. In dem heute noch lesbaren Werk, das
weit mehr als die Analysis umfasst, ist es ihm in hervorragender Weise gelungen, die Briicke zwischen
Hochschule und Schule zu schlagen.
[Toe] Toeplitz, 0.: Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung, Springer, Berlin, 1949
Dies ist der Klassiker der genetischen Methode fUr den Bereich der Analysis. Leider ist ein zweiter
Band nie erschienen.
[HS] Hischer, H., Scheid, H.: Grundbegriffe der Analysis, Spektrum Akademischer Ver
lag, Heidelberg, 1995
Die Autoren widmen sich vor allem didaktischen Aspekten der Analysis. Sie setzen die genetische
Methode fort und beriicksichtigen auch die weitere Entwicklung, die die Analysis im Anschluss an die
Entstehung der Mengenlehre genommen hat.
In steigendem MaBe versuchen die Mathematiker ihr Fach einer breiteren Offentlich
keit zuganglich zu machen. Dies drlickt sich in einer Vielzahl popularwissenschaftlicher
Blicher aus, von denen einige auch fUr angehende (oder bereits ausgebildete) Mathe
matiker oder Lehrer interessant sind, sei es, urn einmal liber den eigenen Tellerrand
zu blicken, oder aber, urn daraus Anregungen fUr die Lehre oder den Unterricht zu
beziehen. Ein groBerer Leserkreis solI in den folgenden Blichern angesprochen werden.
Sie gehen in der Stoffauswahl auch liber die Analysis hinaus:
[Dev] Devlin, K.: Muster der Mathematik, Spektrum Akad. Verlag, Heidelberg, 1998
Hauptthema ist die Beschreibung von Mustern in der Mathematik und deren Entdeckung in der
Natur. Das Buch enthiilt am Ende weitere Literaturhinweise zu ahnlichen popularwissenschaftlichen
Darstellungen.
[Ste] Stewart, LN.: From here to Infinity, Oxford Univ. Press, New York, 1996
Der bekannte Kolumnist der Zeitschrift "Spektrum der Wissenschaften" macht den Leser mit den
neuesten mathematischen Entdeckungen bekannt. Eine friihere Version des Buches erschien auch in
deutscher Sprache, enth,i!t aber nicht das Kapitei liber die L6sung der Fermatschen Vermutung.
Mehr Mitarbeit vom Leser fordern dagegen die folgenden teils klassischen Werke:
[CR] Courant, R., Robbins, H.: Was ist Mathematik ?, Springer, Berlin, 1992
Ein Meisterwerk der Prasentation mathematischer Ideen und Denkweisen
[RT] Rademacher, H., Toeplitz, 0.: Von Zahlen und Figuren, Springer, Berlin, 19982
Anhand vieler konkreter Beispiele wird die mathematische Denkweise demonstriert.
[RW] Resnikoff, H.L., Wells, R.O. Jr.: Mathematik im Wandel der Kulturen, Vieweg,
Braunschweig, 1983
Dies ist eine anregende Beschreibung der Wechselwirkung von Mathematik mit dem Prozess der tech
nischen und wissenschaftlichen ErschlieBung der Welt. Besonders herausgestellt sind der Fortschritt
bzw. das Hemmnis, die kulturelle Faktoren auf die Entwicklung der Mathematik (und umgekehrt)
gehabt haben.