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Studienbucher
K. Brinkmann, Einfuhrung in die elektrische Energiewirtschaft
fur Elektrotechniker, Maschinenbauer, Verfahrenstechniker, Wirtschafts·
ingenieure und Betriebswirtschaftler (im 2. Studienabschnitt)
G. Fruhauf, Praktikum Elektrische MeBtechnik
fur Elektrotechniker (3. und 4. Semester)
H. Graser, Biochemisches Praktikum
fur Biologen, Chemiker, Pharmazeuten und Mediziner (im 2. Studienabschnitt)
E. Henze / H. H. Homuth, Einfuhrung in die Informationstheorie
fur Mathematiker, Physiker und Elektrotechniker (3. Semester)
R. Jotten / H. Zurneck, Einfuhrung in die Elektrotechnik I
fur Elektrotechniker, Maschinenbauer und Wirtschaftsingenieure
(1. bis 3. Semester)
G. Kempter, Organisch-chemisches Praktikum
fur Chemiker, Biologen und Mediziner (3. Semester)
L. D. Landau / E. M. Lifschitz, Mechanik
fur Mathematiker und Physiker (2. und 3. Semester)
W. Leonhard, Wechselstrome und Netzwerke
fur Elektrotechniker (3. Semester)
W. Leonhard, Einfuhrung in die Regelungstechnik, Lineare Regelvorgange
fur Elektrotechniker, Physiker und Maschinenbauer (5. Semester)
W. Leonhard, Einfuhrung in die Regelungstechnik, Nichtlineare Regelvorgange
fur Elektrotechniker, Physiker und Maschinenbauer (6. Semester)
K. Mathiak / P. Stingl, Gruppentheorie
fur Chemiker, Physiko-Chemiker und Mineralogen (ab 5. Semester)
K.-A. Reckling, Mechanik I, II, III
fur Studenten der I ngenieurwissenschaften (1. und 2. Semester)
K. Torkar / H. Krischner, Rechenseminar in Physikalischer Chemie
fur Chemiker, Verfahrenstechniker und Physiker (ab 3. Semester)
M. Toussaint / K. Rudolph, Programmierte Aufgaben zur linearen Algebra
und analytischen Geometrie
fur Mathematiker und Physiker (ab 1. Semester)
Hans-J. Weithi:iuser
TufpenstraOo 3 -Tel. 13094
4470 Meppen / Ems
Werner Leonhard
Wechselstr6me
und Netzwerke
Studienbuch
fOr Elektrotechniker
ab 3. Semester
2., durchgesehene Auflage
Mit 182 Bildern
Friedr. Vieweg + Sohn
Braunschweig
uni-text
Verlagsredaktion: Alfred Schubert
ISBN-13: 978-3-528-13003-9 e-ISBN-13: 978-3-322-86414-7
DOl: 10.1007/978-3-322-86414-7
1972
Alle Rechte vorbehalten
Copyright © 1968/1972 by Verlag Friedr. Vieweg + Sohn GmbH, Braunschweig
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Bander, Platten und andere Medien.
Library of Congress Catalog Card No. 68-58273
Satz: Friedr. Vieweg + Sohn, Braunschweig
Schrift: Press Roman und Univers
Buchbinder: Langeltiddecke, Braunschweig
Umschlaggestaltung: Peter Kohlhase
Vorwort
Die Netzwerkslehre ist eine Grundlage der gesamten Elektrotechnik. Umfangreiche
Arbeitsgebiete der Nachrichten-und Energietechnik bauen darauf auf.
Die vorliegende einflihrende Darstellung behandelt die Erscheinungen in elektrischen
Netzwerken, die aus konzentrierten Schaltelementen (Ohmwiderstand, Induktivitat,
Kapazitat) zusammengesetzt sind. Dabei wird angenommen, da~ der Stromflu~ und
die elektrischen und magnetischen Felder auf die entsprechenden Schaltelemente
und ihre Verbindungsleitungen beschrankt sind. Die jede elektrische Stromung be
gleitenden elektrischen und magnetischen Streufelder in der Umgebung des Leiters
werden nicht beachtet. Desgleichen werden Laufzeiteffekte, die durch die endliche
Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Felder bedingt sind, vemachlassigt.
Netzwerke mit konzentrierten Schaltelementen werden durch gewohnliche Differen
tialgleichungen beschrieben, deren unabhiingige Variable die Zeit ist. Falls die Schalt
elemente nicht von Strom und Spannung abhangen und zeitlich konstant sind, erhiilt
man lineare Differentialgleichungen mit konstanten KoefflZienten. Diese Annahme
ist in vielen praktischen Fallen gegeben. Man bezeichnet soIche Schaltungen auch
als lineare Netzwerke.
Zunachst sollen Netzwerke im eingeschwungenen Zustand bei Anregung durch
Gleichspannungen (-strome) und Wechselspannungen (-strome) betrachtet werden,
danach folgt die Berechnung von Einschwingvorgangen. Dabei werden besonders
zweckma~ige mathematische Hilfsmittel eingefOOrt. Raumlich verteilte elektro
magnetische Felder, wie sie bei Leitungsvorgangen oder bei der Wellenausbreitung
von Antennen vorliegen, fOOren auf partielle Differentialgleichungen. SoIche Pro
bleme werden in dieser einfOOrenden Darstellung nicht behandelt.
Der Inhalt dieses Buches entspricht einer Vorlesung, die seit einigen Jahren an der
Technischen Universitat Braunschweig fUr Studenten der Elektrotechnik im 3. Seme
ster gehalten wird. Dabei werden Kenntnisse vorausgesetzt, die in den Vorlesungen
Grundlagen der Elektrotechnik I, II erworben wurden, z.B. [1, 2]. Die die Vorlesung
begleitenden Recheniibungen sind in diesem Buch nicht enthalten.
Da der Inhalt dieser Vorlesung zum groBten Teil seit Jahrzehnten zum technischen
Allgemeingut geh6rt, wurde auf genaue Quellenangaben verzichtet. Die Zusammen
stellung am Ende gibt Hinweise auf ergiinzende und weiterflihrende Literatur. Die
Darstellung in Abschnitt 6 erfolgte in Anlehnung an W. Bader, der in seinen V or
lesungen diese Fragen mit uniibertrefflicher Klarheit behandelt.
Dieses Biichlein solI als Grundlage einer Vorlesungsrnitschrift dienen, urn die rein
manuelle Schreibarbeit zu reduzieren. Eigene aktive Mitarbeit in den Vorlesungen
und bei den (]bungen la~t sich dadurch nicht ersetzen.
Herm Dr. K. Fieger danke ich herzlich fUr seine Hilfe beim Lesen der Korrekturen.
W. Leonhard
I nhaltsverzeichnis
1. Das Zeigerdiagramm
1.1. Darstellung einer zeitlich sinusfOnnigen Gro~e durch cinen Zeiger
1.2. Zeigerdiagramm bei einfachen Schaltelementen 3
1.2.1. Ohmwiderstand 3
1.2.2. Kondensator 4
1.2.3. Drosselspulc 5
1.2.4. Beispiele 6
1.3. Zeigerdiagramm bci zusammengesetztcn Schaltungen 7
1.3.1. Verkniipfungsgesetze 7
1.3.2. Parallelschaltung G-C 8
1.3.3. Reihenschaltung R-L 9
1.3.4. Andere Schaltungen 11
2. Leistung bei Wechselstrom
2.1. Scheinleistung, Wirldeistung 12
2.1.1. Definition 12
2.1.2. Ohmwiderstand 14
2.1.3. Kondensator 15
2.1.4. Spule 16
2.2. Wirkstrom und Blindstrom 16
3. Beschreibung von Wechselstrom mit Hilfe der komplexen Rechnung
3.1. Komplexe Zahlen 18
3.2. Anwendung der komplexen Rechnung auf Wechselstromschaltungen 22
3.3. Komplexer Widerstand (lmpedanz) und Leitwert (Admittanz) 25
3.4. Leistung in komplexer Schreibweise 27
3.5. Berechnung einfacher Schaltungen 28
3.5.1. Parallelschaltung G-L 28
3.5.2. Reihenschaltung R-C 30
3.5.3. Abglcichbcdingung der Maxwell-Briicke 30
3.6. Zusammenfassung 32
4. Resonanzschaltungen
4.1. Parallel-und Reihenschwingkreis 33
4.2. Blindstromkompensation 39
S. Der Transformator
5.1. Magnetische Kopplung zweier Stromkreise 42
5.2. Ersatzschaltbild und Zeigerdiagramm 45
5.3. Vereinfach tes Ersatzschaltbild 48
5.4. Einige Sonderfalle 49
5.4.1. Leerlaufender Transfonnator 49
5.4.2. Sekundar kurzgeschlossener Transformator 50
6. Allgemeine Verfahren zur Berechnung linearer Netzwerke
6.1. Aufgabenstellung und Liisungsweg 52
6.2. Berechnung des Netzwerkes durch Ansatz von Kreisstriimen 55
6.2.1. Begriindung 55
6.2.2. Beispiel und Verallgemeincrung 56
6.2.3. Beispiel: Berechnung der Vierpol-Eigenschaften einer Briickenschaltung 60
6.2.4. Erweiterung des Kreisstromverfahrens auf Wechselstrom 62
6.3. Berechnung der Zweigstriime mit Hilfe der Knotenpunktsspannungen 65
6.3.1. Begriindung 65
6.3.2. Beispiel: Messung der induzierten Spannung einer Gleichstrommaschine 68
6.4. Das Oberlagerungsverfahren 70
6.4.1. Begriindung 70
6.4.2. Beispiele 72
7. Spezielle Verfahren zur Berechnung linearer Netzwerke
7.1. Er satz-Spannu ng iq uelle und Er sa tz-S tromq u elle 75
7.1.1. Aufgabenstellung und Liisung 75
7.1.2. Beispiele 80
7.2. Netzwerksumwandlung 85
7.2.1. Allgemeines 85
7.2.2. Stern-Dreieck-Umwandlung 86
7.2.3. V erallgeme ineru ng 88
7.2.4. Beispiele 89
8. Vierpole
8.1. Vierpolgleichungen 90
8.2. Darstellung eines Vierpols in T-oder n-Schaltung 92
8.3. Rcziproke Vierpoleigenschaften 94
9. Drehstromsystem mit sinusfiirmigen Spannungen und Striimen
9.1. Symmetrisches Drehstromsystem 96
9.1.1. Allgcmeines, Erzeugung von Drehstrom 96
9.1.2. Drch strombelastung 100
9.1.3. Leistung bei Drehstrom 103
9.2. Unsymmetrisches Drehstromsystcm 105
9.3. Beispiel: ErdschluB-Liischung in einem Hochspannungsnetz 107
10. Nicht sinusfiirmige periodische Vorgange
10.1. Allgemeines 109
10.2. Darstellung periodischer Vorgange durch Fouriersche Reihen 111
10.3. Anregung einer linearen Schaltung durch nicht sinusfiirmige
Spannungen und Striime 114
10.4. Nachrich te niibertragung 120
10.5. Leistung und Effektivwert bei nicht sinusfiirmigen periodischen
Vorgiingen 122
10.5.1. Erweiterte Definition des Effektivwertes 122
10.5.2. Berechnung des Effektivwertes aus dem Frequenzspektrum 124
10.5.3. Klirrfaktor 126
10.6. Symmetrisches Drehstromsystem mit Oberschwingungen 127
10.6.1. Ableitung 127
10.6.2. Anwendung 129
It. DarsteUung komplexer Funktionen durch Ortskurven
11.1. Komplcxe Funktion einer reellen Veriinderlichen 131
11.2. Komplexc Funktion einer komplexcn Veriinderlichen 133
11.3. Die Abbildung durch die Funktion F = l/w 134
11.4. Abbildung durch eine allgemeine lineare Funktion 137
11.5. Anwendung zor Berechnung von Ortskurven 138
11.5.1. Reihenschaltung R -L 138
11.5.2. Parallelschwingkreis 139
11.5.3. Frequenzgang eines RC-Vierpols im Lccrlauf 140
11.5.4. Frequenzgang cines LC-Tiefpasses 141
12. Berechnung nichtstationiirer Vorgiinge in linearen Netzwerken mit Hilfe
der Differentialgleichung
12.1. Energiespeicher 143
12.2. Ansatz der Differentialgleichung 145
12.3. Vorgiinge beim Einschalten einer Gleichspannung 148
12.3.1. RC-TicfpaB 148
12.3.2. Induktiver Stromkreis 152
12.3.3. Einschaltvorgang eines Rcihenschwingkreises 154
12.3.4. Einschaltvorgang eines Impulsiibertragers 156
12.3.5. Speisung eincs Netzwerkes durch cine periodische Rechteckspannung 161
12.4. Vorgiinge beim Einschalten einer Wechselspannung 164
13. Zeitbereich und Frequenzbereich
13.1. Allgemeine stationiire Losung der Differentialgleichung 167
13.2. Komplexe Frcquenz 169
13.3. Kontinuierliches Spektrum, Fourier-und Laplace-Transformation 172
13.3.1. Diskretes Frequenzspektrum, Fourier-Reihe 172
13.3.2. Kontinuierliches Frequenzspcktrum (Fourier-Transformation) 173
13.3.3. Laplace-Transformation 175
13.4. Bcrechnung einiger Korrespondcnzen der Laplace-Transformation 177
13.4.1. Exponcntialfunktion 177
13.4.2. Schaltfunktion, Sprungfunktion 178
13.4.3. Dirac-Impuls 179
13.4.4. Anstiegsfunktion 180
13.4.5. Linearitiit 180
13.5. Laplace-Transformation und Ubertragungsfunktion 181
14. Berechnung von Einschaltvorgiingen mit der Laplace-Transformation
14.1. Sprungantwort und Impulsantwort 182
14.2. Partialbruchzerlegung 183
14.3. Riicktransformation durch komplexe Integration 186
14.4. Beispiele zur Anwendung der Laplace-Transformation auf die
Bcrcchnung von Einschaltvorgiingen 190
14.4.1. Einschaltvorgang bei einem RC-Vierpol 190
14.4.2. Einschalten eines Glcichstromes auf einen Parallelschwingkreis 193
14.4.3. Impulsanregung eines kritisch gediimpften Schwingkreises 194
14.4.4. Einschaltvorgang eines Transformators 196
14.5. Heavisidesche Formel 198
IS. Berechnung von Einschwingvorgangen durch Transformation der
Differentialgleichung
15.1. Transformation der Differential-und Integral.()peration 201
15.1.1. Differentiation 201
15.1.2. Integration 203
15.2. Losung durch Transformation der Differentialgleichung 204
15.3. Schwingkreis mit Anfangsenergie 207
Anhang: Formeln zur Laplace-Transformation 209
Literatur 212
Sachwortverzeichnis 213
1. Das Zeigerdiagramm
1.1. Darstellung einer zeitlich sinusfarmigen Grage durch einen Zeiger
SinusfOnnige Vorgiinge sind in der gesamten Technik von Bedeutung, da sich belie
bige periodische Vorgange auf Sinusschwingungen zurUckfUhren lassen.
fIIt---
Bild 1.1
Eine sinusfonnige Wechselspannung habe z. B. den Verlauf (Bild 1.1):
UI (t) = UI cos(wt + 0:) =y'2u1 cos(wt + 0:).
Dabei bedeuten
t die Zeit,
UI (t) den Augenblickswert der Spannung,
\11 den Scheitelwert (Amplitude),
U 1 den Effektivwert,
f die Frequenz,
=!
T die Periodendauer,
f
w =2 1Tf =T2 1T die Kreisfrequenz und
0: einen in den meisten Fillen beliebigen sogenannten Nullphasen
winkel.
1 Leonhard, Wechselstrom
2 1. Das Zeigerdiagramm
U2(t) =U 2COS(wt + a: + tp) =.,fi V2cos(wt + a: + tp)
stellt demnach eine gleichfrequente sinusf6rmige Spannung dar, die der Spannung
Ul (t) urn den Phasenwinkel tp voreilt. Wir kennzeichnen den so definierten Phasen
winkel manchmal auch praziser als tpUl U2. Falls U2 gegeniiber Ul voreilt, ist tpUl U2
positiv, andernfalls negativ.
Ein zeitlich sinusf6rmiger Vorgang laBt sich bekanntlich durch Projektion eines mit
der Winkelgeschwindigkeit w auf einer Kreisbahn umlaufenden Punktes erzeugen.
Man kann den beiden Spannungen Ul (t), U2(t) also zwei in einer Ebene kreisfOrmig
umlaufende Punkte zuordnen. Ihre Projektionen auf eine feste Bezugsachse sind ein
MafiJ fur die Augenblickswerte der Spannungen (Bild 1.2a).
I
Proje/ttions
richtung
t
u,
---
Bild 1.2
b)
Da fur die Kennzeichnung eines sinusf6rmigen Vorganges die Parameter Scheitelwert
(oder Effektivwert), Frequenz (oder Kreisfrequenz oder Periodendauer) und Null
phasenwinkel geniigen, ist die Vorstellung der Kreisbewegung entbehrlich. Es geniigt
vielmehr, die Lage der beiden Punkte 1 und 2 zu irgendeinem Zeitpunkt, z.B.
t = 0, anzugeben. Mit der zusatzlichen Festlegung der Frequenz ist damit der zeit
liche Verlauf von Ul (t) und U2(t) vollstandig bestimmt. Man markiert die Punkte 1
und 2 durch die Verb,indungs1!nien yom Vrsprung und bezeichnet diese gerichteten
Geraden als "Zeiger" VI und V der Spannungen Ul und U2 (Bild 1.2b). Es ist
2
iiblich, den Zeigern als Langen die Effektivwerte zuzuordnen.
Die beiden gleichfrequenten Spannungen werden somit durch eine ruhende geome
trische Figur (Zeigerdiagramm) dargestellt. Dies wird sich bei der Behandlung sinus
f6rmiger Vorgange als wertvolle Vereinfachung erweisen, die zu besonders iibersicht
lichen Ergebnissen fiihrt.
Mathematisch gesprochen, handelt es sich beim Zeigerdiagramm urn eine spezielle
Koordinatentransformation, durch die der zeitlich veranderliche Anteil eliminiert
wird. Zeigerdiagramme werden auch in anderen Bereichen vielfach angewendet, z.B.
bei mechanischen Schwingungsproblemen.
