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Theorie und Anwendungen
Von Prof. Dr. rer. nat. Alfred Karl Louis
Universität Saarbrücken
Prof. Dr. rer. nat. Peter Maaß
Universität Potsdam
Dr. rer. nat. Andreas Rieder
Universität Saarbrücken
Mit zahlreichen Abbildungen
ES
B. G. Teubner Stuttgart 1994
Prof. Dr. rer. nato A1fred Karl Louis
Geboren 1949 in 8versberglSaar. Von 1968 bis 1972 Studium der Mathematik und
Physik an der Universität Saarbrücken, 1976 Promotion an der Universität Mainz,
1980/81 Assistant Professor an der State University of New York at Buffalo, 1982
Habilitation an der Universität Münster. Von 1983 bis 1986 Professor an der Univer
sität Kaiserslautern, von 1986 bis 1990 Professor an der Technischen Universität
Berlin, seit 1990 Professor an der Universität des Saarlandes in Saarbrücken.
Prof. Dr. rer. nato Peter Maaß
Geboren 1959 in Karlsruhe. Studium der Mathematik in Karlsruhe, Cambridge (UK)
und Heidelberg (Diplom 1985). Promotion 1988 an der TU Berlin, 1990 Assistant
Professor an der Tufts University, Boston, Habilitation 1993 (Universität Saar
brücken). Seit 1993 Professor für Numerische Mathematik an der Universität Pots
dam.
Dr. rer. nat. Andreas Rieder
Geboren 1963 in Herxheim/Pfalz, von 1982 bis 1987 Studium der Mathematik mit
Nebenfach Maschinenbau an der Uni Kaiserslautem und an der TU Berlin. 1990
Promotion an der TU Berlin, 1993 Feodor Lynen-Stipendiat der Alexander von Hum
boldt-Stiftung an der Rice University in HoustonlTexas, seit 1994 wiss. Assistent an
der Universität des Saarlandes in Saarbrücken.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Louis, Alfred K.:
Wavelets : Theorie und Anwendungen 1 von Alfred KarI Louis;
Peter Maass ; Andreas Rieder. - Stuttgart : Teubner, 1994
(Teubner-Studienbücher : Mathematik)
ISBN 978-3-519-02094-3 ISBN 978-3-322-92109-3 (eBook)
001 10.1007/978-3-322-92109-3
NE: Maass, Peter:; Rieder, Andreas:
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Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Verviel
fältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Ver
arbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Stuttgart 1994
Herstellung: Druckhaus Beltz, Hemsbach/Bergstraße
Vorwort
Wavelets haben in den letzten zwölf Jahren eine stürmische Entwicklung in Forschung
und Anwendungen genommen. Wie so oft war der Anfang ein ingenieursmäßiger Zu
gang zu einem Anwendungsproblem, das mit den vorhandenen Mitteln nicht zufrie
denstellend lösbar war. Im Falle der Wavelets war das Versagen klassischer Methoden
zur Analyse geophysikalischer Daten Anlaß, "neue" Analyseverfahren zu entwickeln.
Auch hier ist dann mit der Zeit deutlich geworden, daß die Wurzeln der Methode in
mathematische Arbeiten hineinreichen. Dieses Zusammenspiel von Anwendungen und
mathematischer Theorie hat erst den Erfolg gebracht.
Ein Nachteil der Fourier-Transformation ist das Fehlen einer Lokalisierungseigenschaft:
ändert sich ein Signal an einer Stelle, so ändert sich die Transformierte überall, ohne
daß durch bloßes Hinschauen die Stelle der Änderung gefunden werden kann. Der
Grund ist natürlich die Verwendung der immer periodisch schwingenden trigonome
trischen Funktionen. Verwendet man dagegen räumlich begrenzte Wavelets, "kleine
Wellen" oder "Wellchen" sind Versuche einer Übersetzung ins Deutsche, so kann durch
das Verschieben eine Lokalisierung und durch Stauchen eine Frequenzauflösung an der
entsprechenden Stelle erreicht werden.
Schon früh bei der Entwicklung der Ondelettes, wie die Wavelets in ihrem Ursprungs
land Frankreich genannt werden, sind sowohl die kontinuierliche als auch die diskrete
Transformation untersucht worden.
Die kontinuierliche Wavelet-Transformation kann als eine Phasenraumdarstellung in
terpretiert werden. Ihre Filter- und Approximationseigenschaften werden untersucht.
Der gruppentheoretische Zugang ermöglicht eine einfache Verallgemeinerung etwa zur
Wavelet-Transformation in mehreren Dimensionen oder auf der Kugel. Aus diesem
Grund ist das erste Kapitel des Buches dieser kontinuierlichen Transformation gewid
met. Um einen Einblick in die Hintergründe zu erhalten, sollte der mathematisch
interessierte Leser wenigstens die Abschnitte 1.1 bis 1.4 lesen.
Bei allen Anwendungen steht natürlich die diskrete Transformation im Vordergrund.
Die Herleitung einer schnellen Transformation, die sogar noch schneller als die
schnelle Fourier-Transformation ist, erlaubt den praktischen Einsatz der Wavelet
Transformation. Verschieben und Stauchen bilden eine Gruppe, es existieren aber
keine endlichen Untergruppen, so daß eine aufwendigere Herleitung als bei der Fourier
Transformation erforderlich ist. Theoretischer Hintergrund ist die Erzeugung einer
Folge aufsteigender Unterräume, der Multi-Skalen-Analyse. Dies ist der Gegenstand
2
des zweiten Kapitels, in dem die wünschenswerten Eigenschaften und deren Reali
sierung in einer und mehreren Dimensionen beschrieben sind. Wer sich von der
Einfachheit der Algorithmen überzeugen will, sollte sich Abschnitt 2.3 vornehmen.
Eine gezielte Anwendung der Wavelet-Transformation erfordert wegen der Vielfalt der
Wavelets .allerdings einen Einblick in die Hintergründe, dazu ist dann Abschnitt 2.2
nötig.
Das letzte Kapitel des Buches ist ganz unterschiedlichen Anwendungen gewidmet. Aus
"historischen" Gründen steht eine Datenanalyse am Anfang, Qualitätsbeurteilung und
Datenkompression bei Bildern folgen als zweidimensionale Anwendungen. Es schließen
sich dann die Verwendung von Wavelets bei gewöhnlichen und partiellen Differential
gleichungen sowie bei Integralgleichungen und schlecht gestellten Problemen an. Der
Einsatz bei realen Daten überzeugt von den Vorteilen und den Verwendungsmöglich
keiten der Wavelets. Die schon erwähnte stürmische Entwicklung von Theorie und
Anwendungen der Wavelets erforderte natürlich eine Auswahl, die immer von den Vor
lieben der Autoren abhängen wird.
Es bestehen mehrere Möglichkeiten, an dieses Buch heranzugehen. Wer durch Anwen
dungsprobleme motiviert ist, kann einen Zugang im dritten Kapitel finden, die schnelle
Wavelet-Transformation ist im Abschnitt 2.3 nachzulesen, Ansätze für die Auswahl des
einzusetzenden Wavelets befinden sich in den anderen oben angegebenen Abschnitten.
Zum Selbststudium oder zu einer Vorlesung ist dieser Weg ebenfalls geeignet. Eine
Vorlesung im Bereich der Mathematik wird im allgemeinen dem Weg des Buches fol
gen und den Abschluß in einern der Anwendungsbeispiele finden.
Das vorliegende Buch geht auf eine Zeit zurück, in der die Autoren an der Technischen
Universität in Berlin tätig waren. Jeweils einjährige USA-Aufenthalte von zwei der
Autoren bei dortigen Forschergruppen haben die Arbeit an dem Buch zwar nicht be
schleunigt, aber den Inhalt positiv beeinflußt.
An dieser Stelle soll allen gedankt werden, die zum Entstehen dieses Buches beigetra
gen haben. Besonderer Dank gilt einer Kollegin, die im Stil des Rätsels einer großen
Wochenzeitschrift im Vorwort versteckt genannt ist.
Saarbrücken und Potsdam, im September 1994
A.K. Louis, P. Maaß, A. Rieder
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 1
Notationen 7
Einführung 11
1 Die kontinuierliche Wavelet-Transformation 15
1.1 Definition und elementare Eigenschaften 15
1.2 Affine Operatoren. 25
1.3 Filtereigenschaften 26
1.3.1 Phasenraumdarstellung . 29
1.4 Approximationseigenschaften 33
1.4.1 Asymptotisches Verhalten im Frequenzparameter 33
1.4.2 Bemerkungen zur Ordnung von Wavelets 40
1.5 Abklingverhalten ........ . 42
1.6 Gruppentheoretische Grundlagen 46
1.6.1 Die Orthogonalitätsrelation für lokalkompakte Gruppen. 46
1.6.2 Die Links-Transformationen ........... . 51
1.6.2.1 Die Wavelet-Transformation auf L2(IR) 54
1.6.2.2 Die gefensterte Fourier-Transformation. 57
1.6.2.3 Die Wavelet-Transformation auf L2(IR2) 58
1.7 Die Wavelet-Transformation auf Sobolev-Räumen .... 69
4 INHALTSVERZEICHNIS
2 Die diskrete Wavelet-Transformation 79
2.1 Wavelet-Frames .......... 79
2.1.1 Einführung und Definition 79
2.1.2 Der Frame-Operator 99
2.2 Multi-Skalen-Analyse ... 103
2.2.1 Eindimensionale Mu lti-Skalen-Analyse 103
2.2.2 Mehrdimensionale Multi-Skalen-Analyse 121
2.3 Schnelle Wavelet-Transformation ... 125
2.4 Orthogonale eindimensionale Wavelets 135
2.4.1 Spline-Wavelets ......... 137
2.4.2 Lösung von Skalierungsgleichungen 139
2.4.3 Orthogonale Wavelets mit kompaktem Träger 159
2.4.4 Eigenschaften der Daubechies-Wavelets . 164
2.4.5 Biorthogonale Wavelets .... 178
2.4.6 Operatorangepaßte Wavelets . 184
2.4.6.1 Wavelet-Vaguelette-Zerlegungen 186
2.4.6.2 Wavelet-Wavelet-Zerlegungen . 192
2.4.7 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . 195
2.4.7.1 Wavelets und Ableitungen 196
2.4.7.2 Wavelets auf dem Intervall . 199
2.4.7.3 Coiflets ......... 202
2.5 Orthogonale zweidimensionale Wavelets . 204
2.5.1 Tensor-Wavelets .. 208
2.5.2 Induzierte Wavelets . 209
2.5.3 Nicht-separable Wavelets für das Quincunx-Gitter 211
3 Anwendungen der Wavelet-Transformation 227
3.1 Wavelet-Analyse eindimensionaler Signale 227
3.1.1 Vorbereitungen 227
3.1.2 EKG-Analyse . 228
3.2 Qualitätsbeurteilung von Gewebe 231
3.2.1 Einführung ........ 231
3.2.2 Qualitätsmaße, Anisotropie und Beispiele. 233
INHALTSVERZEICHNIS 5
3.3 Datenkompression in der digitalen Bildverarbeitung 236
3.4 Regularisierung Inverser Probleme. 242
3.4.1 Schlecht gestellte Probleme 242
3.4.2 Wavelet-Galerkin-Verfahren 244
3.4.2.1 Approximation in Sobolev-Räumen . 245
3.4.2.2 Ein numerisches Beispiel. 248
3.4.3 Mollifier-Methoden.... ..... 248
3.5 Wavelet-Galerkin-Methoden für Randwertprobleme . 251
3.5.1 Zwei-Punkt-Randwertprobleme und ihre Diskretisierung durch
Galerkin-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.5.2 Wavelet-Galerkin-Methoden für Randwertprobleme . 254
3.5.2.1 Die Wavelet-Ansatzräume .. 255
3.5.2.2 Das lineare Gleichungssystem 262
3.6 Schwarz-Iterationen ............. . 269
3.6.1 Wavelet-Galerkin-Diskretisierung des Modellproblems 269
3.6.2 Eine additive Schwarz-Iteration 273
3.6.3 Eine Abschätzung. . . . . . . . 280
3.6.4 Verallgemeinerung der Schwarz-Iteration auf Wavelet-Pakete-
Räume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
3.7 Ausblick auf zweidimensionale Randwertprobleme .. 290
3.7.1 Ein Penalisierungs- und Einbettungsverfahren 290
3.7.2 Numerische Aspekte und Experimente 292
Anhang: Fourier-Transformation 297
Literaturverzeichnis 301
Index 312
Notationen
IN, INo Menge der natürlichen Zahlen, lNo = IN U {O}
Menge der ganzen Zahlen
IR Körper der reellen Zahlen
IR>o = ]0, 00[, IR?o = [O,oo[
c
Körper der komplexen Zahlen
lJ'(IR), 1 ~ p < 00
LOO(IR) Banachraum der im wesentlichen beschränkten Funktionen
Ck(IR) Raum der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen über IR
C~(IR) Raum der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen mit
kompaktem Träger
°
Raum der Funktionen f E Ck(IR) mit f(k) E ca(IR), <
a< 1, d.h. sup If(k}(I"'" ,)-ylfQ(k }(y)1 < 00.
:I:,yER
zf.y
C8"(IR) Raum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen mit
kompaktem Träger
S(IR) Raum der unendlich oft differenzierbaren, schnell abfallen
den Funktionen über IR (Schwartz-Raum)
S'(IR) Raum der temperierten Distributionen (Dualraum v. S(JR))
'D'(JR) Raum der Distributionen (Dualraum v. C(f(JR))
Ha(IR) Sobolev-Raum über IR der Ordnung a E IR,
W(IR) = {t E S' [ (1 + [ . [2)a/2 fo E L2(JR)}
lokaler Sobolev-Raum über n der Ordnung a E IR
8 NOTATIONEN
C('H) Raum der linearen Selbst abbildungen des Hilbertraums 'H
SO(n) n-dimensionale orthogonale Drehgruppe
IG(n) n-dimensionale Euklidische Gruppe mit Dilatation
L.p Wavelet-Transformation zum Wavelet 'ljJ (Links-Transfor
mation bzgl. der affin-linearen Gruppe)
L';'H, F.p gefensterte Fourier-Transformation (Links-Transformation
bzgl. der Weyl-Heisenberg Gruppe)
Le.pu zweidimensionale Wavelet-Transformation (Links-Transfor
mation bzgl. der euklidischen Gruppe)
A* zu A adjungierter Operator
AT Transponierte der Matrix A
range(A) Bildbereich des Operators A
(., .)p, 11 ·IIL2 Skalarprodukt bzw. Norm von L2(IR)
("')",11'11" Skalarprodukt bzw. Norm von H"(IR) , (., ')0 = (., ')L2
I*g Faltungsprodukt von I und g, 1* g(.) = J 1(' - y) g(y) dy
A.p Faltungsoperator: A.p 10 = 'ljJ * 10
FI,! Fourier-Transformierte von f
/" /", I{k) klassische oder verallgemeinerte Ableitungen von I
5(. ) Dirac-Distribution (Delta-Distribution)
5k,j Kronecker-Tensor (5h,j = 1, falls k = j, 5k,j = 0, sonst)
Rel,Iml Real- bzw. Imaginärteil von f
X kartesisches Produkt
121 Tensorprodukt
E9 direkte Summe
Da ein- bzw. zweidimensionaler Dilatationsoperator
Tb ein- bzw. zweidimensionaler Translationsoperator
NOTATIONEN 9
Modulationsoperator
Drehoperator
Xo charakteristische Funktion der Menge n
affin-lineare Gruppe
GWH Weyl-Heisenberg Gruppe
Riesz-Kern der Ordnung a
0('), 00 Landau-Symbole
l· J Gauß-Klammer, lx J ist die größte ganze Zahl,
die kleiner gleich x E IR ist.
sgn (x) Vorzeichen von x E IR
