Wavelets mit Anwendungen in Signal- und Bildverarbeitung (Springer-Lehrbuch)

213 Pages·2007·2.3 MB·German

by  Jöran Bergh

Bergh·Ekstedt·Lindberg
WaveletsmitAnwendungen
inSignal-undBildbearbeitung
Jöran Bergh · Fredrik Ekstedt
Martin Lindberg
Wavelets
mit Anwendungen
in Signal- und
Bildbearbeitung
AusdemEnglischenübersetztvonManfredStern
Mit85Abbildungen
123
JöranBergh MartinLindberg
Matematiskavetenskaper AlgoTrimAB
Chalmerstekniskahögskola Anckargripsgatan3
ochGöteborgsuniversitet SE-21119Malmö,Sverige
SE-41296Göteborg,Sverige E-mail:[email protected]
E-mail:[email protected]
FredrikEkstedt Übersetzer
Fraunhofer-ChalmersCentrum ManfredStern
förIndustrimatematik Kiefernweg8
ChalmersTeknikpark 06120Halle,Deutschland
SE-41288Göteborg,Sverige E-mail:[email protected]
E-mail:[email protected]
OriginalversionmitdemTitelWaveletsinenglischerSpracheerschienen
beiStudentlitteratur,Lund,Sweden,1999
©JöranBergh,FredrikEkstedt,MartinLindbergandStudentlitteratur1999
DieseÜbersetzungvonWaveletswurdeinVereinbarungmit,,StudentlitteraturAB“
veröffentlicht.
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MathematicsSubjectClassification(2000):42C40,65T60,94A12,42-01
ISBN 978-3-540-49011-1 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2007
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Vorwort
K¨onnen Sie sichnicht irgendwonachetwasGeldumsehen?“ sagte Dilly.
”
MrDedalusdachtenachundnickte.
Ja,daswerdeichtun, sagteerw¨urdevoll.
”
Ichhabeschondenganzen Rinnstein in derO’Connell Streetabgesucht.
Ichwerdeesjetzthierversuchen.“
JamesJoyce,Ulysses
Warum noch ein Buch u¨ber Wavelets?
Wir meinen, daß es sich bei den gegenw¨artigen Bu¨chern u¨ber Wavelets im
Großen und Ganzen entweder um Monographien oder um Handbu¨cher han-
delt. Unter einer Monographie verstehen wir einen umfassenden Text mit
vollst¨andigen Quellenangaben, unter einem Handbuch hingegen eine bloße
Sammlung von Rezepten oder Algorithmen.1
Wir verspu¨rtendeswegen den Bedarf an einer Interpolation, das heißt, an
einem nicht allzu anspruchsvollen Text fu¨r diejenigen Leser, die sich mit den
grundlegenden mathematischen Ideen und Techniken der Wavelet-Analyse
vertraut machen m¨ochten, sich aber gleichzeitig einen gewissen U¨berblick
daru¨berverschaffenwollen,inwelchenZusammenh¨angenundwiedieTheorie
derzeit angewendet wird.
Wir wenden uns an Leser mit den mathematischen Vorkenntnissen h¨ohe-
rer Studienjahre: wir setzen Kenntnisse u¨ber Anwendungen der linearen Al-
gebra,derFourierreihenundderFourierschenIntegralevoraus.Zumbesseren
Verst¨andnisderTheorieistjedochauchdieKenntnisderKonvergenzresultate
fu¨r (Lebesguesche) Integrale wu¨nschenswert.
Diese Anforderungen an die Vorkenntnisse stellen uns folglich vor ein Di-
lemma.Mathematische Ausfu¨hrungen solltenpr¨azisesein,aber eine u¨bertrie-
ben gewissenhafteBeachtungderPr¨azisionstellt zustarkeAnforderungenan
die Leser, die uns vorschweben.
1 Daru¨berhinaussindaucheinigeBu¨chererschienen,diesichaneinenichtspezia-
lisierte Leserschaft richten.
VI Vorwort
Unsere L¨osung dieses Dilemmas bestand darin, einige mathematische De-
tails wegzulassen und stattdessen den Leser auf umfassendere Darstellungen
zu verweisen.Unser Ziel war,die Schlu¨sselideenund die grundlegendenTech-
niken in den Mittelpunkt zu ru¨cken. Diese Absicht fu¨hrte uns zu dem Kom-
promiß, der Ihnen jetzt vorliegt.
Bei der Auswahl des Stoffes kann man mit ziemlicher Sicherheit anders
und m¨oglicherweise auch besser vorgehen. Wir haben da gewiß auch Fehler
gemacht. Jedenfalls w¨aren wir fu¨r Verbesserungsvorschl¨agejeglicher Art sehr
dankbar.
G¨oteborg, Januar 1999 J¨oran Bergh
Fredrik Ekstedt
Martin Lindberg
Zum Inhalt
Das Buch besteht aus zwei Teilen: im ersten Teil stellen wir die Theorie dar,
imzweitenTeilwerdenAnwendungenbehandelt.VongrundlegenderWichtig-
keitsinddieKapitelu¨berFilterb¨ankeundMulti-Skalen-Analyse.Dienachfol-
gendenKapitelbauenaufdiesenbeidenKapitelnaufundk¨onnenunabh¨angig
voneinandergelesenwerden.InderEinleitungschildernwirdeinigedergrund-
legenden Ideen und Anwendungen.
Im theoretischen Teil pru¨fen geben wir zuerst einen U¨berblick u¨ber die
GrundlagenderSignalverarbeitung.DanachschließensichAusfu¨hrungenu¨ber
Filterb¨ankean.DaswichtigsteKapiteldiesesTeilsbehandeltdieMulti-Skalen-
Analyse und Wavelets.Der erste Teil schließtmit Kapitelnu¨ber h¨oherdimen-
sionale Wavelets, Lifting und die kontinuierliche Wavelet-Transformation.
ImAnwendungsteilgebenwirzuersteinigederambestenbekanntenWave-
letbasen an. Danach diskutieren wir adaptive Basen, Kompression und Un-
terdru¨ckungvonRauschensowieWaveletmethoden,u.a.zurnumerischenBe-
handlungvonpartiellenDifferentialgleichungen.Abschließendbeschreibenwir
dieDifferenzierbarkeitinWaveletdarstellungen,eineAnwendungderkontinu-
ierlichen Wavelet-Transformation, Feature-Extraktion und einige Implemen-
tationsfragen.
Vorwort VII
AmEndedermeistenKapitelstehteinAbschnittmitVorschl¨agenzurwei-
terfu¨hrenden Literatur. Diese Vorschl¨age sind als Ausgangspunkt fu¨r inhalt-
liche Vertiefungen und/oder zur Erlangung eines besseren mathematischen
Verst¨andnisses gedacht.2
Wirhabenu¨berallU¨bungsaufgabeneingestreut,umdenTextzuerg¨anzen
und dem Leser die M¨oglichkeit zu geben, selbst zu rechnen und dadurch sein
Wissen zu festigen.
2 Der U¨bersetzer dankt Frau Karin Richter (Martin Luther Universit¨at Halle, In-
stitutfu¨rMathematik)fu¨rfachlicheHinweise,HerrnFrankHolzwarth(Springer-
Verlag) fu¨r TEX-nische Hilfe, Herrn Gerd Richter (Angersdorf) fu¨r technischen
Support,FrauUteMcCrory(Springer-Verlag)undFrauAndreaK¨ohler(Le-TEX,
Leipzig) fu¨r Hinweise zurHerstellung derEndfassung.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ................................................. 1
1.1 Haar-Waveletund Approximation ......................... 3
1.2 Beispiel einer Wavelet-Transformation...................... 5
1.3 Fourier vs Wavelet....................................... 7
1.4 Fingerabdru¨cke und Bildkompression ...................... 12
1.5 Unterdru¨ckung von Rauschen (Denoising) .................. 13
1.6 Bemerkungen ........................................... 14
Teil I Theorie
2 Signalverarbeitung......................................... 17
2.1 Signale und Filter ....................................... 17
2.2 Die z-Transformation .................................... 20
2.3 Die Fourier-Transformation............................... 22
2.4 Linearer Phasengang und Symmetrie....................... 25
2.5 Vektorr¨aume............................................ 27
2.6 Zweidimensionale Signalverarbeitung....................... 29
2.7 Sampling ............................................... 30
3 Filterb¨anke ................................................ 33
3.1 Zeitdiskrete Basen....................................... 33
3.2 Die zeitdiskrete Haar-Basis ............................... 36
3.3 Die Subsampling-Operatoren.............................. 39
3.4 Perfekte Rekonstruktion.................................. 41
3.5 Konstruktion von Filterb¨anken............................ 45
3.6 Bemerkungen ........................................... 48
4 Multi-Skalen-Analyse ...................................... 49
4.1 Projektionen und Basen in L2(R).......................... 49
4.2 Skalierungsfunktionen und Approximation .................. 55
X Inhaltsverzeichnis
4.3 Wavelets und Detail-R¨aume .............................. 61
4.4 Orthogonale Systeme .................................... 66
4.5 Die diskrete Wavelet-Transformation....................... 71
4.6 Biorthogonale Systeme ................................... 74
4.7 Approximation und verschwindende Momente............... 78
4.8 Bemerkungen ........................................... 80
5 Wavelets in h¨oheren Dimensionen ......................... 83
5.1 Die separable Wavelet-Transformation ..................... 83
5.2 Zweidimensionale Wavelets ............................... 89
5.3 Nichtseparable Wavelets.................................. 93
5.4 Bemerkungen ........................................... 98
6 Das Lifting-Schema ........................................ 99
6.1 Die Grundidee .......................................... 99
6.2 Faktorisierungen ........................................103
6.3 Lifting .................................................106
6.4 Implementierungen ......................................107
6.5 Bemerkungen ...........................................109
7 Die kontinuierliche Wavelet-Transformation................111
7.1 Einige grundlegende Fakten...............................111
7.2 Globale Regularit¨at......................................113
7.3 Lokale Regularit¨at.......................................115
7.4 Bemerkungen ...........................................116
Teil II Anwendungen
8 Wavelet-Basen: Beispiele ..................................119
8.1 Regularit¨at und verschwindende Momente ..................119
8.2 Orthogonale Basen ......................................120
8.3 Biorthogonale Basen .....................................129
8.4 Wavelets ohne kompakten Tr¨ager..........................134
8.5 Bemerkungen ...........................................139
9 Adaptive Basen............................................141
9.1 Zeit-Frequenz-Zerlegungen................................141
9.2 Wavelet-Pakete..........................................144
9.3 Entropie und Best-Basis-Auswahl..........................148
9.4 Lokale trigonometrische Basen ............................152
9.5 Bemerkungen ...........................................156
Inhaltsverzeichnis XI
10 Kompression und Unterdru¨ckung von Rauschen ...........157
10.1 Bildkompression.........................................157
10.2 Denoising ..............................................162
10.3 Bemerkungen ...........................................168
11 Schnelle numerische lineare Algebra .......................171
11.1 Modellprobleme .........................................171
11.2 Diskretisierung..........................................172
11.3 Die Nichtstandardform...................................174
11.4 Die Standardform .......................................175
11.5 Kompression............................................176
11.6 Multilevel-Iterationsmethoden.............................178
11.7 Bemerkungen ...........................................179
12 Funktionalanalysis .........................................181
12.1 Differenzierbarkeit und Wavelet-Darstellung ................181
12.2 Bemerkungen ...........................................184
13 Ein Analysewerkzeug ......................................185
13.1 Zwei Beispiele...........................................185
13.2 Ein numerischer Sometime Shortcut“ .....................190
”
13.3 Bemerkungen ...........................................190
14 Feature-Extraktion ........................................191
14.1 Der Klassifikator ........................................191
14.2 Lokale Diskriminantenbasen ..............................192
14.3 Diskriminantenmaße .....................................193
14.4 Der LDB-Algorithmus ...................................195
14.5 Bemerkungen ...........................................195
15 Implementierungsfragen ...................................197
15.1 Signale endlicher L¨ange ..................................197
15.2 Pr¨a- und Post-Filterung..................................200
15.3 Bemerkungen ...........................................202
Literaturverzeichnis ...........................................203
Sachverzeichnis ................................................205