Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Beispielen und Aufgaben

267 Pages·1997·10.08 MB·German

by  Prof. Dr. Volker Nollau

v. Nollau/L. Partzsch/R. Storm/C. Lange
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
in Beispielen und Aufgaben
Wahrscheinlichkeitsrechnung
und Statistik
in Beispielen und Aufgaben
Von Prof. Dr. Volker Nollau
Dr. Lothar Partzsch
Dr. Regina Storm
Technische Universitat Dresden
Prof. Dr. Claus Lange
Hochschule fOr Technik und Wirtschaft
Dresden (FH)
B. G. Teubner Verlagsgesellschaft
Stuttgart· Leipzig 1997
Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Wahrschelnlichkeitsrechnung und Statistik in Belspielen
und Aufgaben I von Volker Nollau ... -
Stuttgart; leipzig: Teubner, 1997
ISBN-13: 978-3-8154-2073-7 e-ISBN-13: 978-3-322-873704-3
001: 10.10071978-3-322-873704-3
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Verwertung
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unzulAssig und strafbar. Das gilt besonders fOr VervielfAitigungen, Obersetzungen, Mikroverfil
mungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
@ B. G. Teubner Verlagsgesellschaft leipzig 1997
Umschlaggestaltung: E. Kretschmer, leipzig
Vorwort
Anliegen dieses Lehr- und Aufgabenbuches ist es, Studierenden der Wirt
schafts-, Ingenieur- und Naturwissenschaften eine Einfiihrung in die Wahr
scheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik durch Beispiele und Auf
gaben in die Hand zu geben.
Der Aufbau des vorliegenden Buches tragt diesem Anliegen Rechnung und folgt
damit einem modernen und vielfaltig erprobten Konzept. Nach jeweils kurz
gefaBten thematischen EinfUhrungen zu Begriffen, Definitionen und Aussagen
werden diese anschlieBend sehr ausfiihrlich an Beispielen erlautert und Ver
fahren und "Rechenwege" praxisnah demonstriert. AnschlieBend werden dem
Leser am Ende jeden Abschnitts zahlreiche Ubungsaufgaben zur Verfiigung ge
stellt, deren Losungen am Ende des Buches (zur moglichen "Selbstkontrolle"
fUr Studierende) angegeben sind.
1m einzelnen werden Methoden der beschreibenden Statistik fiir ein- und zwei
dimensionale Daten sowie fUr Zeitreihen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
dargestellt. Ihnen folgt die Behandlung von zufalligen Ereignissen und Wahr
scheinlichkeiten (einschlieBlich der Grundlagen der Kombinatorik), Zufalls
groBen und ihre Verteilungen sowie Gesetze der groBen Zahlen und Grenz
wertsatze. Die anschlieBenden Kapitel zur mathematischen Statistik beinhalten
Punkt- und Intervallschatzungen (insbesondere Konfidenzintervalle) sowie sta
tistische Tests wie z. B. Signifikanztests bei Normalverteilungen und fUr Wahr
scheinlichkeiten, Anpassungs- und Unabhangigkeitstests. Die zum Verstandnis
der Beispiele und zum Losen der Ubungsaufgaben erforderlichen Tafeln befin
den sich in einem Anhang.
Das nun vorliegende Lehr- und Aufgabenbuch entstand im Ergebnis langjahri
ger Lehrtatigkeit fUr Studierende wirtschaftswissenschaftlicher, ingenieurtech
nischer und naturwissenschaftlicher Fachrichtungen an der Technischen Uni
versitat Dresden und der Hochschule fUr Technik und Wirtschaft Dresden
(FH). AuBerdem konnten wir auch auf die Erfahrungen mit Aufgabensamm
lungen zuriickgreifen, die iiber viele Jahre am Institut fUr Mathematische Sto
chastik der TV Dresden - auch durch uns - erarbeitet wurden.
6 Vorwort
Den Kollegen dieses Institutes, die uns bei der Auswahl der Aufgaben und
Beispiele mit Rat und Tat zur Seite standen, sei an dieser Stelle gedankt.
Unser besonderer Dank gilt Frau M. Schonherr, Frau Dipl.-Math. Ch. Weber
und Herrn Dipl.-Math. (FH) J. Rudl, die das gesamte Manuskript mit dem
f1..TEX
Textverarbeitungssystem druckreif gestalteten.
Der B. G. Teubner Verlagsgesellschaft - insbesondere Herrn Lektor J. WeiB -
danken wir fiir eine angenehme und konstruktive Zusammenarbeit.
SchlieBlich sei betont, daB wir fiir Hinweise und Bemerkungen aus dem Kreis
der Leser und Nutzer dieses Buches stets dankbar sind.
Dresden, im Mai 1997 Volker Nollau
Lothar Partzsch
Regina Storm
Claus Lange
Inhalt
1 Beschreibende Statistik 9
1.1 Beschreibende Statistik fUr eindimensionale Daten. 9
1.1.1 Grundbegriffe ................ . 9
1.1.2 Haufigkeitsverteilung eines diskreten Merkmals . 10
1.1.3 Haufigkeitsverteilung eines stetigen Merkmals 12
1.1.4 Statistische Mafizahlen . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Beschreibende Statistik fUr zweidimensionale Daten 28
1.2.1 Zweidimensionale Haufigkeitsverteilungen . 28
1.2.2 Statistische Mafizahlen 30
1.2.3 Abhangigkeitsmafie. 31
1.2.4 Regressionsrechnung 35
1.3 Analyse von Zeitreihen . . . 43
1.3.1 Einfiihrung ..... 43
1.3.2 Berechnung der Trendkomponente . 44
1.3.3 Berechnung der Saisonkomponente und Saisonbereinigung 49
1.3.4 Exponentielle Glattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Zuf"cillige Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten 55
2.1 Stichprobenraum, zufallige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2 Klassische Wahrscheinlichkeit, einige Formeln der Kombinatorik 62
2.3 Geometrische Wahrscheinlichkeit ....... 70
2.4 Relative Haufigkeiten, axiomatische Definition 72
2.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . 77
2.6 Unabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.7 Formel der totalen Wahrscheinlichkeit, Bayessche Formel 86
3 ZufallsgroBen und ihre Verteilungen 91
3.1 Begriff der Zufallsgrofie . 91
3.2 Diskrete Verteilungen . 96
3.2.1 Grundlagen 96
3.2.2 Momente 99
8 Inhalt
3.2.3 Spezielle diskrete Verteilungen . .104
3.3 Stetige Verteilungen .... . · 118
3.3.1 Grundlagen ......... . .118
3.3.2 Momente und Quantile ... . · 118
3.3.3 Spezielle stetige Verteilungen · 123
3.4 Zufallige Vektoren .......... . · 143
3.5 Summen von ZufallsgroBen . . . . . . · 154
3.6 Grenzwertsatze und Gesetze der groBen Zahlen . · 162
4 Punkt- und Intervallschatzungen 175
4.1 Grundbegriffe................. . 175
4.2 Punktschatzungen............... . 176
4.2.1 Eigenschaften von Punktschatzungen . 178
4.2.2 Methoden zur Konstruktion von Punktschatzungen . 180
4.3 Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 188
4.3.1 Konfidenzintervalle fur Erwartungswert J-l und Varianz
(j2 der Normalverteilung . . . . . . . 189
4.3.2 Approximative Konfidenzintervalle . 191
5 Statistische Tests 199
5.1 Grundbegriffe............. . 199
5.2 Signifikanztests bei Normalverteilung . 201
5.3 Approximative Signifikanztests. . . . . 215
5.3.1 Signifikanztests fur Erwartungswerte . 215
5.3.2 Signifikanztests fUr Wahrscheinlichkeiten . 216
5.4 Anpassungstests.............. . 220
5.4.1 Der x2-Anpassungstest . . . . . . . . . . . 221
5.4.2 Der Kolmogoroff-(Smirnov-) Test . . . . . 223
5.5 Nichtparametrische Tests fur das Zweistichprobenproblem . 229
5.5.1 Der Vorzeichentest . 229
5.5.2 Der U-Test . 232
5.6 Unabhangigkeitstests .237
Losungen 243
Tafeln 255
Literaturverzeichnis 265
S tichwortverzeichnis 267
Kapitel 1
Beschreibende Statistik
1.1 Beschreibende Statistik fiir
eindimensionale Daten
1.1.1 Grundbegriffe
Die beschreibende (deskriptive) Statistik dient der Auibereitung und Auswer
tung von erhobenem Datenmaterial.
Unter einer statistischen Einheit (Untersuchungseinheit, Merkmals
trager) versteht man das Einzelobjekt einer statistischen Untersuchung. Das
kann z. B. eine Person, ein Werkstiick, ein Baum oder ein weitgehend beliebiges
anderes Objekt sein.
Ais statistische Masse (Grundgesamtheit) bezeichnet man die Gesamt
heit von statistischen Einheiten (mit iibereinstimmenden Eigenschaften). Zum
Beispiel konnen alle Studenten einer Hochschule eine solche statistische Masse
sein. Wichtig im Hinblick auf die beurteilende (schlieBende, induktive) Stati
stik ist der Begriff der Stichprobe, der zunachst ganz einfach eine Teilmenge
der statistischen Masse bezeichnen solI.
Die interessierende Eigenschaft einer statistischen Einheit heiBt Merkmal.
Alter, Gewicht, GroBe, Haarfarbe oder auch die Note im Fach Statistik eines
Studenten sind Beispiele fiir verschiedene Merkmale. Unterscheidbar sind of
fensichtlich quantitative und qualitative Merkmale. Mogliche Werte, die ein
Merkmal annehmen kann oder die einem Merkmal zugeordnet werden, nennt
man Merkmalsauspragungen. Ein Merkmal heiBt diskret, falls es endlich
oder abzahlbar unendlich viele Merkmalsauspragungen aI, a2, ... annehmen
kann (z. B. die Augenzahl beim Wiirfeln, die Anzahl der Studenten in einer
Vorlesung). Ein Merkmal heiBt stetig, wenn es beliebige Werte aus einem In
tervall (a, b), -00 < a < b < 00, annehmen kann. Stetige Merkmale sind z. B.
V. Nollau et al., Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Beispielen und Aufgaben
© B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1997
10 Kapitel 1. Beschreibende Statistik
die GroBe und das Alter einer Person, die Temperatur, der Benzinverbrauch
eines PKW.
Die Charakterisierung der Merkmale erfordert mitunter die Einfiihrung einer
Skalierung. Man spricht von einer metrischen Skalierung des Merkmals,
wenn seine Merkmalsauspragungen reelle Zahlen sind (z. B. die Messungen
von Gewicht, Lange, Reparaturdauer, Niederschlagsmenge). Eine ordinale
Skalierung des Merkmals liegt vor, wenn die Merkmalsauspragungen in eine
bestimmte Rangordnung gebracht werden konnen (z. B. Qualitatsurteile der
Form "A ist besser als B"). Merkmale heiBen nominal skaliert, wenn den
Merkmalsauspragungen Zahlen zugeordnet werden, die ausschlieBlich eine Un
terscheidungsfunktion besitzen (Zum Beispiel hat das Merkmal Familienstand
die Auspragungen l=ledig, 2=verheiratet, 3=geschieden, 4=verwitwet).
Die bei statistischen Untersuchungen konkret beobachteten Auspragungen des
Merkmals X sind die Beobachtungswerte (Stichprobenwerte, Me6wer
te) Xl, X2, ... ,Xn (Stichprobe vom Umfang n).
Unter einer Urliste (Beobachtungsreihe) versteht man die im Rahmen einer
statistischen Untersuchung ermittelten Beobachtungswerte Xl, X2,.·. ,Xn.
Beispiel 1.1.1: Noten im Fach "Statistik"
Urliste der Noten von 10 Studenten: 1, 3, 1, 2, 5, 4, 3, 2, 1, 3
(d. h., Xl = 1, X2 = 3, ... , XlO = 3; n = 10). •
Eine der GroBe nach geordnete Urliste X(l) ~ X(2) ~ ... ~ x(n) heiBt Variati
onsreihe.
Zu Beispiel 1.1.1: Variationsreihe: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5
(d. h., X(l) = 1, X(2) = 1, ... , X(9) = 4, X(lO) = 5; n = 10). •
1.1.2 Haufigkeitsverteilung eines diskreten Merkmals
Gegeben sei ein diskretes Merkmal mit k Merkmalsauspragungen al, a2, ... ,ak
(al < a2 < ... < ak) und n Beobachtungswerten Xl, X2, ... ,Xn.
Die Anzahl der Beobachtungswerte mit der Merkmalsauspragung aj,
j = 1,2, ... ,k, heiBt absolute Haufigkeit Hn(aj) der Merkmalsauspragung
aj. Das Verhaltnis der absoluten Haufigkeit Hn(aj) zum Stichprobenumfang n
heiBt relative Haufigkeit:
1
hn(aj) -Hn(aj),
n
und es gilt
1.
1.1. Beschreibende Statistik fUr eindimensionale Daten 11
Die Haufigkeitstabelle fUr ein diskretes Merkmal hat folgende Gestalt:
Merkmals- absolute relative
auspragung aj Haufigkeit Hn(aj) Haufigkeit hn (aj)
al Hn(al) hn(ad
ak Hn(ak) hn(ak)
Zu Beispiel 1.1.1: Haufigkeitstabelle:
aJ = J HlO(aj) hlO(aJ)
1 3 0.3
2 2 0.2
3 3 0.3
4 1 0.1
5 1 0.1
•
Weiter bezeichne fUr j = 1, ... ,k
2:j =
Hn(ai) = Hn(al) + Hn(a2) + ... + Hn(aj)
i=l
die absolute Summenhaufigkeit und
2j: =
hn(ai) = hn(ad + hn(a2) + ... + hn(aj)
i=l
die relative Summenhaufigkeit.
Ais empirische Verteilungsfunktion Fn eines diskreten Merkmals wird die
relative Summenhaufigkeit derjenigen Merkmalsauspragungen bezeichnet, die
kleiner oder gleich x sind, d. h.
2:=
Fn(x) = hn(aj) (-oo<x<oo).
j:aJ~x
Anschaulich ist Fn eine rechtsseitig stetige Treppenfunktion mit (moglichen)
Sprungpunkten aI, a2,··· , ak, den dazugehorigen Sprunghohen hn(al), hn(a2),
. . . , h (ak) und den Eigenschaften
n
Fn(x) 0 fur x < al und
Fn(x) = 1 fUr x ~ ak.