Vorlesungen Über Theoretische Mechanik

385 Pages·1961·16.001 MB·German

by  Dr. Rer. Nat. Dietrich Morgenstern Ph. D., Dr.-Ing. István Szabó (auth.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DERANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL . E. HEINZ· F. HIRZEBRUCH . E. HOPF
H. HOPF . W. MAAK . W. MAGNUS· F. K. SCHMIDT
K. STEIN· B. L. VAN DER WAERDEN
BAND 112
VORLESUNGEN UBER
THEORETISCHE MECHANIK
VON
I
D.MORGENSTERN UND I. SZABO
SPRINGER-VERLAG
BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG
1961
VORLESUNGEN DBER
THEORETISCHE MECHANIK
VON
DR. RER. NAT. DIETRICH MORGENSTERN PH. D.
A. O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITAT MUNSTER
UND
DR.-ING. ISTVAN SZABO
O. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN UNIVERSITAT BERLIN
MIT 112 ABBILDUNGEN
S PRI N G E R -VE RLAG
BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG
1961
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN
OHNE AUSDRUCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES 1ST ES AUCH NICHT
GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM
WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN
©
BY SPRINGER-VERLAG OHGo
BERLIN GOTTINGEN HEIDELBERG 1961
0 0
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1961
ISBN-13: 978-3-642-94821-3 e-ISBN-13: 978-3-642-94820-6
DOl: 10.1007/978-3-642-94820-6
BRUHLSCHE UNIVERSITATSDRUCKEREI GIESSEN
Vorwort
Dieses unter Benutzung verschiedener Vorlesungen der beiden Ver
fasser entstandene Buch uber die klassische Mechanik soll die Stelle der
"Theoretischen Mechanik" von G. HAMEL in der "Gelben Reihe" ein
nehmen. Eine gewisse Verwandtschaft mit diesem Vorganger wird sich
auch nicht verleugnen lassen, die aber wohl mehr durch das gesteckte
Ziel, eine Dbersicht uber die Mechanik zu geben, bedingt ist, als durch
innere Ahnlichkeit des Aufbaus. Denn auBer einer Modemisierung der
Bezeichnungsweisen wurde im Gegensatz zum Hamelschen Buch die
naturliche Aufbaumethode der Mechanik benutzt, bei der der Kraft
begriff im Vordergrund steht, die Krafte also nicht als mathematische
HilfsgroBen, Lagrangesche Multiplikatoren, eingeffihrt werden. Daneben
wird durchaus betont, daB die Mechanik - wenigstens bis jetzt - kein
einheitliches Gebilde ist, sondem ein Konglomerat verschiedener Theo
rien, zwischen denen die Zusammenhange nicht immer klar erkannt
sind. Fur einen wichtigen Teil, die Naherungstheorien der technischen
Statik, wird eine solche Verknupfung hier erstmalig in einem Lehrbuch
geleistet, indem diese Theorien als Folgerungen der dreidimensionalen
linearen Elastizitatstheorie nachgewiesen werden. Somit hoffen die Ver
fasser, ein Buch geschaffen zu haben, das in gleicher Weise fUr viele
Interessenten der Mechanik - Physiker, Astronomen, Mathematiker
und auch theoretisch interessierte Ingenieure - ein nutzliches Lehrbuch
sein kann und welches auch als Ausgangspunkt fur die Beschaftigung
mit weiterffihrenden Fragen dienen mag. Wenn auch der sachliche
Umfang beschrankt ist, so solI doch wenigstens teilweise durch Literatur
hinweise auf die sich in den letzten J ahren so ungeheuer vermehrenden,
in Buchem und Zeitschriften niedergelegten speziellen Ergebnisse in
den verschiedenen Zweigen der theoretischen und angewandten Mecha
nik hingewiesen werden. Gangige mathematische Satze und Formeln
sind meist nur "pauschal" zitiert. Der mathematisch orientierte Leser
wird ohnehin wissen, wo er nachzuschlagen hat, und der nur am physi
kalischen Ergebnis interessierte Leser wird geneigt sein, in dieser Hin
sicht "groBzugig" zu sein. 1m allgemeinen waren wir bestrebt, nicht nur
die Herleitung der maBgeblichen Gesetze zu geben, sondem aus ihnen
auch konkrete (quantitative) Folgerungen in Form von Beispielen und
Losungen von "Aufgaben und Problemen" zu ziehen; daB dies nicht
uberall mi:iglich war, leuchtet so fort ein, wenn man hierfur als Beispiele
die Theorie der Turbulenz oder die Stabilitat der Stri:imung anffihrt.
VI Vorwort
An mathematischem Kalkiil und Symbolik wurde nicht mehr heran
gezogen und .verwendet als unbedingt notwendig. Die darsteilungs- und
umfangsmaBigen Unterschiede, die der Leser zwischen den §§ 1-9 und
§§ 10-12 feststeilen wird, liegen nicht allein in den Personen der Ver
fasser (§§ 1-9 von D. MORGENSTERN und §§ 10-12 von I. SZAB6),
sondern auch in dem Stoff selbst: Wahrend der erstgenannte Teil einer
starkeren "Mathematisierung" und Vereinheitlichung und somit einer
strafferen Fassung fahig ist, verlangt der zweite, wegen seiner augenblick
lichen und sicherlich noch lange anhaltenden Aktualitat und dadurch
gefOrderten laufenden Entwicklung, auch die Heranziehung von Nahe
rungsverfahren, die sowohl in Idealisierungen physikalischen Charakters
(z. B. reibungsfreie Stromung idealer Gase), wie auch in vereinfachenden
geometrischen Annahmen (z. B. schlanke Projektile) wurzeln.
Besonderen Dank schulden die Verfasser Herrn Dr. rer. nat. KLAUS
ANDRE und Hem Dipl.-Ing. WOLFGANG ZANDER: Sie waren an den sich
iiber zwei Jahre hinziehenden seminaristischen Besprechungen und Dis
kussionen zur Abfassung des Manuskriptes aktiv beteiligt; sie entwarfen
nach unseren Vorschlagen die meisten "Aufgaben und Probleme" zu
den einzelnen Paragraphen, und zwar Herr Dr. ANDRE die zu den
ersten neun, Herr Dipl.-Ing. ZANDER die sehr umfangreichen zu den
letzten drei Paragraphen; das druckfertige Manuskript wurde erst ge
schrieben, nachdem Herr Dr. ANDRE die §§ 1-9 und Herr Dipl.-Ing.
ZANDER die §§ 10-12 kritisch durchgesehen und entsprechend ihren
Vorschlagen an zahlreichen Stellen geandert wurde; Herr Dipl.-Ing.
ZANDER gestaltete die meisten der Abbildungen; schlieBlich unterstiitz
ten sie uns durch gewissenhaftes und kritisches Korrekturlesen, dessen
Frucht weitere und wichtige Verbesserungsvorschlage waren.
Fiir eine erfreuliche Zusammenarbeit und vorziigliche Ausstattung
des Buches danken die Verfasser dem Springer-Verlag.
Die Verfasser sind sich damber im klaren, daB die erste Auflage noch
nicht allen Anspruchen gerecht werden wird, wie dies vieileicht moglich
und wiinschenswert ist, und sind fur aile Verbesserungsvorschlage und
Hinweise dankbar.
Munster i. W. und Berlin-Charlottenburg, im Sommer 1961
D. MORGENSTERN I. SZAB6
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I. Mechanik der Systeme mit endlichem Freiheitsgrad
§ 1. Momentanprinzipien der Punktmechanik . . . . . . . . . . 3
1. Der spezielle Fall der Systeme ans endlich vielen freien Massenpunkten 3
2. Die Bewegungsgleichungen im bewegten Koordinatensystem 7
3. D' Alembertsches Prinzip und Systeme von endlich vielen Massen-
punkten mit holonomen Nebenbedingungen . 9
4. Der starre Kerper . . . . . 13
5. Nichtholonome Systeme . . . . . . . 16
6. Weitere Momentanprinzipien . . . . . 20
§ 2. Zeitintegralprinzipien der Punktmechanik . 22
1. Das Hamiltonsche Prinzip . . . . . . 22
2. Die Wirkungsfunktion und die Hamiltonsche Funktion . 24
3. Das Prinzip der kleinsten Wirkung .... . . . . . 25
+
§ 3. Hamilton-Jacobische Theorie im (n 1)-dimensionalen Raum 27
1. Neue Aufstellung der Hamilton-Jacobischen DifIerentialgleichung 27
2. Gewinnung der kanonischen Gleichungen und der Euler-Lagrange-
schen Gleichung aus der Hamilton-J acobischen Theorie 28
3. Erzeugung von 5 aus einer n-parametrigen Bahnkurvenschar . . . . 30
4. Mathematische Betrachtung uber Integrabilitat von l:P. dq. - H dt 33
5. Verwendung von LOsungsscharen der Hamilton-Jacobischen Gleichung
fUr die Bestimmung der Bahnkurven 33
a) Der freie Wurf . . . . . . . 35
b) Brachistochrone ..... 35
c) Planetenbewegung 36
§ 4. Hamilton-Jacobische Theorie und kanonische Transformationen im
+
(2n 1)-dimensionalen Raum .......... . 37
1. Stationaritatsprinzip fur die kanonischen Variablen 37
2. Die kanonischen Transformationen .. . . . . . 38
3. Die Lesungen als kanonische Transformationen . . 40
4. Infinitesimale Transformationen und Poissonsche Klammern 41
5. Anwendung auf die Sterungstheorie 45
§ 5. Zyklische Systeme . . 46
1. Allgemeine Theorie 46
2. Beispiele . . . . . 48
a) Ein Massenpunkt in. einem Newtonschen Kraftfeld 48
b) Der symmetrische Kreisel .... 48
§ 6. Bewegungsgleichung des starren Kerpers 49
1. Der Tragheitstensor . . . . . . . . 49
2. Bewegung des Kreisels ohne auBere Momente 50
VIII Inhaltsverzeichnis
3. Der symmetrische Kreisel ohne auBere Momente 52
4. Geometrische Deutung der Kreisel-Bewegung .. 53
5. Der schwere symmetrische Kreisel. . . . . . . 54
6. Bemerkungen zu den Anwendungen des Kreisels 55
Aufgaben und Probleme zu §§ 1-6 . . . . . . . . . . 56
1. Standfestigkeit einer aus Mlinzen zusammengesetzten Saule 56
2. Beispiel zum Drallsatz . . . . . . . . . . . 56
3. Satellitenbewegung mit Reibung ...... . 57
4. Pendel mit periodisch schwingender Aufhangung 59
5. Rollendes Rad in der Kurve . . . . . . . 60
6. Rollen auf der schiefen Ebene; Haftreibung 61
7. Beispiel zum D'Alembertschen Prinzip 63
8. Zentraler StoB zweier Kugeln. . . . . . . 64
9. Geradlinige Bewegung eines Seiles mit einer Knickstelle 65
10. Das schwere Seil . . . . . . . 67
11. Freileitung zwischen zwei Masten . . . . . . 68
II. Mechanik der Kontinua
§ 7. Allgemeine Grundlegung . . . . . . 69
1. Das Schnittprinzip und die Axiome 69
2. Diskussion des Spannungstensors 74
3. Schwerpunktsatz und starrer Korper . 76
4. Geometrie der Bewegungen und Deformationen 78
5. Der Satz von D' ALEMBERT . . . . . . . . . 81
§ 8. Materialgleichungen und klassische Elastizitatstheorie 83
1. Allgemeines liber Materialgleichungen. . . . 83
2. Energiebetrachtung. . . . . . . . . . . . . . 85
3. Spannungsenergie des vollelastischen Korpers 85
4. Der Stationaritatssatz von HAMILTON (Hamiltonsches Prinzip) 87
5. Die klassische Elastizitatstheorie . . . 88
6. Wellen in der Elastizitatstheorie . . . 91
7. Schwingungen in der Elastizitatstheorie92
§ 9. Statik der klassischen Elastizitatstheorie und die Naherungstheorien der
technischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
1. Erganzende Formeln flir die dreidimensionale Theorie. . . . .. 97
2. Die Minimalprinzipien fiir die dreidimensionale Hookesche Theorie 100
3. Allgemeine Folgesatze der beiden Minimalsatze . 103
4. Naherungstheorie der technischen Mechanik 105
a) Ebener Verschiebungszustand 106
b) Ebener Spannungszustand 107
c) Torsionstheorie 109
d) Balken . 114
e) Platten. . . . 116
f) Membran . . . 119
5. Beweise fiir die technischen Naherungstheorien . 120
a) Ebener Spannungszustand . . . . . 120
b) Balken . . . . . . . . . . . . . . 122
c) Platte und weitere Naherungstheorien 124
6. Das Prinzip von SAINT-VENANT 126
Inhaltsverzeichnis IX
Aufgaben und Probleme zu §§ 7-9. . . . . . . . . . . . . . . .. 128
1. Spannungen und Deformationen einer im Inneren geheizten auf der
OberfHiche unter Druck stehenden Kugel. . . . . . . . . .. 128
2. Losungen der elastischen Gleichungen fiir den zylindersymmetrischen
Fall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130
3. Kreiszylinder (dicke Kreisplatte unter achsensymmetrischer Last) 133
4. Deformation eines Balkens unter Uings-und Querbelastung . 136
5. Die Fortpfianzungsgeschwindigkeit longitudinaler Wellen in einem
homogenen Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6. Die Kreisplatte unter rotationssymmetrischer Belastung . 140
7. Deformation einer kreisfOrmigen Membran. . . . 143
8. Der Rayleighsche Quotient zur naherungsweisen Berechnung der
ersten Eigenfrequenz von a) Saiten, b) Staben, c) Membranen und
d) Platten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9. Frequenzgleichung einer (eingespannten) Kreisplatte mit Zusatzmasse
im Mittelpunkt . 147
§ 10. Ideale Fliissigkeiten 149
1. Vorbemerkungen zu den folgenden Paragraphen. 149
2. Grundgleichungen der idealen Fliissigkeit. . . . 150
3. Die Bewegung und Deformation eines Fliissigkeitsteilchens 152
4. Potentialstromungen. Bernoullische Gleichungen. Hydraulik 154
5. Hydrostatik. Kapillaritat . . . . . . . . . . 157
6. Ebene Potentialstromungen . . . . . . . . . 159
7. Beispiele ebener stationarer Potentialstromungen 161
a) Parallelstromung 161
b) Quellinienstromung 161
c) Wirbellinienstromung 161
d) Quellsenkenstromung 162
e) Dipolstromung 162
f) Ausweichstromung urn einen Kreis 163
g) Stromung urn einen Kreiszylinder mit Zirkulation. 164
h) Ein Beispiel fUr die Methode der konformen Abbildung 167
8. Raumliche Potentialstromungen . . . . . . . . . . . 169
9. Fliissigkeitswellen. Ebene Oberflachenwellen. Kapillarwellen 172
10. Wirbelbewegung idealer (reibungsfreier) Fliissigkeiten. Wirbelsatze
von HELMHOLTZ und THOMSON. . . . . . . . . . . . . . 179
11. Bestimmung eines Wirbelfeldes. Das Gesetz von BIOT-SAVART 182
Aufgaben und Probleme zum § 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 185
1. Impulssatz der stationaren Stromfadentheorie und seine Anwendung
auf Stromungen in Rohren ............... 185
2. Ansteigen einer schweren Fliissigkeit an einer vertikalen \Vand 186
3. Freie Oberfiache einer Kapillarrohre 188
4. Ebene Potentialstromung urn Ecken 188
5. Ausstromen aus einem Kanal 189
6. Die Widerstande, die ein beschleunigt bewegter bzw. ein beschleunigt
angestromter ruhender Korper erfahrt ............. 190
7. Parallele Anstromung einer Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . 191
8. Anstromungeines Ellipsoides durch eine gleichmaJ3ige Parallelstromung 191
9. Hydrodynamische Krafte auf ein schwingendes Ellipsoid. 197
10. Die Birnbaumsche Theorie eines diinnen Tragfiiigels 204
x
Inhaltsverzeichnis
11. Das induzierte Geschwindigkeitsfeld des geraden Schaufelgitters. 205
12. Stromung urn eine fiachgewolbte FHiche elliptischen Umrisses 209
13. Stromung urn eine elliptische Platte mit abgehendem Wirbelband 211
§ 11. Zahe Fliissigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 215
1. Grundsatzliche Bemerkungen. NEWTONS Ansatz fUr die Reibungs-
kraft. Einfache Beispiele 215
2. Die Navier-Stokesschen Gleichungen . . . . . . . 218
3. Energiedissipation zaher Fliissigkeiten ..... . 221
4. "\V'eitere energetische und thermodynamische Betrachtungen 223
5. Ahnlichkeitsbetrachtungen. Reynoldssche Zahl 224
6. Exakte stationare Losungen . . . . . . . . . . 226
7. Exakte instationare Losungen in der Ebene . . . 231
a) Laminare Stromung zwischen zwei Wanden bei konstantem
Druckgefalle .. . . . . . . . . . . . .. ..... . 231
b) Stromungen, deren Geschwindigkeit nur von einer Koordinate
abhangt ........................ . 232
8. Naherungs16sungen fUr kleine Reynoldssche Zahlen . . . . . . . . 234
a) Langsame und gleichfiirmige Bewegung einer Kugel in einer zahen
Fliissigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
b) Die hydrodynamische Theorie der Schmiermittelreibung 236
9. Grenzschichttheorie. 239
10. Turbulenz . . . . . . . 246
Aufgaben und Probleme zum § 11 251
1. Starung auf der Oberfiache einer zahen Fliissigkeit 251
2. Stromungsanalogon zur Bestimmung der Torsionssteifigkeit einfach
zusammenhangender Querschnitte . . . . . . . . . . . . 252
3. Das Temperaturfeld in einer Spalt- und Rohrstromung einer zahen
Fliissigkeit bei temperaturunabhangigen Stoffkonstanten . . . . 253
4. Ebene Stromung zwischen zwei parallelen Platten bei temperatur
abhangiger Zahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5. Stromung einer zahen Fliissigkeit in einem Spalt bzw. in einem Rohr
bei temperaturabhangiger Zahigkeit ............. . 255
§ 12. Dynamik idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
1. Die thermodynamischen und mechanischen Grundgleichungen fUr
reibungsfrei stromende ideale Gase . . . . . . . . . . . . . 257
2. Zur Integration der gasdynamischen Grundgleichungen . . . . 261
3. Fortpfianzung kleiner Starungen in einem idealen und reibungsfreien
Gas. Der Schall . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4. Eine exakte Sonderlosung. VerdichtungsstoB .......... . 264
5. Die exakte Behandlung des eindimensionalen Problems . . . . . . 269
6. Stationare Potentialstromungen idealer und reibungsfrei stromender
Gase. Physikalische und mathematische Bemerkungen 272
7. Linearisierung der Potentialgleichung . . . . . . 276
8. Ebene und parallele linearisierte Potentialstromung . 277
9. Der schiefe VerdichtungsstoB. StoBpolare ..... 280
10. Anstromung eines schlanken Rotationskorpers. Die Singularitaten
methode von KARMAN. . . . . . . . . . . . . . 284
11. Exakte Linearisierung der Potentialgleichung der ebenen Stromung.
Molenbroek-Tschapligin-Transformation . . . . . . . . . . . . . 288
Inha1tsverzeichnis XI
12. Stationare Stromfadentheorie. Die Lava1-Diise 297
13. Abschliel3ende Bemerkungen zur Gasdynamik. Die Tricomische
Differentia1gleichung 301
Aufgaben und Probleme zu § 12 304
1. Fortpflanzungsgeschwindigkeit von ebenen Schallw ellen end1icher
Amplitude. . . . . . . . . . . . . . . 304
2. VerdichtungsstoB in einem Rohr . . . . . 305
3. Struktur (Breite) eines Verdichtungsstol3es 307
4. Widerstand eines schlanken Rotationskorpers in Uberschallstromung 309
5. Uberschallstromung urn einen Kreiskegel . . . . . . . . . . . . 310
6. Ebene Quell- und Wirbelstromung im Unter- und Uberschallbereich 311
7. Kompressible Gasstromung urn eine Kante ...... 314
8. Geschol3form k1einsten Wellenwiderstandes ...... 317
9. Das Charakteristikenverfahren zur Berechnung von Uberschall-
stromungen . . . . . . . . . . . . . . . .. ...... 320
10. Potentialfunktionen fUr 1inearisierte und instationare Uberschall-
stromungen in Gasen . . . . 323
11. Instationare Energieg1eichung . . . 325
III. Anhang
AbriB der Geschichte der k1assischen Mechanik
Der zeitliche Uberblick . . . . . 326
1. Allgemeine Bemerkungen 326
2. Das klassische Altertum . 327
3. Das Mitte1a1ter. . . . . 329
4. Das XVI. und XVII. Jahrhundert. Die Barockzeit 329
5. LEONHARD EULER und die Vollendung der k1assischen Mechanik 336
Entwick1ung verschiedener Spezia1gebiete . . . 339
1. Festigkeitslehre und E1astizitatstheorie 340
2. Hydromechanik 344
3. Gasdynamik . . . . . . . . . . . . 347
Forme1n und Operatoren in orthogonalen Koordinaten
1. Kartesische Koordinaten 349
2. Zylinderkoordinaten der raumlichen Polarkoordinaten . 351
3. Spharische Polarkoordinaten oder Kuge1koordinaten 353
Literaturverzeichnis .... 355
Namen-und Sachverzeichnis 360