Vorlesungen uber partielle Differentialgleichungen

175 Pages·2004·2.62 MB·German

by  Vladimir I. Arnold (auth.)

Springer-Lehrbuch
3
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Vladimir I. Arnold
Vorlesungen u¨ ber
partielle Differential-
gleichungen
U¨bersetztausdemRussischenvonTobiasDamm
Mit100Abbildungen
1 3
VladimirI.Arnold
SteklovMathematicalInstitute
ul.Gubkina8
11991Moscow,Russia
e-mail:[email protected]
and
CEREMADE
Universite´deParis-Dauphine
PlaceduMare´chaldeLattredeTassigny
75775ParisCedex16,France
e-mail:[email protected]
Übersetzer
TobiasDamm
InstitutfürAngewandteMathematik
TUBraunschweig
38106Braunschweig,Germany
ÜbersetzungderrussischenOriginalausgabe„Lektsiioburavneniyakhschastnymi
proizvodnymi“vonV.I.Arnold(ISBN5-7036-0035-9)© 1997PHASIS,Moskau,Russland
MathematicsSubjectClassification(2000):35-01,70-01
DieDeutscheBibliothek–CIP-Einheitsaufnahme
BibliografischeInformationderDeutschenBibliothek
DieDeutscheBibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetüber<http://dnb.ddb.de>abrufbar.
ISBN3-540-43578-6 Springer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork
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Inhaltsverzeichnis
Vorlesung 1. Allgemeine Theorie einer Gleichung erster
Ordnung...................................................... 1
Vorlesung 2. Allgemeine Theorie einer Gleichung erster
Ordnung (Fortsetzung) ....................................... 13
Vorlesung 3. Das Huygenssche Prinzip in der Theorie
der Wellenausbreitung........................................ 25
Vorlesung 4. Die Saite (Methode von d’Alembert) ............ 33
§ 1. Die allgemeine L¨osung .................................. 33
§ 2. Randwertprobleme und das Cauchyproblem ............ 34
§ 3. Das Cauchyproblem fu¨r eine unbeschr¨ankte Saite.
Die d’Alembertsche Formel ............................. 35
§ 4. Die halbbeschr¨ankte Saite .............................. 37
§ 5. Die beschr¨ankte Saite (Resonanz)....................... 38
§ 6. Die Methode von Fourier ............................... 39
Vorlesung 5. Die Methode von Fourier (fu¨r eine Saite)........ 41
§ 1. Die L¨osung des Problems im Raum der
trigonometrischen Polynome ............................ 41
§ 2. Exkurs.................................................. 42
§ 3. L¨osungsformeln fu¨r das Problem aus § 1 ................ 42
§ 4. Der allgemeine Fall ..................................... 43
§ 5. Fourierreihen ........................................... 43
§ 6. Konvergenz von Fourierreihen .......................... 44
§ 7. Das Gibbssche Ph¨anomen............................... 45
VI Inhaltsverzeichnis
Vorlesung 6. Schwingungstheorie. Das Variationsprinzip ...... 47
Vorlesung 7. Schwingungstheorie. Das Variationsprinzip
(Fortsetzung) ................................................. 59
Vorlesung 8. Eigenschaften harmonischer Funktionen ......... 75
Vorlesung 9. Fundamentall¨osungen des Laplaceoperators.
Potentiale .................................................... 89
Vorlesung 10. Das Doppelschichtpotential..................... 107
Vorlesung 11. Kugelfunktionen.
Der Satz von Maxwell.
Der Satz u¨ber hebbare Singularit¨aten......................... 119
Vorlesung 12. Randwertprobleme fu¨r die Laplacegleichung.
Die Theorie linearer Gleichungen und Systeme ............... 135
Anhang 1. Der topologische Gehalt des Maxwellschen Satzes
u¨ber die Multipol-Darstellung sph¨arischer Funktionen ........ 149
§ 1. Grundlegende R¨aume und Gruppen .................... 150
§ 2. Einige S¨atze aus der reellen algebraischen Geometrie ... 151
§ 3. Von der algebraischen Geometrie
zu den Kugelfunktionen................................. 153
§ 4. Explizite Formeln ....................................... 155
§ 5. Der Satz von Maxwell und CP2/conj ≈ S4.............. 159
§ 6. Die Geschichte des Satzes von Maxwell ................. 160
Anhang 2. Aufgaben.......................................... 163
§ 1. Seminarmaterialien ..................................... 163
§ 2. Aufgaben des schriftlichen Examens .................... 170
Vorwort zur zweiten Auflage
DieTheoriederpartiellenDifferentialgleichungengaltzurMittedes20.Jahr-
hunderts als Glanzstu¨ck der Mathematik. Grund dafu¨r waren zum einen die
Schwierigkeit und Bedeutung der Probleme, mit denen sie sich befaßt, zum
anderen die Tatsache, daß sie sich sp¨ater entwickelt hatte als die meisten
anderen mathematischen Disziplinen.
Heute neigen viele dazu, dieses bemerkenswerte mathematische Gebiet
mit einer gewissen Geringsch¨atzung als eine altmodische Kunst, mit Unglei-
chungen zu jonglieren, oder als Versuchsgel¨ande zur Erprobung der Funk-
tionalanalysis zu betrachten. Der entsprechende Kurs wurde sogar aus dem
Pflichtprogramm einiger Universit¨aten (zum Beispiel in Paris) herausge-
nommen. Schlimmer noch, so hervorragende Lehrbu¨cher wie das klassische
dreib¨andige Werk von Goursat sind wegen mangelnden Interesses aus der
Bibliothek der Universit¨at Paris 7 hinausgeworfenworden (und konnten nur
dank meiner Einmischung gerettet werden, zusammen mit den Vorlesungen
Kleins, Picards, Hermites, Darbouxs, Jordans, ...).
Der Grund dafu¨r, daß diese wichtige, die gesamte Mathematik betreffen-
de Theorie zu einem endlosen Strom von Arbeiten U¨ber eine Eigenschaft
”
einer L¨osung einer Randwertaufgabe einer partiellen Differentialgleichung“
verkommen konnte, liegt vermutlich in dem Versuch, eine einheitliche alles
umfassende h¨ochst abstrakte Theorie von allem“ zu schaffen.
”
Partielle Differentialgleichungen treten vor allem in Modellen kontinuier-
licherMedienindermathematischenundtheoretischenPhysikauf.Versuche,
die beachtlichen Errungenschaften der mathematischen Physik auf Systeme
zuu¨bertragen,dienurformaleA¨hnlichkeitmitdengenanntenModellenbesit-
zen,fu¨hrenaufkomplizierteundschweru¨berschaubareTheorien.In¨ahnlicher
Weise fu¨hren Versuche, die Geometrie der Fl¨achen zweiter Ordnung und die
Algebra quadratischer Formen auf Objekte h¨oherer Ordnung zu u¨bertragen,
schnellindasDickichtderalgebraischenGeometriemitihrenentmutigenden
Hierarchien komplizierter Entartungen und ihren nur theoretisch bestimm-
baren Antworten.
InderTheoriederpartiellenDifferentialgleichungenistesnochschlimmer:
Die Schwierigkeiten der kommutativen algebraischen Geometrie verbinden
sich hier unentwirrbar mit der nichtkommutativen Differentialalgebra und
hinzu treten h¨ochst nichttriviale Probleme der Topologie und der Analysis.
VIII Vorwort zurzweiten Auflage
Gleichzeitig kann man sich aber in zahlreichen besonders wichtigen Pro-
blemen der mathematischen Physik auf allgemeine physikalische Prinzipien
und so allgemeine Konzepte wie Energie, Variationsprinzip, Huygenssches
Prinzip, Lagrangescher Multiplikator, Legendre-Transformation, Hamilton-
funktion, Eigenwert und Eigenfunktion, Welle-Teilchen Dualit¨at, Dispersi-
on und Fundamentall¨osung verlassen. Ihre Erforschung hat die Entwicklung
großer Gebiete der Mathematik angeregt wie die Theorie der Fourierrei-
hen und Fourierintegrale, die Funktionalanalysis, die algebraische Geome-
trie, die symplektische Topologie und die Kontakttopologie, die Theorie der
AsymptotikenvonIntegralen,die mikrolokaleAnalysis,die Indextheorievon
(Pseudo-)Differentialoperatorenund andere.
Eine Vertrautheit mit diesen grundlegenden mathematischen Ideen ist
meiner Meinung nachabsolutunverzichtbarfu¨r jedent¨atigenMathematiker.
Ihre Verbannung aus der universit¨aren mathematischen Ausbildung geschah
oder geschiehtin vielen westlichen L¨andernunter dem Einfluß scholastischer
Axiomatisierer (die mit keinerlei Anwendungen vertraut sind und nichts zu
wissenwu¨nschenalsden abstraktenUnsinn“ derAlgebraiker);ichhaltedies
”
fu¨reine¨außerstgef¨ahrlicheNachwirkungderBourbakisierungsowohlderMa-
thematikalsauchihrerDidaktik.DasBestreben,dieseunn¨otigescholastische
Pseudowissenschaftabzuschaffen,isteinenatu¨rlicheundgesetzm¨aßigeReak-
tion der Gesellschaft (zumal der wissenschaftlichen) auf die verantwortungs-
loseundselbstm¨orderischeAggressivit¨atder ultrareinen“ Mathematiker,er-
”
zogen im Geiste Hardys und Bourbakis.
Der Autor dieses sehr kurzen Vorlesungskurses war bestrebt, Studenten
derMathematik,dieu¨berminimaleVorkenntnisseverfu¨gen(LineareAlgebra
und Grundzu¨ge der Analysis inklusive gew¨ohnliche Differentialgleichungen)
miteinemKaleidoskopgrundlegenderIdeenderMathematikundPhysikver-
traut zu machen.Anstelle des in mathematischenBu¨chernu¨blichen Prinzips
der maximalen Allgemeinheit hat sich der Autor bemu¨ht, am Prinzip der
minimalen Allgemeinheit festzuhalten, gem¨aß welchem jede Idee zun¨achst in
der einfachsten Situation klar verstanden sein muß, bevor die entwickelte
Methode auf kompliziertere F¨alle u¨bertragen werden kann.
Obwohl u¨blicherweise eine allgemeine Tatsache einfacher zu beweisen ist
als ihre zahlreichen Spezialf¨alle, stellt eine mathematische Theorie fu¨r den
Lernenden nicht mehr dar als eine Sammlung von Beispielen, die er gut und
vollst¨andig verstanden hat. Deshalb bilden gerade Beispiele und Ideen und
eben nicht allgemeine S¨atze und Axiome die Grundlage dieses Buches. Die
Pru¨fungsaufgaben am Ende des Kurses sind ein wesentlicher Bestandteil.
Besondere Aufmerksamkeit wurde auf die Wechselwirkung des Gegen-
standes mit anderen Bereichen der Mathematik gerichtet, insbesondere der
Geometrie von Mannigfaltigkeiten, der symplektischen Geometrie und Kon-
taktgeometrie, der komplexen Analysis, der Variationsrechnung und der To-
pologie. Der Autor richtet sich an wißbegierige Studenten, hofft aber gleich-
zeitig, daß sogar professionelle Mathematiker mit anderen Spezialgebieten
Vorwort zur zweiten Auflage IX
durch dieses Buch die grundlegenden und daher einfachen Ideen der ma-
thematischen Physik und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen
kennenlernen k¨onnen.
Der vorliegende Kurs wurde fu¨r Studenten im dritten Studienjahr am
mathematischen Collegeder unabh¨angigenMoskauer Universit¨atim Herbst-
semester 1994/95 gehalten; dabei wurden die Vorlesungen 4 und 5 von
Yu. S. Ilyashenko und die Vorlesung 8 von A. G. Khovanskij gehalten. Alle
VorlesungenwurdenmitgeschriebenvonV.M.Imaikin(und seineMitschrift
wurde dann vom Autor u¨berarbeitet). Allen spricht der Autor seinen tiefen
Dank aus.
Die erste Auflage dieses Kurses erschien 1995 im Verlag des mathemati-
schen Colleges der unabh¨angigen Moskauer Universit¨at. In der vorliegenden
Ausgabe wurden einige Erg¨anzungen und Korrektureneingearbeitet.
Vorlesung 1. Allgemeine Theorie einer
Gleichung erster Ordnung
ImUnterschiedzudengew¨ohnlichenDifferentialgleichungenbesitzendiepar-
tiellen Differentialgleichungenkeine einheitliche Theorie.Einige Gleichungen
habenihreeigenenTheorien,fu¨randeregibtesu¨berhauptkeineTheorie.Das
hat mit der komplizierteren Geometrie zu tun. Im Falle gew¨ohnlicher Diffe-
rentialgleichungen ist auf einer Mannigfaltigkeit ein Vektorfeld gegeben, daß
lokal integrierbar ist (also Integralkurven besitzt). Im Falle einer partiellen
Differentialgleichung ist in jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein Teilraum
desTangentialraumsgegeben,dessenDimensiongr¨oßerals1ist.Bekanntlich
ist schonein Feld zweidimensionaler Ebenen im dreidimensionalen Raum im
allgemeinen nicht integrierbar.
Beispiel. ImRaummitdenKoordinatenx,y,zbetrachtenwirdasdurch
die Gleichung dz = ydx gegebene Ebenenfeld (in jedem Punkt ist das eine
lineare Gleichung fu¨r die Koordinaten des Tangentialvektors,die eine Ebene
beschreibt).
Aufgabe 1. Zeichnen Sie dieses Ebenenfeld und beweisen Sie, daß es
keine Integralfl¨achebesitzt, d.h. es gibt keine Fl¨ache, deren Tangentialebene
in jedem Punkt mit dem Ebenenfeld u¨bereinstimmt.
Somit sind integrierbare Ebenenfelder eine Ausnahmeerscheinung.
AlsIntegraluntermannigfaltigkeiteinesFeldesvonTangentialunterr¨aumen
an eine Mannigfaltigkeit bezeichnet man eine Untermannigfaltigkeit, deren
Tangentialebene in jedem Punkt in dem entsprechenden Tangentialunter-
raum enthalten ist. Wenn es gelingt, eine Integraluntermannigfaltigkeit zu
konstruieren, so stimmt ihre Dimension u¨blicherweise nicht mit der Dimen-
sion der Unterr¨aume des Feldes u¨berein.
IndieserVorlesungbetrachtenwireinen Fall,fu¨r denes eine vollst¨andige
Theoriegibt,n¨amlichdenFalleinereinzigenGleichungersterOrdnung.Vom
physikalischen Standpunkt stellt dieser Fall die Dualit¨at der Beschreibung
von Ph¨anomenen einerseits mit Hilfe von Wellen und andererseits mit Hilfe
von Teilchen dar. Ein Feld genu¨gt einer gewissen partiellen Differentialglei-
chung erster Ordnung, w¨ahrend ein Teilchenfluss durch ein System gew¨ohn-
licher Differentialgleichungen beschrieben wird. So wie es einen Ansatz gibt,
eine partielle Differentialgleichung auf ein System gew¨ohnlicher Differenti-
algleichungen zuru¨ckzufu¨hren, so kann man an Stelle der Ausbreitung von
Wellen auch Teilchenflu¨sse untersuchen.