Table Of ContentH. RUTISHAUSER
VORLESUNGEN ÜBER NUMERISCHE MATHEMATIK
BAND 2
MATHEMATISCHE REIHE
BAND 57
LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN
AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
HEINZ RUTISHAUSER
VORLESUNGEN
ÜBER NUMERISCHE
MATHEMATIK
Herausgegeben von
MARTIN GUTKNECHT
unter Mitwirkung von
PETER HENRICI
PETER LÄ UCHLI
HANS-RUDOLF SCHWARZ
BAND 2
DIFFERENTIALG LEICHUNG EN
UND EIGENWERTPROBLEME
1976
SPRINGER BASEL AG
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Rutishauser, Heinz
[Sammlung]
Vorlesungen über numerische Mathematik / hrsg. von Martin Gutknecht unter
Mitw. von Peter Henrici ...
Bd.2. Differentialgleichungen und Eigenwertprobleme. - l.Aufl. -1976.
(Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften:
Math. Reihe; Bd.57)
ISBN 978-3-0348-5710-9 ISBN 978-3-0348-5709-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5709-3
Nachdruck verboten
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen
und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
@ Springer Basel AG 1976
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel, 1976
Softcover reprint of the hardcover Ist edition 1976
ISBN 978-3-0348-5710-9
VORWORT DES HERAUSGEBERS
In diesem zweiten Band mit von Prof. H. Rutishauser hinterlassenen Manu
skripten werden gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, die iterative
Lösung linearer Gleichungssysteme sowie das algebraische Eigenwertproblem
behandelt. Weiter enthält er einen Anhang über «Eine Axiomatik des numeri
schen Rechnens und ihre Anwendung auf den qd-Algorithmus» (wobei dieser
Titel von den Herausgebern stammt).
Zu diesem Anhang sind einige Bemerkungen angezeigt: H. Rutishauser hat
sich bereits 1968 mit dem Thema befasst (Bericht [21] im Literaturverzeichnis
zum Anhang) und im Sommersemester 1969 einen Teil des Stoffes in einer
Vorlesung besprochen. Später wurden jedoch Inhalt und Text von ihm überar
beitet und wesentlich erweitert. Auch hatte er im Sinn, das sehr interessante
dritte Kapitel «Endliche Arithmetik» an einer Tagung in Oberwolfach, die im
November 1970 kurz nach seinem Tod stattfand, vorzutragen. Dagegen ist
unbekannt, in welcher Form er die ganze Arbeit, die keine grossen Vorkennt
nisse des Lesers voraussetzt, aber den üblichen Umfang eines Zeitschriftenarti
kels übertrifft, veröffentlichen wollte. Sicher ist jedoch, dass diese Arbeit
unvollendet geblieben ist. Es waren mindestens sieben Kapitel vorgesehen, doch
bricht das Manuskript im fünften ab mit der Überschrift «Erzwingung der
Koinzidenz». Zum Glück ist der Text trotzdem ziemlich abgerundet. Er enthält
in den ersten zwei Kapiteln in teils neuartiger Darstellung eine Einführung in
den qd-Algorithmus. Im dritten Kapitel wird, wie bereits erwähnt, eine Axio
matik des numerischen Rechnens aufgestellt. Hauptziel ist dabei nicht deren
Prüfung auf Vollständigkeit und Unabhängigkeit, sondern die Möglichkeit,
von einem Algorithmus zu beweisen, dass er nie infolge von Rundungsfehlern
versagt. In diese Richtung zielen denn auch die Untersuchungen über den qd
Algorithmus und seine stationäre Form im vierten und fünften Kapitel.
Der Text des Anhanges stimmt über weite Strecken wörtlich mit dem
handschriftlichen Manuskript von H. Rutishauser überein. An einigen Stellen
wurden jedoch Sätze und Beweise etwas genauer oder ausführlicher formuliert.
Eine grössere Umstellung war nur im dritten Kapitel nötig, wo die nun in den
Sätzen A 13, A 14 und A 16 enthaltenen Aussagen umgruppiert worden sind. Die
Herausgeber haben zudem das Literaturverzeichnis zusammengestellt und die
Hinweise darauf(die im Manuskript offengelassen worden waren) eingesetzt.
Ich möchte nicht versäumen, den vielen Personen und Institutionen, die zum
Gelingen dieser Ausgabe beigetragen haben und die im ersten Band namentlich
aufgeführt worden sind, nochmals herzlich zu danken.
Vancouver, B.e., im Februar 1976 M. GUTKNECHT
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 8. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. . . . . . . 9
§ 8.1. Problemstellung.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 8.2. Das Verfahren von Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 8.3. Die Fehlerordnung eines Verfahrens ............................... 16
§ 8.4. Verfahren vom Typus Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§ 8.5. Fehlerbetrachtungen für das Runge-Kutta-Verfahren bei linearen Diffe-
rentialgleichungssystemen ........................................ 26
§ 8.6. Die Trapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§ 8.7. Allgemeine Differenzenformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§ 8.8. Das Stabilitätsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§ 8.9. Sonderfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Kapitel 9. Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. . . . . . . . . 55
§ 9.1. Die Artilleriemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§ 9.2. Lineare Randwertaufgaben ....................................... 58
§ 9.3. Die Floquetschen Lösungen einer periodischen Differentialgleichung. . . 63
§ 9.4. Behandlung von Randwertaufgaben mit Differenzenmethoden ......... 66
§ 9.5. Die Energiemethode zur Diskretisation kontinuierlicher Probleme . . . . . 71
Kapitel 10. Elliptische partielle Differentialgleichungen, Relaxationsmethoden . . . 75
§ 10.1. Diskretisation des Dirichlet-Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§ 10.2. Das Operatorprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§ 10.3. Das allgemeine Prinzip der Relaxation ............................. 85
§ 10.4. Das Verfahren von Gauss-Seidel, Überrelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
§ 10.5. Das Verfahren der konjugierten Gradienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
§ 10.6. Anwendung auf ein komplizierteres Problem ........................ 95
§ 10.7. Etwas über Normen und die Kondition einer Matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Kapitel 11. Parabolische und hyperbolische partielle Differentialgleichungen. . . . . 110
§ 11.1. Eindimensionale Wärmeleitprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110
§ 11.2. Stabilität der numerischen Lösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113
§ 11.3. Die eindimensionale Wellengleichung .............................. 118
§ 11.4. Etwas über zweidimensionale Wärmeleitprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123
Kapitel 12. Das Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . .. 132
§ 12.1. Einleitung.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 132
§ 12.2. Extremaleigenschaften der Eigenwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 137
§ 12.3. Das klassische lacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 144
~ 12.4. Fragen der Programmierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 147
§ 12.5. Das lacobi-Verfahren mit zeilenweisem Durchlauf. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149
§ 12.6. Die LR-Transformation ...... .... . .. ........ ... ......... . ..... ... 151
§ 12.7. Die LR-Transformation mit Verschiebungen........ ... ........ ..... 156
§ 12.8. Die Householder-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 159
§ 12.9. Die Bestimmung der Eigenwerte einer Tridiagonalmatrix . . . . . . . . . . . . .. 163
Kapitel 13. Das Eigenwertproblem für beliebige Matrizen .................... 166
§ 13.1. Fehleranfälligkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 166
§ 13.2. Das Iterationsverfahren .......................................... 168
Anhang. Eine Axiomatik des numerischen Rechnens und ihre Anwendung auf den
qd-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 179
Kapitel Al. Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 180
§ ALl. Die Eigenwerte einer qd-Zeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 180
§ Al.2. Die progressive Form des qd-Algorithmus .......................... 181
§ Al.3. Die erzeugende Funktion einer qd-Zeile ............................ 183
§ A1.4. Positive qd-Zeilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 183
§ Al.5. Die Konvergenzgeschwindigkeit des qd-Algorithmus ................. 185
§ A1.6. Der qd-Algorithmus mit Verschiebungen ........................... 186
§ Al.7. Deflation nach Bestimmung eines Eigenwerts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 188
Kapitel A2. Die Wahl der Verschiebungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 192
§ A2.1. Einfluss der Verschiebung v auf Z'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
§ A2.2. Semipositive qd-Zeilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
§ A2.3. Schranken für A." . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 195
§ A2.4. Ein formaler Algorithmus ftir die Eigenwertbestimmung . . . . . . . . . . . . . .. 197
Kapitel A3. Endliche Arithmetik ......................................... 199
§ A3.1. Die Grundmenge e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
§ A3.2. Eigenschaften der Arithmetik ..................................... 200
§ A3.3. Monotonie der Arithmetik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
§ A3.4. Genauigkeit der Arithmetik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 202
§ A3.5. Unter-und Überflusskontrolle .................................... 204
Kapitel A4. Einfluss der Rundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 206
§ A4.1. Persistente Eigenschaften des qd-Algorithmus ....................... 206
§ A4.2. Koinzidenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 208
§ A4.3. Die differentielle Form des progressiven qd-Algorithmus . . . . . . . . . . . . .. 210
§ A4.4. Der Einfluss der Rundungsfehler auf die Konvergenz ................. 211
Kapitel A5. Stationäre Form des qd-Algorithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 212
§ A5.1. Begründung des Algorithmus ..................................... 212
§ A5.2. Die differentielle Ferm aes stati.onären qd-Algorithmus ............... 213
§ A5.3. Eigenschaften des stationären qd-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 214
§ A5.4. Sichere qd-Schritte .............................................. 216
Literatur zum Anhang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223
Namen-und Sachverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 225
KAPITEL 8
Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen
Es ist eine bekannte Tatsache, dass in wissenschaftlich-technischen Proble
men auftretende Differentialgleichungen meist nicht exakt, das heisst nicht mit
analytischen Methoden gelöst werden können. Aber selbst wo dies möglich ist,
ist es nicht unbedingt vorteilhaft. Zum Beispiel hat die Differentialgleichung
2. Ordnung mit 2 Anfangsbedingungen
y" + 5y' + 4y = I-ex, y(O) = y'(O) = 0 (1)
die exakte Lösung
1 1 2 1
y = ---xe-x--e-x--e-4x (2)
4 3 9 36 '
aber wenn man diese Formel etwa an der Stelle x = 0.01 auswerten will, ergibt
sich beim Rechnen mit 8 Stellen
y = 0.25 - 0.00330017 - 0.22001107 - 0.02668860 = 0.00000016,
was nicht mehr sehr genau ist.
Man muss in solchen Fällen und in jenen, wo eine «exakte» Lösung, d.h.
eine Lösung in geschlossener Form, nicht existiert, zu numerischen Methoden
greifen, die die Lösung zwar nur angenähert, aber gleich fertig in Tabellenform
liefern. Mit solchen <<ungenauen» Methoden gelingt es tatsächlich, einen viel
genaueren Näherungswert für y(O.OI) = 0.000000164138 ... zu erhalten.
§ 8.1. Problemstellung
Als Grundmodell betrachten wir eine Differentialgleichung erster Ordnung
mit einer Arifangsbedingung
y'=f(x,y), y(xo)=Yo. (3)
Gegeben sind hier der Wert Yo und die Funktion f(x , y), von der wir je nach
Bedarf gewisse Stetigkeitseigenschaften fordern müssen (z.B. ihre Stetigkeit
und Lipschitz-Bedingungen beim Verfahren von Euler).
Wir behandeln aber auch Differentialgleichungssysteme
dYI
- =.fl (X,Yl(X),Y2(X), ·.·,Yn(x)) (l = 1, ... , n) (4)
dx
