Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie

340 Pages·1968·19.781 MB·German

by  Felix Klein (auth.), W. Rosemann (eds.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
GEMEINSAM MIT
\V. BLASCHKE M. BORN C. RUNGEt
HAMBURG GOTTINGEN GOTTINGEN
HERAUSGEGEBEN VON
R.COURANT
GOTTINGEN
BAND XXVI
VORLESUNGEN UBER
NICHT=EUKLIDISCHE GEOMETRIE
VON
FELIX KLEIN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
1928
FELIX KLEIN
VORLESUNGEN
OBER NICHT=EUKLIDISCHE
GEOMETRIE
FOR DEN DRUCK NEU BEARBEITET VON
w. ROSEMANN
NACHDRUCK
1968
MIT 237 ABBILDUNGEN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
1928
ISBN-13: 978-3-642-95027-8 e-ISBN-13: 978-3-642-95026-1
DOl: 10.1007/978-3-642-95026-1
Aile Rechte vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche
Genehmigung des Springer-Verlages iibersetzt oder in irgendeiner Form
vervielfaltigt werden. Copyright by Julius Springer Berlin 1928; copyright
© renewed by Springer-Verlag Berlin· Heidelberg 1967, under Presidential
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1967
Proclamation of July 12, 1967 (Federal Republic of Germany~ Library of
Congress Catalog Card Number 67-30151.
Titel Nr. 5009
Vorwort.
Als Felix Klein den Plan faBte, die wichtigsten seiner autogra
phierten Vorlesungen im Druck erscheinen zu lassen, gedachte er, mit
der Nichteuklidischen Geometrie zu beginnen und den alten Text zu
vor mit Hille eines jiingeren Geometers, des Herro Dr. Rosemann, in
der Anlage und den Einzelheiten einer griindlichen Neubearbeitung zu
unterziehen. Diese Arbeit erwies sich als langwieriger wie urspriing
lich geschatzt. Klein selbst konnte ihren AbschluB nicht mehr erleben.
Zwar hatte er in taglichen, durch mehr als ein J ahr fortgesetzten Be
sprechungen den Stoff bis in die Einzelheiten hinein mit seinem Mit
arbeiter durchdacht, gesichtet und geordnet; aber die eigentliche Aus
arbeitung des Textes muBte er von vornherein Herro Rosemann uber
lassen. Bei Kleins Tode lagen die Fahnenkorrekturen der ersten Ka
pitel vor; es bedurfte jedoch noch jahrelanger opferwilliger Arbeit
seitens Herro Rosemanns, urn auf Grund des urspriinglichen Programmes
das Manuskript fertigzustellen und den Druck durchzufiihren. So ist
bei diesem Werke eigener Antell und Verdienst, aber auch eigene Ver
antwortung des Bearbeiters viel heher zu bewerten als sonst ublich.
Neben Herro Dr. Seyfarth, der mit feinsinnigem Verstandnis
Manuskript und Korrektur gelesen hat, gebiihrt ffir das Zustande
kommen des Werkes noch besonderer Dank Herro Dr. H. Hopf; er
hat nicht nur kritisch und helfend bei der Durchsicht groBer Telle des
Manuskripts und der Korrekturen mitgewirkt, sondern dariiber hinaus
die Ausarbeitung einiger wichtiger, seinem Arbeitsgebiet naheliegender
Abschnitte ubernommen. Weiter hat Herr Professor Dr. Salkowski
freundlicherweise den groBten Tell der letzten Bogenkorrektur mit
gelesen. Endlich dart ein Dank an die Verlagsbuchhandlung hier nicht
fehlen, deren Geduld und Entgegenkommen die wesentlichste Voraus
setzung ffir die Dberwindung alIer Schwierigkeiten war.
GiJttingen, Oktober 1927. Der Herausgeber.
Aus der ursprunglichen autographierten Vorlesung, die in der
Ausarbeitung von Fr. Schilling 1892 und in zweiter kaurn veranderter
Auflage 1893 erschien, sind zahlreiche Stellen gestrichen. Dafiir ist
eine Einfiihrung in die Grundlagen der projektiven Geometrie voran-
VI Vorwort.
gestellt (Kap. I und II). Weiter muBte in dem iibrigen Teil des Buches
mit Riicksicht auf die neuere Entwicklung iiberall weiterer Stoff eingeglie
dert werden, so daB die Vorlesung zum SchluB eine vollig neue Ge
stalt gewann.
Die beiden ersten Kapitel sind sehr ausfiihrlich gehalten, um das
Verstiindnis der weiteren Teile des Buches zu erleichtem; der Leser,
dem die projektive Geometrie bereits bekannt ist, moge sie bis auf § 6
des zweiten Kapitels iiberschlagen. Kapitel III bringt die Entwick
lungen, die zum Verstandnis der nichteuklidischen Bewegungen not
wendig sind, und kann vom Anfiinger beim ersten Studium iibergangen
werden. Der Leser, der sich iiber den Rahmen des Buches hinaus mit
der nichteuklidischen Geometrie beschliftigen will, findet eine wertvolle
Literaturzusammenstellung in Sommerville: Bibliography of non
euclidean geometry, including the theorie of parallels, the foundation
of geometry ~d space of n dimensions, London 1911. Weiter sei zur
Ergiinzung der an vielen Stellen eingeschalteten historischen Be
merkungen auf Klein: Vorlesungen iiber die Entwicklung der Mathe
matik im 19. Jahrhundert, Berlin 1927, hingewiesen.
Um der Anschaulichkeit willen wurden moglichst zahlreiche Ab
bildungen eingefiigt. Abb.31 und 236 sind der Funktionentheorie von
Hurwitz-Courant, Abb. 62-64 der Theorie der automorphen Funk
tionen von Fricke-Klein entnommen.
Hannover, Oktober 1927.
Der Bearbeiter.
Inhaltsverzeichnis.
Erster Tei!: Einfiihrung in die projektive Geometrie.
Kapitel I: Die Grundbegriffe der projektiven Geometrie. . 1-52
§ 1. Die affinen, die homogenen und die projektiven Koordinaten 1
Die affinen Koordinaten S. 1. - Die homogenen Koordinaten
S.2. - Die projektiven Koordinaten ·S. 5. - Zusammenhang
zwischen den affinen und projektiven Koordinaten S. 9. - t)ber-
sicht fiber die Entwicklung der Geometrie S. 10.
§ 2. Die Zusammenhangsverhaltnisse der projektiven Gebilde;
die Einseitigkeit der projektiven Ebene . . . . . . . .. 12
§ 3. Die homogenen linearen Substitutionen . . . . . . . .. 17
Die homogenen linearen Substitutionen; der Gruppenbegriff S. 17. -
Kogredienz und Kontragredienz S. 19.
§ 4. Die projektiven Transformationen. . . . . . . . . . .. 21
Die projektiven, frei-affinen und zentro-affinen Transformationen
S.21. - Das Vorzeichen der Substitutionsdeterminante S.23. -
Die anschauliche Wiedergabe der projektiven Transformationen
S.25. - Die Fixpunkte einer projektiven Transformation S.28.
§ 5. Die n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten . . . . . . . .. 30
§ 6. Projektive Geraden- und Ebenenkoordinaten; das Prinzip
der Dualitat . . . . . . . . . . . . . . • . . . . .. 33
Die projektiven Geradenkoordinaten in der Ebene S. 33. - Die
projektiven Ebenenkoordinaten S. 36. - Die Dualitat in der Ebene
S. 37. - Die Dualitat im Raum S. 39. - Der in sich duale Aufbau
der projektiven Geometrie S. 39.
§ 7. Die Doppelverhaltnisse. . . . . . . . . . . . . . . •. 40
Elementare Eigenschaften S. 40. - Das Doppelverhiiltnis von vier
Punkten auf einer Geraden S. 41. - Das Doppelverhaltnis im
Geraden-und Ebenenbfischel S. 43. - Bestimmung der projektiven
Koordinaten durch Doppelverhaltuisse S.45.
§ 8. Imaginare Elemente. . . . • • . • • • • • • . . . •. 45
Einfiihrung der imaginaren Punkte S. 46. - Die imaginaren
Elemente in der Ebene S. 47. - Die imaginaren Elemente im Raum
S. 48. - Die anschauliche Wiedergabe der imaginaren Punkte einer
geraden Linie in der Zahlebene und auf der Zahlkugel S. 49. -
Die Antikollineationen S. 51. - Historisches S. 51.
VIII Inhaltsverzeichnis.
Kapitel II: Die Gebilde zweiten Grades. . . . . . . . .. 52
§ 1. Die Polarverwandtschaft der Gebilde zweiter Ordnung und
Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • .. 52
Die Definition der Gebilde zweiter Ordnung und Klasse S. 52. -
Die Polarverwandtschaft der Gebilde zweiter Ordnung S. 53. -
Die PolarVerwandtschaft der Gebilde zweiter Klasse S.55. - Die
wichtigsten Sll.tze ilber die Polarverwandtschaft S. 56.
§ 2. Das Entsprechen der nichtausgearteten Ordnungs- und
Klassengebilde zweiten Grades . . . . . . . . . . . .. 58
§ 3. Die Einteilung der Gebilde zweiter Ordnung . . . . .. 61
Einteilung der FllI.chen zweiter Ordnung nach dem Rang der zu
gehOrigen Determinante S. 61. - Beziehung der Fll!.chen zweiter
Ordnung auf ein Polartetraeder S.63. - Weitere Einteilung der
Fll!.chen zweiter Ordnung nach den Realita.tseigenschaften S. 66. -
Die entsprechende Einteilung der Kurven und Punktsysteme
zweiter Ordnung S. 69. - Historisches zur Einteilung der Gebilde
zweiter Ordnung S. 70.
§ 4. Die Einteilung der Gebilde zweiter Klasse; Beziehungen zur
Einteilung der Gebilde iweiter Ordnung .. . . . . .. 71
Die Einteilung der Fli!.chen zweiter Klasse S. 71. - Die Beziehungen
zwischen den verschiedenen Fll!.chenarlen zweiter Ordnung und
K1asse S. 73. - Entsprechende Betrachtungen filT die Kurven
zweiter Klasse S. 74.
§ 5. Die geraden Linien auf den nicht ausgearteten Fllichen zweiter
Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§ 6. Die geometrischen "Oberglinge zwischen den einzelnen Ge-
bilden zweiten Grades; die Einteilung dieser Gebilde . .. 80
Die 'Obergi!.nge auf der geraden Linie S.81. - Die 'Obergi!.nge in
der Ebene S. 81. - Zusammenfassung der Kurven zweiter Ord-
nung und Klasse zu den Kurven zweiten Grades S. 84. - Die
'Obergll.nge im Raum S. 87. - Zusammenfassung der Fla.chen zwei-
ter Ordnung und Klasse zu den Fla.chen zweiten Grades S. 92.
Kapitel III : Die Kollineationen, die ein Gebilde zweiten Grades
in sich iiberfiihren . . . . . . . . . . . . . . . . 93-127
§ 1. Der eindimensionale Fall . . . . . . . . . . . . . 93
Die komplexen KoUineationen, die ein nichtausgeartetes Gebilde
in sich ilberfiihren S. 93. - Reelle KoUineationen S. 94. - Die
KoUineationen, die einen doppelt zi!.hlenden Punkt in sich ilberf1lhren
S. 96. - Der 'Obergang der verschiedenen Fa.lle ineinander S. 96.
§ 2. Der zweidimensionale Fall . . . . . . . . . . . . . .. 97
Die komplexen I{ollineationen, die ein nichtausgeartetes Gebilde
in sich llberfiihren S.97. - Reelle KoUineationen S.100. - Die
invarianten Elemente S. 103. - Die Auffassung der KoUineationen
a1s Drehungen S. 106. - Die KoUineationen, die ein ausgeartetes
Gebilde in sich llberfiihren S. t 08. - Der 'Obergang der verschiedenen
Fa.lle ineinander S. 109.
Inhaltsverzeichnis. IX
§ 3. Der dreidimensionale Fall . . . . . 111
Die komplexen Kollineationen, die ein nichtausgeartetes Gebilde
in sich i1berfi1hren die Schiebungen S. 111. - Reelle Kollineationen
S. 115. - Die invarianten Elemente S. 117. - Die Drehungen und
Schraubungen S. 120. - Die Kollineationen, die ein ausgeartetes
Gebilde in sich i1berfi1hren S. 124. - Der "Obergang der ver
schiedenen Fane ineinander S.125.
Zweiter Teil: Die projektive MaBbestimmung.
Kapitel IV: Die Einordnung der euklidischen Metrik in das
projektive System ................. 128-153
§ 1. Die metrischen Grundformeln der euklidischen Geometrie 128
Die Entfernungsformeln S.128. - Die Winkelformeln S.129.
§ 2. Diskussion der metrischen Formeln; die beiden Kreispunkte
und der Kugelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131
Diskussion der Entfemungsformeln S.131. - Diskussion der
WinkeHormeln S.133. - Die Kreispunkte und der Kugelkreis
S.135.
§ 3. Die euklidische Metrik als projektive Beziehung zu den
fundamentalen Gebilden . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Die Darsteilung des euklidischen Winkels durch ein Doppeiverhlllt-
nis S. 137. - Die entsprechende Umformung der euklidischen Ent
fernung S. 139.
§ 4. Die Ersetzung der Kreispunkte und des Kugelkreises durch
reelle Gebilde .................... 141
§ 5. Die Metrik im Strahl-und Ebenenbiindel; die spharische und
die elliptische Geometrie ............... 145
Die Metrik im Bundel S.145. - Beziehungen zur Geometrie auf
der Kugel S. 146. - Die elliptische Geometrie S. 148. - Die Be
ziehungen zwischen der elliptischen und sph!l.rischen Geometrie
S. 151.
Kapitel V: Die von der euklidischen Geometrie unabhangige
Einfiihrung der projektiven Koordinaten ...... 153-163
§ 1. Die Konstruktion der vierten harmonischen Elemente 154
§ 2. Die Koordinateneinfiihrung im eindimensionalen Gebiet 157
§ 3. Die Koordinateneinfiihrung in der Ebene und im Raum 161
Kapitel VI: Die projektiven MaBbestimmungen ..... 163-188
§ 1. Die nichtausgearteten MaBbestimmungen . . . . . . . . 163
Die Festlegung der Entfemungen und Winkel durch Doppelverhlilt
nisse S. 164. - Die analytischen Ausdriicke fur die Entfemungen
und Winkel S. 167. - Die elliptische und hyperbolische MaBbestim
mung auf der Geraden S. 170. - Die elliptische und hyperbolische
x Inhaltsverzeichnis.
MaJ3bestimmung im Geraden- und Ebenenbllschel S. 173. - Die
elliptische und hyperbolische MaJ3bestimmung in der Ebene S. 174.
- Die elliptiscbe und hyperbolische MaBbestimmung im Raum
S.178.
§ 2. Die ausgearteten MaBbestimmungen 179
Die gerade Linie S. 179. - Das Geraden-und Ebenenbllschel S. 180.
- Die Ebene S. 181. - Der Raum; abschlieBende Bemerkungen
S.184.
§ 3. Die Dualitat . . . . . . . . 184
§ 4. Die starrert Transformationen 186
Die starren Transformationen und die Ahnlichkeitstransformationen
S. 186. - Die Bewegungen und Umlegungen S. 187. - Erzeugung
der Bewegungen durch spezielle Transformationen S. 188.
Kapitel VII : Die Beziehungen zwischen der elliptischen, eukli-
dischen und hyperbolischen Geometrie. 188-211
§ 1. Die Sonderstellung der drei Geometrien. . . . . . . . . 188
§ 2. Der Obergang von der elliptischen fiber die euklidische zur
hyperbolischen Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . 190
§ 3. Die Darstellung der elliptischen und hyperbolischen Geo
metrie auf der euklidischen Kugel von reellem und imaginarem
Radius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
§ 4. Herleitung der Formeln der elliptischen und hyperbolischen
Geometrie aus denen der Geometrie auf der euklidischen
Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Trigonometrische Formeln S. 195. - Grenzllbergang zur euklidischen
Geometrie S. 198. - Formeln fllr Kreisumfang und -inhalt S.198.
§ 5. Winkelsumme und Inhalt des Dreieckes 200
Die elliptische Geometrie S. 200. - Die hyperbolische Geometrie
S.201. - Die euklidische Geometrie S.203. - Die Verallgemeine
rung auf hohere Dimensionenzahlen S. 203.
§ 6. Die euklidische und die beiden nichteuklidischen Geometrien
als System der MaBbestimmungen, die auf die AuBenwelt passen 205
Kapitel VIII: Besondere Untersuchung der beiden nichteukli-
dischen Geometrien. . . . . . . . . . . . .. 211-253
§ 1. Die elliptische und die hyperbolische Geometrie auf der
Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Die elliptische Gerade S.211. - Die hyperbolische Gerade S.213.
§ 2. Die elliptische Geometrie der Ebene . . . . . . . . . . 214
Allgemeines; Dualitat S.214. - Bewegungen S.214. - Einige
Sa.tze aus der Kreislehre S.216. - Die Kongruenzsa.tze S.217. -
Die Schnittpunkts!l.tze im Dreieck S.218. - AbschlieBende Be
merkungen S. 221.
Inhaltsverzeichnis. XI
§ j. Die hyperbolische Geometrie der Ebene. . . . . . . . . 221
Allgemeines; Parallelen S. 221. - "Ober senkrechte Gerade S. 222. -
Die Umlegungen S.224. - Die Bewegungen; ihre Klassifikation
nach Fixe1ementen; die Kreise S. 224. - AbschlieBende Be
merkungen S.227.
§ 4. Die Theorie der Kurven zweiten Grades in den ebenen nicht-
euklidischen Geometrien . . . . . . . 227
§ 5. Die elliptische Geometrie des Raumes
Allgemeines S. 233. - Die Cliffordschen Parallelen und Schie
bungen S. 233. - Beliebige Bewegungen. insbesondere Rotationen
S.237. - Die Hamiltonschen Quaternionen und die Gruppe der
elliptischen Bewegungen des Raumes S. 238.
§ 6. Die Cliffordsche Flache . . . . . . . . . . . 241
Ihre einfachsten Eigenschaften S. 241. - Die Differentialgeometrie
der Cliffordschen F1l!.che S.243. - Die Geometrie im GroBen auf
der Cliffordschen FlAche S.247.
§ 7. Die hyperbolische Geometrie des Raumes . . . . . . . . 249
Allgemeines S.249. - Die Bewegungeri. S.249. - Die Kuge1n
S. 252. - "Ober die analytische Darstellung der Bewegungen S. 253.
KapitelIX: Das Problem der Raumformen ....... 254-270
§ 1. Die Raumformen der ebenen euklidischen Geometrie. . . 254
Definition des Problems; die Zylinder- und die Kegelgeometrie
S. 254. - Die Raumform der Cliffordschen F1l!.che S. 256. - Zu
sammenhang mit der Gruppentheorie S.257. - Die Aufstellung
aller euklidischen Raumformen S. 258. - Der Zusammenhang
zwischen einander entsprechenden ein- und zweiseitigen Raum
formen S. 262.
§ 2. Die Raumformen der ebenen elliptischen und hyperbolischen
Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Die elliptischen Raumformen S. 264. - Die hyperbolischen Raum
formen S. 265.
§ j. Die Raumformen der dreidimensionalen Geometrien . . . 269
Dritter Teil: Die Beziehungen der nichteuklidischen
Geometrie zu anderen Gebieten.
Kapitel X: Die Geschichte der nichteuklidischen Geometrie ; Be
ziehungen zur Axiomatik und zur Differentialgeometrie 271-j06
§ 1. Die Elemente Euklids und die Beweisversuche des Parallelen-
axioms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
§ 2. Die axiomatische Begriindung der hyperbolischen Geometrie 274
§ j. Die Grundlagen der Flachentheorie. . . . . . . . . . . 277