Vorlesungen über Allgemeine Funktionentheorie und Elliptische Funktionen

545 Pages·1925·15.16 MB·German

by  Adolf Hurwitz

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BEROCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
GEMEINSAM MIT
W. BLASCHKE M. BORN C. RUNGEt
HAMBURG G{)TTINGEN G{)TTINGEN
HERAUSGEGEBEN VON
R. COURANT
G{)TTINGEN
BAND III
FUNKTIONENTHEORIE
VON
A. HURWITZ-R. COURANT
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
1929
VORLESUNGEN DBER
ALLGEMEINE
FUNKTIONENTHEORIE UND
ELLIPTISCHE FUNKTIONEN
VON
ADOLF HURWITZ
WElL. ORO. PROF. OER MATHE:VIATIK AM EIDGENOSSISCHEN
POLY TECHNIKUM ZORICH
HERAUSGEGEBEN UND ERGANZT DURCH EINEN ABSCHNITT DBER
GEOMETRISCHE
FUNKTIONENTHEORIE
VON
R. COURANT
ORO. PROF. OER MATHEMATIK AN OER
UNIVERSITAT GOTTINGEN
DRlTTE, VERMEHRTE
UND VERBESSERTE AUFLAGE
MIT 152 ABBILDUNGEN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
192 9
ISBN-13: 978-3-642-98539-3 e-ISBN-13: 978-3-642-99353-4
DOI: m 1007/978-3-642-99353-4
ALLE RECHTE, INSBESONDERE
DAS DER OBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN.
COPYRIGHT 1925 BY JULIUS SPRINGER IN BERLIN.
SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 3RD EDITION 1925
Aus dem Vorwort zur erste n Auflage.
Es bedarf kaum eines Wortes der Rechtfertigung, wenn neben
den schon vorhandenen funktionentheoretischen Lehrblichern nunmehr
die Vorlesungen von ADOLF HURWITZ liber allgemeine Funktionentheorie
und elliptische Funktionen erscheinen.
Der erste Abschnitt behandelt die allgemeine Theorie der ana
lytischen Funktionen einer komplexen Variablen. Der Aufbau dieser
Theorie wird im Geiste der WEIERSTRASzschen Ideenbildungen auf
arithmetischer Grundlage konsequent vollzogen. 1m zweiten Abschnitt
wird, ebenfalls von WEIERSTRASzschen Gesichtspunkten aus, eine knappe,
aber recht vollstandige und iibersichtliche EinfUhrung in die Theorie
der elliptischen Funktionen gegeben.
Bei aner inneren Konsequenz des so errichteten Gebaudes kann
der Lernende sich heute mit den Gesichtspunkten der WEIERSTRASZschen
Theorie allein nicht mehr begniigen. Hieraus ergab sich der Plan, in
einem selbstandigen Anhang eine EinfUhrung in den RIEMANN schen
geometrisch-funktionentheoretischen Gedankenkreis zu geben.
Das vorliegende Buch als Ganzes gibt, aus drri verhaltnismaDig
selbstandigen und fUr sich allein lesbaren Abschnitten bestehend,
einen einfUhrenden Uberblick iibrr die meisten wichtigen funktionen
theoretischen Gedankenreihen. - Dem Anfanger, drr dieses Buch zum
Selbststudium benutzen will, mag empfohlen werden, zugleich mit
dem erst en Abschnitt die ersten KapiteJ des dritten zu lesen.
Gottingen, im Juni 1922.
Aus dem VorW"ort zur zW"eiten Auflage.
Die vorliegende zweite Auflage unterscheidet sich von der ersten
in den beiden von HURWITZ herrlihrenden Abschnitten durch Verbesse
rung und Glattung von Einzelheiten.
Eine Umgestaltung von Grund aus dagegen hat der vom Unter
zeichneten herrlihrende Abschnitt liber geometrische Funktionentheorie
erfahren. Hierbei ist allerdings dieser Abschnitt in seinem Umfange
wesentlich angewachsen und hat sich zu einer selbstandigen Dar
stellung entwickelt, die in ihrem Charakter von der HURWITZschen
wesentlich abweicht. So wie das Buch jdzt vorliegt, hofk ich, daD
es als Ganzes - trotz der mit seiner Entstehung (und vielleicht der
Natur der Sache) zusammenhangenden Unhomogenitat - demLernenden
einen lebendigen Eindruck zugleich von der Vielgrstaltigkeit und der
Einheit unserer Wissenschaft vermitteln wird.
Gottingen, im Marz 1925.
R. COURANT.
Vorwort zur dritten Auflage.
Auch in der dritten Auflage haben die von HURWITZ herruhrenden
beiden ersten Abschnitte keine Anderungen erfahren, abgesehen von
Verbesserungen und Erganzungen in Einzelheiten. Der dritte Abschnitt
jedoch ist wiederum in vielen Punkten erweitert u~d umgestaltet worden.
Es soUodadurch erreicht werden, daB er eine wirklich vollstandig un
abhangig von den vorangehenden Abschnitten lesbare Darstellung der
Funktionentheorie vom geometrischen Standpunkt aus gibt und auch
den Zugang zu den neueren Spezialforschungen offnet. Eine kleine
Vermehrung des Umfanges war dabei nicht zu vermeiden.
Ich schulde einer Reihe von Fachgenossen fur Ratschlage und
sonstige Mithilfe herzlichen Dank, vor allem den Herren HARALD BOHR,
CARATHE;ODORY und V. D. WAERDEN. Ganz besonders aber muB ich
an dieser Stelle Herrn Dr. WERNER WEBER fUr seine selbstlose Hilfe
bei jeder kleinen und graBen mit der Herausgabe der Neuauflage ver
bundenen Muhe danken. Ohne diese Hilfe ware das Erscheinen des
Buches zum mindesten urn viele Monate hinausgezogert worden.
Gottingen, im Oktober 1929.
R. COURANT.
Inhaltsverzeichnis.
Erster Abschnitt.
Allgemeine Theorie der Funktionen emer komplexen
Ve rander lichen.
Ers tes Kapitel.
Die komplexen Zahlen.
Seite
§ 1. Begriff der komplexen Zahl . . . . . . . . . 1
§ 2. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen. Satze tiber den
absoluten Betrag . . . . . . . . . . . . . 4
3. Konvergente Zahlenfolgen. Die Zahlenkugel . . 8
4. Haufungswerte unendlicher Zahlenmengen II
5. Konvergenz der Reihen mit komplexen Gliedern 14
6. Komrlexe Variable und Funktionen derselben 17
7. GleichmaBige Konvergenz. . . . . . . . . 19
Z wei tes Ka pi tel.
Die Potenzreihen.
1. Konvergenzgebiet einer Potenzreihe 22
2. Bestimmung des Konvergenzradius. . 24
3. Das Rechnen mit Potenzreihen ... 26
4. Prinzip der Koeffizientenvergleichung. 30
5. Ausdehnung der erhaltenen Satze . 31
6. Die Umbildungen einer Potenzreihe 32
7. Die Ableitungen einer Potenzreihe . 34
8. Unmittelbare Fortsetzungen einer Potenzreihe . 36
9. Laurentsche Reihen. Ein Hilfssatz tiber Potenzreihen 38
Drittes Kapitel.
Der Begriff der analytischen Funktion.
§ 1. Monogene Systeme von Potenzreihen. 42
§ 2. Definition der analytischen Funktion. 43
§ 3. Eindeutige Zweige einer analytischen Funktion 44
§ 4. Beispiele. 47
§ 5. Die Elementarzweige und ihre singularen Punkte 51
§ 6. Der Fundamentalsatz der Algebra 54
§ 7. Singulare Punkte einer analytischen Funktion. 55
§ 8. Die singularen Stellen der ganzen und der rationalen Funktionen. 58
§ 9. Einige allgemeine Satze tiber analytische Funktionen 60
§ 10. Der WeierstraBsche Summensatz. 63
VIII Inhaltsverzeichnis.
Viertes Kapitel.
Untersuchung einiger spezieller analytischer Funktionen. Seite
§ 1. Die Exponentialfunktion 67
§ 2. Die trigonometrischen Funktionen 69
§ 3. Der Logarithmus ... 73
§ 4. Die allgemeine Potenz 78
Ftinftes Kapitel.
Die Integration analytischer Funktionen.
§ 1. GleichmaBige Stetigkeit und Differenzierbarkeit analytischer Funktionen 80
§ 2. Integration der Potenzreihen. . . . . . . . . . . 83
§ 3. Integration der Ableitung einer regularen Funktion 83
§ 4. Beispiele ........... 86
§ 5. Integration regularer Funktionen 89
§ 6. Der Satz von CAUCHY . . . . . 93
§ 7. Folgerungen aus dem Satz von CAUCHY. Der Satz von LAURENT. 95
§ 8. Die Residuen der analytischen Funktionen . . . . . . . . .. 101
§ 9. Bestimmung der Null- und Unendlichkeitsstellen einer Funktion 104
Sechstes Kapitel.
Die meromorphen Funktionen.
§ 1. Begriff der meromorphen Funktion 108
§ 2. Die meromorphen Funktionen mit endlich vielen Polen 109
§ 3. Die meromorphen Funktionen mit unendlich vielen Polen. Der Mittag-
Lefflersche Satz 109
4. Allgemeiner Ausdruck einer meromorphen Funktion mit unendlich
vielen Polen 112
§ 5. Der Fall einfacher Pole 113
§ 6. Beispiele 115
§ 7. CAUCHYS Methode der Partialbruchzerlegung 118
§ 8. Beispiele 120
§ 9. Ganze Funktionen mit vorgeschriebenen Nullstellen . 123
§ 10. Darstellung der meromorphen Funktionen durch ganze Funktionen 127
§ 11. Die Produktdarstellung der Gammafunktion 128
§ 12. Die Integraldarstellung der Gammafunktion 131
Siebentes Kapitel.
Die Umkehrung der analytischen Funktionen.
§ 1. Umkehrung der Potenzreihen 135
§ 2. Beispiele ....... . 141
Zweiter Abschnitt.
Elliptische Funktionen.
Erstes Kapitel.
Die doppeltperiodischen meromorphen Funktionen.
§ 1. Zur geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen 147
§ 2. Satze tiber die Perioden einer meromorphen Funktion 148
§ 3. Das Periodenparallelol{ramm .......... . 152
Inhalt sverzeichnis. IX
Seile
§ 4. Definition der elliptischen Funktionen. Der Kbrper K 154
§ 5. Allgemeine Satze iiber die Funktion.en flu) 156
§ 6. Die Funktion SJ (u) . . . . . . . 161
§ 7. Die Differentialgleichung von ~.) (u) . . 165
§ 8. Das Additionstheorem von ,\J (u) • . . 169
§ 9. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die p-Funktion 171
§ 10. Weitere Eigenschaften der Funktionen flu) . . . 174
§ 11. Die Funktion Cluj . . . . . . . . . . . . . . 175
§ 12. Darstellung der elliptischen Funktionen durch C( u) 177
§ 13. Die Funktion (f (u) . . . . . • . . . . . . . . . 179
§ 14. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die Funktion (f (u) 182
§ 15. Die Funktionen p(u), Cluj, (f(u) als Funktionen von u, WI' W2 184
Tabellarische Ubersicht zum 1. Kapitel . . . . . . . . . . .. 187
Zweites Kapitel.
Die Theta-Funktionen.
§ 1. Darstellung ganzer Funktionen mit einer gegebenen Periode 188
§ 2. Bezeichnungen . 190
§ 3. Die Funktion {}I (v) . 190
§ 4. Die Funktionen (fl (u), (f2 (u), (f3 (u) 193
§ 5. Die Funktionen {}2 (v), {}3 (v), {}o (v) 194
§ 6. Zusammenstellung 195
§ 7. Zusammenfassende Darstellung der {}-Funktionen. Die {}-Funktionen
als Funktionen von v und T • 196
§ 8. Verwandlungsformeln und Nullstellen cler vier {}-Funktionen 199
§ 9. Darstellung von er, c2, e3 und LJ durch die Nullwerte der f} 200
§ 10. Darstellung der {}-Funktionen durch unendliche Produkte 202
§ 11. Einige zahlentheoretische Anwendungen der erhaltenen Resultate 205
§ 12. Partialbruchzerlegungen von C( u) und \-l (u) als Funktionen von Z2.
Darstellungen von 1), g2' g3 . 207
. .
§ 13. Entwicklung von rj:}(u)-=--e~ . 210
Drittes Kapitel.
Die elliptischen Funktionen Ja cobis.
§ 1. Definition der Funktionen s (u), c (u), 4 (u) . . . . . 212
§ 2. Die Funktionen s(u), cluj, LJ (u) als elliptische Funktionen. 215
§ 3. Die Differ~ntialgleichungen von s (u), c (u), LJ (u) ..... 216
§ 4. Die Additionstheoreme von s (u), c (tt), LJ (u) ...... 216
§ 5. Die trigonometrischen Funktionen als Grenzfalle der Funktionen 5 (tt),
C (u), LJ (u) . . . . . . . . .. ............... 218
Viertes Kapitel.
Die elliptischen Modulfunktionen.
§ 1. Aquivalenz der GrbBenpaare und der GrbBen 219
§ 2. Die elementaren Modulformen 222
§ 3. Die absolute Invariante J (T) 223
§ 4. Auflosung der Gleichungen g2 (WI' W2) = a2, g3 (WI' W2) = a3 227
§ 5. Die Funktion )(2 (T) . 228
x
Inhaltsverzeichnis.
Fiinftes Kapitel.
Elliptische Gebilde.
Seile
§ 1. Das WeierstraBsche Gebilde 229
§ 2. Das Gebilde y2 = G (x) . 230
3
§ 3. Das Gebilde y2 = G4 (x) . . 231
§ 4. Das Legendresche Gebilde . 232
§ 5. Die Hauptform der Riemannschen Flache des. Gebildes y2 = G4 (x). 232
§ 6. Die zweiblattrige Form der Riemannschen Flache von y2 = G4 (x) 234
Sechstes Kapitel.
Elliptische Integrale.
§ 1. Definit ionen . . . . . . . . . . . . . 237
§ 2. Die unbestimmten elliptischen Integrale 238
§ 3. Die bestimmten elliptischen Integrale . 241
Sie ben tes Kapi tel.
Die Transformation der elliptischen Funktionen.
§ 1. Lineare Transformation der \VeierstraBschen Funktionen 245
§ 2. Lineare Transformati'on der {f-Funktionen . . . . . 246
§ 3. Transformation zweiter Ordnung . . . . . . . . . 249
§ 4. Zusammenhang zwischen den WeierstraBschen und den Jacobischen
elliptischen Funktionen. . . . . . . 251
5. Die Landensche Transformation. . . 252
6. Das arithmetisch-geometrische Mittel 254
Dritter Abschnitt.
Geomettische Funktionentheorie.
Erstes Kapitel.
Vorbereitende Betrachtungen.
§ 1. Komplexe Zahlen . . . . . 257
§ 2. Geometrische Grundbegriffe 261
§ 3. Kurvenintegrale. . . . 270
Zweites Kapitel.
Die Grundlagen der Theorie der analytischen Funktionen.
§ 1. Die Forderung der Differenzierbarkeit. . . . . . . . . . . . . . . 276
§ 2. Die inverse Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 279
§ 3. Das bestimmte Integral einer analytischen Funktion und seine Grund-
eigenschaften . . . . . . . .. ................ 280
§ 4. Der Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
§ 5. Integrale in mehrfach zusammenhangenden Bereichen. Der Cauchysche
Residuensatz . . . . . . . . . . 288
.§ 6. Beispiele. Elementare Funktionen . 290
§1. Die Cauchysche Integralformel 293
§ 8. Konforme Abbildung. . . . . . . 297
Inhaltsverzeichnis. XI
Drittes Kapitel.
Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel. Seite
§ 1. Der Satz vom arithmetischen Mittel. Prinzip vom Maximum und
Schwarzsches Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 300
§ 2. Abschatzungsformeln. Satz von LIOUVILLE . . . . . . . . .. 301
§ 3. GleichmaBige Konvergenz. Ein Konvergenzsatz von WElERSTRASZ. 302
§ 4. Die Taylorsche und Laurentsche Reihe. . . . . . . . . . . .. 305
§ 5. Anwendungen des Cauchyschen Integralsatzes und Residuensatzes. 309
§ 6. Das Haufungsstellenprinzip fiir analytische Funktionen. . . . .. 316
§ 7. Zusammenhang mit der Potentialtheorie . . . . . . . . . . .. 320
§ 8. Darstellung der analytischen Funktionen und der Potentialfunktionen
durch das Poissonsche Integral . . . . . . . . . . 321
§ 9. Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
§ 10. L6sung der Randwertaufgabe der Potentialtheorie fUr den Kreis 326
§ ll. Die Randwerte einer analytischen Funktion 330
§ 12. Str6mungen . . . . . . . . . . . . . . 335
Viertes Kapitel.
Spezielle Funktionen und ihre Singularitaten.
§ 1. Singularitaten und Kreuzungspunkte. . . . . . . . . . . . . . . 338
§ 2. Veranschaulichung der einfachsten Singularitaten und Kreuzungspunkte 342
§ 3. Lineare Funktionen 347
§ 4. Die Funktion \: = zn . . . . 355
5. Die Funktion C = ~ ( z + ~) 357
§ 6. Logarithmus und Exponentialfunktion 359
§ 7. Die trigonometrischen Funktionen . . 360
§ 8. Potenzen mit beliebigen Exponenten. Kreisbogenzweiecke 361
§ 9. Anhang. Raumgeometrische Deutung der linearen Substitutionen 363
Fiinftes Ka pi tel.
Analytische F ortsetzung und Riemannsche Flachen.
§ 1. Allgemeines iiber analytische Fortsetzung. . . . . . . . . . 369
§ 2. Das Prinzip der Stetigkeit und das Spiegelungsprinzip 372
§ 3. Der Gesamtverlauf der analytischen Funktionen und ihre Riemannschen
Flachen ......... . 376
4. Die algebrais',hen Funktionen . . . . . . . 384
Sechstes Kapitel.
Die konforme Abbildung einfach zusammenhangender
schlichter Gebiete.
§ 1. Vorbemerkungen und Hilfssatze. . . . . . 390
§ 2. Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes . 394
§ 3. Der Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . 398
§ 4. Randerzuordnung bei konformer Abbildung . 400
§ 5. Die Greensche Funktion und die Randwertaufgabe der Potentialtheorie 405
§ 6. Das alternierende Verfahren. Stetigkeitseigenschaften der Abbildungs-
funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . 407
§ 7. Verzerrungssatze . . . . . . . . . . . . . 414
§ 8. Anwendungen des Prinzips vom Maximum. 420