Table Of ContentMATHEMATISCHE STUDIENHEFT
für den mathematischen Unterricht an Höheren Schulen
HERAUSGEBER
Dr. habil. Hermann Athen Dr. phil. Georg Wolff
Oberstudiendirektor Oberstudiendirektpr i. R.
HEFT 2
Vorgriechisehe Mathematik II
Die Matliematik der Babylonier
von
Professor Dr. Kurt Vogel
Mit 37 Abbildungen
HERMANN SCHROEDEL VERLAG KG, HANNOVER
VERLAG FERDINAND SCHÖNINGH, PADER BORN
Dm AnOentitclbild: Lernbegierige (Schreiber),
AMyriache* Relief au* der Zeit Sanheribt oder
AtturhanipaU (ca. 680 v. Chr.)
Art Gallery in Glasgow
OET KONGELIGE 8IBL10TEK
K0RENMAVN
19S9 Printed in Germany
Alle Rechte, auch die des auszugsweisen Nachdrucks
und der photomechanisohen Wiedergabe, Vorbehalten
Herstellung: Vniversitätsdruckerei H. Stärtz.AC., Würzburg
BesteU-Nr. 3052
Inhaltsverzeichnis
Die Mathematik der Babylonier
j Seite
I. Einführung................................................................................................................. 5
1. Historischer Überblick........................................................................................ 5
2. Entwicklung der Schrift........................................................................................ 7
3. Ablösung des Sumerischen durch das Akkadische......................... 11
4. Die mathematischen Texte...............................................................................12
n. Zahl* und Maßsysteme............................................................................................15
1. Das gelehrte Sexagesimalsystem........................................................................15
2. Die frühen Entwicklungsstufen............................................................................17
3. Die babylonischen M aße....................................................................................19
4. Wie entstand das sexagesimale Positionssystem?..........................................23
m . Die Rechentechnik.....................................................................................................26
1. Addieren und Subtrahieren................................................................................26
2. Multiplizieren.........................................................................................................26
3. Dividieren..............................................................................................................28
4. Rechnimgsarten dritter Stufe............................................................................32
IV. Arithmetische Probleme............................................................................................35
1. Die Reihen..............................................................................................................35
2. Pythagoreische Zahlentripel................................................................................37
3. Aufgaben aus dem Alltag...................................................................................41
V. Babylonische Algebra................................................................................................45
1. Cleichimgen ersten Grades................................................................................45
2. Gleichungen zweiten Grades................................................................................48
3. Kubische Probleme und Gleichungen höheren Grades..................................58
4. Algebraische Aufgabensaunmlungen (Serientexte)..........................................60
5. Weitere algebraische Kenntnisse........................................................................61
VI. Die Geometrie der Babylonier................................................................................64
1. Was ist babylonische Geometrie ? ...................................................................64
2. Die ebenen Figuren............................................................................................67
3. Kannten die Babylonier die Ähnlichkeit ? .......................................................75
4. Die Körper.............................................................................................................79
Vn. Der allgemeine Charakter der babylonischen Mathematik..................................83
VlU. Übungen und Literatur.............................................................................................85
1. Übungen..................................................................................................................85
2. Literatur..................................................................................................................86
IX. Namen* und Sachregister........................................................................................88
Akkader u.
Uruk ür Assyrer Sonstige Herrschaften Texte
Babyloaier
Grabuogs-
schicht: Bilderschrift
3200
UruklY W irtschaftstexte
aus Uruk
3000
Uruk Wirtschaftstexte
III und II Djemdet-Nasr-Zeit aus
Djemdet-Nasr
2800
ca. 2800
Urukl 1. Dynastie
ea.SSO—400 von
2600
Jahre Ur Faro-Texte,
c«. 2500 jFara-Zeit Änderung der
ca. 2410 Fürsten v.Lagasch Schriftrichtung
2400
Lugalzag- I Urnansche, Eannatu
gizi 2251 Dyn. von ca. 2360 Entemena, Urakagina
2200 (2263/2239) Akkad I
Sargon I ca. 2140 ca. 2100
2038 (22S1/2196) I Gutäer I Gudea
2000 S.D.v.LTr 2039 von Lagasch Tabellentexte
Schulgi 1934 1937 Texte aus Susa
1920 Ibi-Sin 1. Dyn. Dyn.
1800 18061,6o6yi.D. von Isin von Larsa Altbabylonische
Hammurapi mathematische
(1704/1662) 1709 Texte
Sanuuiluna Aufstieg 1675
1600
(1661/1624) von Assur
07 1507 1507 (1531?)
Hethiter einige mathem.
1400
Kossäer in Babylon Texte u. Tabellen
(Kassiten)
1200
Nebukad-
nezar I Tiglatpi-1160
1000 (1146/1123) lesar I
(1112/1074)
800
Neubabyl. Assurbani-
s Reich pal (668/625)
Nabopolas-MiEnde des
600
sar, Nebu- j assyrisch. 539 Perser
ii^kadnezarll Reiches Kyros (558/529)
(604/562)
400
331 Alexander der Große einige mathem.
311 (336/323) Texte, bes. astro-
nom. Fortschritte
200
Selenkiden
±0 64 V. Chr. 75 n. Chr., letzter
Keilschrifttext
Abh. 1. Übersicht zur Geschichte Babyloniens.
Alle Daten vor 747 v. Qir. sind approximativ. So ist für Hammurapi zur Zeit der älteste
Ansatz 1792/1750, der jüngste 1704/1662 (nach E. Weidner).
Die Mathematik der Babylonier
I. Einführung ^
1. Historischer Überblick
Wie in Nordafrika sahen sich auch in Mittelasien die Bewohner gezwungen,
ihre allmählich versteppenden Wohnsitze im iranischen Hochland und in
Turkmenien zu verlassen und sich in den Flußgebieten des Indus, Oxus,
Euphrat und Tigris anzusiedeln. So sind wohl von Osten her die Sumerer,
ein Volk unbekannter Rasse, in das Zweistromland eingewandert, wo sie
bereits in der 2. Hälfte des 4. Jahrtausends v. Chr. eine bemerkenswerte
Kultur (Häuser- und Tempelbau, Kanäle, Keramik, farbige Mosaike mit
geometrischen Mustern, Bilderschrift) erreicht hatten. Ihre dicht bevölkerten
Wohnsitze in Südbabylonien erstreckten sich vom Persischen Golf, der sich
damals viel weiter nach Norden ausdehnte, sodaß Euphrat und Tigris ge
trennte Mündungen hatten, bis in die Gegend südostwärts des späteren
Babyion. Hier schloß sich Nordbabylonien, das Land Akkad^ an, das von
Semiten bewohnt war.
Babylonien zerfiel in einzelne Stadtstaaten, die von ziemlich selbständigen Für
sten regiert wurden, die aber einem Oberherrscher (König) unterstanden.
Die Residenz dieses Lehensstaate» wechselte, wenn ein mächtig gewordener
Fürst die alte Dynastie ablöste. So kennt man aus der Zeit nach der Sintflut
Dynastien von Kisch, Uruk (dem biblischen Erech), Ur (der Heimat Abra-
hams) Adab und andere (Abb. 2).
Aus dem 19. Jhdt. v. Chr. stammende Berichte weisen jedem Herrscher von
Kisch eine durchschnittliche Regierungszeit von 1000 Jahren zu; den 10 Köni
gen vor der Sintflut, die den biblischen 10 Urvätern entsprechen, werden
sogar 456000 Jahre angedichtet! Der letzte von ihnen, der fromme König
Ziusutra (Utanapischtim) von Schuruppak spielt in der babylonischen Über
lieferung die Rolle des biblischen Noah; er wurde mit seiner Familie und einem
Fährmann durch eine List des Gottes Ea vor der Flut gerettet.
Auf gesichertem historischen Boden stehen wir erst bei der 1. Dynastie von
Ur (ca. 2600 v.Chr.). Für die früheren Zeiten kann nur eine relative Zeit
berechnung aus den Grabungsschichten, aus der Verwendung bestimmter
Ziegel- und Schreibtafelformate, aus der Zahl und Veränderung der Schrift
zeichen und anderen Anhaltspunkten indirekt erschlossen werden. Mächtige
Herrscher in der 2. Hälfte des 3. Jahrtausends waren die Fürsten von Lagasch,
die nicht nur an die Erweiterung ihrer Herrschaft dachten (Besetzung von
Umma und Kisch, Züge nach dem Lande Mari, Kämpfe mit £/am), sondern
die auch bedeutende kulturelle Leistungen hervorbrachten (Tempel- und
6____ _____________________I. Einführung
Kanalbauten durch Urnansche und Entemena, von Urakagina durchgeführte
soziale Reformen). Urakagina erlag dem König Lugalzaggizi aus der 3. Dy
nastie von Uruk, der sich zum Beherrscher Cesamtbabyloniens machte und
bis an das Mittelländische Meer vordrang.
Die Macht der Sumerer wurde vorläufig gebrochen, als die semitischen Nord
babylonier auch den Süden des Landes in ihre Gewalt brachten. Ihr König
Sargon I (ca. 2251/2196) begründete die Dynastie der Akkader; er schuf ein
TepeSialk
GUTÄER
KOSSÄER
AK K /vb
V—°j^'sch ELAIU \
Babylon
Susa
■•fAdab'.
Ümma
^^LagaschTTetoA
Pulf Larsa (Senkereh.)
Tel el Obeuio o|j|^
Eridu“^
Abb. 2. Babylonien. Moderne Ortsnamen kursiv.
Weltreich, das auch Elam umfaßte und bis an das schwarze Meer und das
Mittelmeer reichte. Jetzt vollzog sich allmählich die Semitisierung Süd
babyloniens; doch haben die Akkader vieles von der sumerischen Kultur,
so auch die Schrift übernommen. Als gegen Ende des 3. Jahrtausends das
Reich zerfiel (Herrschaft der Gutäer) erhob sich der Süden zu einer nochmaligen
kurzen Blüte unter der 3. Dynastie von Ur, deren König Schulgi (2010/1963)
zu den bedeutendsten Königen Babylons gehört; bald darauf drangen die
Elamiter ein, die König Ibi-Sin (1940/1920) gefangen fortführten. Mit ihm
endigt die politische Geschichte der Sumerer.
Sr^-'
2. Die Entwicklung der Schrift
In Mittel- und Südbabylonien herrschten während der nächsten Jahr
hunderte nebeneinander die Dynastien von Isin und Larsa. In Nordbaby
lonien aber hatte sich um 1800 die 1. Babylonische Dynastie der semitischen
Amoriter festgesetzt, die aus Syrien eingedrungen warenT Ihr größter König
Hammurapi (ca. 1704/1662) vereinigte wieder ganz Mesopotamien und Syrien
zu einem gewaltigen Reich, um dessen Wohlfahrt (Bauten, Neuordnung der
Gesetze) er besonders bemüht war. Das sumerischc Element wurde immer
weiter zurückgedrängt; doch befaßten sich die Schulen mft der sumerischen
Sprache und dem Studium der literarischen Erzeugnisse. Auch weitaus die
Mehrzahl aller bekannten mathematischen Texte stammt aus jener Zeit.
Unter den Nachfolgern Hammurapis erlag das Reich bald dem Druck von
außen. Die indogermanischen Hethiter drangen vorübergehend in Babylon
ein, dann setzten sich die von Osten kommenden Kos sä er (Kassiten) für 400
Jahre in Babylonien fest; vor allem aber entstand in Assyrieu (Hauptstädte
Assur und Ninive) ein mächtiger Feind, dem Babylonien auf die Dauer
unterlag, wenn es sich auch manchmal noch — wie unter Nebukadnezar I
(ca. 1146/1123) — selbständig machen konnte. Unter den assyrischen Königen,
die nicht nur gewaltige Feldherrn waren, sondern sich auch den Werken des
Friedens widmeten, sind wegen ihrer Bibliotheksgründungen besonders her
vorzuheben Tiglatpilesar 1 (1112 1074) und Assurbanipal (668/625), der aus
allen Gebieten des Reiches zahlreiche Schrifttafeln Zusammentragen ließ und
so in seinem Palast in Ninive etwa 5000 Werke vereinigte, in denen die gesamte
Gelehrsamkeit Babyloniens enthalten war.
Die endgültige Vernichtung Elams durch Assurbanipal machte den Weg frei
für das Vordringen neuer indogermanischer Völkerwellen. Ninive unterlag
1. J. 612 den Medern und den mit ihnen verbündeten Babyloniern, die noch
für kurze Zeit ein Neubabylonisches Reich unter Nabopolassar (625/605) und
Nebukadnezar II zu Blüte brachten, bis dieses selbst i. J. 539 dem Perser
Kyros unterlag. Doch hat Babylon als kultureller Faktor unmittelbar weiter
gewirkt bis in die Zeit Alexanders des Großen und der Seleukiden hinein,
aus der noch viele keilschriftliche Texte mathematischen und vor allem
astronomischen Inhalts stammen, obwohl die babylonisch-assyrische Sprache
inzwischen vom Arämischen, Persischen und Griechischen verdrängt worden
war. Der letzte Keilschrifttext datiert aus dem Ende des 1. Jhdts n.Chr.
2. Die Entwicklung der Schrift^)
1. Bildschrift und Lautschrift. Aus dem Bestreben, bestimmte Tatsachen zur
Unterstützung des Gedächtnisses festzuhalten, ist in Südbabylonien in der
zweiten Hälfte des 4. Jahrtausends v.Chr. — etwas früher als in Ägypten —
die Schrift entstanden. Bei vielen Hunderten von Tontafeln, die in Uruk
von der Grabungsschicht IV an (ca. 3100 v.Chr.) gefunden wurden, handelt
*) Zur Entwicklung der Schrift und zur Sprache der archaischen Texte siehe vor allem Falken
stein, Archaische Texte aus Uruk, S. 13 ff.
8_____ ____________________f. Einführung__________________________
es sich um wirtschaftliche Aufzeichnungen, Lieferungen, Bestandsaufnahmen
und dergleichen, bei denen man meist nur die Zahlangaben erklären kann.
Texte ähnlichen Inhalts aus späterer Zeit stammen aus Djemdet-Nasr, Fara
(dem alten Schuruppak), Susa und Tejpe Sialk^) iin iranischen Hochland.
In einer Bildschrift kann man einen Gegenstand (oder auch einen einfachen
Gedanken) bildlich durch ein Wortzeichen darstellen; so bedeutet im Sumeri
schen „Wasser“, „Brot“ oder „umschließen“. Weitere Aus
drucksmöglichkeiten ergeben sich durch Zusammensetzen mehrerer Zeichen;
so gibt „Mund-}-Brot“ ; essen, „Himmel-f-Wasser“ ; Regen, „Auge +
Wasser“ ; weinen oder „Hacke-f graben“ : Kanal. Eine Aussage wie: „Der
Vogel im Wasser erblickt Getreide und, p.
£nßt es“ könnte so, wie die nebenstehende Vogel
Abbildung es zeigt, dargestellt worden
sein, wobei die Reihenfolge der Bilder noch Wasser
unwesentlich war. Aus diesem Bildbericht
allein kann freilich noch nichts über die ^ Auge
Sprache ausgesagt werden, die hier vor
liegt. Man kann das Geschriebene besten- ^ Getreidehalm
faUs richtig verstehen, aber nicht lesen, ob- ^ . c • i
wohl jedes der verwendeten Zeichen natür-
Hch seinen Lautwert hatte. Wird nun der ^
Lautwert eines Wortes (einer Silbe) auch zur Wiedergabe eines gleichlautenden
Wortes anderer Bedeutung verwendet, wie wir es bei den Ägyptern gesehen
haben (z.B. pr = „Haus“ und „gehen“), dann igt der Weg frei für den Aufbau
einer Lautschrift, mit der man jetzt auch die grammatikalischen Abwand
lungen darstellen kann. Für die Djemdet-Nasr-Texte sowie für die in den
Schichten Uruk III und II gefundenen Tafeln ist die Verwendung von Silben
zeichen nachgewiesen, aus denen hervorgeht, daß dort sumerisch gesprochen
wurde*). Es wurde z.B. das Wort „leben“ (= ti) durch das Bild des gleich
lautenden Wortes für „Pfeil“ wiedergegeben. Mit solchen Silbenzeichen allein
hätten die Sumerer ein vollständiges „Silbenalphabet“ (ab, eb, ib, ub, ba,
be, bi, bu usw. bis za, ze, zi, zu, az, ez, iz, uz) aufbauen können. Sie haben
diesen Schritt nicht getan, wie ja auch die Ägypter neben ihren Einkonso-
nantenzeichen („Buchstaben“) noch ihre anderen Bildzeichen beibehielten.
Immerhin wurde der sumerische Zeichenbestand in der Zeit von ca. 3100 bis
2300 v. Chr. von ursprünglich etwa 2000 auf etwa ein Drittel vermindert.
2. Schreibgerät und Schriftrichtung. Die Schriftzeichen wurden zuerst mit
einem spitzen Griffel (Abb. 3 a) in die Tontafel eingeritzt ^). Die Tafel wurde
*) Siehe Vogel, „Vorgriechische Mathematik I“, S. 16.
*) Fär die iUt^re Schicht IV ist es wahrscheinlich, so daß man annehmen darf, daß die Sumerer
et waren, die die Schrift erfunden haben. — Die Frage, ob schon vor den Sumerern in den ältesten
Städten des Landes Sumer, z.B. in Lagasch mit dem nichtsimierischen Namen Sir~purla, ein
anderes Volk existierte, das an der Entwicklung der Schrift oder der Maßsysteme beteiligt
war, ist ungeklärt. Siehe hierzu den S. 21, Fußnote 1 genannten Aufsatz von H. Lewy.
*) Wenn es sich nicht um Texte in Stein oder Metall handelte.
2. Die EfUwüJäung der Schrift
in waagrechte Bänder (a, b, in Abb. 4) mit von rechts nach Unks laufenden
Fächern (I, II, III) eingeteilt; in diesen wurden die Schriftzeichen (rechts
beginnend) in senkrechten Reihen eingetragen, wobei die Bilder ihre natür
liche Lage behielten. Bei späteren Texten, etwa von 2500 n.Chr. an, bemerkt
W
SchreibgrifTel Griffel zum Schreiben der Zahlen
senkrecht^ 10 60^ (bzw. WO)
schräg^! 60 (bzw. 300)
Abb. 3. Griffel der archaischen Texte (nach Falkenstein). Abb. 4. Einteilung der Schreibtafel.
man, daß eine Drehung^) der Schreibtafel um 90^^ gegen den Uhrzeiger er
folgte, so daß aus den bisherigen senkrechten Reihen von links nach rechts
geschriebene waagrechte Zeilen und aus den waagrechten Bändern senk
rechte Kolumnen wurden. Den Grund sieht man darin, daß der Schreiber
die Tafeln, die erheblich größer als früher geworden sind, nicht mehr bequem
in der Hand halten konnte, sondern auf die Unterlage auflegen mußte ^).
Die jetzt eingetretene unnatürliche Lage der Bilder auf dem Rücken stört
aber nicht weiter, da der Bildcharakter der Schriftzeichen dadurch verwischt
war, daß man gebogene Linien durch leichter zu schreibende gerade Striche
ersetzt hatte. Zu diesem Zweck war auch ein neuer Griffel®) eingeführt
w'orden (s. die Abbildung auf dem Buchumschlag), mit dem man sowohl
Keile wie Winkelhaken in das weiche Schreibmaterial leicht eindrücken
konnte. Unser voriges Beispiel sieht nach der Drehung jetzt folgendermaßen
aus (Abb. 5):
Dreht man z. B. Abb. 7 a um 90° im Uhrzeigersinn, dann sieht man die alte Anordnung.
*) Eigentlich beträgt, wie Falkenstein gezeigt hat, die Drehung nur 45°,
da die kleine Tafel schon immer schräg gehalten wurde wie hier:
Dabei wurde also in jedem Fach von links oben nach rechts unten ge
schrieben.
•) Der vome zu einem dreiseitigen Prisma ausgearbeitet war.
