Table Of ContentDortmunder Beiträge zur Entwicklung
und Erforschung des Mathematik-
unterrichts
Band 10
Herausgegeben von
S. Hußmann,
M. Nührenbörger,
S. Prediger,
C. Selter,
Dortmund, Deutschland
Eines der zentralen Anliegen der Entwicklung und Erforschung des Mathematik-
unterrichts stellt die Verbindung von konstruktiven Entwicklungsarbeiten und
rekonstruktiven empirischen Analysen der Besonderheiten, Voraussetzungen und
Strukturen von Lehr- und Lernprozessen dar. Dieses Wechselspiel fi ndet Ausdruck
in der sorgsamen Konzeption von mathematischen Aufgabenformaten und Unter-
richtsszenarien und der genauen Analyse dadurch initiierter Lernprozesse.
Die Reihe „Dortmunder Beiträge zur Entwicklung und Erforschung des Mathe-
matikunterrichts“ trägt dazu bei, ausgewählte Th emen und Charakteristika des
Lehrens und Lernens von Mathematik – von der Kita bis zur Hochschule – unter
theoretisch vielfältigen Perspektiven besser zu verstehen.
Herausgegeben von
Prof. Dr. Stephan Hußmann,
Prof. Dr. Marcus Nührenbörger,
Prof. Dr. Susanne Prediger,
Prof. Dr. Christoph Selter,
Institut für Entwicklung und Erforschung
des Mathematikunterrichts,
Technische Universität Dortmund
Katharina Kuhnke
Vorgehensweisen von
Grundschulkindern beim
Darstellungswechsel
Eine Untersuchung am Beispiel der
Multiplikation im 2. Schuljahr
RESEARCH
Katharina Kuhnke
Universität Dortmund, Deutschland
Dissertation Technische Universität Dortmund, 2012
Tag der Disputation: 24.10.2012
Erstgutachter: Prof. Dr. Christoph Selter
Zweitgutachter: Prof. Dr. Renate Rasch
ISBN 978-3-658-01508-4 ISBN 978-3-658-01509-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-01509-1
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Geleitwort
Die Nutzung verschiedener Darstellungsformen und der gelungene Wechsel
zwischen ihnen werden von Bildungsstandards und Lehrplänen über die gesamte
Schulzeit hinweg als bedeutsame zu erwerbende mathematische Kompetenzen
benannt und insbesondere auch in der Grundschule als unverzichtbar für den
Erwerb solider Zahl- und Operationsvorstellungen angesehen.
In ihrer Arbeit führte Katharina Kuhnke 15 Interviews mit Zweitklässlern durch,
in denen diese unterschiedliche Darstellungen zu Multiplikationsaufgaben mit
kleinen Faktoren zueinander in Beziehung setzen sollten, bevor die Multiplikati-
on im Unterricht thematisiert worden war. Diese wurden dann darauf hin analy-
siert, welche Kriterien Schülerinnen und Schüler dabei anwenden und wie sie
ihre Entscheidungen begründen.
In der Analyse wird deutlich, dass Darstellungswechsel aus epistemologischer
Sicht als Abgleich von Referenzkontexten verstanden werden, die zur Deutung
von Zeichen herangezogen werden, und als komplexe Prozesse des Deutens und
Herstellens von Verbindungen zu eigenen Referenzkontexten gelten können.
Darstellungswechsel sind notwendig und gleichzeitig anspruchsvoll für Lernen-
de, so die Autorin.
Frau Kuhnkes Analysen zeigen zudem klar auf, dass Schülerinnen und Schüler
hier durchaus unterschiedliche Kriterien heran ziehen. Sie fokussieren dabei auf
bestimmte Relationen, Einzelelemente, Anzahlen oder Ergebnisse, die mit ande-
ren Darstellungen abgeglichen werden. Auch arbeitet die Autorin klar heraus,
dass die gewählten Fokussierungen Momentaufnahmen sind, also miteinander
konkurrieren oder nebeneinander bestehen können.
Zwar gibt es bereits eine ganze Reihe von themenbezogenen Studien; die meisten
fokussieren jedoch zum ersten auf die Sekundarstufe I und befassen sich zum
zweiten hauptsächlich damit, ob der Darstellungswechsel gelingt. Insofern stößt
die vorliegende Studie in zweierlei Hinsicht in Forschungslücken: Erstens fokus-
siert sie auf eine ganz zentrale Thematik der Primarstufe, und zweitens werden
die Lösungs- und Argumentationsprozesse – und nicht nur deren Resultate –
analysiert.
Christoph Selter
Danksagung
Beim Lesen von Dissertationen verweile ich gern bei der Danksagung, da sich
hier meist zeigt, dass weitere Personen zum Gelingen der jeweiligen Arbeit bei-
getragen haben. Nicht anders ist dies auch bei meiner Arbeit.
Zunächst möchte ich mich bei Prof. Dr. Christoph Selter für die wissenschaftli-
che Betreuung meiner Dissertation und seine Unterstützung bedanken. Insbeson-
dere danke ich ihm für das mir entgegengebrachte Vertrauen und die Freiheit,
eigene Wege zu beschreiten.
Ebenso danke ich Frau Prof. Dr. Renate Rasch für das Interesse an meiner Arbeit
und die Bereitschaft, diese zu begutachten.
Prof. Dr. Marcus Nührenbörger danke ich für die hilfreichen Anregungen, insbe-
sondere bei den Analysen meiner Daten.
Anja Schlief und Lisa Tenbergen danke ich für das Transkribieren der Videos.
Ich danke den Kollegen am IEEM, die alle zu dem besonderen Arbeitsumfeld
dort beitragen, und der AG Primarstufe für ihre konstruktiven Anregungen.
Vor allem möchte ich mich bei Janina Klammt, Martin Reinold, Dr. Daniela
Götze, Dr. Tobias Huhmann, Dr. Andreas Marx und Heinz Laakmann bedanken.
Maren Laferi, Dr. Sabrina Hunke und Karina Höveler danke ich für die überaus
angenehme Büroatmosphäre und die vielen Gespräche auch über die Dissertation
hinaus. Ich habe mich bei und mit Euch sehr wohl gefühlt.
Besonderer Dank gilt Dr. Kathrin Akinwunmi und Jan Wessel, die mich nicht nur
beim Analysieren meiner Daten unterstützt, Korrektur gelesen und immer wieder
zum Reflektieren meiner Arbeit angeregt haben, sondern die mich auch in Mo-
menten der Unsicherheit zuversichtlich gestimmt haben.
Dem BMBF danke ich für die finanzielle Unterstützung und dem Deutschen
Institut für Internationale Pädagogische Forschung (dipf) für die Angebote zur
empirischen Bildungsforschung und die Möglichkeiten des Austauschs mit ande-
ren Doktoranden.
Zuletzt danke ich besonders meinem Mann Andreas, der mit viel Geduld Höhen
und Tiefen mit durchlebt und mich stets ermutigt hat. Danke!
Katharina Kuhnke
Inhalt
Geleitwort ............................................................................................................. V
Danksagung ...................................................................................................... VII
Abbildungsverzeichnis ..................................................................................... XV
Tabellenverzeichnis......................................................................................... XXI
Einleitung ............................................................................................................. 1
1 Zur Rolle von Darstellungen und Darstellungswechseln für das
Lernen von Mathematik .......................................................................... 7
1.1 Darstellungen ............................................................................................. 7
1.1.1 Formen von Darstellungen ................................................................... 8
1.1.2 Darstellungen als Lernhilfe .................................................................. 9
1.1.3 Darstellungen als Lernstoff................................................................. 14
1.1.4 Zwischenfazit ..................................................................................... 18
1.2 Darstellungswechsel ................................................................................. 19
1.2.1 Darstellungswechsel als Bestandteil mathematischen Denkens und
Handelns ............................................................................................. 19
1.2.2 Darstellungswechsel als didaktisches Prinzip..................................... 22
1.2.3 Darstellungswechsel als Lernziel ....................................................... 25
1.2.4 Darstellungswechsel als Indikator für Operationsverständnis ............ 2(cid:28)
1.2.5 Darstellungswechsel als Übersetzungsprozess ................................... 31
1.3 Zusammenfassung .................................................................................... 33
2 Zur Rolle von Darstellungen und Darstellungswechseln bei der
Multiplikation ......................................................................................... 35
2.1 Zur Bereichsspezifität des Darstellungswechsels ..................................... 35
2.2 Sachanalytische Aspekte zur Multiplikation natürlicher Zahlen .............. 36
2.3 Darstellungen der Multiplikation natürlicher Zahlen ............................... 40
2.3.1 Bildliche Darstellungen ...................................................................... 41
2.3.2 Mathematisch-symbolische Darstellungen ......................................... 46
X Inhaltsverzeichnis
2.3.3 Sprachlich-symbolische Darstellungen ............................................... 48
2.4 Tragfähiger Darstellungswechsel bei der Multiplikation ......................... 50
2.5 Zusammenfassung .................................................................................... 52
3 Darstellungswechsel aus produkt- und prozessorientierter Sicht –
Darstellung des Forschungsstands ........................................................ 53
3.1 Darstellungswechsel aus produktorientierter Perspektive ........................ 54
3.1.1 Representational Competence ............................................................. 55
3.1.2 Operations- und Zahlverständnis ........................................................ 58
3.1.3 Darstellungswechsel als Fähigkeitskonglomerat ................................ 66
3.1.4 Zwischenfazit ...................................................................................... 69
3.2 Darstellungswechsel aus prozessorientierter Perspektive ........................ 69
3.2.1 Problemlösen – Versprachlichen bildlicher Darstellungen ................. 70
3.2.2 Visuelle Strukturierungsfähigkeit ....................................................... 71
3.2.3 Rechenaufgaben und Muster .............................................................. 74
3.2.4 Zwischenfazit ...................................................................................... 76
3.3 Zusammenfassung .................................................................................... 76
4 Lerntheoretische Grundlagen ................................................................. 79
4.1 Zur besonderen Rolle von Darstellungen in der mathematischen
Kommunikation ........................................................................................ 79
4.1.1 Besondere epistemologische Situation der Mathematik ..................... 80
4.1.2 Interaktion mit mathematischen Darstellungen .................................. 85
4.1.3 Arbeiten in verschiedenen semiotischen Registern ............................ 87
4.2 Darstellungswechsel als Lernprozess ....................................................... 93
4.2.1 Darstellungswechsel aus sozial-konstruktivistischer Perspektive ...... 93
4.2.2 Darstellungswechsel aus epistemologischer Perspektive .................... 97
4.3 Zusammenfassung .................................................................................. 102
5 Forschungsdesign .................................................................................. 105
5.1 Von den Forschungsfragen zum Forschungsparadigma ......................... 105
5.2 Konzeption der Interviewstudie ............................................................. 109
5.2.1 Klinische Interviewmethode ............................................................. 110
Inhaltsverzeichnis XI
5.2.2 Interviewaufgaben ............................................................................. 112
5.2.2.1 Zur Auswahl der mathematisch-symbolischen
Darstellungen ......................................................................... 114
5.2.2.2 Zur Auswahl der bildlichen Darstellungen ............................. 115
5.2.2.3 Zur Auswahl der sprachlich-symbolischen Darstellung ......... 118
5.2.2.4 Interviewleitfaden ................................................................... 118
5.2.3 Erhebung der Daten .......................................................................... 126
5.3 Auswertung der Daten ............................................................................ 128
5.3.1 Allgemeines zur Datenauswertung ................................................... 128
5.3.2 Auswertung der Daten mit dem epistemologischen Dreieck ............ 129
6 Analyse der Vorgehensweisen beim Darstellungswechsel .................. 133
6.1 Wie können Darstellungswechsel aus epistemologischer Perspektive
beschrieben werden? .............................................................................. 134
6.1.1 Fallbeispiel Kieran ............................................................................ 135
6.1.2 Fallbeispiel Christos ......................................................................... 141
6.1.3 Zusammenfassung ............................................................................ 151
6.2 Welche Kriterien nutzen Kinder beim Darstellungswechsel? ................ 156
6.2.1 Fokussierung auf das Ergebnis ......................................................... 157
6.2.1.1 Wechsel zwischen mathematisch-symbolischer und
bildlicher Darstellung ............................................................ 158
6.2.1.2 Wechsel zwischen bildlicher und eigener mathematisch-
symbolischer Darstellung ...................................................... 160
6.2.1.3 Wechsel zwischen bildlichen Darstellungen .......................... 164
6.2.1.4 Wechsel zwischen sprachlich-symbolischer und eigener
bildlicher Darstellung ............................................................ 166
6.2.1.5 Zwischenfazit ......................................................................... 167
6.2.2 Fokussierung auf einzelne Elemente ................................................ 168
6.2.2.1 Wechsel zwischen mathematisch-symbolischer und
bildlicher Darstellung ............................................................ 169
6.2.2.2 Wechsel zwischen bildlicher und eigener mathematisch-
symbolischer Darstellung ...................................................... 175
6.2.2.3 Wechsel zwischen bildlichen Darstellungen .......................... 176
6.2.2.4 Wechsel zwischen sprachlich-symbolischer und eigener
bildlicher Darstellung ............................................................ 178
6.2.2.5 Zwischenfazit ......................................................................... 180
6.2.3 Fokussierung auf die Relation der Elemente .................................... 180
