Von der Dirac-Gleichung zur Quantenelektrodynamik: Eine verständliche Einführung für Studierende der theoretischen Physik

186 Pages·2015·1.813 MB·German

by  Carsten Kleppel (auth.)

BestMasters
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Carsten Kleppel
Von der
Dirac-Gleichung zur
Quantenelektrodynamik
Eine verständliche Einführung für
Studierende der theoretischen Physik
Carsten Kleppel
Mainz, Deutschland
BestMasters
ISBN 978-3-658-09482-9 ISBN 978-3-658-09483-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-09483-6
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Theoriesoftheknown,whicharedescribedbydifferentphy-
sical ideas may be equivalent in all their predictions and are
hence scientifically indistinguishable. However, they are not
psychologically identical when trying to move from that ba-
se into the unknown. For different views suggest different
kinds of modifications which might be made and hence are
not equivalent in the hypotheses one generates from them
in ones attempt to understand what is not yet understood.
- Richard P. Feynman 1966 in seiner Nobelpreisrede
Danksagung
Mein ganz besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Stefan Scherer, denn
ich verdanke ihm nicht nur eine interessante Themenstellung. Vielmehr
haterdieseArbeitmitseineraußerordentlichenGeduldundseinergroß-
artigen Betreuung erst ermöglicht hat.
Außerdem danke ich meiner Freundin Stephanie dafür, dass sie mich
mitunerschöpflicherAusdauerunderstaunlichemGleichmutüberdiege-
samte Zeit hinweg unterstützt, aufgefangen, motiviert, ge- und ertragen
hat.
Zu guter Letzt danke ich meinen Eltern, die mich bei jedem Schritt
auf meinem bisherigen Weg unterstützt und gefördert haben und ohne
deren Hilfe mein Studium nicht möglich gewesen wäre.
Carsten Kleppel
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis XIII
Tabellenverzeichnis XIII
1 Einleitung 1
1.1 Historischer Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Aufbau dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Die Dirac-Gleichung 7
2.1 Die Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Herleitung und Eigenschaften der freien Dirac-Gleichung . 14
2.2.1 Forderungen an die Dirac-Gleichung und Herleitung ihrer
Schrödinger’schen Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Definition der Dirac-Matrizen und kovariante Form der
Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Nachweis der Lorentz-Kovarianz der freien Dirac-Gleichung 19
2.2.3.1 Invarianz unter Raumspiegelung . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3.2 Invarianz unter Zeitspiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.4 Kontinuitätsgleichung und Wahrscheinlichkeitsdichte . . . . 26
2.2.5 Beschreibung des Spins in der Dirac-Theorie . . . . . . . . 29
2.3 Lösungen der freien Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 CharakterisierungderEbene-Wellen-LösungennachEnergie,
Impuls und Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Orthonormalitäts- und Vollständigkeitsrelationen. . . . . . 41
2.3.3 Wahrscheinlichkeitsdichtepositiv-undnegativ-energetischer
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Nichtrelativistischer Grenzfall und minimale Substitution . 44
2.5 Interpretation der Lösungen mit negativen Energien . . . . 47
2.5.1 Ladungskonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.2 Diracs Löchertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
X Inhaltsverzeichnis
2.5.2.1 Konsequenzen und Erfolge der Löchertheorie . . . . . . . . 56
2.5.2.2 Probleme der Löchertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.3 Feynman-Stückelberg-Interpretation . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.4 Antiteilchen und das CPT-Theorem . . . . . . . . . . . . . 63
2.5.5 Exkurs: Antiteilchen in der Schule . . . . . . . . . . . . . . 66
3 Eine Quantentheorie des Lichts 71
3.1 Maxwell-Gleichungen und Feldstärketensor . . . . . . . . . 72
3.2 Kanonische Quantisierung im ladungsfreien Raum . . . . . 73
3.2.1 Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes . . . . . . 73
3.2.2 Strahlungseichung, konjugierte Impulse und gleichzeitige
Vertauschunsrelationen im Ortsraum . . . . . . . . . . . . 74
3.2.3 Entwicklung des Strahlungsfeldes und
Vertauschungsrelationen im Impulsraum. . . . . . . . . . . 79
3.2.4 Teilcheninterpretation anhand der Hamilton- und
Impulsoperatoren des quantisierten Maxwell-Feldes . . . . 81
4 Feldquantisierung des Dirac-Feldes 87
4.1 Spin, Statistik und Teilcheninterpretation bei Fermionen . 88
4.2 Lagrange-Dichte und kanonisch konjugierte Impulse des
freien Dirac-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3 Erhaltungsgrößen des freien Dirac-Feldes . . . . . . . . . . 94
4.3.1 Hamilton- und Impulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.2 Gesamtladungsoperator des Dirac-Feldes . . . . . . . . . . 96
4.4 GleichzeitigeAntivertauschungsrelationenimOrtsraumund
Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5 Quantenelektrodynamik 101
5.1 Über die Eichinvarianz zur Lagrange-Dichte der
Quantenelektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Störungstheorie und Streumatrix . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.1 Hamiltonoperator der QED und Wechselwirkungsbild . . . 107
5.2.2 Dyson-Entwicklung der S-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.3 Kontraktionen, Feynman-Propagatoren und das
Wick’sche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3 Feynman-Diagramme und Regeln der
Quantenelektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3.1 Compton-Streuung im Ortsraum . . . . . . . . . . . . . . . 114
Inhaltsverzeichnis XI
5.3.2 Compton-Streuung im Impulsraum . . . . . . . . . . . . . 116
5.3.3 Feynman-Regeln der Quantenelektrodynamik . . . . . . . . 119
6 Zusammenfassung und Ausblick 123
A Längere Rechnungen und Beweise 129
A.1 Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.1.1 Herleitung der Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . 129
A.1.2 Herleitung der Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . 130
A.2 Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.2.1 Herleitung des Spinoperators und der
Vertauschungsrelationen der Pauli-Matrizen. . . . . . . . . 131
A.2.2 Orthonormalitäts- und Vollständigkeitsrelationen. . . . . . 133
A.2.3 Ableitung der Pauli-Gleichung aus der Dirac-Gleichung . . 136
A.3 Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.3.1 Anwendung des Hamilton’sche Prinzips auf das
elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.3.2 Umgekehrte Entwicklung des Strahlungsfeldes . . . . . . . 139
A.3.3 Vertauschungsrelationen der Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren des kanonisch quantisierten
Maxwell-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.3.4 Hamilton-undImpulsoperatordeskanonischquantisierten
Maxwell-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.3.5 Energie und Impuls erzeugter und vernichteter Teilchen . . 149
A.4 Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.4.1 Hamiltonoperator des quantisierten freien Dirac-Feldes . . 151
A.4.2 Gesamtladungsoperator des Dirac-Feldes . . . . . . . . . . 154
A.4.3 Energie, Impuls und Ladung erzeugter und vernichteter
Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.4.4 Gleichzeitige Antivertauschungsrelationen im Ortsraum . . 157
A.4.5 Beweis der relativistischen Kovarianz . . . . . . . . . . . . 159
A.5 Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.5.1 Schrödinger-Gleichung im Wechselwirkungsbild . . . . . . . 161
A.5.2 Lösung des Zeitentwicklungsoperators . . . . . . . . . . . . 161
A.5.3 BerechnungderÜbergangsamplitudederComptonstreuung
im Impulsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Literaturverzeichnis 167