Table Of ContentWISSENSCHAFT UND KULTUR
BAND 20
Georg P61ya
Vom Lösen
mathematischer
Aufgaben
Einsicht und Entdeckung, Lernen und Lehren
Band I
Ins Deutsche ilbersetzt von Lulu Bechtolsheim
2. Auflage 1979
Springer Basel AG
Authorized translation from English-language edition,
copyrighted 1961in theUnited States of America and published
byJohn Wiley& Sons,Inc., New York
CIP-Kurztitelaufnahme der DeutschenBibliothek
P6lya, Georg:
Vom Losen mathematischerAufgaben, Einsicht
u. Entdeckung, Lemen u.Lehren/Georg P6lya.
InsDt. fibers.von Lulu Bechtolsheim.- Basel,
Stuttgart, Birkhauser.
Einheitssacht.: Mathematical discovery (dt.)
Bd,1.- 2.Aufl.- 1979.
(Wissenschaftund Kultur; Bd. 20)
Nachdruck verboten
Aile Rechte vorbehalten, insbesondere das der
Ubersetzung infremde Sprachen und dieReproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm
© SpringerBaselAG 1979
UrspriinglicherschienenbeiBirkhauserVerlag,Basel1979.
Softcoverreprintofthehardcover2ndedition1979
ISBN978-3-0348-5312-5 ISBN978-3-0348-5311-8(eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5311-8
INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort zur deutschen Auagabe .••...•• ...•.••..............•.. 9
Winke fur den Leser ••••....•••.•.•......•....•..••.••..•.•• 17
Telll
Loaungsschemata
KAPITEL 1. Das SchemazweiergeometriacherOrter
1.1. GeometrischeKonstruktionen ............................. 21
1.2. Vom BeispielzumSchema................................ 22
1.3. Beispiele 23
1.4. Man nehmedie Aufgabe ala gelost,an 26
1.5. DasKonstruktionsschemaahnlicherFiguren ................ 29
1.6. Beispiele sd
1.7. Das SchemaderHilfsfiguren .............................. 36
AufgabenundBemerkungenzuKapitell,1.1-1.51[1.7,Bezeichnungen
1.15,DreiLeuchttiirme.1.42,EineSohwaohe. 1.44,Blicktmanzuriick
•... 1.45, Drei Horchposten. 1.46,UberdasSchemazweiergeometri
scher Orter.1.47, DasSchemadreiergeometrischerOrter.1.49,Uber
geometrische Konstruktionen. 1.50, Mehr Aufgaben. 1.51, Mengen.]
KAFITEL 2. Doe DeseartesscheSchema
2.1. Descartesund dieIdeeeineruniversellenMethode ....... 47
2.2. Eine kleineAufgabe 48
2.3. DasAufstellenvon Gleichungen ........................... 53
2.4. Aufgabenaus dem Unterricht 56
2.5. Aufgabensusder Geometrie 61
2.6. Eine Aufgabeaus der Physik 67
2.7. AufgabeimRii.tsel....................................... 70
2.8. Ratsel in derAufgabe .................................... 72
AufgabenundBemerkungenzuKapitel2,2.1-2.78(ErsterTeil,2.1bis
2.16; ZweiterTeil, 2.17-2.78)[2.10,EinAnalogonzudemHeronschen
Satz. 2.11, EinweiteresAnalogon zu dempythagoreischenLehrsatz.
2.12,NocheinAnalogonzu dempythagoreischenLehrsatz.2.13,Noch
ein Analogon zu dem Heronschen Sa.tz. 2.17,Vermischte Aufgaben.
2.28, Eine agyptische Aufgsbe,2.32, EbeneGeometrie.2.33,Newton
tiber das Aufstellen von Gleichungen bei geometrischen Aufgaben.
INHALTSVERZEICHNIS
2.46, RaumlicheGeometrie.2.54, EineUngleichung.2.55,DasSpharo
meter.2.56, GraphischerFahrplan.2.64,EbensovieleGleichungenwie
Unbekannte. 2.65, Mehr Gleichungen alsUnbekannte.2.67, Weniger
Gleichungen aIsUnbekannte.2.72, Die DescartesschenRegeln. 2.73,
ManlegedieAufgabefrei.2.74,EinaehlagigeKenntnisse.Mobilisierung
und Organisienmg. 2.75, Unabhangigkeitund Widerspruchsfreiheit.
2.76, Eindeutige Losung. Plausible Erwartung. 2.77, Warum ange
wandte Aufgabenf 2.78, Mehr Aufgaben.]
KAPITEL 3. Das Rekursionsverlahren
3.1. Die Geschichteeinerkleinen Entdeckung " 100
3.2. Vom Himmel gefallen 103
3.3. Wir konnen das nicht unangewandt lassen 105
3.4. DasRekursionsverfahren ................................. 108
3.5. Abrakadabra 110
3.6. Das Psscalsche Dreieck 114
3.7. Vollstandige Induktion 116
3.8. Entdeckungsmoglichkeiten ; 119
3.9. Wirentdecken, verallgemeinern, beweisen und beweisen
noch einmal 120
AufgabenundBemerkungenzu Kapite13,3.1-3.92(EraterTeil3.1bis
3.21; Zweiter Teil, 3.22-3.30; Dritter Teil, 3.31-3.55; Vierter Teil,
3.56-3.92)[3.2,EindemallgemeinenFallaquivelenterSpezialfall,3.21,
Zwei Formen vonvollstandigerInduktion.3.44, Trinomialkoeffizien
ten. 3.51, Leibnitz' harmonisches Dreieck.3.52, PascalundLeibnitz.
3.56, Potenzreihen. 3.61, Der binomische Satz fiir gebrochene und
negative Exponenten.3.65,ErweiterungdesDefinitionsbereichs.3.70,
DieMethodederunbestimmtenKoeffizienten.3.75,Umkehrungeiner
Potenzreihe. 3.81, Differentialgleichungen.3.91, VberdieZabln.3.92,
Mehr Aufgaben.]
KAPlTEL 4. Das S'liperpositionsverlahren
4.1. Interpolation 151
4.2. Einespezielle Situation................................... 154
4.3. Wir kombinierenspezielleFalle, urn den allgemeinenFall
zu behandeln 155
4.4. Das Schema 157
AufgabenundBemerkungenzuKapitel4,4.1-4.36(EraterTeil,4.1bis
4.16; ZweiterTeil,4.17-4.36)[4.11,LineareKombinationoderSuper
position. 4.12,HomogenelineareDifferentialgleichungenmitkonstan
tenKoeffizienten.4.14,HomogenelineareDifferenzengleichungenmit
konstantenKoeffizienten. 4.16, Superposition vonBewegungen.4.17,
DieMannigfaltigkeitderAnsatze.4.18,WasistdieUnbekanntef4.20,
INHALTSVERZEICHNIS
Hierist einemitdervorliegendenverwandteundbereitsgelosteAuf
gabe, 4.22, Mehr Wiesen kann helfen. 4.24, DiePriBmatoidenformel.
4.30, KeineKetteiststarker alsihrschwachsteaGUed.4.32, DieSimp
sonsche Regel. 4.36, Erweiterungdes Schemas.]
Tell 2
Aufdem Wegezu einer allgemeinenMethode
KAPITEL5. Aufga1>en
5.1. WasisteineAufgabe? 173
5.2. Die KlaBsifizierungvonAufgaben 175
5.3. Bestimmungsaufgaben 176
5.4. Beweisaufgaben 178
5.5. Die Komponentender Unbekannten, die Klauselnder
Bedingung.............................................. 180
5.6. Gesucht: einVerfahren 181
Aufgabenund Bemerkungen zu Kapitel5, 5.1-5.19 [5.8, Bestimmen
oderbeweiBen?5.9,MehrAufgaben.5.10,DesLosungsverfahrenkann
aus einer unbegrenzten Folge von Operationen bestehen. 5.11, Die
QuadraturdesKreises.5.12,ReihenfolgeundlogischeFolge.5.13,Eine
ungliickliche Zweideutigkeit. 5.14, Daten und Unbekannte, Vorsus
setzungund Behauptung. 5.15, Zahlen derDaten.]
KAPlTEL6. UmjQ,8sendereDeutung
6.1. UmfassendereDeutung des DescartesschenSchemas 191
6.2. Umfassendere Deutung des SchemaszweiergeometrischerOrter 196
6.3. MitwelcherKlausel soll manbeginnen? 203
6.4. Umfassendere Deutung des Rekursionsverfahrens 208
6.5. DieUnbekannte wird Schrittfur Schritt erobert............. 213
Aufgaben undBemerkungen zu Kapite16,6.1-6.25 [6.1,EineBedin
gung mit vielen Klauseln, 6.9, Man behaltenureinenTeil derBedin
gung bei. 6.10, Der Ariadnefaden. 6.18, Mehr Aufgaben. 6.19, Ein
ZwiBChenziel. 6.20, Graphische Darstellung. 6.21, Ein paarTypen
nichtmathematischerAufgaben.6.25,EineverfeinerteKlassifizierung.]
Losungen .......................•......•.................... 227
Anhang
Winke jilr Lehrer undLehrer vonLehrern ................•......, 305
Bibliographie 310
Inde» •................................•...........•...•.... 313
VORWORT ZUR DEUTSCHEN AUSGABE
Eine LOsungsmetlwdeist voll1commen, wenn wir von Anfang an voraus·
sehen. und sogarbeweisen konnen, dafJ WiT unser Ziel erreichen werden,
wenn WiT diese Methode befolgen.
LEIBNITz: Opuscules, S.161.
1.Eine Aufgabe losen heiBt, einen Auswegaus einer Schwierigkeit
finden, einen Weg um ein Hindernis herum entdecken, ein Ziel er
reichen, das nicht unmittelbar erreichbar war. Das Losen von Auf
gaben ist die spezifischeLeistung der Intelligenz, und Intelligenz ist
diespezifischmenschliche Gabe: Das LosenvonAufgaben kannuuter
allen Tiitigkeiten des Menschen ala diejenige angesehen werden, die
fur ihn am charakteristischstenist, Es ist das ZieldiesesWerkes, Ver
stiindnisfiir dieseTiitigkeit zu wecken,Mittel und Wegezum Lehren
des Aufgabenlosena darzubieten und schlieBlichdem Leser zur Ent
wicklung seiner Fiihigkeiten aufdiesem Gebiet zu verhelfen.
2. Dieses Werk besteht aus zwei Teilen; ich willkurz ihre Rollen
kennzeichnen.
Das LosenvonAufgaben isteinepraktischeKunstwieSchwimmen
oder Skilaufen oder Klavierspielen: Sie liiBt sich nur durch Nach
ahmung und Ubung erlernen. Dieses Buch kann dem Leser keinen
Zauberschliissel in die Hand geben, der aIle Tiiren offnet und aIle
Aufgabenlost, aberesbietetihm guteBeispielezur Nachahmungund
reichliche Gelegenheit zur Ubung: Wer schwimmen lernen will, muB
ins Wasser gehen, undwerAufgaben losenlernen will,muBAufgaben
Iosen.
Willman moglichst viel Nutzen sus seinen Bemiihungenziehen, so
achte man beider Bearbeitungjeder Aufgabe aufsolcheZiige,die bei
derBehandlungspiitererAufgabenniitzlichseinkonnten.EineLosung,
dieman ohnefremde Hilfegewonnenhat,oderderen Darstellungman
10 VORWORT
zwarnurgelesenodergehortabermitechtemInteresseundwirkIicher
Einsicht verfolgt hat, kann zu einem Schema werden, zu einem Vor
bild, das sich bei der Losung ahnlicher Aufgaben mit Vorteil nacho
ahmen laBt. Teil 1 setzt sioh zum Ziel, den Leser mit einigen der
artigen besonders niitzlichen Schemata bekanntzumachen.
Es mag leicht sein, die LOsungeiner Aufgabe nachzuahmen, wenn
man eineihrsehr ahnliche zulosenhat;einesolcheNachahmungwird
sehwierigeroderkaummoglichsein,wennkeine sostarkeAhnIichkeit
vorliegt. Auch ist ein Verlangen nach etwas, was mehr ist als bloBe
Nachahmung, tief verwurzelt in der menschlichen Natur: ein Ver
langen nach einem Verfahren, das, von Einschrankungen frei, aile
Probleme, aile Aufgaben im weitesten Sinn losen kann. Dieses Ver
langen mag bei vielen Menschen dunkel bleiben, aber es tritt in ein
paarMarchen- derLesererinnertsiohvieileicht andieGeschichtevon
dem Zauberwort, das aileTiiren offnet - und in denSchrifteneiniger
Philosophen zutage. Descartes hat sioh intensiv mit der Idee einer
universellen Methode zur Losung ailer Probleme befaBt,und Leibnitz
hat die Idee einer vollkommenen Methode sehr klar formuliert. Aber
die Suche nach einer universeilen vollkommenen Methode ist ebenso
erfolglos geblieben wie die Suche nach dem Stein der Weisen, der
niedrige Metailein Goldverwandelnsoilte; esgibtgroBeTraume, die
Traume bleiben mtissen. Dennoch iiben solche unerreichbaren Ideale
ihrenEinfluBaus: Es hatnoch niemandden Polarstemerreicht, aber
vielehabensiohnachihmgerichtetundsodenrichtigenWeggefunden.
Auch dieses Buch kann keine universeile vollkommene Methode zur
Losung von Aufgaben darbieten (und kein Buch wird sieje darbieten
konnen), aber selbst ein paar kleine Schritte, die wir nachdiesem un
erreichbaren Idealhin machen, konnen unseren Geist klaren und una
zu besseren Leistungen im Aufgabenlosen befshigen. Teil 2 steilt
einigesolcheSchritteim UmriBdar.
3.DieUntersuchung,welchedasvorliegendeWerkinAngriffnimmt,
die Untersuchung der Mittel und Methoden des Aufgabenlosens,
will ich Heuristik nennen. Der Terminus Heuristik, den manche
friihere Philosophen beniitzt haben, ist heutzutage halb vergessen
und halb in MiBkredit geraten, aber ich scheue mich nicht, ihn zu
gebrauchen.
VORWORT 11
'I'atsachllchbietetdas vorliegende Werkvorwiegendeinen mensch
lich-naheliegendenpraktischenAspektder Heuristikdar: Ichbemfihe
mich auf jede Art, den Leser dazu anzuspornen, Aufgaben zu losen,
und tiber die Mittel und Methoden nachzudenken, die er hierbei be
nutzt,
In den meisten Kapiteln ist der Hauptteil des Textes der ausfuhr
lichen Darstellung der L6sungen von ein paar Aufgaben gewidmet.
Die Darstellung mag einem Mathematiker, der sich nicht fiir Metho
disches interessiert,zu weitlaufigerscheinen.Aber was hier dargestellt
wird, sindtatsachlichnichteinfachLosungen,sonderndieEntstehungs
geschichten von Losungen, Eine solche Entstehungsgeschichte be
schreibt die Reihenfolge der wesentlichen Schritte, durch welche die
Losung schlieBlich gefunden wurde, und versucht, die Motive und
Einstellungen aufzudecken, die zu diesen SchrittenAnlaBgaben.Eine
solche sorgfaltige Beschreibung eines speziellen Falles hat zum Ziel,
eine allgemeine Anweisung anzudeuten, oder ein allgemeines Schema
an die Handzugeben, wonachsich der Leser in ahnlichenSituationen
richten kann. Die explizite Formulierung einer solehen Anweisung
oder eines solchen Schemas wird im allgemeinen einem besonderen
Abschnitt vorbehalten, aber vorlsufige Formulierungsansdtze finden
sich gelegentlichzwischen die EinzelheitenderEntstehungsgeschichte
eingestreut.
Auf[edes Kapitel folgen Aufgaben und Bemerkungen, Der Leser,
der sich mitdiesen AufgabenbefaBt, hatGelegenheit, dieim Textdes
Kapitels gemachten Bemerkungen tiber Methodisches anzuwenden,
zu klaren und weiter zu vertiefen. Die zwischen die Aufgaben ein
gestreutenBemerkungenenthaltenErweiterungenoder beilauflge Be
obachtungenoder Hinweiseauf(fiirden Textweniger geeignete) tech
nische Einzelheiten oder Feinheiten,
IchweiBnicht, wie weit esmir gelingen wird, aberich habe mir alle
erdenkliche Miihe gegeben, den Leser zur tatigen Mitarbeit heran
zuziehen. Ichhabeversucht,im Druckniederzulegen,wasauchimmer
an Darstellungsweisen mir in meinen Vorlesungen am wirksamsten
erschien. Ich habe versucht, den Leser durch die Entstehungsge
schichten mit der Atmosphere der Forschung vertraut zu machen.
Durch die Auswahl, Formulierung und Disposition der beigegebenen
