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VO Algebra im Uberblick
(Modul:“U¨berblickeu¨berTeilgebietederMathematik”(UEB))
Markus Fulmek
Wintersemester2014/15
Der vorliegende Skriptums–Entwurf basiert auf den Vorlesungen “Algebra im
U¨berblick” von Professor Dietrich Burde [2]und Professor LeoSummerer [15].
IchsetzehierGrundkenntnisseausdenGebietenLineareAlgebra,Zahlentheo-
rie und Algebra voraus, wie sie in den Vorlesungen “Einfu¨hrung in die linea-
re Algebra und Geometrie”, “Zahlentheorie”, “Algebraische Strukturen” und
“Algebra”vermitteltwerden.UmdasVersta¨ndnisdeshierbehandeltenStoffes
zuerleichtern, wiederhole ich im AnhangA dieses Skriptums ausgewa¨hlte The-
menausden genannten Gebieten;ohne jeden Anspruch aufVollsta¨ndigkeit.
Am Ende dieses Skriptums–Entwurfs findet sich ein Literaturverzeichnis, ein
IndexderverwendetenBegriffensowieeinVerzeichnisderverwendetenNota-
tionen und Abku¨rzungen
In der vorliegenden Version (2015–01–26) habe ich viele Tippfehler und einige
sinnsto¨rende Fehler ausgemerzt: Es gibt aber sicher weitere Fehler und Unge-
reimtheiten, die ich noch nichtbemerkt habe: Fu¨rdiesbezu¨gliche Hinweise bin
ich sehrdankbar.
Universita¨tWien,Wintersemester2014 Markus Fulmek
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1. Gruppenwirkung und Symmetrie 1
1.1. Gruppenwirkungen 1
1.1.1. WirkungeinerGruppe aufsich selbst durch Konjugation 7
1.1.2. Die (endliche)Diedergruppe 8
1.2. Die Sylow–Sa¨tze 9
1.2.1. AnwendungendesSylowsa¨tze 12
1.3. Isometriegruppen desEuklidischen Raumes 13
1.4. Symmetriegruppen von Ornamenten im R2 17
1.4.1. Klassifikation derOrnamentgruppen 19
1.4.1.1. Isometrien derEbene:Lineare Algebra 21
1.4.1.2. Isometrien derEbene:Elementare Geometrie 21
1.4.1.3. Ornamentgruppen im Rn: Kristallographischen Gruppen 25
1.4.1.4. Konjugationsklassen endlicherUntergruppen von GL (Z) 27
2
Kapitel 2. Polynomringe und Gro¨bnerbasen 33
2.1. Polynomringe: Teilbarkeit, Nullstellen 33
2.2. Polynome in mehreren Variablen 37
2.2.1. Polynomiale Gleichungssysteme 37
2.3. Idealein Polynomringen in mehreren Variablen 39
2.4. Monomordnungen 40
2.4.1. VerschiedeneMonomordnungen 40
2.5. Dicksons Lemma 42
2.6. Divisionsalgorithmus fu¨r Polynome in mehreren Variablen 44
2.7. Monomideale, Gro¨bner Basen &Buchberger–Algorithmus 46
2.7.1. Monomideale 46
2.7.2. Hilberts Basissatz 48
2.7.3. Gro¨bnerbasen 49
2.7.4. Buchbergers Algorithmus 50
2.7.5. ReduzierteGro¨bnerbasen 56
2.7.6. Gro¨bnerbasen und Systeme von Polynomgleichungen 58
Kapitel 3. Endliche Ko¨rper undCodierungstheorie 61
3.1. Endliche Ko¨rper 61
3.1.1. Einheitswurzeln und zyklotomische Polynome 61
3.1.2. Endliche Ko¨rper 63
3.1.3. Faktorisierung von Polynomen u¨berZ (p P) 67
p
∈
3.1.3.1. Elementare Ansa¨tze 68
3.1.3.2. DerBerlekamp–Algorithmus 69
3.2. Codierungstheorie 73
3.2.1. Grundlegende Definitionen 75
iii
iv INHALTSVERZEICHNIS
3.2.2. Lineare Codes 79
3.2.2.1. Perfekte lineare Codes 85
3.2.2.2. Nichttriviale perfekte lineare Codes 86
3.2.3. Zyklische Codes 88
3.2.3.1. Zyklische Codes, dievon einemIdempotenterzeugt werden 93
3.2.3.2. Zyklische Codes: “Abgeschlossen” unter Dualisierung 94
3.2.3.3. Reformulierung mitdemalgebraischen Abschluß 95
3.2.3.4. Zyklische Hamming–Codes 96
3.2.4. BCH–und Reed–Solomon–Codes 98
3.2.4.1. Reed–Solomon–Codes 101
3.2.5. Quadratische–Reste–Codes(QR–Codes) 103
3.2.5.1. Konstruktion desterna¨ren Golay–CodesalsQR–Code 105
AnhangA. Grundlagen 111
A.1. Allgemeines 111
A.2. Elementare Zahlentheorie 112
A.3. Algebra 117
A.3.1. Gruppen 118
A.3.2. Ringe 129
A.3.2.1. Teilbarkeitin kommutativen Ringen 132
A.3.3. Ko¨rper 135
A.3.3.1. Erweiterungsko¨rper und Zerfa¨llungsko¨rper 138
A.3.4. Polynome 138
A.4. Lineare Algebra 144
Anhang. Literaturverzeichnis 147
Anhang. Index 149
Anhang. Verzeichnisvon Symbolen und Abku¨rzungen 153
Glossar 153
KAPITEL 1
Gruppenwirkung und Symmetrie
1.1. Gruppenwirkungen
DEFINITION 1.1.1 (Wirkung einer Gruppe). Sei G = (G, ) eine Gruppe, deren
·
neutrales Elementwirmit bezeichnen,und sei S eine Menge.Eine Abbildung
n
G S S,
× →
diewirwiefolgtnotieren
(g,s) g s S,
7→ · ∈
nennt maneineWirkung(oder Aktion oderOperation) von G auf S, fallsgilt:
fu¨ralle g,h G und alle s S ist g (h s) = (g h)s,
• ∈ ∈ · · ·
fu¨rdas neutrale Element G und alle s S ist s = s .
• n ∈ ∈ n·
Eine Menge S, auf der eine Gruppe G operiert (oder agiert oder wirkt), heißt auch G–
Menge.
BEISPIEL 1.1.2. DieGruppeGLn(K) der invertierbarenn n–Matrizen u¨ber einem
×
Ko¨rperK operiertauf demVektorraum Kn durch Matrixmultiplikation
(A,x) A x.
7→ ·
BEISPIEL 1.1.3. JedeGruppeGoperiertaufjederMengeSdurchdietrivialeOperation:
g s = s fu¨r alle g G und alle s S.
· ∈ ∈
BEISPIEL 1.1.4. Die symmetrische Gruppe Sn operiert durch Permutationen auf der
ZiffernmengeS = 1,2,...,n .
{ }
BEISPIEL 1.1.5. JedeGruppe G operiertaufsichselbstdurchKonjugation: Fu¨r S = G
istdieWirkung (g,s) g s g 1.
−
7→ · ·
BEISPIEL 1.1.6. Die Gruppe SL2(C) der komplexen 2×2 Matrizen A = ac db mit
Determinante det(A) = 1 operiert auf der Riemannschen Zahlenkugel C = C
(cid:0) (cid:1) ∪
∞ durchMo¨biustransformation
{ }
a z+b
(A,z) A z = · .
7→ · c z+d
·
Dabeigilt A ∞ = a/c (=: ∞fu¨rc = 0)und A ( d/c) = ∞.DieEinheitsmatrixE
· · −
operiertdurch E z = 1z+0 = z. Fu¨r zwei Matrizen A = a b , B = α β rechnet
· 0·z+1 c d γ δ
·
(cid:16) (cid:17)
1 (cid:0) (cid:1)
2 1.SYMMETRIE
mannach:
αz+β
a +b
αz+β γz+δ
A (B z) = A =
· · · γz+δ (cid:16)αz+β(cid:17)
(cid:18) (cid:19) c +d
γz+δ
(cid:16) (cid:17)
(aα+bγ)z+(aβ +bδ)
=
(cα+dγ)z+(cβ+dδ)
aα+bγ aβ+bδ
= z
cα+dγ cβ+dδ ·
(cid:18) (cid:19)
= (A B) z.
· ·
DEFINITION 1.1.7 (Symmetrische Gruppe). Es bezeichne SS die Menge aller Bi-
jektionen S S. S bildet eine Gruppe mit der Komposition von Funktionen, die
S
→
Symmetrische Gruppe. Wenn S eine endliche Menge mit S = n N ist, dann
| | ∈
ko¨nnen wir S mit [n] = 1,2...,n identifizieren und bezeichnen die symmetrische
GruppeindiesemFall mit{S (wie u¨}blich;stattS ).
n [n]
PROPOSITION 1.1.8. SeiGeineGruppe,dieaufeinerMengeSoperiert.Fu¨rjedesg
∈
G bezeichne L(g) die Wirkung s g s des Gruppenelements g auf S: Offenbar ist
7→ ·
L(g) : S S eine Bijektionvon S, mitinverserAbbildung L g 1 . DieAbbildung
−
→
L : G SS; g L(g) (cid:0) (cid:1)
→ 7→
isteinGruppenhomomorphismus.
IstumgekehrteinGruppenhomomorphismus
θ : G S
S
→
gegeben,sooperiertdieGruppe G auf S durch (g,s) θ(g)s.
7→
BEWEIS. Nach Definition einerGruppenwirkung ist
L( ) = id,
• n
L(g) (L(h) s) = L(g h) s fu¨ralle g,h G und s S.
• · · · · ∈ ∈
(cid:3)
Dasistgleichbedeutend damit, daß L einGruppenhomomorphismus ist.
DEFINITION 1.1.9. EineWirkungvon G auf S heißttreu, fallsderHomomorphismus
L : G S injektiv ist:
S
→
g s = s fu¨r alle s S = g = .
· ∈ ⇒ n
Zum Beispieloperiertfu¨reine beliebigeMenge S jedeUntergruppevonS treuauf S.
S
DEFINITION 1.1.10 (Bahn oder Orbit). Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge S
operiert;sei X S und s S.
⊆ ∈
DieMenge
G s := g s: g G S
· { · ∈ } ⊆
heißt die Bahn oder der Orbit von s (unter der Wirkung von G). Wenn man betonen
mo¨chte,daßdieGruppe G wirkt, sagtmanauch G–Bahnoder G–Orbit.
DieFamilieallerOrbits
G s: s S
{ · ∈ }
bezeichnenwirmit S/G.
1.1.GRUPPENWIRKUNGEN 3
Fu¨r g G bezeichnenwir mit g X die Menge
∈ ·
g X := g x: x X .
· { · ∈ }
DannheißtdieMenge
stb (X) := g G: g X = X G
G
{ ∈ · } ⊆
derStabilisatorderMengeX.WennX einpunktigist(alsoX = x ),dannschreiben
{ }
wir statt stb ( x ) ku¨rzer stb (x). Der zu stb (x) “duale” Begriff ist die Menge
G G G
{ }
der Elemente in S, die von einem festen Element g G fixiert werden: Wir nennen
∈
dieseElementedieFixpunkte von g und bezeichnenihreMenge mit
fxp (g) := x S: g x = x .
S { ∈ · }
Die Teilmenge X S heißt invariant unter der Wirkung von G (oder kurz G–
⊆
invariant), wenn G x X fu¨r alle x X: In diesem Fall wirkt G auch auf der
· ⊆ ∈
Teilmenge X, mannennt diesdieinduzierte Wirkungvon G auf X S.
⊆
Das Element s S heißt ein Fixpunkt unter der Wirkung von G, wenn g s = s fu¨r
∈ ·
alle g G: Das ist a¨quivalent mit stb (s) = G bzw. mit G s = s . Die Menge
G
∈ · { }
dieserFixpunkte bezeichnenwirmitfxp (G).
S
DieWirkung von G heißttransitiv, fallsesein s S gibtmitS = G s.
∈ ·
DerOrbit G s S ist diekleinste G–invariante Teilmengevon S, die s entha¨lt.
· ⊆
Wenn G auf S operiert, dannist dieRelation auf S
∼
s t : g G: t = g s t G s G t = G s
∼ ⇐⇒ ∃ ∈ · ⇐⇒ ∈ · ⇐⇒ · ·
eineA¨quivalenzrelation, wie man ganz leichtsieht:
s s, denn s = s: Reflexivita¨t,
• ∼ n·
s theißt,esgibteingmitt = g s:Dannistabers = s = g 1 g
−
• ∼ · n· · ·
s = g 1 (g s) = g 1 t, also t s: Symmetrie,
− · · − · ∼ (cid:0) (cid:1)
r s und s t bedeutet,esgibt g,h G mits = g r undt = h s,also
• ∼ ∼ ∈ · ·
t = h (g r) = (h g) r, also r t: Transitivita¨t.
· · · · ∼
DieA¨quivalenzklassendieserRelation sindgenaudieG–Orbits:Diesebilden
∼
einePartitionvon S. Wirhalten dieseeinfache Beobachtung fest:
BEOBACHTUNG 1.1.11. Sei S eine endliche Menge, auf der eine Gruppe G wirkt.
Danngilt
S = ∑ O . (1.1)
| | | |
O S/G
∈
(DieSummela¨uftu¨ber alle Orbits.)
Damitko¨nnen wir zeigen:
SATZ 1.1.12 (Cauchy). Sei G eine endliche Gruppe, und sei p P ein Teiler der
∈
Gruppenordnung G . Dannentha¨lt G einElementderOrdnung p.
| |
4 1.SYMMETRIE
BEWEIS. SeiS = g = g0,g1,...,gp 1 Gp: g0 g1 gp 1 = .Esgilt S =
− ∈ · ··· − n | |
p 1
G − , dennwir(cid:8)ko¨nne(cid:0)n dieersten p (cid:1)1 Komponenten (cid:9)
| | −
g ,g ,...,g
0 1 p 2
−
fu¨r jedes p–Tupel in S frei wa¨h(cid:0)len; die letzte K(cid:1)omponente ist dann notwendi-
gerweise gleich
1
g0 g1 gp 2 − .
· ··· −
Auf S wirkt die zyklische Gr(cid:0)uppe Z/pZ d(cid:1)urch zyklische Vertauschung: Sei
i Z/pZ, dann ist
∈
i g , ,g := g ,...,g .
0 p 1 0+i (mod p) p 1+i (mod p)
· ··· − −
(cid:16) (cid:17)
Jeder Orbit di(cid:0)eser Gruppen(cid:1)wirkung ist entweder einpunktig oder entha¨lt ge-
nau pElemente:Dennangenommen,eswu¨rdefu¨reinimit p ∤ igelten:i g = g,
·
also
g = g fu¨ralle j = 0,1,...,p 1.
j j+i (mod p)
−
Dannwa¨ren ja dieKomponenten
g = g = g =
0 i (mod p) 2i (mod p)
···
allegleich:Aberi Z/pZ = Z/pZfu¨ri = 0,alsosindalleKomponentengleich
· 6
und derOrbit isteinpunktig. Aus(1.1)folgt also:
S = G p−1 = 1 #(einpunktige Orbits)+ p #(p–elementige Orbits).
| | | | · ·
Da p G , folgt p #(einpunktige Orbits). Klarerweise ist der Orbit von
( ,...,| |) | S einpun| ktig, also ist #(einpunktige Orbits) > 0: Daraus folgt
n n ∈ (cid:3)
dieBehauptung.
BEISPIEL 1.1.13. Die symmetrische Gruppe G = Sn operiert auf S = [n] durch
Permutation der Elemente von [n]. Diese Gruppenwirkung ist transitiv, es gibt also
>
fu¨r n 1 keinen Fixpunkt der Gruppenwirkung. Sehr wohl ko¨nnen aber einzelne
Permutationen π S Fixpunkte haben, also Elemente i [n] mit π(i) = i: Der
n
∈ ∈
StabilisatorstbS (i)einesElementsi istdieMengeallerPermutationenmitFixpunkt
n
i.
BEISPIEL 1.1.14. Jede Gruppe G operiertauf sich selbst(alsomit S = G) durch Kon-
jugation:
(g,s) g s g 1.
−
7→ · ·
DerOrbitvon s unter dieserGruppenwirkung istdieKonjugationsklasse von s:
g s g 1: g G .
−
· · ∈
n o
BEISPIEL 1.1.15. Sei G eine Gruppe und H G eine Untergruppe (nicht not-
⊑
wendigerweise ein Normalteiler) von G. Dann operiert G auf der Familie G/H =
g H: g G derLinksnebenklassen von H durch
{ · ∈ }
g ,g H g g H.
′ ′
· 7→ · ·
DieseGruppenwirkung hatnu(cid:0)r einene(cid:1)inzige(cid:0)nOrb(cid:1)it.
1.1.GRUPPENWIRKUNGEN 5
BEISPIEL 1.1.16. Sei G = D∞ die Untergruppe von SR, die von der Translation
T : x x+1undderSpiegelungS : x xerzeugtwird:Sieheißtdieunendliche
7→ 7→ −
Diedergruppe. D∞ operiert auf X = R. Die Bahnen der Elemente x = 1, 1, 1 unter
2 3
dieserGruppenwirkung sind
G 1 = Z,
·
1 1
G = +Z,
· 2 2
1 1 2
G = +Z +Z .
· 3 3 ∪ 3
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
LEMMA 1.1.17. Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge S operiert; sei X S. Dann
⊆
istderStabilisatorstb (X) vonX eineUntergruppevon G,dieaberi.a.keinNormal-
G
teilerist, dennes giltfu¨r g G:
∈
g stb (X) g 1 = stb (g X).
G − G
· · ·
Fu¨r einElement x S istdieAbbildung
∈
f˜: G/stb (x) G x; g stb (x) g x
G G
→ · · 7→ ·
einewohldefinierte Bijektion.Insbesondere giltalsofu¨r eineendliche Gruppe G:
G = stb (x) G x . (1.2)
G
| | | |·| · |
(InWorten: DieMa¨chtigkeiteines Orbitsiststets einTeilerderGruppenordnung.)
BEWEIS. Daß stbG(X) eine Untergruppe von G ist, ist klar (siehe “Untergrup-
penkriterium” (A.6): a X = X = b X = b 1 a X = X).
−
· · ⇒ · ·
Es sei h stb (X), also h X = X. Dann ist (nach Definition einer Gruppen-
G
∈ ·
wirkung bzw. desStabilisators)
g h g 1 g X = g h X = g X,
−
· · · · · · ·
(cid:16) (cid:17)
also g h g 1 stb (g X). Also ist g stb (X) g 1 stb (g X). Es sei
− G G − G
· · ∈ · · · ⊆ ·
umgekehrt h stb (g X), also h (g X) = g X. Dannist
G
∈ · · · ·
g 1 h g X = g 1 (h (g X)) = g 1g X = X,
− − −
· · · · · · ·
(cid:16) (cid:17)
also g 1 h g stb (X). Alsoist stb (g X) g stb (X) g 1.
− G G G −
· · ∈ · ⊆ · ·
Seien g ,g G. Esgilt:
1 2
∈
g x = g x g 1 g x = x g 1 g stb (x)
1· 2 · ⇐⇒ 2− · 1· ⇐⇒ 2− · 1 ∈ G
g 1 g stb (x) = stb (x) g stb (x) = g stb (x).
⇐⇒ 2− · 1· G G ⇐⇒ 1· G 2· G
Also ist die Abbildung f˜ wohldefiniert und injektiv; klarerweise ist sie auch
(cid:3)
surjektiv.
Darausergibt sich sofort eine andre Formulierung von Beobachtung 1.1.11:
6 1.SYMMETRIE
KOROLLAR 1.1.18(Bahnengleichung). SeiSeineendlicheMenge,aufdereineGrup-
pe G wirkt. Sei ein Repra¨sentantensystem der Familie S/G der G–Orbits. Dann
R
gilt
S = ∑ G/stb (x) = ∑ (G : stb (x)). (1.3)
G G
| | | |
x x
∈R ∈R
BEMERKUNG 1.1.19. Wenn eine Gruppe G auf einer Menge S wirkt und X S eine
⊆
TeilmengevonSist,dannwirktderStabilisatorvonX aufX,mitdervonG“geerbten”
Wirkung auf S: Mannennt das auch dieinduzierte Wirkung.
Ebensoerha¨ltman ausLemma1.1.17:
KOROLLAR 1.1.20. SeiGeineGruppe,dieaufeinerMengeSoperiert.Seiens1,s2 S
∈
zweiElemente,diedemselbenG–Orbitangeho¨ren,dannsinddieStabilisatorenstb (s )
G 1
undstb (s )konjugierteUntergruppeninG(unddaherinsbesonderegleichma¨chtig).
G 2
BEWEIS. Wenns1,s2 demselben G–Orbitangeho¨ren,danngibtesein g G mit
∈
s = g s . Die Behauptungfolgt also sofort ausLemma1.1.17:
1 2
·
g stb (s ) g 1 = stb (g s ).
G 1 − G 2
· · ·
(cid:3)
BEISPIEL 1.1.21. Fu¨rdieOperationderunendlichenDiedergruppeD∞ aufR sinddie
Stabilisatorenvon x = 1, 1, 1 gegebendurch
2 3
stb (1) = id,T2 S ,
D∞ ·
1 n o
stb = id,T S ,
D∞ 2 { · }
(cid:18) (cid:19)
1
stb = id .
D∞ 3 { }
(cid:18) (cid:19)
DenndieGruppenelementesindvonderFormTnSoderTn fu¨rn Z,wegenS2 = id
∈
und S Tn = T n S. Zum Beispiel hat die Gleichung g x = x fu¨r x = 1 nur
· − · · 3
die Lo¨sung g = id: Fu¨r g = Tn folgt aus Tn 1 = 1 natu¨rlich n = 0, und fu¨r
3 3
g = Tn S ergibt (cid:16) (cid:17)
·
1 1 1 1
= (Tn S) = Tn = n
3 · 3 −3 − 3
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
einenWiderspruchwegenn Z.
∈
LEMMA 1.1.22(Burnside). SeiG eineendlicheGruppe,dieaufderendlichenMen-
ge S wirkt. Danngilt:
1
S/G = ∑ fxp (g) (1.4)
| | G S
| | g G
∈ (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
BEWEIS. Der Beweis besteht aus einer typischen Anwendung des Prinzips der
doppelten Abza¨hlung, das in der abza¨hlenden Kombinatorik ha¨ufig verwendet
wird (siehe [5]): Sei
T = (g,s) G S: g s = s .
{ ∈ × · }
