Verzerrungssätze bei holomorphen Abbildungen von Hauptbereichen automorpher Gruppen mehrerer komplexer Veränderlicher in eine Kähler-Mannigfaltigkeit

23 Pages·1968·0.79 MB·German

by  Alexander Dinghas (auth.)

Sitzungsberichte der Heidelberger
Akademie der Wissenschaften
Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse
Die j ahrgiinge bis 1921 einschlief3lich erschienen im Verlag von Carl Winter, U niversi
tiitsbuchhandlung in Heidelberg, die jahrgiinge 1922-1933 im Verlag Walter de
Gruyter & Co. in Berlin, die j ahrgiinge 1934-1944 bei der Weif3schen Universitdts
buchhandlul1g in Heidelberg. 1945, 1946 und 1947 sind heine Sitzul1gsberichte er
schiel1en.
Ab jahrgal1g 1948 erscheinen die "Sitzungsberichte" im Springer-Verlag.
Inhalt des Jahrgangs 1950:
1. VV. TROLL und W. RAUH. Das Erstarkungswachstum krautiger Dikotylen, mit
besonderer Beriicksichtigung der primaren Verdickungsvorgange. DM 13.40.
2. A. MITTASCH. Friedrich Nietzsches Naturbeflissenheit. DM 8.80.
3. W. BOTHE. Theorie des Doppellinsen-j1-Spektrometers. DM 1.90.
4. W. GRAEUB. Die semilinearen Abbildungen. DM 7.20.
5. H. STEINWEDEL. Zur Strahlungsriickwirkung in der klassischen Mesonen
theorie. - Die klassische Mesondynamik als Fernwirkungstheorie. DM 1.80.
6. B. HACCIUS. Weitere Untersuchungen zum Verstandnis der zerstreuten Blatt
stellungen bei den Dikotylen. DM 6.20.
7. Y. REENPAA. Die Dualitat des Verstandes. DM 6.80.
8. PETERSSON. Konstruktion der Modulformen und der zu gewissen Grenzkreis
gruppen gehorigen automorphen Formen von positiver reeller Dimension uncl
die vollstandige Bestimmung ihrer Fourierkoeffizienten. Dl\1 9.80.
Inhalt des Ja hrgangs 1951:
1. A. MITTASCH. 'Wilhelm Ostwalds Auslosungslehre. DM 11.20.
2. F. G. HOUTERMANS. Uber ein neues Verfahren zur Durchfiihrung chemischer
Altersbestimmungen nach der Blei-Methode. DM 1.80.
3. W. RAUH und H. REZNIK. Histogenetische Untersuchungen an"Bliiten- und
Infloreszenzachsen sowie der Bliitenachsen einiger Rosoideen, 1. Teil. DM 10.-.
4. G. BUCHLOH. Symmetrie und Verzweigung cler Lebermoose. Ein Beitrag zur
Kenntnis ihrer Wuchsformen. DM 10.-.
5. L. KOESTER und H. MAIER-LEIBNITZ. Genaue Zahlung von j1-Strahlen mit
Proportionalzahlrohren. DM 2.25.
6. L. HEFFTER. Zur Begriindung der Funktionentheorie. DM 2.30.
7. W. BOTHE. Die Streuung von Elektronen in schragen Folien. DM 2.40.
Inhalt des Jahrgangs 1952:
1. W. RAUH. Vegetationsstudien im Hohen Atlas und dessen Vorland. DM 17.80.
2. E. RODENWALDT. Pest in Venedig 1575-1577. Ein Beitrag zur Frage der
Infektkette bei den Pestepidemien West-Europas. DM 28.-.
3. E. NICKEL. Die petrogenetische Stellung der Tromm zwischen BergstraJ3er
und Bollsteiner Odenwald. DM 20.40.
Sitzungsberichte
der Heidelberger Akademie der Wissenschaften
Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse
Jahrgang 1968, 1. Abhandlung
Verzerrungssatze
bei holomorphen Abbildungen
Von Hauptbereichen automorpher Gruppen
mehrerer komplexer Veranderlicher
in eine Kahler -Mannigfaltigkeit
Von
Alexander Dinghas
1. Mathematisches Institut der Freien Universitat Berlin
(Vorgelegt in der Sitzung vom 9. Dezember 1967)
Heidelberg 1968
Springer-Verlag
ISBN-13: 978-3-540-04332-4
DOl: 10.1007/978-3-642-48042-3
Alle Rechte vorbehalten.
Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des
Springer-Verlages iibersetzt oder in irgendeiner Form verviel
faltigt werden.
© by Springer-Verlag, Berlin' Heidelberg . ~ew York 1968
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Waren
bezeichnungen usw. in dieser Abhandlung berechtigt auch ohne
besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daB solche
N'amen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetz
gebung a)s frei zu betrachten waren und daher von jedermann
benutzt werden diirften.
Titel-Nr.3711
Verzerrungssatte bei holomorphen Abbildungen
von Hauptbereichen automorpher Gruppen
mehrerer komplexer Veriinderlicher
in eine Kahler-Mannigfaltigkeit
ALEXANDER DINGHAS
I. Mathematisches Institut der Freien Universitiit Berlin
1. Einleitung
Es bezeichne C" den n-dimensionalen komplexen Raum, Z =
(zl, ... ,z") einen Punkt von C" und 11" den zugeh6rigen Hennite
schen Raum mit den Punkten (z,z), wobei allgemein z = (P, ... , Z")
den zu z konjugiert komplexen Punkt von C" bedeutetl. Wir be
trachten Abbildungen (w, w): H -+M" von Hauptbereichen H
automorpher Gruppen von n komplexen Vedi.nderlichen in eine
Kahler-Mannigfaltigkeit M" negativer Ricci-Kriimmung durch
Systeme w = (WI, .•• , w") von holomorphen Funktionen WI, ••• , w".
Folgende Bemerkungen sollen den Inhalt der Arbeit kurz erHi.utem:
In [1] und [2] wurden Abschatzungen des absoluten Betrages
IJ I der (Ja cobischen) Funktionaldeterminante
I
J =det [OazWk '] = aaWzk'1 (i,k=1, ... ,n) (1.1)
fur ein System w gegeben, das die Einheitskugel
(1.2)
von 11" in eine Mannigfaltigkeit M" mit der Kahlerschen Metrik
ds2 -- 2gr t.11 dwrt. dwl1 (1.3)
abbildet. Das Hauptergebnis der Arbeit [1] lautet:
Satz 1. Es sei (w, w): C,,-+M" eine holomorphe Abbildung von C"
in M" mit den Eigenschaften:
11m folgenden wird zk auch durch zT. bezeichnet werden.
I Nach dem Vorbild des Tensorkalkiils wird iiber zweimal vorkommende
gleiche Indizes von IX. = 1 bis IX. = n summiert. Entsprechendes soU auch fiir
a,
die doppelt auftretenden Indizes, etwa IX. und gelten.
1 b Heidelberger Sitzungsbericbte 1968 - 3 -
4 A. DINGHAS:
1. Die Ricci-Differentialform
R all dwadwll (1.4)
ist in jedem Punkt von Mn negativ.
2. Es gilt
(1.5)
in jedem Punkt von Mn.3
Dann gilt in Cn die Ungleichung
(1.6)
Hierbei bedeutet Igalll die (Positive) Determinante der Matrix [gallJ
der gall und Rall die Komponenten des Ricci-Tensors der Mannig
faltigkeit Mn. Bekanntlich gilt
82
Rall=- 8wa8wllloglgaJlI·4 (1.7)
Aus dem Satz 1 folgt der Satz:
Satz 2. Es sei (w, w): Cn---+Cn eine holomorphe Abbildung von Cn
in sich. Dann gilt die U ngleichung
1112 < { (1 -llwI12) }n+l (1.8)
= (1 -llzI12)
Der Inhalt der Arbeit [1J wurde kurz vor ihrem Erscheinen,
Anfang Marz 1966 an der Pennsylvania State University und
6
kurz danach an der University of California, Santa Barbara, vor
getragen. Die Arbeit [2J bezweckte an erster Stelle einige in [1J
allzu kurz bewiesene Hilfssatze ausfiihrlicher zu beweisen und zu
begriinden. Kiirzlich haben MITCHELL und HAHN in [3J mit Hilfe
der Methode von [1J und unter Heranziehung der Theorie der
Bergmanschen Kernfunktion eines beschrankten Gebietes von Ir'
einige interessante Verzerrungssatze bewiesen und deren Beweis
kurz skizziert. Dieser VorstoB zeigt sowohl die Wichtigkeit der
Bergmanschen Kernfunktion als auch die Verallgemeinerungs
fahigkeit der in [1], im AnschluB an die Arbeit [5] von AHLFORS
entwickelten aligemeinen Methode.
S Man vgl. [1], S. 484 f.
4 Man vgl. [1] und [5].
5 Die Arbeit wurde an die Redaktion der Festschrift Ende Februar 1965
eingereicht.
- 4 -
Verzerrungssatze bei holomorphen Abbildungen 5
In der vorliegenden Mitteilung sollen vorerst die (durch die
Theorie der Kernfunktion schwer erfaBbaren) FaIle der beiden
nicht beschrankten Gebiete
e: f o}
= {(z,z): (Zl +zt)2 - (Zk +Zk)2> 0, Zl +zt > (1.9)
2
bzw.
(1.10)
ins Auge gefaBt und entsprechende Verzerrungsungleichungen wie
en
im FaIle der Einheitskugel (im folgenden: Fall I) bewiesen
werden. Das Ergebnis ist etwas iiberraschend und kann kurz
folgendermaBen zusammengefaBt werden: Sowohl im Faile I, als
e:
auch in den Fallen II und III (d. h. und e~) kann dem in Frage
kommenden Gebiet eine (ausgezeichnete Kahlersche) Metrik
dS2=2ga.lJdz4dzlJ (1.11)
aufgepragt werden mit der Eigenschaft
I I
8z<x8.82" ZfJ I og gA a.lJ =cogaA .lJ ( cx=1, ... , n; /if" =1-, ... ,n) , (1.12)
wobei eine positive Zahl ist, die vom jeweiligen Gebiet abhangt.
Co
Man setze d) = log Ig a.lJ lund beachte, daB d) der partiellen Diffe
rentialgleichung
(1.13)
geniigt. Die Klasse der Funktionen (/) mit (/) = log Iga.lJl mit den
Eigenschaften
(1.14)
und
I
(/)z~i/ll ;:?;c e~, (1.15)
liefert die Klasse der SUblosungen von (1.13). Offenbar ist d) eine
(triviale) Sublosung von (1.13).
Die Bedingungen (1.14) und (1.15) konnen auch mit Hilfe der
Ricci-Kriimmung
(1.16)
formuliert werden. In der Tat folgt zunachst aus (1.14), daB samt
liche in Betracht gezogenen Mannigfaltigkeiten Mn eine negative
Kriimmung haben miissen. Dagegen besagt (1.15), daB der Inhalt
des Ricci- und des metrischen Ellipsoids in jedem Punkt (z, z) von
8 Man vgl. [4].
-5-
1 c Heidelberger Sitzungsberichte 1968
6 A. DINGHAS:
M" oberhalb C liegen muB. DaB die Klasse der Sublosungen von
(1.13) samtliche Mannigfaltigkeiten M" enthalt, deren Ricci
Kriimmung ~ - Co ist, ist trivial und bedarf keiner weiteren Er
lauterung.
I
Die Determinante ga.l1l ist im Falle I gleich der Bergmanschen
Kernfunktion K (z, z) des Gebietes C und man kann mehr oder
n
weniger das gleiche fUr die Faile II und III behaupten Ob dies
7.
ailgemein fur jedes Gebiet von Hn gilt, wird hier nicht untersucht.
Wurde die Vermutung (was keineswegs zu sein braucht) zutreffen,
daB log K eine Losung von (1.15) mit unendlichen Randwerten
und einem positiven (vom jeweiligen Gebiet abhangigen) c ist8, so
ware man imstande, sowohl der Bergmanschen Metrik
d S 2 -- 2 Oza0.O2 "ZP I og K d za . dz- P (1 .17)
als auch der Bergmanschen Kernfunktion K eine differentialgeo
metrische Deutung zu geben. Andererseits ist es moglich, daB
sowohl die Differentialgleichung (1.13) als auch die Eigenschaften
der Sublosungen (/J lediglich mit der Tatsache zusammenhangen,
daB die Gebiete Cn, C~ und C~ Hauptbereiche von automorphen
Gruppen von n komplexen Veranderlichen sind. Diese Gruppen
spielen auch bei der Diskussion der Extremalfaile, d. h. der Einzig
keitsfrage, der Verzerrungssatze eine wesentliche Rolle.
2. Hilfssatze
Folgende Hilfssatze sind fur den Beweis der Verzerrungssatze
von 4 und 5 von Bedeutung:
Hilfssatz 1. Es sei A = [al'v]q eine Hermitescke Matrix der kom
plexen Zahlen al'ii (f-l = 1, ... , q; ii = 1, ... , q), z, Z; Punkte von Cq und
A. ein komplexer Parameter. Dann gilt die Identitiit
r
o
~l •••
(2.1)
I
Hierbei wurde al'vl/ur det [al'v]q geschrieben.
7 Nach einer brieflichen Mitteilung von HeITn SCHIFFER Anfang Miirz
1967. Bis dahin war lediglich der Fall n = 2 behandelt worden.
+
8 In [2], S. 167. wird ein iihnlicher Satz mit (n 1)" anstelle c aufgestellt.
Der Dbergang zu einem allgemeinen c erfordert weder neue Kunstgriffe
noch eine Abiinderung der Methode.
6 -
Verzerrungssatze bei holomorphen Abbildungen 7
Beweis. Es bezeichne Ll die linke Seite von (2.1). Dann ist
~2~ = 0 und somit Ll linear in A. Wegen Ll (0) = I al'iilq und
o Cl ...
~
~~ !A=O = -
ZI
zq
muB (2.1) gelten.
Aus dem Hilfssatz 1 folgt ohne weiteres der Satz:
Hilfsatz 2. Es sei I al'iiln =FO und [al'ii] die zu [al'ii] (kovariante)
inverse Matrix9• Dann gilt die Gleichung
(2.2)
Beweis. Es bezeichne das algebraische Komplement von
Apii
al'ii in [al'ii]. Dann gilt die Gleichung
(2·3 )
Da nun noch
gilt, so muB (2.2) gelten.
Hilfssatz 3. Man setze 10
F(z z) =a zl'zl'+a _zl'zii+a_ ziizl'+a __ zilzii+c
, 1'1' 1'1' 1'1' 1'1'
mit c, al'l' = aiiii, al'ii = aiil' =F 0 reell, und nehme an, es existiere ein
nichtleeres Gebiet H von Hn mit der Eigenschaft F (z, z) > 0 [(z, z) EH].
Dann genugt die Funktion V = log F-l der partiellen Differential
gleichung
(2.4)
n
a = II al'il = a a ann
11 22 •••
1
9 Hiermit ist die Determinante [al'ii] gemeint, deren Elemente al'ii
gleich den algebraischen Komplementen der al'ii dividiert durch die Deter
minante Ia l'vi der al'v sind.
10 Hier ist von fl = 1 bis fl = n (und entsprechend von i1 = 1 bis i1 = n)
zu summieren.
-7-
8 A. DINGHAS:
und
A", =a",,,,z'" +a",pzP, Ap=appzP+ ap",z'"
(keine Summation iiber f-t bzw. fi).
Beweis. Man setze a",v=apv=a",v=a.i1v=O fUr f-t=l=v. Dann wird
+
- 21 V. « -_ - 21 88zV« -_ I1i ( aa.", Z I' aa.p Z P)
und
Daraus folgt wegen Hilfssatz 1 die Identitiit
und somit
I I (-2)n!a",.! { - }
V.«iJl = Fn+l P -2a"'''' A", Ap .
Nun ist [a",v] eine Diagonalmatrix und somit a"'P = a!p. Das beweist
I
wegen a",vl =a die Identitiit (2.4).
Aus dem Hilfssatz 3 folgen ohne weiteres die Siitze:
Hilfssatz 4. In jedem Punkt von C gilt die Gleichung
n
IV.« I
zJl = p-(n+l) (2.5)
mit P(z, z) = 1 -llzl12 und V = log P-I.
Hilfssatz 5. In jedem Punkt von C~ gilt die Gleichung
1V.«iJlI
= 2Hp-n. (2.6)
Hierbei ist
Ln
P (z, z) = (ZI +Zl)2 - (Zk + zk)2
2
und V = log F-I.
Hilfssatz 6. Die quadratische (He rmitesche) Differentialform
(2.7)
liz 112)
mit V = log (1 - -I ist in jedem Punkt von Cn positiv definit.
Beweis. Man vgl. [1] oder [2].
- 8
Verzerrungssatze bei holomorphen Abbildungen 9
Hilfssatz 7. Die reelle quadratische Differential/arm
v."
ill df-dzP (2.8)
mit
f
V = log {(Zl +ZI)2 - (.t +Zk)2tl
2
ist in jedem Punkt van C~ pasitiv de/init.
Beweis. Es bezeichne L .. (L" =F!) den Ausdruck
Ln
apil(zP +ZP)2
I
mit all = 1, a22=' .. =a"ji= -1 und Lq (1 ~q ~n) den Ausdruck
Lq +
apk ilk (ZPk ZPk) 2
k=l
mit 1 ~ III < ... < Ilq ~ n. Wir erganzen [apil] zu einer Matrix
[api'] , indem wir api' = 0 fur Il =f: '/I setzen und schreiben aq fur
ap1il1 '" apqilrJ. Offenbar ist aq=(-1)q-l fur Ill=1 und aq=(-1)q
fur 1 <Ill' Wir verfahren, wie beim Beweis des Hilfssatzes 3 und
I-v..", I
erhalten fur die Determinante D q = '''k (einen Hauptminor von
1V."illl) die Gleichung
(-2)q
Dq = - Fq+l aq(2Lq -F).
1st nun Ill=1, so gilt aq=(-1)q-l und somit (-2)q-laq=2q-l.
Das liefert wegen 2 Lq - F -;;;. F die U ngleichung IV ."'i"k I > O. 1st da
gegen III > 1, so ist a = ( -1)q und 2 Lq - F < O. Das beweist den
q
Hilfssat z 7.
Entsprechende Satze gelten fur das Gebiet C~:
Hilfssatz 8. Man setze fur (z, z) E c~
n
F(z, z) = II (.t +zk) (2.9)
1
und V=logF-I. Dann genugt V der partiellen Differentialgleichung
IV . ... ill I =F-2. (2.10)
Daruber hinaus ist die quadratische Differential/arm
V. ... df- dzP (2.11 )
ill
in jedem Punkt van C~ pasitiv de/init.
- 9 -