Verständnisaufgaben zur Analysis 1 und 2: für Lerngruppen, Selbststudium und Peer Instruction

221 Pages·2019·1.712 MB·German

by  Thomas Bauer

Thomas Bauer
Verständnis-
aufgaben zur
Analysis 1 und 2
für Lerngruppen, Selbststudium
und Peer Instruction
Verständnisaufgaben zur Analysis
1 und 2
Thomas Bauer
Verständnis-
aufgaben zur
Analysis 1 und 2
für Lerngruppen,
Selbststudium und Peer
Instruction
Thomas Bauer
FB Mathematik und Informatik
Universität Marburg
Marburg, Deutschland
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ISBN 978-3-662-59702-6 ISBN 978-3-662-59703-3 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-59703-3
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Vorwort
AmBeginndesMathematikstudiumsbegegnenSievielenneuenIn-
halten – darunter einer ganzen Reihe von neuen mathematischen
Begriffen und Sa¨tzen, die zum Teil betra¨chtliche Komplexita¨t ha-
ben.WielerntmandieseneuenInhalte?Wasmussdabeiverstanden
werden? Und wie kann man sich sicher sein, dies wirklich verstan-
den zu haben? Das vorliegende Buch bietet hierzu Unterstu¨tzung
fu¨rdieThemenbereichederAnalysisan,dieu¨blicherweiseimRah-
men einer zweisemestrigen Veranstaltung zur Analysis behandelt
werden.
Die Kernfrage: Was bedeutet einen Begri(cid:11) verstehen\ oder
"
einen Satz verstehen\? Reichtes,dieFormulierungderDefiniti-
"
on oder des Satzes im Kopf zu behalten, um sie bei passender Ge-
legenheit auswendig wiedergeben zu ko¨nnen? Natu¨rlich nicht. Der
eigentlich Zweck der Begriffe und Sa¨tze besteht darin, sie in varia-
blen Situationen flexibel verwenden zu ko¨nnen. Dazu beno¨tigt man
mehrerlei:
1. eine pra¨zise Formulierung der Begriffsdefinition oder der Satz-
aussage,damitmansichvo¨lligdaru¨berimKlarenist,unterwel-
chenGegebenheiteneineVerwendungu¨berhauptmo¨glichist,
2. gute Vorstellungen davon, was der Begriff oder der Satz inhalt-
lich bedeutet – Welche typischen Beispiele gibt es? Was fa¨llt
nichtunterdenBegriff,wannistderSatznichtanwendbar?
3. Erfahrung und U¨bung in der Verwendung – Wo kommt der Be-
griff vor? Wie kann man den Satz einsetzen? Von welcher Art
sinddieSchlu¨sse,dieerermo¨glicht?
vi
Die Intention: Was bietet dieses Buch? Das Buch will Sie un-
terstu¨tzen, zu einem Versta¨ndnis der neuen Begriffe und Sa¨tze im
oben beschriebenen Sinne zu gelangen. Dazu bietet es Versta¨ndnis-
aufgaben,dieaufdiesesZielhinkonzipiertsind.DieAufgabensind
inthemenbezogeneAbschnittezusammengefasstundbearbeitenje-
weils einen bestimmten Begriff oder Satz. Jede Aufgabe stellt eine
Frage und gibt dazu vier Antwortmo¨glichkeiten vor, von denen ge-
nau eine richtig ist. Das Sammeln, Abwa¨gen und Kombinieren von
Argumenten,diesichfu¨rodergegenjededieserAntwortmo¨glichkei-
ten anfu¨hren lassen, verspricht die Lernwirkung dieser Aufgaben.
Aus den Fehlvorstellungen, die in falschen Antwortoptionen zum
Ausdruckkommen,la¨sstsichebensoviellernenwieausdenrichti-
genAntworten.ImAbschnitt WiebenutztmandiesesBuch“ gleich
”
zu Beginn wird genauer erla¨utert, wie Sie am effektivsten mit den
Aufgabenumgehen.
Danksagung. IchdankeLisaHefendehl-Hebekerfu¨rihreErmun-
terung zu dieser Buchpublikation. Die Mitarbeiter Carsten Born-
tra¨ger,ArturRappundMaximilianSchmidthabenwertvolleArbeit
beimVortestundderU¨berpru¨fungderAufgabengeleistet.Denstu-
dentischen Tutoren, die im Pilotdurchgang die Aufgaben mit der
MethodederPeerInstructionengagierteingesetzthaben,verdanke
ich wertvolle Ru¨ckmeldungen. Ich danke Iris Ruhmann und Agnes
Herrmann, die aufseiten des Verlags dieses Buchprojekt sehr kon-
struktivbegleitethaben.
Marburg,imMai2019 ThomasBauer
Inhaltsverzeichnis
WiebenutztmandiesesBuch?– Hinweisefu¨rStudierende ix
Wiela¨sstsichdiesesBucheinsetzen?–Hinweisefu¨rLehrende xiii
1 Aufgaben zur Analysis 1 1
Mengen,Funktionen,GleichungenundUngleichungen . . . . 3
SupremumundInfimum,Vollsta¨ndigkeit . . . . . . . . . . . . 8
FolgenundKonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
KomplexeZahlenundelementareFunktionen . . . . . . . . . 22
GrenzwerteundStetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Sa¨tzeu¨berstetigeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
DifferenzierbarkeitundMittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . 27
ExtremaundSatzvonl’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . 30
FunktionenfolgenundSupremumsnorm . . . . . . . . . . . . 32
DerSatzvonTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Integrierbarkeit,Riemann-Summen,Obersummenund
Untersummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
EigenschaftendesIntegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
StammfunktionenundIntegralfunktionen,Hauptsatz . . . . . 43
UneigentlicheIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Aufgaben zur Analysis 2 47
MetrischeRa¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
GrenzwerteundStetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
DiediskreteMetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Vollsta¨ndigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
viii Inhaltsverzeichnis
Kontraktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
ParametrisierteKurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
PartielleundtotaleDifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . 64
Kettenregel,Richtungsableitungen,Niveaumengen . . . . . . 67
DiffeomorphismenundUmkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . 70
DerSatzu¨berimpliziteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 72
ExtremwertevonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
ExtremaunterNebenbedingungen,Untermannigfaltigkeiten . 76
DerSatzvonTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Zusammenha¨ngendeMengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Jordan-messbareMengen,mehrdimensionalesIntegral . . . . 82
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Kommentierte L(cid:127)osungen 89
Symbolverzeichnis 201
Literaturverzeichnis 207
Index 209
Wie benutzt man dieses Buch? {
Hinweise fu(cid:127)r Studierende
MussmandieAufgabenderReihenachbearbeiten?DieAufgaben
sind weitgehend unabha¨ngig voneinander konzipiert. Sie ko¨nnen
daher zeitsparend vorgehen: U¨ben Sie dort, wo es fu¨r Sie jeweils
relevant ist. Wenn Sie begleitend zu einer Lehrveranstaltung oder
beiderVorbereitungaufeinePru¨fungzubestimmtenBegriffenoder
Sa¨tzeneineU¨bungsphaseeinlegenmo¨chten,dannko¨nnenSieu¨ber
dasInhaltsverzeichnisoderu¨berdasStichwortverzeichnispassende
Aufgabenauswa¨hlenundsichdortgezieltandieArbeitmachen.
Was ist das Ziel? Behalten Sie als wichtigstes Prinzip im Auge:
Die Aufgaben sind kein Lernstoff“ an und fu¨r sich. Es sollte da-
”
her nicht Ihr Ziel sein, die Aufgaben oder die Lo¨sungen zu lernen,
sondern aus den Aufgaben und Lo¨sungen zu lernen. Damit ist ge-
meint: Sie profitieren am meisten, wenn Sie sich intensiv damit
befassen, warum die jeweiligen Antwortmo¨glichkeiten richtig oder
falschsind–esistdaseigentlicheZielIhrerArbeit,dassSieaufdie-
seWeiseIhrVersta¨ndnisderBegriffeundSa¨tzevertiefen.Solernen
SiederenverschiedeneFacettenkennen,bauenVorstellungendazu
auf, sind vor eventuellen Fallstricken gewarnt und werden sicherer
inderVerwendungdieserInhalte.
Einzelarbeit oder Lerngruppen? Sieko¨nnendieAufgabenindie-
semBuchsowohlzumselbsta¨ndigenU¨benalsauchinLerngruppen
einsetzen.WennSieinLerngruppenarbeiten,dannistdiefolgende
VorgehensweiseeineguteMo¨glichkeit:
x WiebenutztmandiesesBuch?–Hinweisefu¨rStudierende
(cid:15) LesenSieeineAufgabeundu¨berlegenSiezuna¨chstinEinzelar-
beit,welcheArgumenteSiefu¨rodergegendiegegebenenAnt-
wortoptionen kennen. Legen Sie sich dann auf eine Antwort
fest.
(cid:15) Diskutieren Sie in kleinen Gruppen (2–4 Teilnehmer) u¨ber die
Aufgabe – versuchen Sie, sich gegenseitig von der Richtigkeit
Ihrer gewa¨hlten Antwort zu u¨berzeugen. Der Argumentations-
prozess, der dabei entsteht, kann sich als sehr lernfo¨rderlich
erweisen.
(cid:15) Fu¨hrenSiedann(gemeinsamoderzuna¨chstinEinzelarbeit)an-
handderinKap.3gegebenenkommentiertenLo¨sungeineKla¨-
rungherbei:DurchwelcheArgumenteko¨nnendiefalschenAnt-
wortenwiderlegtunddierichtigeAntwortschlu¨ssigbegru¨ndet
werden? Welche neuen Einsichten zu dem behandelten Begriff
oderSatzhatIhnendieAufgabeerbracht?
Wie geht man konkret vor? Sowohl bei Einzelarbeit als auch in
Lerngruppen ist es am effektivsten, wenn Sie in drei Schritten ar-
beiten:
(cid:15) Schritt 1: Jede Antwortm(cid:127)oglichkeit genau abw(cid:127)agen. U¨berle-
gen Sie bei jeder der vier gegebenen Antworten: Was spricht
dafu¨r, was spricht dagegen? Sammeln Sie Argumente, kombi-
nierenSiesie.Diesta¨rksteLernwirkungerhaltenSie,wennSie
nichtnurnachdereinenrichtigenAntwortsuchen,sondernbei
jeder Antwortoption kla¨ren, warum sie richtig oder falsch ist.
Verfahren Sie nicht nach dem Ausschlussprinzip“, das Sie in
”
einer Quizshow einsetzen wu¨rden – neben dem Ergebnis (d.h.
der richtigen Antwort) geht es hier na¨mlich vor allem um den
Prozess (d.h. das Argumentieren fu¨r oder gegen eine Antwort-
option).SelbstwennSiedreiAntwortoptionenbereitsalsfalsch
erkannt haben, ist es fu¨r die Lernwirkung wichtig, schlu¨ssige
Argumentefu¨rdieverbleibendeOptionzufinden.
Wenn Sie in Lerngruppen arbeiten, dann geho¨rt zu diesem