Vecteurs distributions H-invariants de representations induites, pour un espace symetrique reductif p-adique G/H

0.36 MB·French

by  Philippe Blanc

Vecteurs distributions H-invariants de
repr´esentations induites, pour un espace sym´etrique
7
r´eductif p-adique G/H.
0
0
2

n Philippe Blanc, Patrick Delorme
a
J d´edi´e `a Alain Guichardet

8

]
T
English title: H-fixed distribution vectors of induced representations, for a reductive
R
symmetric space G/H
.
h
t R´esum´e: Soit G le groupe des points sur F d’un groupe r´eductif lin´eaire d´efini sur F,
a
m un corps localnonarchim´edien de caract´eristique 0. Soitσ une involution rationnelle de
[ ce groupe alg´ebrique d´efinie sur F et soit H le groupe des points sur F d’un sous-groupe

ouvert, d´efini sur F, du groupe des points fixes de σ. Nous construisons des familles
2
v de vecteurs H-invariants dans le dual de s´eries principales g´en´eralis´ees, en utilisant
5
l’homologie des groupes. Des r´esultats de A.G.Helminck, S.P.Wang et A.G.Helminck,
3
4 G.F.Helminck sur la structure des espaces sym´etriques r´eductifs p-adiques sont aussi
2
essentiels.
1
4
Summary:
0
/ Let G be the group of F-points of a linear reductive group defined over F, a non
h
t archimedean local field of characteristic zero. Let σ be a rational involution of this
a
m group defined over F and let H be the group of F-points of an open subgroup, defined
: over F, of the group of fixed points by σ. We built rational families of H-fixed vec-
v
i tors in the dual of generalized principal series, using homology of groups. Results of
X
A.G.Helminck, S.P.Wang and A.G.Helminck, G.F.Helminck on the structure of p-adic
r
a reductive symmetric spaces are also essential.
0 Introduction
Soit G le groupe des points sur F d’un groupe lin´eaire alg´ebrique r´eductif G, d´efini
sur F, un corps local non archim´edien de caract´eristique 0. Soit σ une involution de
ce groupe alg´ebrique G, d´efinie sur F, H le groupe des points sur F d’un sous-groupe
ouvert, d´efini sur F, du groupe des points fixes de σ. Cet article est destin´e `a d´ebuter
l’analyse harmonique sur l’espace sym´etrique r´eductif G/H, en analogie avec celle sur
les espaces sym´etriques r´eels (cf. [D] pour un survey sur ce sujet).
La prem`ere ´etape que nous franchissons ici est la construction de familles de formes
lin´eaires H-invariantessur des s´eries principales g´en´eralis´ees . Cette´etapea´et´e franchie
dans le cas r´eel dans [BrD], `a l’aide de la th´eorie des D-modules.
1
L’outil principal est ici l’homologie lisse (voir plus bas).
Notre construction se limite `a celle de sous groupes paraboliques particuliers dits σ-
sous-groupes paraboliques. C’est l’exp´erience du cas r´eel qui conduit `a cette restriction:
dans ce cas ces familles de repr´esentations suffisent `a d´ecrire la partie continue de la
formule de Plancherel pour l’espace sym´etrique. Un travail en cours d’´elaboration de
Nathalie Lagier pr´ecisera le rˆole jou´e par les σ-sous-groupes paraboliques dans l’´etude
des repr´esentations admissibles deG qui sont H-sph´eriques i.e. quiposs`edent uneforme
lin´eaire non nulle H-invariante. On notera, pour se fixer les id´ees, que si G n’admet
pas de σ-sous-groupe parabolique diff´erent de G alors toutes les composantes isotropes
de G sont contenues dans H ([HW], Lemme 4.5).
Il faut remarquer que notre approche est diff´erente de celle de [Hi], [HiSat], [O] qui
d´eterminent, pour certains cas, toutes les repr´esentations irr´eductibles ayant un vecteur
non nul invariant par un bon sous-groupe compact maximal et une forme lin´eaire non
nulle H-invariante, et obtiennent une formule de Plancherel, ou bien de l’approche de
[OS] qui cherchent toutes les repr´esentations unitaires, irr´eductibles de GL , ayant une
2n
forme lin´eaire non nulle invariante sous le groupe symplectique. Dans [O] notamment
les fonctions sph´eriques sont explicit´ees `a l’aide de polynˆomes de Macdonald, alors
que dans [OS], on utilise des th´eor`emes sur les p´eriodes des formes automorphes. En
particulier, nous ne cherchons pas `a expliciter compl`etement les z´eros et les pˆoles des
familles construites.
On note RatG le groupe des caract`eres rationnels de G d´efinis sur F et a =
G
HomZ(RatG,R) et on note HG : G → aG, l’application qui, `a g ∈ G, associe
l’application χ 7→ |χ(g)|F. Alors a∗ = RatG ⊗Z R et on dispose d’une application
G
surjective de (a∗)C dans l’ensemble X(G) des caract`eres non ramifi´es de G, qui `a χ⊗s
G
associe le caract`ere g 7−→ |χ(g)|s.
F
L’involution σ agit sur a et a∗. On note a (resp. aσ) l’ensemble des ´el´ements de
G G G,σ G
a antiinvariants (resp. invariants) par σ. Alors a = a ⊕ aσ et a∗ s’identifie `a
G G G,σ G G,σ
un sous-espace de a∗G. On note X(G)σ l’image de (a∗G,σ)C par l’application pr´ec´edente.
Elle poss`ede une structure de vari´et´e alg´ebrique comme quotient d’un espace vectoriel
par un r´eseau.
On introduit des notations similaires pour les sous-groupes de L´evi σ-stables de G. On
consid`ere un sous-groupe parabolique P de G tel que σ(P) soit ´egal `a l’oppos´e de P
relativement `a un tore d´eploy´e maximal, A , contenu dans P et σ-stable. On dit que
0
P est un σ-sous-groupe parabolique. On note M le sous-groupe de L´evi σ-stable de P,
qui est ´egal `a P ∩ σ(P), et U son radical unipotent. On note A un tore d´eploy´e du
centre de M, maximal pour la propri´et´e d’ˆetre contenu dans {x ∈ G|σ(x) = x−1}.
Alors a∗M,σ s’identifie `a a∗ = RatA ⊗Z R. On note X = X(M)σ et B l’alg`ebre des
fonctions r´eguli`eres sur X.
Soit (δ,V ) une repr´esentation lisse de M irr´eductible, ou simplement admissible de
δ
type fini, qu’on prolonge `a P en la prenant triviale sur U. On introduit pour χ ∈ X, la
repr´esentation δ = δ⊗χ de M. On d´efinit ´egalement une structure de (M,B)-module
χ
sur V ⊗B en faisant agir B par multiplication sur le deuxi`eme facteur et m ∈ M par
δ
le produit tensoriel de δ(m) avec la multiplication par l’´el´ement b de B d´efini par:
m
b (χ) = χ(m), χ ∈ X.
m
2
Soit encore:
δ (m)(v ⊗b) = (δ(m)v)⊗b b
B m
On ´etend l’action de M `a P en la prenant triviale sur U. On notera δ `a la place de δ
• χ
ou bien δ .
B
On consid`ere indGV l’ensemble des ϕ : G → V qui sont invariantes `a gauche par
P δ• δ•
un sous-groupe compact ouvert et telles que
ϕ(gmu) = δ (m−1)ϕ(g), g ∈ G,m ∈ M,u ∈ U
•
On le note aussi I . Le groupe G agit sur I par la repr´esentation r´eguli`ere gauche. De
• •
plus B agit naturellement sur I .
B
L’objet de cet article est de d´eterminer les familles de vecteurs H-invariants dans le
dual de I d´ependant, en un certain sens ( voir plus bas), de fac¸on polynomiale de χ.
χ
Une remarque fondamentale pour notre travail est le fait que si V est un module
lisse, l’espace des ´el´ements H-invariants du dual de V, V∗H, est ´egal `a H (H,V)∗,
0
ou` H (H,V) est le quotient de V par le sous-espace engendr´e par les vecteurs gv − v
0
ou` g d´ecrit H et v d´ecrit V.
Dans la premi`ere partie de l’article, on ´etudie les foncteurs d’homologie lisse en degr´e
sup´erieur. On les introduit grˆace aux r´esolutions projectives dans la cat´egorie des mod-
ules lisses. Une s´erie de propri´et´es sont bri`evement ´etablies(voir aussi [BlBr], [Cas] et
aussi [BoWal], [G] pour la cohomologie continue) notamment le lemme de Shapiro, une
utilisation des sous-groupes distingu´es ferm´es qui sont union de sous-groupes compacts,
la r´esolution standard, le complexe de chaines inhomog`enes. On ´etablit qu’une action
naturelle du centre de G sur le complexe des chaines inhomog`enes induit une action
triviale sur l’homologie.
Tous ces r´esultats sont utilis´es dans la preuve du Th´eor`eme principal.
Hypoth`ese simplificatrice, pour l’introduction seulement: On suppose que HP
est la seule (H,P)-double classe ouverte dans G.
Th´eor`eme principal :
(i) On note J = {ϕ ∈ I |ϕ est `a support contenu dans HP} qui est un sous-H-module
χ χ
lisse. Alors H (H,J ) est naturellement isomorphe `a H (M ∩H,V ).
0 χ 0 δ
(ii) Il existe un polynome q ∈ B, non nul tel que pour tout χ ∈ X v´erifiant q(χ) 6= 0,
l’injection naturelle de J dans I d´etermine un isomorphisme:
χ χ
H (H,J ) ≃ H (H,I )
0 χ 0 χ
(iii) Passant aux duaux dans (i) et (ii), si χ ∈ X et q(χ) 6= 0, on dispose d’un isomor-
phisme:
V∗M∩H → I∗H
δ χ
qu’on note:
η 7→ j(P,δ,χ,η)
On peut r´ealiser les I dans un espace fixe I, par restriction des fonctions de G `a un
χ
sous-groupe compact maximal K. Alors le polynˆome q peut ˆetre choisi de telle sorte que
3
pour tout η ∈ V∗M∩H et ϕ ∈ I, χ 7→ q(χ) < j(P,δ,χ,η),ϕ >, χ ∈ X, soit un ´el´ement
δ
de B, i.e une fonction r´eguli`ere sur X.
Donnons une id´ee de la d´emonstration de ce th´eor`eme.
On commence par ´etudier I comme H-module. D’abord il existe un nombre fini de
χ
(H,P)-doubles classes HxP et on note Ω un ensemble, qui contient e, de repr´esentants
de celles-ci. On introduit des ouverts O = HP ⊂ O ⊂ ... ⊂ O = G de sorte que
0 1 n
O \O = Hx P puis on note I = {ϕ ∈ I |suppϕ ⊂ O } de sorte que I = J et
i+1 i i+1 i χ i 0 χ
{0} ⊂ I ⊂ I ... ⊂ I . On montre (voir aussi [BZ], Th´eor`eme 5.2) que:
0 1 n
I /I ≃ indH δxi
i i−1 H∩xiPx−i 1 χ|H∩xiPx−i 1
pour i = 0,...,n, ou` δxi est la repr´esentation de x Px−1 dans V d´efinie par:
χ i i
δxi(x px−1) = δ (p),p ∈ P
χ i i χ
Ici les fonctions de l’espace de l’induite sont `a support compact modulo le sous groupe
induisant et sont invariantes `a gauche par un sous-groupe compact ouvert de H.
En particulier:
J ≃ indH (V )
χ H∩P δχ
Grˆace au lemme de Shapiro, H (H,J ) = H (H ∩P,V ). Mais H ∩P = H ∩M car P
0 χ 0 δχ
est un σ-sous-groupe parabolique de G et χ ∈ X(M) est trivial sur M ∩H. D’ou` le
σ
point (i) du Th´eor`eme.
Maintenant on choisit x = x avec i > 0. On pose: P′ = xPx−1, δ′ = δx, χ′ = χx,
i
M′ = xMx−1 etc.
Onveut calculer H (H,I /I ). D’apr`esleLemmedeShapiro, cet espace est isomorphe
∗ i i−1
`a H (H ∩P′,V ).
∗ δ′
χ′
Soit V′ = (M′ ∩σ(U′))(U′ ∩σ(P′)). Alors V′ ∩(M′ ∩σ(M′)) = {e} et V′ est un sous-
groupe unipotent distingu´e dans H ∩P′. Comme V′ ∩H est un sous-groupe distingu´e
de P′ ∩H = ((M′ ∩ σ(M′) ∩ H)(V′ ∩ H), qui est de plus la r´eunion de sous-groupes
compacts, les propri´et´es de l’homologie lisse montrent que:
H (H ∩P′,V ) = H (H ∩M′,H (V′ ∩H,V ) )
∗ δ′ ∗ 0 δ′ χ′
χ′
Ici l’indice χ′ indique, dans le second membre, la tensorisation par le caract`ere χ′ .
|H∩M′
On note que l’action de V′ sur V ne d´epend pas de χ′, car χ′, ´etendu `a P′ en le
δ′
χ′
prenant trivial sur U′, est trivial sur V′ puisque celui-ci est r´eunion de sous-groupes
compacts ouverts.
On a P′ ∩ σ(P′) = (M′ ∩ σ(M′))V′. Un argument qui est une adaptation au cas p-
adique d’une id´ee de [CarD], montre alors que H (V′ ∩H,V ) ≃ H (M′ ∩σ(U′),V ).
0 δ′ 0 δ′
Finalement on a:
H (H,I /I ) ≃ H (H ∩M′,H (M′ ∩σ(U′),V ) )
∗ i i−1 ∗ 0 δ′ χ′
Mais M′∩σ(U′) est le radical unipotent du sous-groupe parabolique de M′, M′∩σ(P′),
de sous-groupe de L´evi M′ ∩σ(M′).
4
Donc H (M′ ∩ σ(U′),V ) est un M′ ∩ σ(M′)-module admissible de type fini. Ceci
0 δ′
implique qu’il existe des caract`eres χ ,...,χ du centre Z′ de M′ ∩σ(M′) tels que pour
1 p
toutz ∈ Z, (z−χ (z))...(z−χ (z)) agissetrivialement surcelui-ci. Maisonpeuttrouver
1 p
un ´el´ement z de Z′ ∩ H tel que l’application b : X′ → C, donn´ee par χ′ 7→ χ′(z ),
0 z0 0
ne soit pas constante. Alors, tenant compte du fait que l’action de z , qui est dans le
0
centre de H ∩M′ = H ∩M′ ∩σ(M′), sur H (M ∩H,H (M ∩σ(U′),V ) ) est triviale,
∗ 0 δ′ χ
on voit facilement que si q′(χ) = (1 −χ (z )χ′(z ))...(1 −χ (z )χ′(z )) est non nul, l’
1 0 0 p 0 0
homologie ci-dessus est nulle, donc aussi H (H,I /I ).
∗ i i−1
Un argument de longue suite exacte donne le point (ii) du Th´eor`eme, en utilisant pour
q le produit des q′ lorsque i varie dans {1,...,n}.
Pour ´etablir les propri´et´es de rationalit´e de (iii), on reprend l’´etude ci-dessus en rem-
placant δ par δ .
χ B
Les racines du plus grand tore d´eploy´e du centre de M, A , dans l’alg`ebre de Lie de
M
P s’identifient `a des ´el´em´ents de a∗ , dont on note ρ la demi-somme compt´ee avec les
M P
mutiplicit´es.
On note C(G,P,δ∗,χ) l’espace des fonctions ψ sur G, `a valeur dans le dual V∗ de V ,
δ δ
telles que:
Pour tout v ∈ V , g 7→< ψ(g),v > est continue et :
δ
(0.1)
ψ(gmu) = e−2ρP(HM(m))χ(m)δ∗(m−1)ψ(g),g ∈ G,m ∈ M,u ∈ U
Le groupe G agit par repr´esentation r´eguli`ere gauche sur cet espace.
Si ψ ∈ C(G,P,δ∗,χ) et ϕ ∈ I , on note < ψ,ϕ >= < ψ(k),ϕ(k) > dk qui d´efinit
χ K
uncrochet dedualit´eG-invariantsur cesespaces. CecRipermet d’identifier C(G,P,δ∗,χ)
`a un sous-espace de I∗ .
δχ
On introduit une application ε(G,P,δ,χ,η): G → V , caract´eris´ee par la propri´et´e de
δ∗
covariance (0.1), nulle en dehors de HP, H-invariante `a gauche et valant η en e.
On introduit enfin une fonction k k sur G/H et M/M ∩H.
Th´eor`eme :
Soit η ∈ V∗M∩H et r ∈ R tel que pour tout v ∈ V , l’application de M/M ∩H dans C:
δ δ
m(M ∩H) 7→< δ∗(m)η,v >
soit born´ee par un multiple de km(M ∩H)kr.
Alors il existe ν ∈ a∗ ⊂ a∗ , P-dominant, tel que pour tout χ ∈ X avec Reχ−2ρ −ν
0 M,σ M P 0
strictement dominant par rapport aux racines de A dans l’alg`ebre de Lie de P, la
M
fonction ε(G,P,δ,χ,η) est un ´el´ement de C(G,P,δ∗,χ).
L’´el´ement de I∗ correspondant `a ε(G,P,δ,χ,η) est ´egal `a j(P,δ,χ,η).
χ
On remarquera que si P est un σ-sous-groupe parabolique minimal, tout η ∈ V∗M∩H
δ
v´erifie la condition du th´eor`eme. Des r´esultats r´ecents de Nathalie Lagier indiquent
qu’il doit en ˆetre ainsi mˆeme si P n’est pas minimal, au moins si δ est unitaire.
On notera que lorsque G = G ×G et σ est l’involution qui ´echange les facteurs, notre
1 1
article donne une nouvelle approche des int´egrales d’entrelacement (cf.[BrD] pour le cas
r´eel).
5
Il est important de noter que les r´esultats de A.G. Helminck et S.P. Wang [HWan],
et A.G. Helminck et G.F. Helminck [HH], sur la structure des espaces sym´etriques p-
adiques sont `a la base de ce travail. Il faut ´egalement dire que la page web de A. G.
Helminck annonce, dans un rapport, un travail avec G.F. Helminck sur le mˆeme sujet
que celui trait´e dans cet article.
Nous esp´erons que nos r´esultats seront compl´ementaires et que notre m´ethode, `a savoir
l’utilisation de l’homologie lisse, pourra ˆetre utile dans d’autres situations.
Remerciements:
Nous remercions Jean-Pierre Labesse pour avoir r´epondu `a de nombreuses questions
pendant l’´elaboration de ce travail.
1 Homologie lisse de l-groupes
1.1 Modules projectifs
On appelle l-groupe, un groupe localement compact, G, d´enombrable `a l’infini, qui
admet une base de voisinages de l’´el´ement neutre form´ee de sous-groupes ouverts com-
pacts. On notera dg une mesure de Haar `a gauche sur G. On note C∞(G) l’espace
c
des fonctions localement constantes `a support compact, `a valeurs complexes. On note
M(G) la cat´egorie des G-modules lisses, i.e. des repr´esentations de G dans un espace
vectoriel complexe dont tout vecteur est fix´e par un sous-groupe compact ouvert. On
voit facilement que C∞(G) muni de l’action r´eguli`ere droite, (resp. gauche), est un
c
G-module lisse. Appliquant ce r´esultat `a Gn, puis plongeant G diagonalement dans Gn,
on voit que C∞(Gn) muni de l’action r´eguli`ere gauche L, (resp. droite R), de G (ou` G
c
agit diagonalement sur Gn) est un G-module lisse. Nous redonnons ici une preuve d’un
r´esultat de [Cas], Th´eor`eme A.4, qui est la version p-adique d’un r´esultat de [Bl] pour
les groupes de Lie.
Lemme 1 Le module C∞(Gn+1) muni de l’action r´eguli`ere droite est projectif dans
c
M(G).
D´emonstration:
On fixe ϕ ∈ C∞(Gn+1) tel que ϕ(x)dx = 1. Si g, x ∈ Gn+1, f ∈ C∞(Gn+1), on
c Gn+1 c
d´efinit: R
f (x) = f(x)ϕ(xg) (1.1)
g
Alors f est ´el´ement de C∞(Gn+1). Par un calcul imm´ediat on voit que:
g c
R f = (R f) (1.2)
h h−1g h g
Soit P : U → V → 0 un morphisme surjectif de G-modules lisses et F : C∞(Gn+1) → V
c
un morphisme de G-modules. Soit S une section lin´eaire de la surjection P : U → V
On d´efinit:
F(f) := g Sg −1F(f )dg, f ∈ C∞(Gn+1)
Z 0 0 g c
Gn+1
Ici g = (g ,...,g ).
0 n
6
On va v´erifier que F est un morphisme de G-modules entre C∞(Gn+1) et U tel que
c
P ◦F = F.
Soit f ∈ C∞(Gn+1). Alors:
c
P(F(f)) = P(g Sg−1F(f ))dg
Z 0 0 g
Gn+1
Mais Pg = g P et PS = Id . Donc:
0 0 V
P ◦F(f) = F(f )dg
Z g
Gn+1
Mais
F(f )dg = F( f dg)
Z g Z g
Gn+1 Gn+1
car l’int´egration est en fait une somme finie. De plus
f (x)dg = f(x)ϕ(xg)dg = f(x)
Z g Z
Gn+1 Gn+1
Il en r´esulte que PF(f) = F(f). Il faut maintenant voir que F est un G-morphisme.
Grˆace `a (1.2), on voit que pour h = (h ,...h ) ∈ Gn+1 avec h ∈ G:
0 0 0
F(R f) = g Sg−1F(R f )dg
h Z 0 0 h h−1g
Gn+1
On effectue le changement de variable g′ = h−1g, qui implique que g = h g′ et l’on
0 0 0
trouve
F(R f) = h g Sg−1F(f )dg = h F(f)
h Z 0 0 0 g 0
Gn+1
Il r´esulte de ce qui pr´ec`ede que si V est un G-module lisse, C∞(G)⊗V est projectif
c
pour l’action r´eguli`ere droite sur le premier facteur. Remarquons que l’on peut rem-
placer l’action r´eguli`ere droite par l’action r´eguli`ere gauche sur C∞(G) car l’application
c
f → f∨ ou` f∨(g) = f(g−1) entrelace ces deux actions. Montrons que:
L’application de C∞(G)⊗V dans V d´efinie par:
c
f ⊗v → f(g)gvdg
Z
G (1.3)
est un morphisme surjectif de G-modules lisses pour le produit tensoriel
de la repr´esentation r´eguli`ere gauche sur C∞(G) avec la repr´esentation
c
triviale sur V
Il est surjectif car, si v est fix´e par K, on prend f = 1 /vol(K), ou` 1 est l’indicatrice
K K
de K et f ⊗v a pour image v. Comme L f ⊗v a pour image f(h−1g)gvdg, on fait
h G
R
7
le changement de variable g′ = h−1g pour voir que c’est un G-morphisme. Donc M(G)
a suffisamment de projectifs et:
Tout V ∈ M(G) admet une r´esolution projective par des modules du type
C∞(G)⊗W, ou` G agit par produit tensoriel de la repr´esentation r´eguli`ere (1.4)
c
gauche avec la repr´esentation triviale sur W.
Mais on dispose d’une autre action de G sur C∞(G) ⊗ V: le produit tensoriel des
c
actions sur C∞(G) et sur V. On remarque que C∞(G)⊗V est ´egal `a C∞(G,V). Plus
c c c
g´en´eralement G agit sur C∞(Gn+1,V) par:
c
(g.f)(g ,...,g ) = gf(g−1g ,...,g−1g ), f ∈ C∞(Gn+1,V), g,g ,...,g ∈ G (1.5)
0 n 0 n c 0 n
Notons que C∞(Gn+1,V) est isomorphe au G-module C∞(Gn+1)⊗V ou` G agit par la
c c
repr´esentation r´eguli`ere gauche de mani`ere diagonale sur le premier facteur et triviale-
ment sur le second, l’isomorphisme ´etant donn´e par:
f 7→ f˜ou` f˜(g ,...,g ) = g−1f(g ,...,g ), f ∈ C∞(Gn+1,V) (1.6)
0 n 0 0 n c
Notons que l’inverse de cet isomorphisme est donn´e par:
f → f,f ∈ C∞(Gn+1,V) avec : f(g ,...,g ) = g f(g ,...,g ) (1.7)
c 0 n 0 0 n
b b
car on a:
(g˜f)(x) = x−1(gf)(x) = (x−1g)f(g−1x) = (gx )−1f(g−1x) = f˜(g−1x) (1.8)
0 0 0
Donc les modules C∞(Gn+1,V) sont projectifs.
c
1.2 Homologie lisse, r´esolution standard et complexe de
chaines inhomog`enes
D´efinition 1 Pour un module lisse V, on d´efinit V = J (V), l’espace des coinvari-
G G
ants, comme le quotient de V parl’espacevectoriel engendr´eparlesgv−v, g ∈ G,v ∈ V.
Alors J est un foncteur exact `a droite. On d´efinit alors l’homologie lisse de V,
G
H (G,V), comme ´etant l’homologie du complexe:
∗
··· → J (P ) → J (P ) → 0
G 1 G 0
qui est obtenu par application du foncteur J `a une r´esolution projective de V
G
··· → P → P → P → V → 0
2 1 0
Par des arguments classiques (cf e.g. [CartE], Ch V, §3 ), H (G,V) ne d´epend pas
∗
de la r´esolution projective choisie. De plus, H (G,V) est canoniquement isomorphe `a
0
J (V).
G
En particulier on dispose de la r´esolution standard de V (cf. e.g. [G], Ch. I, Equation
(12.2), pour le cas des groupes discrets):
8
Lemme 2 On consid`ere la suite
··· → C∞(Gn+2,V)−δ→n C∞(Gn+1,V)−δn→−1 ···−δ→0 C∞(G,V)−η→V → 0 (1.9)
c c c
ou`:
n+1
(δ f)(g ,...,g ) = (−1)i f(g ,...,g ,g,g ,...,g )dg (1.10)
n 0 n Z 0 i−1 i n
X G
i=o
Ici:
η(f) = f(g)dg, sif ∈ C∞(G,V) (1.11)
Z c
G
et l’action sur C∞(Gn+1,V) est celle d´efinie en (1.5). C’est une r´esolution projective
c
de V, dite r´esolution standard.
D´emonstration:
Pour voir que la suite (1.9) est exacte, on montre que pour chaque sous-groupe ouvert
compact, la suite:
→ C∞((K\G)n+2,VK)−δ→n C∞((K\G)n+1,VK) → ···C∞(K\G,VK)−→η VK → 0
c c c
(1.12)
est exacte. Pour cela on introduit:
σ : C∞((K\G)n,VK) → C∞((K\G)n+1,VK)
n c c
(σ f)(g ,...,g ) = (1 (g )/vol(K))f(g ,...,g ) (1.13)
n 0 n K 0 1 n
avec (g ,...,g ) ∈ Gn+1 etf ∈ C∞((K\G)n,VK)
0 n c
Alors σ est une homotopie contractante comme on le v´erifie ais´ement, car on a:
n
ησ = Id
0 VK
et
δ σ +σ δ = Id
n n+1 n n−1 C∞((K\G)n+1,VK)
c
puisque, pour f ∈ C∞((K\G)n+1,VK):
c
(δ σ f)(g ,...,g ) = (δ ((1 /volK)⊗f))(g ,...,g )
n n+1 0 n n K 0 n
= f(g ,...g )−(1 (g )/vol(K))⊗(δ f)(g ,...,g )
0 n K 0 n−1 1 n
soit encore:
(δ σ f)(g ,...,g ) = f(g ,...,g )−((σ δ )(f))(g ,...,g )
n n+1 0 n 0 n n n−1 0 n
qui est l’´egalit´e voulue. Comme tout f ∈ C∞(Gn+1,V) est ´el´ement de
c
C∞((K/G)n+1,VK) pour K sous-groupe compact ouvert assez petit, l’existence de
c
l’homotopie contractante σ prouve l’exactitude du complexe (1.9). Ainsi, tenant
n
compte du Lemme 1 et de (1.5), (1.9) est une r´esolution projective de V.
Donc H (G,V) est le n-i`eme groupe d’homologie du complexe:
n
δ′ δ′
···−→1 H (G,C∞(G2,V))−→0 H (G,C∞(G,V)) → 0 (1.14)
0 c 0 c
9
ou` δ′ est d´eduit de δ par passage aux coinvariants.
n n
D´efinissons:
T : C∞(Gn+1,V) → C∞(Gn,V)
n c c
par (1.15)
(T (f))(g ,...,g ) = g−1f(g,gg ,...,gg ...g )dg
n 1 n Z 1 1 n
G
Lemme 3 Alors T est surjectif et Ker T est engendr´e par les ´el´ements de la forme
n n
g.f −f, ou` on utilise les notations de (1.5).
Avant de proc´eder `a la d´emonstration du Lemme 3, ´etablissons un autre Lemme.
Lemme 4 (i) Soit ϕ ∈ C∞(G,W) ou` W est un espace vectoriel. Alors si:
c
ϕ(g)dg = 0
Z
G
ϕ est une combinaison lin´eaire d ’´el´ements de la forme L ψ−ψ, ψ ∈ C∞(G,W),g ∈ G.
g c
(ii) L’application de C∞(G,W) dans W donn´ee par l’int´egration sur G par rapport `a
c
dg passe au quotient en un isomorphisme entre H (G,C∞(G,W)) et W.
0 c
D´emonstration:
(i) Comme C∞(G,W) = C∞(G)⊗W, et que ϕ ∈ C∞(G,W) ne prend qu’un nombre
c c c
fini de valeurs, on se ram`ene au cas ou` W est de dimension finie, puis, en prenant une
base de W, au cas ou` W est de dimension 1, i.e. C∞(G,W) = C∞(G), ce que l’on
c c
suppose dans la suite. Soit donc ϕ comme dans l’´enonc´e.
Alors ϕ est invariante `a droite par un sous-groupe compact ouvert assez petit.
Donc
n
ϕ = λ 1
i xiK
X
i=1
ou` 1 est l’ indicatrice de xK.
xK
La condition sur ϕ montre que n λ = 0. Donc:
i=1 i
P
n n
ϕ = λ (1 −1 ) = λ (L 1 −1 )
i xiK K i xi K K
X X
i=1 i=1
ce qui ach`eve de prouver (i).
Prouvons (ii). L’application est injective d’apr`es (i) et surjective d’apr`es (1.3).
Corollaire 1 Soit W une repr´esentation lisse de G. On fait agir G sur C∞(G,W) par
c
la repr´esentation
(g,ϕ) → (g.ϕ)
en posant:
(g.ϕ)(x) := gϕ(g−1x), g,x ∈ G
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