Variétés abéliennes et invariants arithmétiques

0.29 MB·French

by  Jean Gillibert

VARIÉTÉS ABÉLIENNES ET INVARIANTS ARITHMÉTIQUES
6
0 JEAN GILLIBERT
0
2

n
a
J 1. Introdu
tion
R K S = Spec(R)
0
Soient un anneau de Dedekind ex
ellent, de
orps de fra
tions , et .
3 S G S GD
On
onsidère un -s
héma en groupes
ommutatif , (cid:28)ni et plat sur , et l'on note
G
]
le dual de Cartier de . Nous disposons d'un homomorphisme
T
π : H1(S,GD) −−−→ Pic(G)
N
.
h
expli
itéen premierparWaterhouse (voir[W℄,Theorem 5). Sil'on
onsidère que lanotion
t
a de torseur (sous un s
héma en groupes (cid:28)ni) généralise
elle d'extension galoisienne, alors
m π GD Pic(G)
on peut dire que mesure la stru
ture galoisienne des -torseurs, le groupe
[
étant identi(cid:28)é à un groupe de
lasses (voir [CN-T℄). GD
5 Plusieurs auteurs se sont intéressés à la
onstru
tion de -torseurs dont l'image par
v π
est triviale,
'est-à-dire de torseurs dont la stru
ture galoisienne est triviale. Plus pré-
5 G S A B := A/G
4
isément, supposons que soit un sous-groupe d'un -s
héma abélien . Soit
At Bt A B
4
le s
héma abélien quotient, et soit (resp. ) le s
héma abélien dual de (resp. ).
1
0 Alors (par dualité) nous avons une suite exa
te (de fais
eaux abéliens pour la topologie
S
4 fppf sur )
0 0 −−−→ GD −−−→ Bt −−−→ At −−−→ 0
/
h
at q∂u:iAdto(nSn)e→lieHu,1p(Sar,GapDp)li
ation du fon
teur des se
tions globales, àψu:n=mπo◦r∂phisme
obord
m . Nous obtenons ainsi un homomorphisme , introduit en
G = A[n] R
premier (dans le
as où et où est l'anneau des entiers d'un
orps de nombres)
:
v
par M. J. Taylor [T88℄, et que l'on appelle usuellement
lass-invariant homomorphism.
i A
X
Srivastav et Taylor [S-T℄, puis Agboola [A2℄, et en(cid:28)n Pappas [P℄ ont montré que, si
G 6
r est une
ourbe elliptique et si l'ordre de est premier à , alors les points de torsion de
a At(S) ψ
appartiennent au noyau de .
ψ G
Dans [G℄, l'auteur a généralisé la
onstru
tion de dans le
as où est un sous-groupe
S
(cid:28)ni et plat d'un -s
héma en groupes semi-stable, ainsi que le résultat d'annulation sur
les points de torsion (dans le
as d'une
ourbe elliptique semi-stable, en supposant l'ordre
G 6
de premier à ).
A
Notre but est Kd'étendre
ette
onstru
tion dansAle◦
adre suivant : soient leAmoΓdèle
de Néron d'une -variété abélienne semi-stable, la
oΦm:p=osAan/tAe ◦neutre de , un
sous-groupe (i.e. un sous-s
héma en groupes ouvert) de (quotient pour la
S G AΓ AΓ
topologie fppf sur ) et un sous-groupe fermé, quasi-(cid:28)ni et plat de (où désigne
Γ A
l'image ré
iproque de dans ). Nous dé(cid:28)nissons (paragraphe 3.2) un homomorphisme
ψ G ⊆ AΓ
(asso
ié à l'in
lusion ) qui se fa
torise de la façon suivante
At,Γ′(S) −−−→ H1(S,Hom (G,G )) −−−π→ Pic(G),
S m
Date: 31 Août 2005.
1
2 JEAN GILLIBERT
′
Γ Γ
où est l'orthogonal de sous l'a

ouplement de monodromie dé(cid:28)ni par Grothendie
k
π
(voirleparagraphe2.2),etoù estun homomorphismequigénéralise
eluideWaterhouse
(voir le paragraphe 3.1).
Γ 7→ AΓ
Signalons i
i que l'appli
ation réalise une bije
tion entre l'ensemble des sous-
Φ A
K
groupes ouverts de et l'ensemble des modèles semi-stables de .
Du point de vue te
hnique, la prin
ipale di(cid:27)éren
e ave
la situation
onsidérée dans
G
[G℄ est l'absen
e de dual de Cartier naturel pour le s
héma en groupes . Cependant, on
Ext1(G,G )
S m
donne i
i une preuve de la nullité du fais
eau pour la topologie fppf (voir le
lemme 2.3). Ce résultat, qui nous a été
ommuniqué par L. Moret-Bailly, nous permet de
généraliser de façon naturelle les
onstru
tions pré
édentes.
Travailler ave
des groupes quasi-(cid:28)nis permet de reformuler le résultat d'annulation de
ψ
démontré dans [G℄. Ainsi on peut énon
er,
omme
orollaire du théorème 4.1 de [G℄, le
résultat suivant (voir le paragraphe 5.1) :
E
Théorème 1.1. Soit le modèle de Néron d'une
ourbe elliptique à rédu
tion semi-stable
K m > 0 6
sur , et soit un entier naturel premier à . Alors les homomorphismes
Et(S) −−−→ H1(S,Hom (E◦[m],G )) −−−π→ Pic(E◦[m])
S m
◦ ◦
E [m] ⊆ E
(asso
ié à ), et
Et,◦(S) −−−→ H1(S,Hom (E[m],G )) −−π−→ Pic(E[m])
S m
E[m] ⊆ E
(asso
ié à ) s'annulent sur les points de torsion.
E◦[m] E[m]
Remarque 1.2. On
onstate que les groupes et sont a(cid:30)nes (paragraphe 2.3).
m E K E[m]
η
D'autre part, si les points de -torsion de sont tous -rationnels, alors le groupe
S Hom (E[m],G ) = E[m]D
S m
estE(cid:28)[nmi]etplatsur ([G℄E, prop.3.6),don
E◦[m] est ledualdeCartier
de . Par
ontre, si n'a pas partout bonne rédu
tion, n'est jamais un groupe
m = 1
(cid:28)ni, sauf pour , valeur pour laquelle il est nul (voir la remarque 3.10).
ψ
L'un des obje
tifs de
e travail est de (cid:19) passer à la limite (cid:20) dans l'étude de . Sup-
K R K
posons que soit un
orps de nombres, et que soit l'anneau des entiers dˆe . Sous
ψ

es hypothèses, nous introduisons (
f. se
tion 4) une version arakélovienne de notre
ℓ
homomorphisme (généralisant
elle introduite par Agboola et Pappas dans [A-P℄) : soit
un nombre premier, on note alors
Ψˆℓ = ←lim− ψˆℓn : At(S)⊗Zℓ −→ l←im− Pcic(A◦[ℓn])
ˆ
ψ
ℓn
la (cid:29)è
he obAte◦n[ℓune] ⊆paAr ◦passage à la limite proje
tiveddisec(l'Kho/mQ)omorphisme assoK
i/éQà
l'in
lusion (
f. paragraphe 5.2). Soient le dis
riminant de ,
U ⊆ S A
et l'ouvert de bonne rédu
tion de . Les résultats de [A-P℄ impliquent alors le
résultat qui suit :
Ψˆ
ℓ
Théorème 1.3. L'homomorphisme est inje
tif modulo les points de torsion. En outre,
S ℓ U ℓ
s6i·tdoiuscs(Kles/Qpo)ints deΨˆ de
ara
téristique sont
ontenus dans , et si ne divise pas
ℓ
, alors est inje
tif.
v A ℓ
Remarque 1.4. SuppoΦsons que, pour toute pAla◦
[ℓen] =deAm[ℓanu]vaise rédu
tion den , ne
v
divise pas l'ordre de . Alors nous avons pour tout entier ,
e qui
Ψˆ
ℓ
permet d'exprimer plus simplement l'ensemble d'arrivée de .
VARIÉTÉS ABÉLIENNES ET INVARIANTS ARITHMÉTIQUES 3
Remarque 1.5. Philippe Cassou-Noguès et Martin Taylor ont remarqué une analogieentre
ψ
l'annulation de sur les points de torsion et la
onje
ture de Bir
h et Swinnerton-Dyer
(voir la remarque 5.8 de [T91℄ ainsi que les
ommentaires qui suivent le théorème 4 de
Ψ : At(S)⊗Z → lim Pic(A◦[ℓn]) Ψˆ
[CN-T℄). Soit à présent ℓ ℓ ←− le morphisme déduit de ℓ par
Ψ
ℓ
oubli des métriques. Les remarques pré
édentes suggèrent un lien entre l'inje
tivité de
ℓ
sur les points d'ordre in(cid:28)ni et la
onje
ture de Bir
h et Swinerton-Dyer -adique.
A
Remarquonsque,si estune
ourbeelliptiqueàmultipli
ation
omplexe,ayantpartout
K ℓ Ψ
ℓ
bonne rédu
tion sur et rédu
tion ordinaire en , alors l'inje
tivité de modulo les
points de torsion a été démontrée (sous
ertaines hypothèses) par Agboola et Taylor (voir
[A-T℄ ou le théorème 6 de [CN-T℄).
Remer
iements. Je remer
ie Laurent Moret-Bailly pour m'avoir
ommuniqué la preuve
du lemme 2.3, à la lumière duquel
et arti
le a été largement remanié, ainsi que pour sa
rele
ture de l'ensemble du texte. Je tiens également à exprimer ma re
onnaissan
e envers
John Boxall pour l'en
adrement de ma thèse, dont
e travail est issu.
2. Problèmes d'exa
titude
R
Rappelons les notations qui seront en vigueur tout au long de
et arti
le : est un
K S = Spec(R) η
anneau de Dedekind ex
ellent, de
orps de fra
tions . Soit et soit le
S G S
m
point générique de . Nous noterons le groupe multipli
atif sur .
S
On dit qu'un -s
héma en groupes est semi-stable s'ilest
ommutatif,lisse, séparé, et si
les
omposantes neutres de ses (cid:28)bres sont extensions de variétés abéliennes par des tores.
S A
On (cid:28)xe une fois pour toutes un -s
héma en groupes semi-stable dont la (cid:28)bre
A U ⊆ S
η
générique est une variété abélienne. On notera l'ouvert de bonne rédu
tion
A A U
U
de , de sorte que est un -s
héma abélien.
2.1. Isogénies duales sur le petit site fppf. Supposons que l'on se donne un épimor-
f : A → B S f : A → B
η η η
phisme (fppf) entre -s
hémas en groupes semi-stables, tel que
kerf S
soit une isogénie. Alors est un -s
héma en groupes plat et quasi-(cid:28)ni (voir [BLR℄,
Ÿ7.3, lemma 1). De plus, nous avons un
arré
artésien
kerf −−−→ A
 
 
f
y y
e
S −−−→ B
e : S → B B
où désigne la se
tion unité, qui est une immersion fermée
ar est séparé. Par
kerf → A
suite, est une immersion fermée.
G S A
Ré
iproquement, soit un sous- -s
héma en groupes fermé, quasi-(cid:28)ni et plat de . Le
G
lemme suivant montre que s'ins
rit dans une suite exa
te.
A/G S
Lemme 2.1. Le fais
eau quotient , pour la topologie fppf sur , est représentable par
S
un -s
héma en groupes semi-stable.
A/G
Démonstration. Lefais
eauquotient estreprésentable([An℄,
hap.IV,théorème4.C)
S B A
par un -s
héma en groupes, que nous noterons (on se sert du faitque est de type (cid:28)ni
S S ≤ 1 ϕ : A → B
sur , et régulier de dimension ). La proje
tion
anonique est (cid:28)dèlement
A S B S B S
plate, et est un -s
héma plat, don
est un -s
héma plat. De plus est lisse sur
4 JEANGILLIBERT
grâ
e au
ritèBre de lissité par (cid:28)bres ([BLR℄, Ÿ2.4, prop. 8). En(cid:28)n, les
omposantes neutre(cid:3)s
des (cid:28)bres de sont extensions de variétés abéliennes par des tores.
Ainsi nous avons une suite exa
te
ϕ
0 −−−→ G −−−→ A −−−→ B −−−→ 0
S ϕ : A → B
U U U
defais
eauxabélienspourlatopologiefppfsur .Deplus,larestri
tion est
U ϕt : Bt → At
U U U
une isogénie entre -s
hémas abéliens. Il existe alors une isogénie duale ,
GD G At Bt U
U U U U
dont le noyau est le dual de Cartier de . I
i, et désignent les -s
hémas
A B
U U
abéliens duaux de et respe
tivement.
ϕt S
U
Nous voulons prolonger l'isogénie duale en un morphisme de fais
eaux sur , pour
Hom(−,G )
m

elanous allonsnous servirdu fon
teur etdeses dérivés. Dans
etteoptique,
Hom(A,G )
m
le gros site fppf ne nous
onvient pas,
ar le fais
eau n'est pas nul. Nous
allons don
utiliser un autre site, qui nous permettra d'énon
er le lemme 2.2.
S U
Plus pré
isément, nous
onsidérons le (cid:19) petit site fppf (cid:20) sur (resp. sur ),
'est-à-dire
S U
la
atégorie des s
hémas plats sur (resp. sur ) munie d'une stru
ture de site pour la
S U
topologie fppf. Nous appellerons fais
eau (pour la topologie fppf) sur (resp. sur ) un
fais
eau sur
e site.
Hom Hom
S U
Nousnoterons (resp. )lefais
eaudeshomomorphismesdefais
eauxabéliens,
S U
restreint au petit site fppf sur (resp.∗sur ).
j : U → S j
Soit l'ijn
:luUsi→on,Set soit le fon
teur (cid:19) image inverse (cid:20)Sde fais
eaux
jo∗rre-
spondant. La (cid:29)è
he étant un objet du petit site fppf sur , le fon
teur est
un (cid:19) fon
teur de lo
alisation (cid:20) (voir [SGA 4℄, ejx∗posé IV, paragraphes 5.1 à 5.4).
En parti
ulier, il en résulte que l'image par d'un fais
eau représentable (disons par
S Y U Y := Y × U F
U S 1
un -s
héma plat ) est représenté par le -s
héma . D'autre part, si
F S
2
et sont deux fais
eaux abéliens sur , la (cid:29)è
he
anonique
∗ ∗ ∗
j (Hom (F ,F )) → Hom (j F ,j F )
S 1 2 U 1 2
j∗
est un isomorphisme(voir[SGAj4℄, exposé IV, prop.j∗12.3,b), p.502).De plus, est exa
t
!
et admet un adjoint à gau
he exa
t. Par suite, envoie les inje
tifs sur des inje
tifs
(voir [SGA 4℄, exposé V, paragjr∗a(Ephxet12(.F2).,FNo)u)s≃dEérxivt1on(js∗aFlo,rjs∗dFes)deux
tés de la (cid:29)è
hYe
S 1 2 U 1 2
et obtenons un isomorphisme . En parti
ulier, soit
S Y U
U
un -s
héma en groupes plat tel que soit un -s
héma abélien, alors nous obtenons
un isomorphisme
j∗(Ext1(Y,G )) ≃ Yt
S m U
(1)
Yt Y Ext1(Y ,G )
U U U U m
où est le s
héma abélien dual de . On se sert i
i du fait que est
Yt
U
isomorphe à (voir [SGA 7℄, exposé VII, 2.9.5 et 2.9.6).
Nous avons le résultat suivant (voir [G℄, lemme 2.2) :
Y S Y
η
Lemme 2.2. Soit un -s
héma en groupes plat, dont la (cid:28)bre générique est une
Hom (Y,G )
S m
variété abélienne. Alors est nul.
D'autre part,nous devons à L. Moret-Baillyladémonstrationdu lemmequi suit (laque-
S ≤ 1
lle dépend du fait que est régulier de dimension ).
G
Lemme 2.3 (L. Moret-Bailly). Soit un s
héma en groupes (
ommutatif) plat, séparé
S Ext1(G,G )
S m
et quasi-(cid:28)ni sur . Alors est nul.
VARIÉTÉS ABÉLIENNES ET INVARIANTS ARITHMÉTIQUES 5
S G
Démonstration. Onpeutsupposer lo
alhensélien.Legroupe étantquasi-(cid:28)nietséparé
S H S
sur , il admet un plus grand sous-groupe ouvert et fermé (cid:28)ni sur (voir [SGA 7℄,
G H G/H
exposé IX, 2.2.3). De plus, la platitude de entraîne
elle de . Le quotient est
S
alors étale sur (sa se
tion unité est ouverte), de (cid:28)bre spé
iale nulle. Sa (cid:28)bre générique
K
est don
un -s
héma en groupes (automatiquement séparé) (cid:28)ni étale. On en déduit que
G/H S H S
est lui-même plat, quasi-(cid:28)ni et séparé sur . Le groupe étant (cid:28)ni et plat sur ,
Ext1(H,G ) = 0
S m
nous avons (voir [SGA 7℄, exposé VIII, 3.3.1). Ainsi on se ramène au
G

as où est étale, à (cid:28)bre spé
iale nulle.
Ω G G G G
m K
Soit uneextensionde par .Onremarqueque etlase
tionunitéde forment
G Ω
un re
ouvrement ouvert de . Don
trivialiser l'extension équivaut à trivialiser sa (cid:28)bre
G G
K m,K
génKérique (extension de par ). Une Stelletrivialisationexiste après extension (cid:28)n(cid:3)ie
de , don
après revêtement (cid:28)ni et plat de , d'où le résultat.
A présent, nous
onsidérons la suite
ϕ
0 −−−→ G −−−→ A −−−→ B −−−→ 0
S

omme étant une suite exa
te de fais
eaux sur le petit site fppf de .
Hom (−,G )
S m
Nous obtenons,enappliquantlefon
teur à
ettesuite, une(longue)suite
exa
te de
ohomologie
Hom (A,G ) → Hom (G,G ) → Ext1(B,G ) → Ext1(A,G ) → Ext1(G,G )
S m S m S m S m S m
S
dont les termes sont des fais
eaux abéliens sur . Le premier terme est nul, d'après le
lemme 2.2, ainsi que le dernier terme, d'après le lemme 2.3. Ainsi nous obtenons une suite
exa
te
0 −→ Hom (G,G ) −→ Ext1(B,G ) −−ϕ−∗→ Ext1(A,G ) −→ 0.
(2) S m S m S m
j∗
D'après
e qui pré
ède (voir (1)), son image par le fon
teur est la suite
ϕt
0 −−−→ GD −−−→ Bt −−−U→ At −−−→ 0.
U U U
S
Cette dernière admet don
un (cid:19) prolongement (cid:20) sur .
Par appli
ation du fon
teur des se
tions globales, nous pouvons déduire de la suite (2)
un morphisme
obord
δ : Ext1(A,G ) → H1(S,Hom (G,G )).
S m S m
Nous allons voir à présent
omment la théorie des biextensions permet d'é
lair
ir les
Ext1(A,G )
S m

hoses en
onstruisant expli
itement des se
tions du fais
eau .
A A A
η
2.2. Biextensions et fais
eau image. Soit le modèle de Néron de . Alors,
A → A A → A
η η
étant semi-stable, la (cid:29)è
he prolongeant l'appli
ation identique est
une immersion ouverte, et induit un isomorphisme entre les
omposantes neutres (voir
A A
[BLR℄, Ÿ7.4◦, prop. 3). Par suite, nous identi(cid:28)erons à un sous-groupe ouvert de . Soit
Φ := A/A A Γ Φ
le groupe des
omposantes de . Alors il existe un sous-fais
eau de tel
A Γ A → Φ
que soit l'image ré
iproque de par la surje
tion
anonique . Nous adopterons
A = AΓ
don
la notation usuelle .
At A At
η η
Soit à présent lavariété abélienne duale de , et soit son modèle de Néron, alors
(At) = At A
U U U
est le s
héma abélien dual de ,
e qui est
onsistant ave
les notations
6 JEANGILLIBERT
pré
édentes. Nous allEoxnts1v(Aoi,rG
om) ment la théorAiet des biextensions permet d'établir un
S m
lien entre le fais
eau et le s
héma .
A At P
η η η
On sait que la dualité entre et dé
oule de l'existen
e d'un (cid:28)bré en droites sur
A × At
η K η
, que l'on appelle (cid:28)bré de Poin
aré. Cependant nous envisageons i
i la dualité
dans un
adre plus général à l'aide de la notion de biextension, introduite par Mumford
dans [Mu℄. Pour une dé(cid:28)nition pré
ise de
ette notion nous renvoyons le le
teur aux
exposés de Grothendie
k ([SGA 7℄, exposé VII) et de Milne ([Mi℄, Appendix C).
P
η
Grâ
e au théorème du
arré, on peut munir le (cid:28)bré de Poin
aré d'une unique stru
-
(A ,At) G
η η m,K
ture de biextension de par , que l'on appelle la biextension de Weil, et que
W W
η η
l'on note . Une question naturelle se pose : se prolonge-t-elle en une biextension
sur les modèles de Néron?
L'a

ouplement(dit(cid:19)demonodromie(cid:20))introduitparGrothendie
kdans[SGA 7℄nous
donne la réponse. Φ′ At
Plus pré
isément, soit le groupe des
omposantes de . On déduit de la le
ture de
W
η
([SGA 7℄, exposé VIII, théorème 7.1, b)) un a

ouplement (asso
ié à )
Φ× Φ′ −→ (Q/Z) .
S S
A
Signalons i
i que, étant semi-stable,
et a

ouplement est non dégénéré (voir [SGA 7℄,
exposé IX, théorème 11.5; on pourra également
onsulter [We℄ pour la propriété de
om-
patibilité laissée au le
teur par Grothendie
k). Le problème de prolongement est alors
résumé par la proposition qui suit.
M M′ Φ Φ′
Proposition 2.4. SoWit ((reAsMp.,At,)Mu′)n sousG-groupe de (resp. ). Alors il existe uWne
m η
(uni(qAue),Abtie)xtension de M M′ par prolongeant la biextension de Weil
η η
sur si et seulement si et sont orthogonaux sous l'a

ouplement.
Démonstration. Le résultat dé
oule de ([SGA 7℄, exposé VIII, théorème 7.1, b)) dans le

as parti
ulier où la base est un trait. En outre, après le
ture de ([SGA 7℄, exposé VIII,
remarque 7.2), on voit que
e résultat s'étend au spe
tre d'un anneau de Dedekind,
e qu(cid:3)i
est bien le
as i
i.
X (AM,At,M′) G t(X)
m
Notations 2.5. Soit une biextension de par . Nous noterons le
G X
m
-torseur sous-ja
ent à la biextension .
Γ′ Γ W
Nous noteron(sAΓ,lA'otr,tΓh′)ogonalGde sous l'a

ouWplement deWmonodromie, et l'unique
m η
biextension de par prolongeant . Alors dé(cid:28)nit un morphisme de
fais
eaux
α : At,Γ′ −→ Ext1(AΓ,G ).
S m
γ α S
Nous noterons le morphisme induit par sur les -se
tions.
B B Ψ
η
Onnote lemodèledeNérondelavariétéabélienne ,et legroupedes
omposantes
B B B
de . Alors (voir [BLR℄, Ÿ7.4, prop. 3) s'identi(cid:28)e à un sous-groupe ouvert de . Nous
B = BΛ Λ B
noterons don
, où est le groupe des
omposantes de , identi(cid:28)é à un sous-
Ψ Bt B Bt
η η
fais
eau de . Soit la variété abélienne duale de , soit son modèle de Néron, et
ϕt : Bt → At ϕ
η
soit W′ l'unique morphisme(pBro,lBontg)eant l'isogénie duale de(ϕ .×id )∗(W′)
Soit η la biextension de Weil sur η η . Alors les biextensions η Bηt η et
(id ×ϕt)∗(W ) (A ,Bt)
Aη η η sont isomorphes sur η η .
VARIÉTÉS ABÉLIENNES ET INVARIANTS ARITHMÉTIQUES 7
ϕ : Φ → Ψ ϕt : Ψ′ → Φ′ ϕ ϕt
Notons à présent (resp. ) le morphisme induit par (resp. )
Λ Γ/G G
sur les groupes de
omposantes respe
tifs. On
onstate que n'est autre que , où
G Φ Λ = ϕ(Γ)
est l'image de dans . Par suite, nous avons . Soit le diagramme :
Φ× Φ′ −−−→ (Q/Z)
S S
 x (cid:13)
  (cid:13)
ϕy ϕt (cid:13)
Ψ× Ψ′ −−−→ (Q/Z)
S S
<,> W <,>
A η B
danslequelon noteW′ l'a

ouplementdu haut(asso
ié à ),et l'a

ouplement
η
(dϕu b×asid(as)s∗o(
Wié′)à= (i)d. Il×réϕsut)lt∗e(Walo)rs de ([SGA 7℄, exposé VIII, 7.3.1) et de l'identité
η Bηt η Aη η x ∈η Φque le diaygr∈amΨm′ e pré
édent est
ommutatif,
'est-
à-dire que nous avons, pour tout et tout , l'égalité
< ϕ(x),y > =< x,ϕt(y) > .
B A
Γ′ Γ <,>
A
On rappelle que est l'orthogonalde sous l'a

ouplement . L'identité pré
édente
ϕ(Γ) <,>
B
pe(rϕmte)t−1a(lΓo′r)s de montrer que l'orΛth′ogonΛal de sous l'aΛ
′
o=up(lϕemt)e−n1t(Γ′) est égal
à . Ainsi, l'orthogonal de est donné par : . Il est alors

ommode d'introduire les notations suivantes :
ϕΓ′ Φ′
Notations 2.6. On note le sous-groupe de dé(cid:28)ni par
ϕΓ′ = ϕt((ϕt)−1(Γ′)) = ϕt(Λ′)
At,ϕΓ′ Bt,Λ′ ϕt
de sorte que est l'image de par .
ϕΓ′ Γ′ Γ ϕΓ′
Remarque 2.7. Ilest
lairqkueer(ϕt)estunsous-groupede A,td,◦on
et sonϕtΓor′t=hoΓg′onaux.
Dans le
aΓs′ parti
ulier où eϕsΓt′un sous-groupe de , on a l'égalité ϕΓ′ 6= Γ′. Dans
le
as où est nul, il est
lair que l'est également. Pour un exemple où , nous
renvoyons à la remarque 3.7.
W′ (BΛ,Bt,Λ′) W′
η
Soit la biextension βsu:rBt,Λ′ → Ext1p(rBolΛo,nGgea)nt dont l'existen
e est assurée par
S m
la proposition 2.4, et soit le morphisme de fais
eaux
orrespon-
dant. Pour résumer la situation, nous avons un diagramme
ommutatif à lignes exa
tes
0 −−−→ kerϕt −−−→ Bt,Λ′ −−ϕ−t→ At,ϕΓ′ −−−→ 0
  
  
β α
(3) y y y
0 −−−→ Hom (G,G ) −−−→ Ext1(BΛ,G ) −−ϕ−∗→ Ext1(AΓ,G ) −−−→ 0
S m S m S m
kerϕt
dϕatn:sBlte→queAltla suite du bas n'est autre que la suite (2ϕ)t, etBto,Λù′ est le noyau de
, en plusΛd′'ê=tr(eϕlet)−no1(yΓa′u) de la restri
tion de à . Ce dernier fait dé
oule
aisément de l'égalité
ombinée au lemme du serpent.
G
2.3. Sur les groupes quasi-(cid:28)nis. En fait, notre groupe est a(cid:30)ne. De façon plus
générale,nouspouvons énon
er lapropositionsuivante, annon
ée enpremierparRaynaud
(voir [An℄,
hap. II, prop. 2.3.1). La démonstration dépend
ru
ialement du fait que la
S ≤ 1
base est un s
héma n÷thérien de dimension .
8 JEANGILLIBERT
G S S
Proposition 2.8. Soit un -s
héma en groupes, de type (cid:28)ni, plat, séparé sur , à (cid:28)bre
G
générique a(cid:30)ne. Alors est a(cid:30)ne.
G = Spec(H) H
Sous les hypothèses pré
édentes, nous pouvons don
é
rire , où est
R H
une -algèbre de Hopf (cid:28)dèlement plate. Il est
lair que est de type (cid:28)ni en tant que
R H R
-algèbre. Par
ontre, il est faux en général que soit de type (cid:28)ni en tant que -module.
G S
En e(cid:27)et,
ette propriété équivaut au fait que soit (cid:28)ni sur .
3. Invariant de Pi
ard et homomorphisme de
lasses
Nous
ommençons par généraliser une
onstru
tion due à W. Waterhouse (voir [W℄,
ψ
se
tion 2). Puis nous dé(cid:28)nissons un homomorphisme de
lasses qui généralise les
on-
stru
tions pré
édentes ([T88℄, [P℄, [G℄). Nous suivons i
i une démar
he semblable à
elle
de [G℄, en abrégeant
ertains détails.
G S
3.1. L'invariant de Pi
ard. Soit un -s
héma en groupes
ommutatif. Nous dis-
posons d'une suite exa
te de groupes abéliens (déduite de la suite spe
trale lo
ale-globale
pour les Ext (voir [SGA 4℄, exposé V, proposition 6.3, 3))
H1(S,Hom (G,G )) −−−ν→ Ext1(G,G ) −−−→ Ext1(G,G )(S)
(4) S m m S m
ν G
où leSmorphisEmxet1(Ges,tGinj)e
=tif.0Si l'on suppose en outre que νest quasi-(cid:28)ni, plat et séparé
S m
sur , alors d'après le lemme 2.3, don
est bije
tif. Nous donnons
alors la
onstru
tion expli
ite d'une (cid:29)è
he
ρ : Ext1(G,G ) → H1(S,Hom (G,G ))
m S m
ρ◦ ν = id
telle que . Nous obtiendrons ainsi (voir le théorème 3.1) un analogue, dans le

as quasi-(cid:28)ni, du Theorem 2' de [W℄.
G S ρ
On suppose à présent que est quasi-(cid:28)ni, plat et séparé sur . Dé(cid:28)nissons : soit une
Ω ∈ Ext1(G,G )
m
extension . Considérons la suite exa
te
g
0 −−−→ G −−−→ Ω −−−→ G −−−→ 0.
m
Hom (G,−)
S
Elle donne lieu, par appli
ation du fon
teur , à une suite exa
te
g◦−
0 −−−→ Hom (G,G ) −−−→ Hom (G,Ω) −−−→ Hom (G,G) −−−→ 0.
S m S S
On obtient ainsi un morphisme
δ : Hom(G,G) → H1(S,Hom (G,G )).
S m
ρ(Ω) Hom (G,G ) δ(id ) ρ(Ω)
S m G
On note alors le -torseur . Autrement dit, est le fais
eau
s : G → Ω
des se
tions , au sens de la théorie des extensions. On véri(cid:28)e qu'on dé(cid:28)nit ainsi
ρ
un morphisme de groupes . En résumé, nous avons :
G S
Théorème 3.1. On suppose que est quasi-(cid:28)ni, plat et séparé sur . Alors l'appli
ation
ρ
dé(cid:28)nie
i-dessus induit un isomorphisme
Ext1(G,G ) ≃ H1(S,Hom (G,G )).
m S m
ρ−1 ν ( )
L'isomorphisme inverse est égal à la (cid:29)è
he de la suite 4 .
VARIÉTÉS ABÉLIENNES ET INVARIANTS ARITHMÉTIQUES 9
ν l : Ext1(G,G ) → Pic(G)
m
En
omposant ave
le morphisme naturel , on obtient un
homomorphisme
π : H1(S,Hom (G,G )) −→ Pic(G).
S m
G π
Dans le
as où est (cid:28)ni et plat, notre
oïn
ide ave
l'homomorphisme dé(cid:28)ni par
Hom (G,G )
S m
Waterhouse (voir [W℄, Theorem 5). En e(cid:27)et, dans
e
adre, est le dual de
GD G GD
Cartier de . D'autre part, étant (cid:28)ni et plat, un argument de des
ente montre
H1(S,GD)
que le groupe reste in
hangé, qu'il soit
al
ulé dans le petit site fppf, le gros
site fppf, ou le gros site fpq
.
3.2. Dé(cid:28)nition et propriétés de l'homomorphisme. Le résultat qui suit est démon-
tré dans [G℄
omme appli
ation du lemme 2.2.
Y S Y
η
Lemme 3.2. Soit un -s
héma en groupes plat, dont la (cid:28)bre générique est une
Ext1(Y,G ) T 7→ Ext1(Y ,G )
S m T m,T
variété abélienne. Alors est isomorphe au fais
eau .
E AΓ G
m
Reprenons les notations du paragraphe 2.2. Soit une extension de par . On
E Hom (G,G ) δ(E) δ(E)
S m
asso
ie à le -torΘseur BΛ . LeGlemme 3.2 peϕrm∗Θet=deEdé
rire
omme
m
étant le fais
eau des extensions de par telles que .
i : G → AΓ E
D'autrei∗pEart, eGn
onGsidérant le mHoormph(isGm,eG ) ρ(i,∗Eon) peut asso
ier à ρ(i∗uEne)
m S m
extension de par , puis un i∗E -torseur .Onpeut dé
rire

omme étant le fais
eau des se
tioi∗nEs de . Θ AΓ
GOr la donnéϕe∗Θd'u=neEse
tion de équivaut à la donnée d'une extension de par
m
telle que . On en déduit le résultat suivant :
Lemme 3.3. Le diagramme suivant :
Pic(AΓ) ←−l1−− Ext1(AΓ,G ) −−−δ→ H1(S,Hom (G,G ))
m S m
  (cid:13)
y i∗y (cid:13)(cid:13)
Pic(G) ←−l−− Ext1(G,G ) −−−ρ→ H1(S,Hom (G,G ))
m S m
l1 Ext1(AΓ,G ) → Pic(AΓ)
m
est
ommutatif, où est le morphisme naturel .
On déduit du lemme 3.3 le diagramme
ommutatif :
At,Γ′(S) −−−γ→ Ext1(AΓ,G ) −−−δ→ H1(S,Hom (G,G ))
m S m
 
 
(5) l1y yπ
Pic(AΓ) −−−→ Pic(G)
ψ : At,Γ′(S) → Pic(G) G ⊆ AΓ
et on dé(cid:28)nit l'homomorphisme (asso
ié à l'in
lusion )

omme étant le
omposé de
es morphismes.
D
Remarque 3.4. Soit l'appli
ation obtenue en
omposant les (cid:29)è
hes suivantes
D : At,Γ′(S) −−−γ→ Ext1(AΓ,G ) −−l−1→ Pic(AΓ).
m
p ψ(p) D(p) G
Le diagramme (5) montre que, pour tout , est la restri
tion de à , que nous
D(p)| ψ
G
noterons . Ce
i généralise la des
ription géométrique de (obtenue par Agboola
A
[A1℄ dans le
as où est un s
héma abélien).
10 JEANGILLIBERT
p ∈ At,Γ′(S)
D'autre part, soit , nous avons alors
D(p) = l1((id ×p)∗(W)) = (id ×p)∗(t(W)),
AΓ AΓ
i : G → AΓ
d'où, en notant l'in
lusion,
∗
D(p)| = (i×p) (t(W)).
G
G S
Remarque 3.5. Supposons que soit un -s
héma en groupes (cid:28)ni et plat. Alors l'ho-
ψ G ⊆ A
momorphisme asso
ié à l'in
lusion
oïn
ide ave
l'homomorphisme de
lasses
dAe=[GA℄, enA
′o=nsAidté,◦rant (ave
leGs notations de [G℄)Ale◦s s
hémas en groupes semψi-stables
et G ⊆ A.◦Si de plus est
ontenu dans , Aalo=rsAl'◦homAom′ =orpAhtisme asso
ié
à l'in
lusion est l'homomorphisme de [G℄ pour et .
p ∈ At,Γ′(S) N G
η
Proposition 3.6. Soit et soit un entier premier à l'ordre de . Alors
D(p)| = 0 D(Np)| = 0 D(p)| = 0 p
G G G
si et seulement si . En parti
ulier, si est un point
N
de -torsion.
m G G m G
η η
Démonstration. Soit l'ordrede ,alors esttuépar .Demêmelegroupe ,quiest
G AΓ m m
η
l'adhéren
e s
hématique de dans , est tué par . Par suite, la multipli
ationpar
Ext1(G,G ) m G
m
dans le groupe , induite par la multipli
ationpar dans , est l'appli
ation
m N N
nulle. Les entiers et éEtaxntt1(pGr,eGmie)rs entre eux, la multipli
ation par est don
un
m
automorphisme du groupe . Or nous pouvons é
rire
∗
D(p)| = l((i×p) (W)).
G
p 7→ D(p)| Ext1(G,G )
G m
Autrementdit,l'homomorphisme sefa
toriseàtraverslegroupe (cid:3).
On en déduit aisément le résultat.
3.3. Cas parti
ulier : suite de Kummer. Un premier avantage de notre
onstru
tion
est de pouvoir traiter le
as kummérien, qui était l'appro
he originale dans [T88℄.
n > 0 nΓ
On (cid:28)xe à présent un entier naturel , et on note l'image de la multipli
ation
n Γ A
par dans [lne]g:roAu◦pe→.AA◦lors (voir [SGA 7℄, exposé IX, 2.2.1), étant semi-stable, le
morphisme est plat, surje
tif, et quasi-(cid:28)ni. En appliquant le lemme du
serpent nous en déduisons une suite exa
te
[n]
0 −−−→ AΓ[n] −−−→ AΓ −−−→ AnΓ −−−→ 0
S
de fais
eaux abéliens pour la topologie fppf sur . Il s'ensuit, d'après les
onsidérations
AΓ[n] S
faites au début du paragraphe 2.1, que est un sous- -s
héma en groupes fermé,
AΓ
quasi-(cid:28)ni et plat de .
nΓ
D'autre part,nl−'a1
Γ
′ouplement de monodromie étant non dégénéré, l'orthogonnal de
n'est auΓtr′e quΦe′ ,
'est-à-dire l'image ré
iproque par la multipli
ation par du sous-
groupe de . On peut résumer la situation par le diagramme (à lignes exa
tes) :
0 −−−→ At[n] −−−→ At,n−1Γ′ −−[−n]→ At,nΓ′ −−−→ 0
  
  
hy y y
0 −−−→ Hom (AΓ[n],G ) −−−→ Ext1(AnΓ,G ) −−[−n]→ Ext1(AΓ,G ) −−−→ 0
S m S m S m