Variationsrechnung: Eine Einführung in die Theorie einer unabhängigen Variablen mit Beispielen und Aufgaben

279 Pages·2010·1.5 MB·German

by  Prof. Dr. Hansjörg Kielhöfer (auth.)

Hansjörg Kielhöfer
Variationsrechnung
Hansjörg Kielhöfer
Variationsrechnung
Eine Einführung in die Theorie einer unabhängigen Variablen
mit Beispielen und Aufgaben
STUDIUM
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Prof. Dr. Hansjörg Kielhöfer
Universität Augsburg
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Institut für Mathematik
Universitätsstraße 14
86135 Augsburg
E-Mail: [email protected]
1. Auflage 2010
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© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Nastassja Vanselow
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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0965-0
Vorwort
DiesesBuchüberVariationsrechnungentstandauseinerVorlesung,dieichwiederholt
fürStudierendederMathematikoderPhysikanderUniversitätAugsburggehaltenhabe.
Das Konzept war, die Vorlesung für Studentinnen und Studenten anzubieten, die erst
imdrittenSemestersind,umsienachdenGrundvorlesungenineinfaszinierendesund
anwendungsorientiertesGebietderMathematikeinzuführen.AusdiesemGrundhabeich
dieTheorieaufeineunabhängigeVariablebeschränkt,undeshatsichgezeigt,dassfür
einenEinstiegindiesogenannte„EindimensionaleVariationsrechnung”Kenntnisseaus
denVorlesungendererstenbeidenSemesterausreichen.Umdiehistorischinteressanten
Fragestellungenwiez.B.dasBrachystochronenproblemdesJohannBernoulli,dasPro-
blemderDido,dasProblemderhängendenKetteoderdieBerechnungvonGeodätischen
nachvollziehenzukönnen,binichderGeschichtederVariationsrechnunggefolgtund
habe zu Beginn die Euler-Lagrange-Gleichung, zunächst ohne, dann mit Nebenbedin-
gungen, hergeleitet. Dabei wird die Existenz eines Minimierers als selbstverständlich
angenommen und es geht darum, ihn zu berechnen. Mit zunehmender Kenntnis von
Beispielen,insbesonderedesdemDirichlet-IntegralnachempfundenenvonWeierstraß,
diekeinezulässigenMinimiererbesitzen,istbeidenStudierendendasBedürfnisnach
einerExistenztheoriegewachsenundderBodenfürdieDirektenMethodenderVaria-
tionsrechnung war bereitet. Auch für diese Theorie ist nur eine unabhängige Variable
vonVorteil,dadieSobolevräumeübereinemIntervallunddiefunktionalanalytischen
HilfsmittelohnegroßetechnischeSchwierigkeitenbereitgestelltwerdenkönnen.
DieÜbungsaufgaben,dieichbegleitendzurVorlesunggestellthabe,sinddenParagraphen
angehängt,zudenensiethematischgehören,undamEndedesBuchesfindetmanderen
Lösungen.ZahlreicheAbbildungensollendasVerständniserleichtern.
FrauRitaMoellerundHerrnIngoBlechschmidtseiandieserStellefürdieErstellung
desManuskriptsbzw.derAbbildungenherzlichgedankt.
März2010 HansjörgKielhöfer
Inhalt
Einleitung 1
1 DieEuler-Lagrange-Gleichung 11
1.1 Funktionenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 DieersteVariation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 DasFundamental-LemmaderVariationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 DieEuler-Lagrange-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 BeispielezurLösungderEuler-Lagrange-Gleichung . . . . . . . . . . . . 30
1.6 MinimalflächenvomRotationstyp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7 DasProblemderDido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8 DasProblemdesJohannBernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.9 NatürlicheRandbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.10 FunktionaleinparametrischerForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.11 DieWeierstraß-ErdmannschenEckenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 69
2 VariationsproblememitNebenbedingungen 79
2.1 IsoperimetrischeNebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
viii Inhalt
2.2 DasProblemderDidoalsVariationsproblem
mitisoperimetrischerNebenbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.3 DiehängendeKette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.4 DieWeierstraß–ErdmannschenEckenbedingungen
unterisoperimetrischenNebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5 HolonomeNebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.6 Geodätische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.7 NichtholonomeNebenbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.8 Transversalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.9 DerSatzvonEmmyNoether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2.10 DasZweikörperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3 DirekteMethodenderVariationsrechnung 177
3.1 DieMethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.2 EineAusführungderDirektenMethodeimHilbertraum . . . . . . . . . . . 195
3.3 AnwendungderDirektenMethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Anhang 227
LösungenderAufgaben 239
Index 273
Literaturverzeichnis 276
Einleitung
DasZielderVariationsrechnungist,gewissemathematischfassbareGrößenzuminimie-
renoderzumaximieren.Dassetztvoraus,dassdieseGrößenWerteineinemgeordneten
Zahlbereichhaben,üblicherweiseinderMengederreellenZahlen.
HistorischentstanddieVariationsrechnungauskonkretenFragestellungenderGeometrie
undPhysik,vondenenwireinigeindiesemBuchbehandeln.Im18.Jahrhundertformu-
liertenMathematiker,dieauchPhysikerwaren,inersterLinieMaupertuis,d’Alembert,
EulerundLagrange,sogenannte„Variationsprinzipien”,wonachdieNatureinZielmit
minimalemAufwandzuerreichensucht(„PrinzipderkleinstenWirkung”).Diemathe-
matischeUmsetzungführtezurEntwicklungderVariationsrechnung,derwirindiesem
BuchinmodernerSprachefolgen.
DieBezeichnung„Variationsrechnung”wurde1744vonEulereingeführtunddieshatte
folgendenGrund:ZurBestimmungderExtremalstellenmussbekanntlichdieAbleitung
berechnet und gleich Null gesetzt werden, und im 18. Jahrhundert wurde diese Ablei-
tungdie„ersteVariation”genannt.WasunterscheidetdieVariationsrechnungvoneiner
Kurvendiskussion,wiesieschonimGymnasiumgelehrtwird?
DieindiesemBuchzuuntersuchenden„mathematischenGrößen”liegenzwarimreellen
Zahlbereich,siestellenimAllgemeinenaberkeineAbbildungenvonRn inRdar,d.h.
siesindkeineAbbildungenoderFunktionenendlichvielerreellerVariablen.Indieser
HinsichtunterscheidetsichdieVariationsrechnungvoneinemweitenTeilderOptimie-
rung,diediegleicheZielsetzunghat.WieschondieeinfachstenBeispielezeigen,istder
DefinitionsbereichderFunktionenallgemeinerzufassen,wobeiganzwesentlichist,dass
er „unendlich-dimensional” ist oder, anders ausgedrückt, dass es sich um reellwertige
Abbildungen„unendlichvielerreellerVariabler”handelt,wieHilbertformulierte.Solche
Abbildungenheißentraditionsgemäß„Funktionale”,eineBezeichnung,dienichtzufällig
in der „Funktionalanalyis” auftaucht. Diese Disziplin ist eng mit der Geschichte der
2 EINLEITUNG
Variationsrechnungverbunden,undderGegenstandihrerUntersuchungenentsprachin
großenTeilendenBedürfnissenderVariationsrechnung.EinwesentlicherSchrittistdie
AusweitungdeslinearenRaumesRn zueinemunendlich-dimensionalenFunktionenraum.
DadieMethodenderLinearenAlgebrainunendlich-dimensionalenRäumennichtdie
gewünschtenErgebnisseliefern,wurdensiedurch„topologischeMethoden”ergänzt.
WendenwirunsnuneinigenklassischenBeispielenzu.
1.WelcheistdiekürzesteVerbindungzweierPunkte?UmdieseFragebeantwortenzu
können,musszuerstdefiniertwerden,waseine„zulässige”Verbindungist.Offensichtlich
mussdieseinestetigeKurvesein,dieeinedefinierteLängebesitzt.Darüberhinausmuss
festgelegtwerden,wodieseKurveverläuft:LiegtsieinderEbene,imRaum,aufeiner
Kugeloberfläche(Sphäre),aufeinerMannigfaltigkeit?DieVariablensindalsozulässige
Kurven,diezweiPunkteverbinden,diezuminimierendereelleGrößeistderenLänge.
ZulässigeKurvensindnichtdurchendlichvielereelleVariablezubeschreiben,siebilden
eineTeilmengeeinesunendlich-dimensionalenFunktionenraumes.
Wir nehmen an, die zulässigen Kurven verbinden zwei Punkte in der Ebene oder im
Raum,waskeinenwesentlichenUnterschiedindermathematischenBehandlungmacht.
ZurBestimmungderenLängeverwendenwirdenEuklidischenAbstandzweierPunkte,
wasauchalsdieLängedersieverbindendengeradenStreckedefiniertwird:
x=(x ,x ...,x ), y=(y ,...,y ),
1 2 n 1 n
(cid:2)x−y(cid:2)=(cid:2)∑n (x −y )2(cid:3)1/2, n∈N. (1)
k k
k=1
EinezulässigeKurvekzwischenzweiPunktenAundBbesitzteineLängeL(k),dieals
das Supremum der Längen aller einbeschriebenen Polygonzüge definiert wird, wobei
dieLängeeinesPolygonzugsnatürlicherweisedieSummederLängenderihnbildenden
Streckenist.
P
B
A
Abbildung1
EINLEITUNG 3
EinestetigeKurvemiteinerwohldefiniertenLängeheißtrektifizierbar.Seinunk eine
rektifizierbareKurve,dieAmitBverbindet,undPeinbeliebigervonAundBverschie-
denerPunktaufk.IdentifizierenwirdiePunktemitihrenOrtsvektoren,sofolgtausder
DreiecksungleichungfürdenEuklidischenAbstand
(cid:2)B−A(cid:2)≤(cid:2)P−A(cid:2)+(cid:2)B−P(cid:2), (2)
wobeiGleichheitgenaudannvorliegt,wennPaufderVerbindungsgeradenzwischenA
undBliegt.DasbedeutetnachDefinitionvonL(k)
(cid:2)B−A(cid:2)≤(cid:2)P−A(cid:2)+(cid:2)B−P(cid:2)≤L(k) (3)
und
(cid:2)B−A(cid:2)<(cid:2)P−A(cid:2)+(cid:2)B−P(cid:2)≤L(k), (4)
fallsPnichtaufderGeradenzwischenAundBliegt.Daszeigt,dassjederektifizierbare
Kurve,dieeinenPunktaußerhalbderAundBverbindendenGeradenbesitzt,echtlänger
als(cid:2)B−A(cid:2)ist,unddassdiekürzesteVerbindungsomitdieGeradederLänge(cid:2)B−A(cid:2)
ist.
2. Das Heronsche Lichtstrahlproblem oder das Reflexionsgesetz (1. Jhdt. v. Chr.):
GegebenseienzweiPunkteAundBderEbene,dieaufeinerSeiteeinerGeradengliegen.
FürwelchenPunktPaufderGeradengist(cid:2)P−A(cid:2)+(cid:2)B−P(cid:2)minimal?
B
A
g
P
Abbildung2
WiespiegelnAanderGeradengunderhaltenA(cid:5).Offensichtlichgilt(cid:2)P−A(cid:2)=(cid:2)P−A(cid:5)(cid:2)
und(cid:2)P−A(cid:5)(cid:2)+(cid:2)B−P(cid:2)istnachProblem1minimal,fallsA(cid:5),PundBaufeinerGeraden
liegen.
4 EINLEITUNG
B
A
α α
g
α
P
(cid:5)
A
Abbildung3
Die drei Winkel in Abbildung 3 sind gleich, was das Reflexionsgesetz beweist: Der
reflektierteStrahlAPBistamkürzesten,wennderEinfalls-gleichdemAusfallswinkel
ist,wasineinemhomogenenMediumgleichzeitigbedeutet,dassdasLichtaufdemWeg
APBdiekürzesteZeitbenötigt.
Das„FermatschePrinzip”(Fermat1601-1665)dergeometrischenOptikbesagtnämlich,
dassdasLichtdenWegwählt,fürdendieminimaleZeiterforderlichist.Dasführtzum
3.SnelliusschenBrechungsgesetz:GegebenseienzweiPunkteAundBderEbene,die
auf verschiedenen Seiten einer Geraden g liegen, die die Ebene in zwei Halbebenen
aufteilt, in denen das Licht verschiedene Geschwindigkeiten v und v besitzt. Über
1 2
welchenPunktPaufgkommtdasLichtinkürzesterZeitvonAnachB?
A
α v1
1
P
g
α
2 v2
B
Abbildung4