Variables Complexes Cours et Exercices Corrigés

435 Pages·2014·21.25 MB·French

by  Ahmed Lesfari

Ahmed Lesfari
Variables complexes
Cours et exercices corrigés

Références sciences
Variables complexes
Cours et exercices corrigés
Ahmed Lesfari
Collection Références sciences
dirigée par Paul de Laboulaye
[email protected]
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ISBN 978-2-7298-8690-5
DA~QER
©Ellipses Édition Marketing S.A .• 2014
PHOTOCO~UAGE
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15 TUE LE LIVRE
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et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, «toute représentation ou
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Avant-propos
Ce livre est destiné aux étudiants de licence de mathématiques (L2, L3),
ainsi qu'aux candidats préparant le CAPES ou l'agrégation et aux élèves des
grandes écoles scientifiques et techniques. Il peut également être utile aux étu
diants de master de mathématiques (Ml, M2) pour certaines parties.
Il présente de manière rigoureuse les propriétés des variables complexes
(l'une des plus belles théories en mathématique), qui connaissent un regain
d'intérêt du fait de leur implication dans plusieurs recherches anciennes et
récentes comme par exemple la théorie moderne des systèmes intégrables.
Les fonctions d'une ou plusieurs variables complexes interviennent dans plu
sieurs domaines des mathématiques ainsi que dans plusieurs disciplines scien
tifiques aussi bien théoriques que pratiques. Cette étude constitue toujours un
domaine de recherches actives et met en valeur la position privilégiée de l'ana
lyse complexe, située entre la géométrie différentielle, la topologie, l'analyse
fonctionnelle et l'analyse harmonique. Le but ici est de montrer des résultats
fondamentaux sur ces fonctions et de les appliquer à des situations concrètes.
Comme la table des matières l'indique, plusieurs chapitres ont été consa
crés aux méthodes de la théorie des fonctions d'une variable complexe. Le texte
contient aussi une introduction au domaine assez vaste des fonctions de plu
sieurs variables complexes, aux variétés analytiques et ensembles analytiques.
L'auteur s'est efforcé d'intégrer dans cet ouvrage certaines notions (comme
par exemple les fonctions et intégrales elliptiques, les surfaces de Riemann,
solutions méromorphes des équations différentielles, etc.) relevant du master
de mathématiques dont l'utilisation constitue actuellement des outils indispen
sables aux mathématiciens, physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Le mode de l'exposé adopté vise à rester aussi direct et simple que possible.
C'est pour cette raison qu'il évite d'inclure les démonstrations des résultats
dans la partie rappel de cours et qui seront abordés en détail dans la partie
exercices résolus. Ainsi chaque lecteur trouvera le style qu'il préfère. S'il n'est
intéressé que par un résumé du cours il pourra se contenter du rappel de cours
et passer directement à la résolution des exercices, en revanche s'il est intéressé
par la preuve des résultats il les trouvera sous forme d'exercices théoriques dans
4 AVANT-PROPOS
la partie exercices résolus. Le texte contient des démonstrations rigoureuses et
complètes de "presque" tous les résultats énoncés.
Nous remercions l'éditeur Ellipses d'avoir donné tous ses soins à l'édition du
présent livre. C'est avec reconnaissance que nous accueillerons les commentaires
et/ou critiques que les lecteurs voudront bien nous faire parvenir.
C'est à ma femme, dont l'aide m'a été la plus précieuse, que je dédie ce
livre.
A. Lesfari
E-mail : [email protected]
Table des matières
1 Fonctions holomorphes, fonctions analytiques 7
1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Fonctions différentiables . . . . . . . . 12
1.3 Intégration des fonctions holomorphes 13
1.4 Quelques théorèmes fondamentaux 16
1.5 Exercices résolus ........... . 21
2 Propriétés des fonctions holomorphes et harmoniques 51
2.1 Inégalités de Cauchy, théorèmes de Liouville et de d'Alembert 51
2.2 Principe du prolongement analytique et principe des zéros isolés 52
2.3 Propriété de la moyenne et principe du maximum . . . . 53
2.4 Fonctions harmoniques et problème de Dirichlet . . . . . 54
2.5 'Ifansformations conformes et applications géométriques 56
2.6 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Fonctions méromorphes 85
3.1 Séries de Laurent, points singuliers . . . . . . . . . . . 85
3.2 Fonctions méromorphes, théorème des résidus . . . . . 88
3.3 Nombre de pôles et zéros d'une fonction méromorphe . 90
3.4 Applications du théorème des résidus . 90
3.5 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4 Suites et produits infinis 135
4.1 Suites de fonctions holomorphes 135
4.2 Espace des fonctions holomorphes . 136
4.3 Séries de fonctions méromorphes 139
4.4 Produits infinis de fonctions holomorphes 140
4.5 Fonctions définies par une intégrale . . . 142
4.5.1 Fonctions gamma et bêta d'Euler 143
4.5.2 'Ifansformée de Laplace 145
4.6 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . 149
6 TABLE DES MATIÈRES
5 Fonctions et intégrales elliptiques 191
5.1 Fonctions elliptiques ............ . 191
5.2 Fonctions p, (et u de Weierstrass .... . 194
5.3 Intégrales elliptiques et fonctions de Jacobi 200
5.4 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . 204
6 Fonctions de plusieurs variables complexes 229
6.1 Fonctions holomorphes ........... . 229
6.2 Variétés complexes et ensembles analytiques 237
6.3 Exercices résolus ............ . 246
7 Surfaces de Riemann et fonctions thêta 261
7.1 Courbes elliptiques et hyperelliptiques . 261
7.2 Étude géométrique des surfaces de Riemann 266
7.3 Fonctions thêta ............... . 283
7.4 Espace des modules des surfaces de Riemann 295
7.5 Exercices résolus ............... . 298
8 Équations différentielles dans le domaine complexe 341
8.1 Solutions holomorphes . 341
8.2 Solutions méromorphes . 344
8.3 Exercices résolus 347
9 Appendice 381
9.1 Séries entières . 381
9.2 Produits infinis 390
9.3 Mesure et intégration . 392
9.4 Variétés différentiables 397
9. 5 Formes différentielles . 410
9.6 Résultants et discriminants 418
Bibliographie 420
Index 424
Chapitre 1
Fonctions holomorphes,
fonctions analytiques
1.1 Préliminaires
Soient n un ouvert de C ~ R2 et
/ : n --t c, z 1----+ / (z) = w,
une fonction complexe d'une variable complexez= x + iy, (x, y ER).
Définition 1.1.1 On dit que la fonction/ est uniforme si à chaque valeur de
z ne correspond qu'une seule valeur de w. Sinon, elle est dite multiforme.
Exemples de fonctions uniformes :
a) La fonction linéaire : w = az + b, (a, b E C).
b) La fonction exponentielle : w = eZ. Par définition, on a
ez = é.i: (cosy+ isiny).
Lorsque z est réel c'est-à-direz= x, nous retrouvons la fonction exponentielle
eZ = ér:. La fonction eZ est périodique, de période 27ri. En outre, on a
En écrivant
z = r(cos() + isinO) = rei9,
où r = izl et () = arg z, on obtient la formule de Moivre
8 CHAPITRE 1 : Fonctions holomorphes, fonctions analytiques
et les formules d'Euler
eiY + e-iy eiY _ e-iy
cosy=--2-- sin y = --2-i--
c) Les fonctions circulaires. Par extension des définitions dans le cas réel,
on pose
eiz + e-iz eiz _ e-iz
cosz= ---- sinz= ----
2 2i
et de là
sinz cosz
t
anz = cosz' cotz = sinz ·
Les relations entre les fonctions trigonométriques réelles s'étendent au cas com
plexe. Les fonctions cos z et sin z sont périodiques, de période 271". Elles ont les
mêmes zéros que les fonctions réelles correspondantes. Signalons que les fonc
tions cos z et sin z ne sont pas bornées (voir exercice 1.5.1).
d) Les fonctions hyperboliques. Nous les définirons par extension du cas
réel, en posant
+
ez e-z ez - e-z
coshz= , sinhz = ,
2 2
et de là
sinhz coshz
h
tan z = --h-, coth z = --;---h .
cos z sm z
Les fonctions cosh z et sinh z sont périodiques, de période 27ri et sont, respec
tivement, paires et impaires. Les relations entre les fonctions hyperboliques
réelles s'étendent au cas complexe.
Remarque 1.1.2 On peut définir les fonctions é,cosz,sinz,coshz,sinhz,
par leurs développements en série entière qui convergent dans tout le plan com
plexe :
z2 z3
ez = l+z+-+-+ ...
21 31
z2 z4
cosz = 1--+-- ...
21 41
z3 z5
sinz = z--+--· ..
31 51
z2 z4
coshz = 1+-+-+· ..
21 41
z3 z5
sinhz = z+-+-+ ...
31 5!