Valutazione analitica del Tensore di Eshelby per Inclusioni poligonali e poliedrali Salvatore Trotta

203 Pages·2016·1.09 MB·Italian

Università
degli Studi
di Napoli Valutazione analitica
a
t Federico II
t
o
r del Tensore di Eshelby per
T
e Dipartimento di
r
o Strutture per Inclusioni poligonali e poliedrali
at l’Ingegneria e
v
l
a l’Architettura
S
Salvatore Trotta
i
l
a
r
d
e
i
l
o
p

e

i
l
a
n
o
g
i
l
o
p

i
n
o
i Comunità Europea
us Fondo Sociale Europeo
l
c
n
i

r
e
p

y
b
l
e
h
s
E

i
d

e
r
o
s
n
e
T

l
e
d

a
c
i
t
i
l
a
n
a

e
n
o
i
z
a
t
u
l
a
V
Dottorato di Ricerca in Ingegneria delle Costruzioni, XXVIII Ciclo
Valutazione analitica del Tensore di Eshelby
per inclusioni poligonali e poliedrali
SalvatoreTrotta
Dottoratodi RicercainIngegneriadelleCostruzioni, XXVIIIciclo
DipartimentodiStruttureperl’Ingegneriae l’Architettura
Universita` degli StudidiNapoli FedericoII
Via Claudio,21 -80125Napoli
e-mail: [email protected]
Marzo, 2016
Tutor: Coordinatoredelcorso:
Prof. L. Rosati Prof. L. Rosati
Coordinatoredel corso:
Co-Tutor: Coordinatoredelcorso:
Ing. Francesco Marmo Prof. L. Rosati
2
aGina
Ringraziamenti
Desideroringraziareinnanzituttoilmiotutor,Prof.LucianoRosati,peravermidato
lapossibilita`distudiareefarericercasutematicheinteressantiestimolanti,peravermi
guidato con professionalita`, intelligenza, umanita` e per avermi trasmesso parte della
suasemprevivapassioneperlaricercaelostudio
Unitamentedesideroringraziarel’ing.FrancescoMarmo,peripreziosiconsigli,la
costantedisponibilita`echehafornitoungrandecontributoall’attivita`diricercasucui
sifondaquestatesi.
UngrazieaimieidueexcolleghiCristoforoDemartinoeFerdinandoToraldo,con
cuihocondivisopartedelmiopercorsodidottorato,chenonhannomaifattomancare
illorosupportoelaloroamicizia.
Ringrazioimieigenitoriperche` alorodevolamiavogliadifare,diinterrogarmie
diimparare, alorodevoglistrumentielaforzache miaccompagnano inogniistante
dellamiavita.
NonbastanopocherigheperringraziareGina,peresserestatasemprealmiofianco
inquestianni. Aleidedicoquestatesi,perchee` graziealsuoamore,alsuoappoggio
incondizionato,allasuaforzaeallasuaallegriachehoraggiuntoimieiobiettivi.
SalvatoreTrotta
4
Indice
1 Introduzione 9
2 IlTensorediEshelbySesueapplicazioni 17
3 LateoriadiEshelby 23
3.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Ilcampodispostamentoperunmezzoelastico . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Ilconcettodiinclusioneediautodeformazione . . . . . . . . . . . . 27
3.4 LateoriadiEshelbyperinclusioniellissoidali . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Inclusioniomogeneeellissoidali . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.2 Calcolodeipotenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.3 EspressionediSall’internodell’inclusione . . . . . . . . . . 37
3.5 Uncasoparticolare:lasfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 IlprincipiodiequivalenzadiEshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Strutturairriducibile,simmetriaemediadeltensorediEshelby 47
4.1 ElementidelTensorediEshelbyedecomposizioneirriducibile . . . . 47
4.2 Strutturairriducibilenelcasobidimensionale . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Strutturairriducibilenelcasotridimensionale . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 SimmetriadelTensorediEshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5 TensorediEshelbyMedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 INDICE
5 TensorediEshelbyperlostatopianodideformazione 63
5.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 EspressionealgebricadegliintegraliC eCrˆ . . . . . . . . . . . . . 67
q¯ q¯
5.3 EspressionealgebricadiSnelcasobidimensionale . . . . . . . . . . 70
5.4 Integralisulgenericolatodilunghezzaunitaria . . . . . . . . . . . . 72
5.4.1 Espressionealgebricadell’integraleI . . . . . . . . . . . . . 72
p¯
5.4.2 Espressionealgebricadell’integraleIr . . . . . . . . . . . . . 73
p¯
5.4.3 Espressionealgebricadell’integraleI . . . . . . . . . . . . . 73
p¨
5.4.4 Espressionealgebricadell’integraleIr . . . . . . . . . . . . . 74
p¨
5.4.5 Espressionealgebricadell’integraleIr¯ . . . . . . . . . . . . . 74
p¨
5.4.6 Espressionealgebricadell’integraleIrˆ . . . . . . . . . . . . . 75
p¨
6 EspressioneanaliticadiSperun’inclusionepoliedrale 77
6.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 CalcolointegraliAf eaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Valutazioneanaliticaintegralisullagenericafaccia . . . . . . . . . . 91
6.3.1 Espressioneanaliticadell’integraleS . . . . . . . . . . . . . 91
qˆ
6.3.2 Espressioneanaliticadell’integraleSr . . . . . . . . . . . . . 94
qˆ
6.3.3 Espressioneanaliticadell’integraleS . . . . . . . . . . . . . 95
q˜
6.3.4 Espressioneanaliticadell’integraleSr . . . . . . . . . . . . . 96
q˜
6.3.5 Espressioneanaliticadell’integraleSr¯ . . . . . . . . . . . . . 97
q˜
6.3.6 Espressioneanaliticadell’integraleSrˆ . . . . . . . . . . . . . 98
q˜
6.4 Integralisulgenericolatodilunghezzaunitaria . . . . . . . . . . . . 100
6.4.1 Espressionealgebricadell’integraleI . . . . . . . . . . . . . 101
q
6.4.2 Espressionealgebricadell’integraleI . . . . . . . . . . . . 101
p¯q
6.4.3 Espressionealgebricadell’integraleI . . . . . . . . . . . . 102
p¯qˆ
6.4.4 Espressionealgebricadell’integraleI . . . . . . . . . . . . 104
qˆ
6.4.5 Espressionealgebricadell’integraleIr . . . . . . . . . . . . 104
qˆ
6.4.6 Espressionealgebricadell’integraleIr¯ . . . . . . . . . . . . . 105
qˆ
INDICE 7
7 Applicazionenelcasobidimensionale:inclusionepoligonale 107
7.0.7 Confrontoconrisultatiriportatinell’esempion.2diHuangeal-
tri[2009] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.0.8 Confrontoconrisultatiriportatinell’esempion.3diHuangeal-
tri[2009] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.0.9 Confrontoconrisultatiriportatinell’esempion.4diHuangeal-
tri[2009] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.1 Tensoremediatosuldominiodell’inclusione . . . . . . . . . . . . . . 113
8 Applicazionenelcasotridimensionale:inclusionepoliedrale 117
8.1 Casodellasfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.1.1 Confrontoconrisultatinumericiesatti,nelcasodellasfera . . 117
8.2 EsempidiGaoeLiu[2012]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2.1 Casodelcubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2.2 Casodelloottaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2.3 Casodeltetradecaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9 Omogeneizzazione 129
9.1 Introduzioneall’omogeneizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.2 Ilconcettodell’omogeneita`equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.3 Proprieta`effettivedeimezzieterogenei. . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4 Caratterizzazionedeimaterialieterogeneiedellestrutture. . . . . . . 140
9.5 Progettodeimaterialieterogeneiedellestrutture . . . . . . . . . . . 143
9.6 Modellazionemicromeccanicadistrutturecomplesse . . . . . . . . . 145
9.7 Omogeneizzazione dicompositiconeffettomicrostrutturae proprieta`
dinamicheeffettive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.8 Omogeneizzazione del tensore gradiente di deformazione di ordine
superiore,dimaterialiconstrutturaperiodica . . . . . . . . . . . . . 148
9.9 Propagazionedelleondeneimezzicompositi . . . . . . . . . . . . . 150
9.10 Tecnichecinetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.11 Ilvolumeelementarerappresentativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8 INDICE
9.12 Strumentimatematicidiomogeneizzazione . . . . . . . . . . . . . . 158
9.13 Schemidiomogeneizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.13.1 LasoluzionediEshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.13.2 Metodoself-consistent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.13.3 MetodoMori-Tanaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.13.4 MetododiinterpolazionediLielens . . . . . . . . . . . . . . 164
9.13.5 MetododiinterpolazioneBound . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.13.6 Omogeneizzazioneelasto-plastica . . . . . . . . . . . . . . . 166
10 Conclusioni 169
A 171
A.1 Approfondimentisulcalcolovettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.2 EspressioneanaliticadelTensorediElasticita`C . . . . . . . . . . . . 172
Capitolo 1
Introduzione
LateoriadiEshelbye` unodeicapitoliprincipalidellacosiddettamicromeccanica,
termine che nella letteratura scientifica viene usato in due accezioni differenti. Nel-
la prima il termine micromeccanica viene usato per denotare la disciplinache studia
le proprieta` meccaniche (ma anche elettromagnetichee termodinamiche) dimateriali
con assegnata microstruttura. Nella seconda accezione, si intendelostudiodel com-
portamentodeimaterialiallevariescalediosservazione,ovveronanoscopica(10 9m),
−
microscopica(10 6m),mesoscopica(10 5 10 3m)emacroscopicaincuiilsistemain
− − −
÷
esamee`misurabileeosservabileaocchionudo.
La micromeccanica e` recentemente diventata una parte indispensabile dei fonda-
menti teorici per ingegneri, in particolare per coloro che si applicano alle tecnolo-
gie emergenti come le nanotecnologie e le tecnologie biomediche. Nella meccanica
applicata, il termine micromeccanica si riferisce specificatamente a tre scale di os-
servazione: scala degli atomi e delle molecole (nano-scala, con distanze tipiche del-
l’ordine di 10 10m), microstruttura (mesoscala, con distanze tipiche dell’ordine dei
−
10 9m 10 6m)e scala macroscopica ofenomenologica(mm). Sipuo` efficacemente
− −
÷
sintetizzaredicendocheilprogrammacomplessivodellamicromeccanicasiaquellodi
analizzarelamateriaapartiredallaleggifisichefondamentali(meccanicaquantistica),
sinoadarrivarealleequazionicostitutivediunmezzoaventeognigradodicomplessita`
strutturale.Comefaseintermediasihannotutteletecnicheeteoriediomogenizzazione