Table Of Content© Typotex Kiadó
VALÓS ANALÍZIS II.
www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera
© Typotex Kiadó
www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera
© Typotex Kiadó
Laczkovich Miklós–T. Sós Vera
Valós analízis II.
www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera
© Typotex Kiadó
AkiadványaMagyarTudományosAkadémiatámogatásávalkészült.
©LaczkovichMiklós,T.SósVera,Typotex,2013
Engedélynélkülsemmilyenformábannemmásolható!
ANemzetiTankönyvkiadónál2006-banmegjelentAnalízisI–II.átdolgozott
ésbővítettkiadása.
Szakmaibírálók:
ElekesGyörgy ésKósGéza
ISBN9789632797311ö
ISBN9789632797335
ISSN1788-1811
Témakör:elméletimatematika
KedvesOlvasó!
Köszönjük,hogykínálatunkbólválasztottolvasnivalót!
Újabbkiadványainkról,akcióinkról
awww.typotex.huésafacebook.com/typotexkiadooldalakonértesülhet.
KiadjaaTypotexElektronikusKiadóKft.
Felelősvezető:VotiskyZsuzsa
Műszakiszerkesztő:FriedKatalin
Borítóterv:TóthNorbert
KészültaKódexKönyvgyártóKft.nyomdájában
Felelősvezető:MarosiAttila
www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera
© Typotex Kiadó
Tartalomjegyzék
Előszó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
TÖBBVÁLTOZÓSANALÍZIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
21.Rp R függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
!
Pontsorozatokkonvergenciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Aponthalmazelméletalapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Határérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Folytonosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Parciálisderiváltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Differenciálhatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Többszörösdifferenciálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Adifferenciálszámításalkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Függelék:Érintőésérintősík . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
22.Rp Rq függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
!
Határértékésfolytonosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Differenciálhatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Differenciálásiszabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Implicitésinverzfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
23.Jordan-mérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
AJordan-mértékértelmezéseéstulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . 116
Néhánykonkréthalmazmértéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
AlineáristranszformációkésaJordan-mérték . . . . . . . . . . . . . . . 136
Függelék:Akorlátoskonvexhalmazokmérhetősége . . . . . . . . . . . 140
24.TöbbváltozósfüggvényekintegrálásaI. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Atöbbváltozósintegrálértelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
AtöbbváltozósintegrálJordan-mérhetőhalmazokon . . . . . . . . . . . 148
5
www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera
© Typotex Kiadó
6 TARTALOMJEGYZÉK
Atöbbváltozósintegrálkiszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Függelék:Azintegráltranszformációtételénekbizonyítása . . . . . . . . 169
25.TöbbváltozósfüggvényekintegrálásaII. . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Avonalintegrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Feltételekaprimitívfüggvénylétezésére . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Greentétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Felületésfelszín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Integráltételekháromdimenzióban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
26.VégtelensorokII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Végtelensorokésműveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Abszolútésfeltételesenkonvergenssorok . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Továbbikonvergenciakritériumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Végtelensorokszorzása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Szummábilissorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Függelék:Avégtelensoroktörténetéből . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
27.Függvénysorozatokésfüggvénysorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Függvénysorozatokkonvergenciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Függvénysorokkonvergenciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Taylor-sorokéshatványsorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
AzAbel-szummáció. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Fourier-sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Továbbialkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Elsőfüggelék:ACauchy–Hadamard-formula . . . . . . . . . . . . . . . 324
Másodikfüggelék:Komplexsorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Harmadikfüggelék:AFourier-soroktörténetéből . . . . . . . . . . . . . 329
28.Vegyestémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Összegekbecslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Közelítőmódszerekahatározottintegrálkiszámítására . . . . . . . . . . 343
Paraméteresintegrálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
Lebesgue szerint nullmértékű halmazok, és az integrálhatóság Lebesgue-
félekritériuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
ALebesgue-tételkétalkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
Azintegrálszámításnéhányszámelméletialkalmazása . . . . . . . . . . . 381
ABrouwer-félefixponttétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
APeano-görbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera
© Typotex Kiadó
TARTALOMJEGYZÉK 7
29.Megoldásiötletek,megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Megoldásiötletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Tárgymutató . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
Jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
AzI.kötettartalomjegyzéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera
© Typotex Kiadó
Előszó
Könyvünk második kötetében rátérünk a többváltozós analízis felépítésére. Számos
fizikai alkalmazást és interpretációt is bemutatunk, részben a fogalmak kialakításá-
nakmotivációjacéljából.Folytatjukavégtelensoroktárgyalását,majdismertetjüka
függvénysorozatokésfüggvénysorokelméletét.Azutolsófejezetillusztráljaazana-
lízisnek a matematika más és látszólag távoli fejezeteiben való alkalmazhatóságát.
Akönyvünkbentárgyalteredmények–bárjórészüktöbbmint100éveismert–nél-
külözhetetlenekajelenkorimatematikábanésazalkalmazásokban.
Továbbra is szem előtt tartottuk a fokozatos, lehetőség szerint a szemléletre is
támaszkodó felépítést. Az egyváltozós analízis számos fogalma, állítása és gondo-
latmenete minden további nélkül, kézenfekvő módon általánosítható többváltozós
függvényekre; helyenként nem is részletezzük azoknak a többváltozós tételeknek a
bizonyítását,amelyamegfelelőegyváltozóstételbizonyításánakszószerintiátvéte-
lévelkapható.Hangsúlyozzukugyanakkor,hogyatöbbváltozósfüggvényekanalízi-
se a legkevésbé sem merül ki az egyváltozós elmélet mechanikus általánosításában.
A többváltozós analízisben számos új jelenség és probléma merül fel, és a vizsgá-
latok nemegyszer átvezetnek a matematika egyéb területeire, mint amilyenek a dif-
ferenciálgeometria,topológiaésmértékelmélet.Ezbizonyosesetekben(nevezetesen
a 25. fejezetben, az integráltételek tárgyalása során) azzal a következménnyel járt,
hogyegyesszemléletesennyilvánvalónaktűnőfogalmakatésállításokatnemmindig
tudtunkamagukrészletességébentárgyalni.Mivelezekatételekkülönösenfontosak
az alkalmazások szempontjából, ezért az ismertetésük elengedhetetlenül szükséges
mégakkoris,haamegfelelőfogalmiháttérprecízfelépítéséről,abizonyításokegyes
részleteirőlésazalkalmazásokteljeskörűbemutatásátóllekellettmondani.
Azelsőkötethezhasonlóanigyekeztünkazanyagmélyebbmegértésétéselsajátí-
tásátminéltöbb(mintegy600)feladattalelősegíteni.Mostsemtekintettükcélunknak
nagy számú gyakorlófeladat kitűzését, mert ilyenek számos példatárban találhatók
8
www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera
© Typotex Kiadó
Előszó 9
(lásdpéldául[6]).Ugyanakkoratárgyalttémakörökmégtöbbgondolkodtató,inven-
ciótigénylőfeladatszerepeltetéséttettéklehetővé,mintkorábban.
A nehezebb feladatokat . / jelöli. A feladatok egy részéhez megoldási ötlete-
(cid:3)
ket, illetve teljes megoldásokat is adunk a kötet végén; ezt (Ö), illetve (M) jelekkel
jelöljük.
Megismételve az első kötet előszavában mondottakat, megemlékezünk a 2008-ban
elhunytElekesGyörgyről,akiakönyvünkelőzményétképezőkétkötetlektoravolt,
és akinek lelkes, odaadó és hozzáértő munkája felbecsülhetetlen segítséget nyújtott
számunkra.
KöszönetetmondunkKósGézánakakötetlelkiismeretesésgondoslektorálásáért.
Ugyancsak köszönetet mondunk Fried Katalinnak, a könyv tipográfusának és
az ábrák készítőjének azért az áldozatos és nagyszerű munkáért, amellyel a könyv
elkészítéséhezhozzájárult.
Aszerzők
2013.április2.
www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera
© Typotex Kiadó
TÖBBVÁLTOZÓS ANALÍZIS
A többváltozós függvények használatát nem utolsósorban a valóságban zajló folya-
matokleírásatesziszükségessé.Egyrészleteshőmérsékletitérképelkészítése(amely
a domborzatot és az idő múlását is tekintetbe veszi) négy változó: a három térkoor-
dináta és az idő használatát igényli. A bonyolultabb fizikai rendszerek (pl. a gázok
mozgásának)matematikaileírásáhozakártöbbmillióváltozóraisszükségünklehet.
Ha egy folyamat p számú paramétertől függ, akkor a vizsgált mennyiség le-
írása annyit jelent, hogy bizonyos p-tagú sorozatokhoz (amelyek a folyamat adott
állapotát jellemzik) hozzárendeljük a vizsgált mennyiség értékét. Az f függvényt
p-változósfüggvényneknevezzük,haazértelmezésitartományánakmindeneleme
egy p-tagú sorozat. Így, ha minden dátumhoz (év, hónap, nap) hozzárendeljük a hét
megfelelő napját, akkor egy háromváltozós f függvényt kapunk, amelyre például
f.2007;június;2/ =szombat.
Akövetkezőkbenolyanfüggvényekkelfoglalkozunk,amelyeknekazértelmezé-
sitartományarészevalamelyikRp euklidészitérnek,ésazértékkészleterészevala-
melyik Rq térnek, méghozzá nem is feltétlenül ugyanannak. (Emlékeztetünk, hogy
Rp-vel jelöljük a valós számokból álló p-tagú sorozatok halmazát (l. az I. kötetben
a15.1.Definíciót).)Általánosítjukahatárértékésfolytonosságfogalmait,valaminta
differenciálásésintegrálásműveleteitazilyenfüggvényekre,ésbemutatunknéhány
alkalmazást.
10
www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera
