Valós analízis I-II.

854 Pages·2016·29.52 MB·Hungarian

Valós analízis I-II.

Laczkovich, Miklós
T. Sós, Vera
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Valós analízis I-II.

írta Laczkovich, Miklós és T. Sós, Vera
Publication date 2006
Publication date 2012
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A Nemzeti Tankönyvkiadónál 2006-ban megjelent Analízis I–II. átdolgozott és bővített kiadása.
Szakmai bírálók:
Elekes György és Kós Géza
Gémes Margit (20. fejezet)
Számítástechnikai függelék Simonovits Miklós munkája
Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

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Tartalom

I. Valós analízis I. ............................................................................................................................... 1
Előszó ....................................................................................................................................... vi
Rövid történeti bevezetés ....................................................................................................... viii
1. 1. Alapfogalmak .................................................................................................................. 18
1. Néhány szó a matematikáról általában ...................................................................... 18
2. Logikai alapfogalmak ................................................................................................ 18
3. Bizonyítási módszerek ............................................................................................... 20
4. Halmazok, függvények, sorozatok ............................................................................. 25
2. 2. Valós számok .................................................................................................................. 30
1. I. Testaxiómák ........................................................................................................... 31
2. II. Rendezési axiómák ............................................................................................... 31
3. III. Az arkhimédészi axióma ...................................................................................... 32
4. IV. A Cantor-axióma ................................................................................................. 34
5. Tizedestörtek. A számegyenes ................................................................................... 37
6. Korlátos számhalmazok ............................................................................................. 40
7. Hatványozás .............................................................................................................. 44
8. Első függelék: A testaxiómák következményei ......................................................... 46
9. Második függelék: A rendezési axiómák következményei ........................................ 47
3. 3. Végtelen számsorozatok (I.) ............................................................................................ 49
1. Feladatok ................................................................................................................... 50
2. Konvergens és divergens számsorozatok .................................................................. 50
3. Végtelenhez tartó sorozatok ...................................................................................... 53
4. A határérték egyértelműsége ..................................................................................... 55
5. Néhány konkrét sorozat határértéke .......................................................................... 57
4. 4. Végtelen számsorozatok (II.) .......................................................................................... 59
1. A határérték alaptulajdonságai .................................................................................. 59
2. Határérték és egyenlőtlenségek ................................................................................. 61
3. Határérték és műveletek ............................................................................................ 62
4. Alkalmazások ............................................................................................................ 67
5. 5. Végtelen számsorozatok (III.) ......................................................................................... 70
1. Monoton sorozatok .................................................................................................... 70
2. A Bolzano–Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium ................................................. 74
6. 6. Végtelen sorok (I.) .......................................................................................................... 79
7. 7. Megszámlálható halmazok .............................................................................................. 87
8. 8. Valós változós, valós értékű függvények ........................................................................ 92
1. Függvények és grafikonok ......................................................................................... 92
2. Valós függvények globális tulajdonságai .................................................................. 96
3. Függelék: A koordinátageometria alapfogalmai ...................................................... 103
9. 9. Függvények folytonossága és határértéke ..................................................................... 105
1. ................................................................................................................................. 108
2. Függvény határértéke .............................................................................................. 109
3. Az átviteli elv .......................................................................................................... 120
4. Határérték és műveletek .......................................................................................... 125
5. Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények ................................................ 132
6. Egyenletes folytonosság .......................................................................................... 138
7. Monotonitás és folytonosság ................................................................................... 142
8. Konvexitás és folytonosság ..................................................................................... 147
9. A függvénygrafikon ívhossza .................................................................................. 151
10. Függelék: A 9.80. Tétel bizonyítása ...................................................................... 155
10. 10. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények) .............................................. 157
1. Polinomfüggvények és racionális törtfüggvények ................................................... 157
2. Exponenciális függvények és hatványfüggvények .................................................. 159
3. Logaritmusfüggvények ............................................................................................ 168
4. Trigonometrikus függvények ................................................................................... 173
5. A trigonometrikus függvények inverzei .................................................................. 183
6. A hiperbolikus függvények és inverzeik ................................................................. 187
iii
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7. Első függelék: Az addíciós képletek bizonyítása ..................................................... 194
8. Második függelék: Néhány szó a komplex számokról ............................................ 195
11. 11. Differenciálszámítás .................................................................................................. 197
1. A differenciálhatóság fogalma ................................................................................. 197
2. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai ................................. 204
3. Magasabb rendű differenciálhányadosok ................................................................ 216
4. A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata ..................................................... 220
5. Középértéktételek .................................................................................................... 231
6. A differenciálható függvények vizsgálata ............................................................... 235
12. 12. A differenciálszámítás alkalmazásai ........................................................................ 247
1. A L’Hospital-szabály ............................................................................................... 247
2. Polinomapproximáció .............................................................................................. 249
3. A határozatlan integrál ............................................................................................. 260
4. Differenciálegyenletek ............................................................................................. 266
5. A láncgörbe ............................................................................................................. 273
6. A deriváltfüggvények tulajdonságai ........................................................................ 276
7. Első függelék: A 12.20. Tétel bizonyítása ............................................................... 279
8. Második függelék: Még egyszer a trigonometrikus függvények értelmezéséről ..... 281
13. 13. A határozott integrál .................................................................................................. 283
1. A határozott integrál fogalmára vezető problémák .................................................. 283
2. A határozott integrál (Riemann-integrál) értelmezése ............................................. 287
3. Az integrálhatóság szükséges és elégséges feltételei ............................................... 293
4. A folytonos és a monoton függvények integrálhatósága ......................................... 302
5. Integrálhatóság és műveletek ................................................................................... 305
6. Függvények integrálhatóságára és az integrál értékére vonatkozó további tételek .. 307
7. Az integrál értékére vonatkozó egyenlőtlenségek ................................................... 312
14. 14. Integrálszámítás ......................................................................................................... 319
1. Az integrálás és a differenciálás kapcsolata ............................................................. 319
2. A parciális integrálás szabálya ................................................................................. 325
3. A helyettesítéses integrálás ...................................................................................... 330
4. Az elemi függvények integrálása ............................................................................. 333
5. Elemi függvények nem elemi integrállal ................................................................. 341
6. Függelék: A határozott integrálokra vonatkozó integráltranszformációs formula
(14.22. Tétel) bizonyítása ............................................................................................ 344
15. 15. Az integrálszámítás alkalmazásai .............................................................................. 348
1. A terület és térfogat általános fogalma .................................................................... 349
2. Területszámítás ........................................................................................................ 352
3. Térfogatszámítás ...................................................................................................... 358
4. Ívhossz-számítás ...................................................................................................... 361
5. Polárkoordináták ...................................................................................................... 371
6. A forgási felületek felszíne ...................................................................................... 375
16. 16. Korlátos változású függvények ................................................................................. 380
17. 17. A Stieltjes-integrál .................................................................................................... 386
18. 18. Az improprius integrál .............................................................................................. 395
1. Az improprius integrál értelmezése és kiszámítása ................................................. 395
2. Az improprius integrálok konvergenciája ................................................................ 405
3. Függelék: A 18.13. Tétel bizonyítása ...................................................................... 411
19. 19. Megoldási ötletek, megoldások ................................................................................. 414
1. Megoldási ötletek .................................................................................................... 414
1.1. 1. Fejezet ..................................................................................................... 414
1.2. 2. Fejezet ..................................................................................................... 414
1.3. 3. Fejezet ..................................................................................................... 414
1.4. 4. Fejezet ..................................................................................................... 415
1.5. 5. Fejezet ..................................................................................................... 415
1.6. 6. Fejezet ..................................................................................................... 415
1.7. 7. Fejezet ..................................................................................................... 415
1.8. 8. Fejezet ..................................................................................................... 416
1.9. 9. Fejezet ..................................................................................................... 416
1.10. 10. Fejezet ................................................................................................. 417
1.11. 11. Fejezet ................................................................................................. 417
iv
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1.12. 12. Fejezet ................................................................................................. 418
1.13. 13. Fejezet ................................................................................................. 418
1.14. 14. Fejezet ................................................................................................. 419
1.15. 15. Fejezet ................................................................................................. 419
1.16. 16. Fejezet ................................................................................................. 420
1.17. 17. Fejezet ................................................................................................. 421
1.18. 18. Fejezet ................................................................................................. 421
2. Megoldások ............................................................................................................. 422
2.1. 1. Fejezet ..................................................................................................... 422
2.2. 2. Fejezet ..................................................................................................... 422
2.3. 3. Fejezet ..................................................................................................... 423
2.4. 4. Fejezet ..................................................................................................... 424
2.5. 5. Fejezet ..................................................................................................... 424
2.6. 6. Fejezet ..................................................................................................... 424
2.7. 8. Fejezet ..................................................................................................... 425
2.8. 9. Fejezet ..................................................................................................... 425
2.9. 10. Fejezet ................................................................................................... 427
2.10. 11. Fejezet ................................................................................................. 428
2.11. 12. Fejezet ................................................................................................. 430
2.12. 13. Fejezet ................................................................................................. 431
2.13. 14. Fejezet ................................................................................................. 432
2.14. 15. Fejezet ................................................................................................. 432
2.15. 16. Fejezet ................................................................................................. 434
2.16. 17. Fejezet ................................................................................................. 435
2.17. 18. Fejezet ................................................................................................. 436
20. 20. Függelék: Számítástechnika és analízis .................................................................... 441
1. 20.1. Bevezetés a Függelékhez ................................................................................ 441
1.1. Angol vagy magyar? ................................................................................... 441
1.2. Milyen matematikai programcsomagokat használjunk? ............................. 443
1.3. A BASIC, illetve a PASCAL beszerzése .................................................... 444
1.4. Melyik programnyelvet használjuk? ........................................................... 444
1.5. Mikor használjunk MAPLE-t, mikor BASIC, mikor PASCAL programot? 444
1.6. A kötelező óvatosság .................................................................................. 445
2. 20.2 BASIC programok: Kezdőlépések ................................................................... 446
2.1. Rövid összefoglaló a BASIC-ről ................................................................. 446
3. 20.3 Kedvcsináló BASIC programokhoz ................................................................ 447
3.1. 20.3.1 Sorozatok szemléltetése, határértéke ................................................ 447
3.2. 20.3.2 Egy rekurzió határértéke .................................................................. 448
3.3. 20.3.3 Függvények ábrázolása .................................................................... 448
4. 20.4 Mit tud a BASIC? ............................................................................................ 450
4.1. határértéke ........................................................................ 450
4.2. 20.4.1 Sorösszegzéssel kapcsolatos programok .......................................... 452
4.3. 20.4.2 Rekurziók: A Newton-algoritmus .................................................... 453
4.4. 20.4.3 Rekurzió közelítésére .................................................................. 454
4.5. 20.4.4 Stirling-formula ................................................................................ 455
4.6. 20.4.5 Függvények ábrázolása II. ................................................................ 456
4.7. 20.4.6 Görbeseregek ábrázolása .................................................................. 458
5. 20.5 Rövid kirándulás a Pascal programnyelvbe. ................................................... 459
6. 20.6 MAPLE: Első lépések ...................................................................................... 461
6.1. A HELP ....................................................................................................... 461
6.2. Input-Output formátum ............................................................................... 461
6.3. 20.6.1 Szimbolikus számolások, algebrai műveletek .................................. 462
6.4. 20.6.2 Határérték, konvergenciasebesség és a MAPLE .............................. 463
6.5. 20.6.3 Függvényábrázolás a MAPLE segítségével I ................................... 463
6.6. 20.6.4 Konvergenciasebesség II. ................................................................. 465
6.7. 20.6.5 Rajzolás, függvényábrázolás MAPLE-lel II ..................................... 466
6.8. 20.6.6 Paraméteres görbe kirajzolása .......................................................... 470
6.9. 20.6.7 Differenciálás ................................................................................... 470
6.10. 20.6.8 Racionális törtfüggvények .............................................................. 471
6.11. 20.6.9 A MAPLE, függvényábrázolás és az egyenlőtlenségek ................. 472
v
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6.12. 20.6.10 Polinomközelítés (lokális) ............................................................ 473
7. 20.7 MAPLE és a „komolyabb” kérdések ............................................................... 474
7.1. Határozatlan integrál, primitív függvény .................................................... 474
7.2. 20.7.2 Még mit érdemes tudnunk a MAPLE-ről? Kiegészítés és ismétlés . 475
7.3. 20.7.3 Implicitplot ....................................................................................... 475
7.4. 20.7.4 Plot3d ............................................................................................... 476
8. 20.8 Mit tud még a MAPLE? .................................................................................. 477
8.1. 20.8.1 Lehet-e MAPLE-ben programokat írni? .......................................... 477
8.2. 20.8.2 Globális polinomközelítés ................................................................ 477
8.3. 20.8.3 A Lagrange interpoláció ................................................................... 479
8.4. 20.8.4 Differenciálegyenletek megoldása ................................................... 480
II. VALÓS ANALÍZIS II. .............................................................................................................. 481
Előszó ............................................................................................................................ cdlxxxiv
TÖBBVÁLTOZÓS ANALÍZIS ..................................................................................... cdlxxxv
21. 21. függvények .......................................................................... 486
1. Pontsorozatok konvergenciája ................................................................................. 489
2. A ponthalmazelmélet alapjai ................................................................................... 491
3. Határérték ................................................................................................................ 503
4. Folytonosság ............................................................................................................ 507
5. Parciális deriváltak .................................................................................................. 511
6. Differenciálhatóság .................................................................................................. 516
7. Többszörös differenciálás ........................................................................................ 529
8. A differenciálszámítás alkalmazásai ........................................................................ 534
9. Függelék: Érintő és érintősík ................................................................................... 544
22. 22. függvények ........................................................................ 547
1. Határérték és folytonosság ....................................................................................... 547
2. Differenciálhatóság .................................................................................................. 549
3. Differenciálási szabályok ......................................................................................... 552
4. Implicit és inverz függvények ................................................................................. 556
23. 23. Jordan-mérték ............................................................................................................ 570
1. 23.1 A Jordan-mérték értelmezése és tulajdonságai ................................................ 570
2. Néhány konkrét halmaz mértéke ............................................................................. 579
3. A lineáris transzformációk és a Jordan-mérték ........................................................ 588
4. Függelék: A korlátos konvex halmazok mérhetősége ............................................. 591
24. 24. Többváltozós függvények integrálása I. .................................................................... 593
1. A többváltozós integrál értelmezése ........................................................................ 593
2. A többváltozós integrál Jordan-mérhető halmazokon ............................................. 597
3. A többváltozós integrál kiszámítása ........................................................................ 603
4. Függelék: Az integráltranszformáció tételének bizonyítása .................................... 612
25. 25. Többváltozós függvények integrálása II. .................................................................. 618
1. 25.1 A vonalintegrál ................................................................................................ 618
2. Feltételek a primitív függvény létezésére ................................................................ 624
3. Green tétele .............................................................................................................. 635
4. Felület és felszín ...................................................................................................... 644
5. Integráltételek három dimenzióban ......................................................................... 647
26. 26. Végtelen sorok II. ...................................................................................................... 653
1. Végtelen sorok és műveletek ................................................................................... 653
2. Abszolút és feltételesen konvergens sorok .............................................................. 657
3. További konvergenciakritériumok ........................................................................... 662
4. Végtelen sorok szorzása .......................................................................................... 670
5. Szummábilis sorok .................................................................................................. 674
6. Függelék: A végtelen sorok történetéből ................................................................. 677
27. 27. Függvénysorozatok és függvénysorok ...................................................................... 679
1. Függvénysorozatok konvergenciája ........................................................................ 679
2. Függvénysorok konvergenciája ............................................................................... 687
3. Taylor-sorok és hatványsorok .................................................................................. 696
4. Az Abel-szummáció ................................................................................................ 709
5. Fourier-sorok ........................................................................................................... 712
6. További alkalmazások ............................................................................................. 723
7. Első függelék: A Cauchy–Hadamard-formula ......................................................... 731
vi
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8. Második függelék: Komplex sorok ......................................................................... 734
9. Harmadik függelék: A Fourier-sorok történetéből .................................................. 735
28. 28. Vegyes témák ............................................................................................................ 739
1. Összegek becslése .................................................................................................... 739
2. Közelítő módszerek a határozott integrál kiszámítására .......................................... 746
3. Paraméteres integrálok ............................................................................................ 754
4. Lebesgue szerint nullmértékű halmazok, és az integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma
767
5. A Lebesgue-tétel két alkalmazása ............................................................................ 771
6. Az integrálszámítás néhány számelméleti alkalmazása ........................................... 773
7. A Brouwer-féle fixponttétel ..................................................................................... 777
8. A Peano-görbe ......................................................................................................... 783
29. 29. Megoldási ötletek, megoldások ................................................................................. 786
1. Megoldási ötletek .................................................................................................... 786
1.1. 21. Fejezet ................................................................................................... 786
1.2. 22. Fejezet ................................................................................................... 787
1.3. 23. Fejezet ................................................................................................... 787
1.4. 24. Fejezet ................................................................................................... 787
1.5. 25. Fejezet ................................................................................................... 787
1.6. 26. Fejezet ................................................................................................... 787
1.7. 27. Fejezet ................................................................................................... 788
1.8. 28. Fejezet ................................................................................................... 792
2. Megoldások ............................................................................................................. 793
2.1. 21. Fejezet ................................................................................................... 793
2.2. 22. Fejezet ................................................................................................... 795
2.3. 23. Fejezet ................................................................................................... 795
2.4. 25. Fejezet ................................................................................................... 796
2.5. 26. Fejezet ................................................................................................... 796
2.6. 27. Fejezet ................................................................................................... 797
2.7. 28. Fejezet ................................................................................................... 800
30. Tárgymutató .................................................................................................................... 802
1. A, Á ......................................................................................................................... 802
2. B .............................................................................................................................. 803
3. C, Cs ........................................................................................................................ 804
4. D .............................................................................................................................. 805
5. E, É .......................................................................................................................... 806
6. F ............................................................................................................................... 808
7. G, Gy ....................................................................................................................... 809
8. H .............................................................................................................................. 810
9. I, Í ............................................................................................................................ 811
10. J ............................................................................................................................. 812
11. K ............................................................................................................................ 813
12. L ............................................................................................................................. 815
13. M ........................................................................................................................... 816
14. N, Ny ..................................................................................................................... 817
15. O, Ö ....................................................................................................................... 818
16. P ............................................................................................................................. 819
17. R ............................................................................................................................ 820
18. S, Sz ....................................................................................................................... 821
19. T ............................................................................................................................. 822
20. U, Ü ....................................................................................................................... 824
21. V ............................................................................................................................ 824
22. W ........................................................................................................................... 825
23. X ............................................................................................................................ 825
24. Y ............................................................................................................................ 825
25. Z ............................................................................................................................. 825
31. Jelölések .......................................................................................................................... 826
32. Irodalomjegyzék .............................................................................................................. 834
vii
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Az egyenletek listája

1. (0.1) ............................................................................................................................................... xi
2. (0.2) .............................................................................................................................................. xv
3. (0.3) .............................................................................................................................................. xv
4. (0.4) ............................................................................................................................................. xvi
5. (0.5) ............................................................................................................................................. xvi
1.1. (1.1) ........................................................................................................................................... 22
1.2. (1.2) ........................................................................................................................................... 27
2.1. (2.1) ........................................................................................................................................... 35
2.2. (2.2) ........................................................................................................................................... 35
2.3. (2.3) ........................................................................................................................................... 36
2.4. (2.4) ........................................................................................................................................... 37
2.5. (2.5) ........................................................................................................................................... 37
2.6. (2.6) ........................................................................................................................................... 37
2.7. (2.7) ........................................................................................................................................... 39
2.8. (2.8) ........................................................................................................................................... 40
2.9. (2.9) ........................................................................................................................................... 44
2.10. (2.10) ....................................................................................................................................... 45
2.11. (2.11) ....................................................................................................................................... 45
3.1. (3.1) ........................................................................................................................................... 51
3.2. (3.2) ........................................................................................................................................... 51
3.3. (3.3) ........................................................................................................................................... 54
3.4. (3.4) ........................................................................................................................................... 57
3.5. (3.5) ........................................................................................................................................... 58
4.1. (4.1) ........................................................................................................................................... 64
4.2. (4.2) ........................................................................................................................................... 68
4.3. (4.3) ........................................................................................................................................... 68
5.1. (5.1) ........................................................................................................................................... 71
5.2. (5.2) ........................................................................................................................................... 71
5.3. (5.3) ........................................................................................................................................... 72
5.4. (5.4) ........................................................................................................................................... 72
5.5. (5.5) ........................................................................................................................................... 73
6.1. (6.1) ........................................................................................................................................... 81
6.2. (6.2) ........................................................................................................................................... 83
6.3. (6.3) ........................................................................................................................................... 84
7.1. (7.1) ........................................................................................................................................... 87
8.1. (8.1) ........................................................................................................................................... 93
8.2. (8.2) ........................................................................................................................................... 97
8.3. (8.3) ........................................................................................................................................... 98
8.4. (8.4) ........................................................................................................................................... 99
8.5. (8.5) ........................................................................................................................................... 99
8.6. (8.6) ......................................................................................................................................... 100
8.7. (8.7) ......................................................................................................................................... 100
8.8. (8.8) ......................................................................................................................................... 100
8.9. (8.9) ......................................................................................................................................... 102
8.10. (8.10) ..................................................................................................................................... 104
8.11. (8.11) ..................................................................................................................................... 104
9.1. (9.1) ......................................................................................................................................... 105
9.2. (9.2) ......................................................................................................................................... 107
9.3. (9.3) ......................................................................................................................................... 108
9.4. (9.4) ......................................................................................................................................... 108
9.5. (9.5) ......................................................................................................................................... 112
9.6. (9.6) ......................................................................................................................................... 114
9.7. (9.7) ......................................................................................................................................... 114
9.8. (9.8) ......................................................................................................................................... 121
9.9. (9.9) ......................................................................................................................................... 123
9.10. (9.10) ..................................................................................................................................... 124
viii
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Valós analízis I-II.
9.11. (9.11) ..................................................................................................................................... 126
9.12. (9.12) ..................................................................................................................................... 128
9.13. (9.13) ..................................................................................................................................... 129
9.14. (9.14) ..................................................................................................................................... 130
9.15. (9.15) ..................................................................................................................................... 136
9.16. (9.16) ..................................................................................................................................... 136
9.17. (9.17) ..................................................................................................................................... 138
9.18. (9.18) ..................................................................................................................................... 140
9.19. (9.19) ..................................................................................................................................... 140
9.20. (9.20) ..................................................................................................................................... 140
9.21. (9.21) ..................................................................................................................................... 140
9.22. (9.22) ..................................................................................................................................... 147
9.23. (9.23) ..................................................................................................................................... 148
9.24. (9.24) ..................................................................................................................................... 149
9.25. (9.25) ..................................................................................................................................... 152
9.26. (9.26) ..................................................................................................................................... 152
9.27. (9.27) ..................................................................................................................................... 153
9.28. (9.28) ..................................................................................................................................... 155
9.29. (9.29) ..................................................................................................................................... 156
10.1. (10.1) ..................................................................................................................................... 157
10.2. (10.2) ..................................................................................................................................... 157
10.3. (10.3) ..................................................................................................................................... 158
10.4. (10.4) ..................................................................................................................................... 160
10.5. (10.5) ..................................................................................................................................... 160
10.6. (10.6) ..................................................................................................................................... 161
10.7. (10.7) ..................................................................................................................................... 163
10.8. (10.8) ..................................................................................................................................... 163
10.9. (10.9) ..................................................................................................................................... 164
10.10. (10.10) ................................................................................................................................. 164
10.11. (10.11) ................................................................................................................................. 165
10.12. (10.12) ................................................................................................................................. 165
10.13. (10.13) ................................................................................................................................. 166
10.14. (10.14) ................................................................................................................................. 167
10.15. (10.15) ................................................................................................................................. 168
10.16. (10.16) ................................................................................................................................. 169
10.17. (10.17) ................................................................................................................................. 169
10.18. (10.18) ................................................................................................................................. 169
10.19. (10.19) ................................................................................................................................. 171
10.20. (10.20) ................................................................................................................................. 171
10.21. (10.21) ................................................................................................................................. 171
10.22. (10.22) ................................................................................................................................. 172
10.23. (10.23) ................................................................................................................................. 172
10.24. (10.24) ................................................................................................................................. 172
10.25. (10.25) ................................................................................................................................. 175
10.26. (10.26) ................................................................................................................................. 175
10.27. (10.27) ................................................................................................................................. 175
10.28. (10.28) ................................................................................................................................. 175
10.29. (10.29) ................................................................................................................................. 175
10.30. (10.30) ................................................................................................................................. 175
10.31. (10.31) ................................................................................................................................. 175
10.32. (10.32) ................................................................................................................................. 176
10.33. (10.33) ................................................................................................................................. 176
10.34. (10.34) ................................................................................................................................. 176
10.35. (10.35) ................................................................................................................................. 176
10.36. (10.36) ................................................................................................................................. 176
10.37. (10.37) ................................................................................................................................. 176
10.38. (10.38) ................................................................................................................................. 177
10.39. (10.39) ................................................................................................................................. 177
10.40. (10.40) ................................................................................................................................. 178
10.41. (10.41) ................................................................................................................................. 178
ix
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Valós analízis I-II.
10.42. (10.42) ................................................................................................................................. 178
10.43. (10.43) ................................................................................................................................. 179
10.44. (10.44) ................................................................................................................................. 179
10.45. (10.45) ................................................................................................................................. 180
10.46. (10.46) ................................................................................................................................. 180
10.47. (10.47) ................................................................................................................................. 181
10.48. (10.48) ................................................................................................................................. 182
10.49. (10.49) ................................................................................................................................. 182
10.50. (10.50) ................................................................................................................................. 186
10.51. (10.51) ................................................................................................................................. 186
10.52. (10.52) ................................................................................................................................. 186
10.53. (10.53) ................................................................................................................................. 190
10.54. (10.54) ................................................................................................................................. 190
10.55. (10.55) ................................................................................................................................. 190
10.56. (10.56) ................................................................................................................................. 190
10.57. (10.57) ................................................................................................................................. 191
10.58. (10.58) ................................................................................................................................. 191
10.59. (10.59) ................................................................................................................................. 191
10.60. (10.60) ................................................................................................................................. 192
10.61. (10.61) ................................................................................................................................. 192
10.62. (10.62) ................................................................................................................................. 194
10.63. (10.63) ................................................................................................................................. 195
10.64. (10.64) ................................................................................................................................. 196
10.65. (10.65) ................................................................................................................................. 196
10.66. (10.66) ................................................................................................................................. 196
11.1. (11.1) ..................................................................................................................................... 197
11.2. (11.2) ..................................................................................................................................... 202
11.3. (11.3) ..................................................................................................................................... 206
11.4. (11.4) ..................................................................................................................................... 208
11.5. (11.5) ..................................................................................................................................... 209
11.6. (11.6) ..................................................................................................................................... 209
11.7. (11.7) ..................................................................................................................................... 209
11.8. (11.8) ..................................................................................................................................... 209
11.9. (11.9) ..................................................................................................................................... 211
11.10. (11.10) ................................................................................................................................. 211
11.11. (11.11) ................................................................................................................................. 212
11.12. (11.12) ................................................................................................................................. 212
11.13. (11.13) ................................................................................................................................. 212
11.14. (11.14) ................................................................................................................................. 213
11.15. (11.15) ................................................................................................................................. 213
11.16. (11.16) ................................................................................................................................. 213
11.17. (11.17) ................................................................................................................................. 213
11.18. (11.18) ................................................................................................................................. 213
11.19. (11.19) ................................................................................................................................. 214
11.20. (11.20) ................................................................................................................................. 214
11.21. (11.21) ................................................................................................................................. 215
11.22. (11.22) ................................................................................................................................. 217
11.23. (11.23) ................................................................................................................................. 217
11.24. (11.24) ................................................................................................................................. 218
11.25. (11.25) ................................................................................................................................. 218
11.26. (11.26) ................................................................................................................................. 218
11.27. (11.27) ................................................................................................................................. 218
11.28. (11.28) ................................................................................................................................. 219
11.29. (11.29) ................................................................................................................................. 219
11.30. (11.30) ................................................................................................................................. 219
11.31. (11.31) ................................................................................................................................. 228
11.32. (11.32) ................................................................................................................................. 236
11.33. (11.33) ................................................................................................................................. 237
11.34. (11.34) ................................................................................................................................. 237
11.35. (11.35) ................................................................................................................................. 240
x
Created by XMLmind XSL-FO Converter.