Untitled - ADI SETIAWAN

189 Pages·2017·5.77 MB·Indonesian

BAB I
PENDAHULUAN

Statistika Matematika memberikan alasan dalam pemilihan metode
yang digunakan dalam Statistika yang merupakan mata kuliah yang
banyak digunakan di berbagai program studi di perguruan tinggi.
Buku ini memberikan dasar-dasar Statistika Matematika yang
terdiri dari pendahuluan, dasar-dasar estimasi, estimasi titik, estimasi
interval, pengujian hipotesis dan penutup. Dalam Statistika Parametrik,
sampel dianggap berasal dari suatu populasi yang tergantung pada satu
atau lebih parameter. Untuk itu diberikan berbagai metode untuk
melakukan estimasi atau penaksiran, baik dengan cara menggunakan satu
titik maupun interval tertentu. Pengujian hipotesis tentang parameter
tersebut dan dasar-dasar metode yang digunakan dalam pengujian
hipotesis akan dipelajari dalam bagian selanjutnya. Teorema (theorem)
dan Akibat Teorema (corrolary) hanya diberikan dan digunakan dalam
penyelesaian soal dan tidak dibuktikan.
Dalam bab dasar-dasar estimasi, akan dibahas tentang ruang
parameter (parameter space), statistik cukup (sufficient statistics), sifat
kelengkapan (completeness), sifat ketakbiasan (unbiasedness) dan
keluarga eksponensial (exponential family). Topik-topik yang dibahas
akan memberikan dasar-dasar dalam melakukan estimasi, khususnya
estimasi titik.
Selanjutnya, akan dibahas tentang berbagai metode yang
digunakan untuk melakukan estimasi titik seperti metode momen, metode
MLE (maximum likelihood estimator) dan estimator UMVU. Demikian
juga, diperkenalkan dasar-dasar estimasi dengan pendekatan Bayesian.
Pengujian hipotesis yang biasa kita kenal dalam Statistika Dasar adalah
pengujian hipotesis dengan hipotesis alternatif yang tidak hanya memuat
satu titik atau dikenal dengan hipotesis komposit. Kemudian, akan dibahas
tentang beberapa metode pengujian hipotesis, baik untuk hipotesis
sederhana maupun untuk hipotesis komposit.

Pengantar Statistika Matematika 1
Dalam bab selanjutnya, akan dibahas tentang estimasi interval
dengan menggunakan metode pivot untuk kasus dengan atau tanpa
munculnya parameter nuisans. Demikian juga, diberikan hubungan antara
estimasi interval dengan pengujian hipotesis. Pada bagian penutup
memberikan inspirasi ke depan akan kegunaan mata kuliah Statistika
Matematika yang nantinya juga akan dituntut untuk dapat divisualisasikan
dengan bantuan paket program komputer di samping pembuktian secara
analitis.

*****

2 Dr. Adi Setiawan, M. Sc
BAB II
DASAR-DASAR ESTIMASI

Dalam bab ini terlebih dahulu akan dibahas tentang ruang parameter
(parameter space), statistik cukup (sufficient statistics), sifat kelengkapan
(completeness), sifat ketakbiasan (unbiasedness) dan keluarga
eksponensial (exponential family). Topik-topik yang dibahas dalam bab ini
akan memberikan dasar-dasar dalam melakukan estimasi, khususnya
estimasi titik.

II.1 Sifat Kecukupan

Misalkan X suatu variabel random dengan fungsi kepadatan
probabilitas f (x;)diketahui tetapi tergantung pada suatu vektor konstan
berdimensi r yaitu ,,...,t yang dinamakan parameter. Ruang
1 2 r
parameter  adalah himpunan semua nilai yang mungkin dari . Dalam
hal ini  Rr dengan r ≥ 1.
Misalkan X ,X ,...,X sampel random ukuran n dari f (x;) yaitu
1 2 n
n variabel random yang saling bebas dan masing-masing mempunyai
fungsi kepadatan probabilitas f (x;). Masalah mendasar dalam statistika
adalah membuat inferensi tentang parameter  seperti melakukan estimasi
, menguji hipotesis tentang  dan lain-lain. Dalam melakukan hal di
atas, konsep tentang kecukupan memainkan peranan penting dalam
membimbing kita untuk meringkas data tetapi tanpa kehilangan informasi
yang dibawa dalam data tentang parameter . Di samping sifat kecukupan
juga akan dibahas tentang konsep kelengkapan (completeness), sifat
ketakbiasan (unbiasedness) dan sifat ketakbiasan variansi minimum
(minimum variance unbiasedness).
Misalkan T :Rn R untuk j 1,2,...,,m dan T tidak tergantung
j j
pada  atau sebarang kuantitas yang tidak diketahui. Vektor
T(T,.T ,..,T )
1 2 m

Pengantar Statistika Matematika 3