Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHT DES LANDES NORDRHEIN -WESTF ALEN
Nr. 2662/Fachgruppe UmweIt/Verkehr
Herausgegeben im Auftrage des Ministerprasidenten Heinz Kuhn
vom Minister fur Wissenschaft und Forschung Johannes Rau
Wissenschaftl. Rat und.
Prof. Dr. -Ing. Alfred E. B eylich
StoBwellenlaboratorium
der Rhein. -Westf. Techn. Hochschule Aachen
U nter suchungen
zur kinetischen Theorie des Verkehrsflusses
WESTDEUTSCHER VERLAG 1977
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutachen Bibliothek
Beylich, Alfred E.
Untereuchungen zur kinetlechen Theorie dee Ver_
kehreflueeea. _ 1. Aufl. _ Opl.den, Veetdeut_
Bcher Verlag, 1977.
(Forechungeberichte dee Landee NOrdrhein
Weetfalen; Nr. 2662 Fachgruppe Umwelt/
Verkehrl
ISBN 978-3-~31·1)2662·6 ISBN 978-3·322-88$9~-1 (eBook)
DOl 10.1007/978_3_322_88595_1
© 1977 by Westdeutscher Verlag GmbH, Opladen
Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag
Im Zusammenhang mit dieser Arbeit ist
es mir eine Freude, denen zu danken,
die mich dabei unterstUtzt haben.
Insbesondere geht mein Dank an die
Studenten G. Weber, K. J. Hammerschmidt
und B. Kazay, die bei der Literatur
beschaffung behilflich waren und
Obersetzungen durchgefUhrt haben.
Herr Dipl.-Ing. H. J. Poethke hat sich
gro~e MUhe gegeben bei der Entwicklung
des Monte-Carlo Programms und einen
Teil der Abbildungen gezeichnet.
Den Mitgliedern des Sto~wellenlabors
sei ebenfalls gedankt, vor allem
Herrn W. Klose fUr die DurchfUhrung
der photographischen Arbeiten sowie
Frau G. Eckert fUr das Schreiben
des Manuskriptes.
Inhaltsverzeichnis Seite
1. Einleitung 1
2. Zweispuriger Richtungsverkehr 6
2.1 Regeln fUr zweispurige Fahrbahnen 7
2.2 Zustande und Abstandverhalten 8
3. Verteilungsfunktionen 13
3.1 Eigenschaften im Phasenraum 14
3.2 110mente der Verteilungsfunktionen 16
4. Kinetische Fundamentalgleichungen 18
4.1 Elemente der Gleichungen 18
4.1.1 Bemerkungen zur Wunschverteilung 19
4.1.2 Dbertragung des Relaxationsterms auf Cluster 25
4.1.3 Relaxation aus dem gebundenen Zustand 26
4.1.4 Wechselwirkungen zwischen den Clustern 28
4.1.5 Kondensierter Zustand 36
4.1.6 Termschema 36
4.2 Allgemeines Gleichungssystem 38
4.3 Allgemeine Nebenbedingung 40
5. L5sungen der kinetischen Gleichungen 44
5.1 Sehr kleine Konzentrationen 44
5.2 Integraliteration 48
6. Monte-Carlo Methoden 60
6.1 Einzelheiten der Methode 60
6.2 Verteilungsfunktionen 63
6.3 Momente 70
6.4 Abstandsverhalten 73
6.5 Ein inhomogen stationarer Fall 76
6.6 Ein homogen instationarer Fall 81
7. Zusammenfassung 84
8. Literaturverzeichnis 87
1. Einleitung
Die Untersuchung des Verkehrsflusses, wie man ihn beispielsweise
in Form eines Stromes von Automobilen auf einem Stra~enabschnitt
vorfindet, dient dem Ziel, die inneren Zusammenh&nge des Prozesses
verstehen zu lernen, urn einerseits den gesamten Vorgang - falls
das m8glich ist - optimieren zu k8nnen, andererseits dieses Problem
in einen gr8~eren Zusammenhang mit anderen Ph&nomenen zu stellen.
Auf den ersten Blick besteht ein Verkehrsstrom aus Elementen, die
durch den Komplex Mensch-Fahrzeug-Stra~e charakterisiert sind.
Ein Verkehrsstrom existiert aufgrund der Tatsache, da£ Menschen
bestrebt sind, mit Hilfe von Fahrzeugen auf einer. vorgegebenen
Stra~e in optimaler Weise von einem Anfangspunkt zu einem Endpunkt
zu gelangen. Hier ist ein unmittelbarer Zusammenhang mit dem
8konomischen Verhalten 1 in einer Gemeinschaft zu sehen, wo eben
falls die beiden Grundelemente n&mlich das Streben nach einem
pers8nlichen Optimum und das Behindertwerden durch die anderen
Mitglieder und Gruppen aufgrund deren Optimierungsbestrebungen
existieren.
Bei dem Versuch einer Beschreibung des Verkehrsflusses ist man
gegenUber den Problemen der ~konomie insofern im Vorteil, als
es sich hier urn relativ einfache Motive und Strategien handelt.
Zweifel los spielen auch hier Elemente der Spieltheorie 2 eine
Rolle: Der Einzelne beherrscht und Uberschaut nur wenige Variablen,
der Gesamtflu~ ist aber von allen Variablen abh&ngig.
W&hrend diese Zusammenh~nge von allgemeiner Bedeutung sind,
so ist doch fUr eine mathematische Theorie zun~chst noch nicht
viel gewonnen. Hierzu bedarf es einer drastischen Beschrankung
auf einige wesentliche Merkmale. Diese mogen fUr eine zweispurige
Richtungsfahrbahn folgende sein: Von den Fahrern wird verlangt,
da~ sie sich "rational" verhalten, indem sie ihre Strategie so
w~hlen, da~ die Fahrzeit ein Minimum wird, wobei bei ungehindertem
freiem Fahren eine experimentell zu ermittelnde Wunschgeschwindig
keit zugrunde gelegt wird. Hinsichtlich der Strategie kann man
sich auf das beschr~nken, was man einem automatischen Piloten
zumuten wUrde: Er wird das Fahrzeug auf eine Wunschgeschwindigkeit,
ermittelt als ein Optimum aus Kosten, Zeitersparnis, Fahrzeug
eigenschaften und anderen Parametern, regeln, mit einer
2 -
Zeitkonstante T, die hauptsachlich aus Fahrzeug- und StraBen
eigenschaften resultiert. Falls der Abstand zu einem voraus-'
fahrenden Fahrzeug kleiner als ein Sicherheitsabstand ist, wird
er abfragen, ob auf der linken Spur eine LUcke frei ist, in die
das Fahrzeug mitsamt seinem Sicherheitsabstand paBt. Ist'dies
nicht der Fall, so regelt er die Geschwindigkeit herab auf die
des vorausfahrenden Fahrzeugs (die Abfrage "ist links frei?"
lauft dabei permanent weiter). Ein auf der linken Spur fahrendes
Fahrzeug muB dabei, insofern es nicht ein behindertes Fahrzeug
ist, nach einer gewissen VerzOgerung nach dem Obergang, permanent
die Abfrage stellen, ob es wieder mitsamt seinem Sicherheits
abstand auf die rechte Spur paBt.
Damit ist der Weg eines einzelnen Fahrzeugs - vorausgesetzt die
lokale Wunschgeschwindigkeit vw(x,t) ist bekannt - vOllig
determiniert, so wie die Bahnkurve eines MolekUls in einem Gas
unter Zugrundelegung einer klassischen Mechanik exakt fUr alle
Zeiten bekannt ist. Hier wie dort aber interessiert man sich
weniger fUr Einzelschicksale als vielmehr fUr die Eigenschaften
der Gesamtheit der Elemente. Aus der Erfahrung mit der statistischen
Mechanik 3,~ muB man dabei von vorneherein erkennen, daB wegen der
kleinen Zahlen der Fahrzeuge mit groBen Streuungen urn den Mittel
wert gerechnet werden muB; dies ist vor allem auch ein besonderes
Problem bei der experimentellen Untersuchung von VerkehrsflUssen.
Neben der zu erwartenden erheblichen Unscharfe aller Aussagen
muB noch auf ein wei teres Phanomen hingewiesen werden: Wahrend
bei kleinen Verkehrsdichten praktisch jedes Fahrzeug ungehindert
sich bewegen kann, findet man bei zunehmender Verdichtung eine
zunehmende Behinderung,die schlieBlich darin endet, daB samtliche
Fahrzeuge, nur durch einen Sicherheitsabstand voneinander getrennt,
in einer einzigen endlosen Kolonne sich fortbewegen. Man wird
unmittelbar an ein MolekUl-System erinnert: Bei kleinen Dichten, im
gasf6rmigen Zustand, findet man eine freie geradlinige Bewegung
der MolekUle, unterbrochen durch kurzzeitige St6Be; Eigenvolumen
und Wechselwirkungszeit sind vernachlassigbar. Bei Zunahme der
Dichte werden die MolekUle kondensiert; dieser Zustand ist
charakterisiert durch eine Nahorientierung und geringe Bewegungs-
3 -
m8glichkeit gegenUber der direkten Umgebung. Gro~e Bewegungen
k8nnen nur kollektiv durchgefUhrt werden.
Die Komplexit~t des Verkehrsflusses hat es mit sich gebracht,
da~ im Laufe der Zeit unterschiedliche und fUr die verschiedenen
Zust~nde mehr oder weniger geeignete theoretische Ansatze ent
wickelt wurden, die man etwa folgenderma~en ordnen kann 5,6,7
(A) Empirische oder intuitive Ansatze. Hierbei handelt es sich
vorwiegend urn einfache Zusammenhange, die aus Experimenten
gewonnen wurden und durch eine passende mathematische .
Beziehung approximiert werden. Ein typisches Beispiel ist
der Zusammenhang zwischen Durchsatz und Konzentration, der
im "Fundamentaldiagramm" dargestellt wird. Haufig sind
solche empirischen Formeln das einzige, was der Praktiker
fUr seine Aufgaben heranziehen Kanno
(B) Stochastische Modelle. Eine Vielzahl einzelner Elemente, wie
beispielsweise das Einfadeln von Fahrzeugen an einer Ein
mUndung, kann mit Hilfe der Verfahren 8,9, wie sie im
Operations Research angewendet werden, behandelt werden; es
ist jedoch offenbar nicht m8glich 10,11, die gesamte Dynamik
des Verkehrsflusses auf diese Weise zu behandeln.
(C) Fahrzeugfolge-Theorie 12-15. Hierbei wird die Dynamik der
Fahrzeuge auf einer einzelnen Spur bei dichtem Verkehr ohne
Oberholman8ver als deterministische Bewegung behandelt. Die
Beschrankung liegt in der Beschreibung des inneren Zustandes
einzelner Fahrzeugcluster, die selbst jedoch wiederum nur
ein Bestandteil des gesamten Fahrzeugstromes sind.
(D) Methode der Kontinuitatswellen 16. Diese Methode, die bei
der Untersuchung eindimensionaler Zweiphasenstromungen eine
bedeutende Rollen spielt, baut darauf auf, da~ fUr eine
Fahrbahn ein Fundamentaldiagramm existiert. Mit Hilfe der
in eine Wellengleichung umgewandelten Kontinuitatsgleichung
wobei die Storgeschwindigkeit als Funktion der Dichte aus
dem Fundamentaldiagramm gewonnen wird - la~t sich dann das
raum-zeitliche Dichtefeld nach einem Charakteristikenver
fahren ermitteln. Wahrend einige Phanomene, wie beispiels
weise der "Stau aus dem Nichts" sich zumindest qualitativ
4 -
mit dieser Methode deuten lassen, scheint seitens der
Experimentatoren 17,6 keine eindeutige Best~tigung der
Theorie m6glich zu sein. Sicherlich sind Vergleiche am
ehest~n da m6glich, wo es sich um einen kondensierten
Fahrzeugstrom handelt. In allen anderen F~llen ist jedoch
der Zusammenhang zwischen Durchsatz und Konzentration,
q(t), eine reine Wahrscheinlichkeitsaussage: ~nderungen
brauchen keineswegs l~ngs einer einzigen Kurve im Fundamental
diagramm zu verlaufen.
(E) Ans~tze auf mikroskopischer Basis. Hierunter z~hlen vor allem
18-22
die von der statistischen Mechanik ausgehenden Modelle
Meist handelt es sich um Modifikationen der Boltzmann
Glichung, wobei mitunter (in der Gaskinetik durchaus zu recht
fertigende) vereinfachte Ans~tze wie beispielsweise der
BGK-Relaxationsterm 23,24 undiskriminiert auf das Verh~lten
von Fahrzeugstr6men Ubertragen wird. Experimente 25 zeigen
eindeutig, daB einfache Ans~tze zu sehr schlechter Oberein
stimmung fUhren.
(F) Simulationsmodelle. Numerische Experimente 26 sollte man
vielleicht weniger unter die Theorien einordnen; vielmehr
stellen sie eine billige Art des Experimentierens dar, die
einerseits dazu dienen kann, spezielle theoretische Ergebnisse
zu UberprUfen, was bei echten Experimenten teilweise heute
noch unm6g1ich erscheint, andererseits kann man relativ
schnell mit diesem Verfahren Antwort auf spezielle praktische
Fragen erhalten. Diese Methode stellt daher ein sehr wichtiges
Hilfsmittel bei der Untersuchung von VerkehrsflUssen dar.
Die Verwandtschaft des Verkehrsflusses mit Ph~nomenen der Gaskinetik 27
sowie mit solchen des PhasenUbergangs in einem Einstoffsystem 28
gaben dazu AnlaB, in der vorliegenden Untersuchung eine Theorie zu
entwickeln, die - mutatis mutandis - Elemente und Denkweisen aus
den vorgenannten Gebieten Ubernimmt. Dabei wurde die Aufmerksamkeit
besonders auf das schwierige Gebiet des Obergangs zwischen freiem
und gebundenem (kondensiertem) VerkehrsfluB gerichtet: FUr die
Clustergeschwindigkeitsverteilungen der Spuren einer zweispurigen
Richtungsfahrbahn wurden kinetische Gleichungen, ahnlich den
5 -
Boltzmann-Gleichungen eines Gasgemisches, formuliert, in denen
Wechselwirkungen zwischen den Clusterverteilungen derselben und
der anderen Spur sowie Relaxationseffekte berUcksichtigt sind.
Es steht dabei die Auffassung im Hintergrund, da~ eine mathema
tische Theorie nach gewissen vernUnftigen Vereinfachungen eine
m5glichst vollst~ndige Beschreibung liefern sollte, zun~chst
ungeachtet solcher Oberlegungen, die die L5sbarkeit des Gleichungs
systems betreffen. Als ernUchterndes Beispiel mag hier die Boltz
mann-Gleichung selbst dienen, die ebenfalls das Ergebnis ver
nUnftiger Vereinfachungen ist 27 und die man bis heute nicht hat
l6sen k6nnen. 1m Hinblick auf den PhasenUbergang bleibt dabei
erg~nzend anzumerken, da~ die Thermodynamik bis heute keine
einzige Fundamentalgleichung 29 eines Stoffes kenn~, die fUr
mehrere Phasen gUltig ware.
Den Schwerpunkt der vorliegenden Untersuchung bildet die Formulierung
der kinetischen Gleichungen fUr die zweispurige Richtungsfahrbahn.
Als Test der verschiedenen Elemente wurden einige einfache exempla
rische Rechnungen durchgefUhrt. Die im Kap. 6 beschriebenen Monte
Carlo-Rechnungen dienten dabei ebenfalls dem Zweck, Teile der
theoretischen Formulierungen zu prUfen.
6 -
2. Zweispuriger Richtungsverkehr
Es sollen hier zweispurige Fahrbahnen mit Verkehrsstr8men in eine
Richtung behandelt werden, wie man sie beispielsweise bei Autobahn
fahrbahnen antrifft. Eine Erweiterung der Behandlung auf mehrere
Spuren sowie auf Bahnen mit Gegenverkehr ist ohne wei teres m8glich,
da keine zus&tzlichen Elemente hinzukommen; diese F&lle sollen jedoch
hier nicht behandelt werden.
Es werde angenommen, daB sich die einzelnen Fahrzeuge auf vorge
schriebenen Fahrspuren bewegen mit dem Ziel, von einem Ort A nach
einem Ort B in optimaler Weise zu kommen. Sie haben die M8glichkeit,
zum Zwecke der Verringerung der Fahrzeit, die Spur zu wechseln.
Bei zunehmender Fahrzeugdichte nimmt die Chance, die Spur zu
wechseln, immer mehr ab, und man findet Verh~ltnisse vor, wie sie
auch bei einzelnen einspurigen Fahrbahnen existieren. Die Eigenarten
einer einzelnen einspurigen Bahn soll kurz angedeutet werden: Be
trachtet sei eine zu einem Ring geschlossene Spur der L~nge L mit
k Fahrzeugen, die eine stochastische Abstandsverteilung
tk={x1,x2, ••• ,xk} sowie Geschwindigkeitsverteilung +k={v1,v2, ••• ,vk}
zum Zeitpunkt t=O besitzen sollen. Dann ist der mittlere Abstand
a=L/k und die mittlere Konzentration C=l/o. Ebenso l&Bt sich die
mittlere Geschwindigkeit v=rvi/k und der Fahrzeugstrom q=C'v angeben.
Dabei ist aber zu beachten, daB letztere Gr8Ben zeitabh~ngig sind,
da man sich in einem instation~ren Obergangsbereich befindet, in
dem sich einzelne Fahrzeuggruppen (Cluster) bilden, bis schlieBlich
alle Fahrzeuge eine einzige Schlange hinter dem langsamsten Fahrzeug
gebildet haben. Die charakteristische Zeit fUr den Obergangsbereich,
mit Av als der Dispersion von +k ist von der Gr8Benordnung
1
T inst"" CAy
Danach liegt die stationare Bewegung einer Fahrzeugkolonne vor.
Selbst wenn man eine allgemeine Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Geschwindigkeiten angeben kann, so ist diese doch fUr den Fall der
gebundenen Bewegung irrelevant: Der Bewegungsablauf "ergibt" sich
keineswegs aus einer solchen Verteilung, vielmehr muB die kleinste
