Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 1367
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerprasidenten Dr. Franz Meyers
von Staatssekretar Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 518.61
Prof Dr. rer. techno Fritz Reutter
Dr. phil. Johannes Knapp
Institut fur Geometrie und Praktische Mathematik
der Rhein.-Westf. Techn. Hochschule Aachen
Untersuchungen tiber die numerische Behandlung
von Anfangswertproblemen gewohnlicher
Differentialgleichungssysteme mit Hilfe von
LIE-Reihen und Anwendungen auf die
Berechnung von Mehrkorperproblemen
WESTDEUTSCHER VERLAG KOLN UND OPLADEN 1964
ISBN 978-3-663-06559-3 ISBN 978-3-663-07472-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07472-4
Verlags-Nr. 011367
© 1964 by Westdeutscher Verlag, Koln und Opladen
Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag·
Inhalt
Einleitung 7
Kapitel I:
Darlegung der Methode der LIE-Reihen' und Ausbau fiir die numerische
Rechnung ........................................................ 9
1. Zusammenstellung wichtiger Satze aus der allgemeinen Theorie ...... 9
2. Abbruchfehler ................................................. 15
3. Fehlerfortpflanzung ............................................ 23
4. Steuerung der Schrittweite ...................................... 25
5. Berechnung der StOrintegrale .................................... 27
6. Rechenvorgang, Kontrolle der Fehlermoglichkeiten 28
Kapitel II:
Anwendung in der Himmelsmechanik 35
7. Das astronomische n-Korperproblem ............................. 35
8. Zusammenstellung einiger spezieller Naherungsbahnen . . . . . . . . . . . . .. 40
9. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
10. Erfahrungen................................................... 53
Kapitel III :
Vergleich mit einigen anderen Methoden zur numerischen Behandlung von
Systemen gewohnlicher Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59
11. Behandlung mit Hilfe des Verfahrens von
RUNGE-KUTTA-FEHLBERG ....................................... 59
12. Behandlung mit Hilfe der Interpolationsformeln nach E. FEHLBERG . .. 62
13. Gegeniiberstellung der nach der GROBNER-Methode und nach den in 11.
und 12. dargelegten Verfahren gewonnenen numerischen Resultate 64
Zusammenfassung ................................................. 67
Literaturverzeichnis ............................................... ' 69
5
Einleitung
Mittels LIE-Reihen, deren Theorie Prof. Dr. W. GRaBNER (Innsbruck) ausge
baut hat, lassen sich - neben vielen anderen Anwendungsmoglichkeiten - sofort
die Losungen von Anfangswertproblemen gewohnlicher regularer Differential
gleichungssysteme anschreiben. Diese Gestalt der Losungen eignet sich jedoch
kaum flir die numerische Auswertung, weil die Reihen meist sehr schwach kon
vergieren. Dagegen lassen sich nach W. GRaBNER auf Grund von Umordnungen
der Losungsreihen durch Abbrechen der umgeordneten Reihen beliebig gute
Naherungen fur die Losung entwickeln. Jede solche Umordnung beruht auf
einer Zerlegung des zugeordneten Differentialoperators in eine Summe zweier
Bestandteile. Das Auffinden einer fur die numerische Auswertung besonders
gunstigen Zerlegung des Operators erforderte bisher nicht nur eine eingehende
Kenntnis der Theorie der Methode der LIE-Reihen, sondern stellte auch hohe
Anforderungen an das Geschick des Bearbeiters. Indessen ist es nunmehr auch
gelungen, ein Verfahren zur numerischen Auffindung einer gunstigen Zerlegung
anzugeben.
In dem vorliegenden Bericht wird nun die Methode so dargestellt und ausgebaut,
daB sie sofort praktisch einsatzbereit ist. Dabei ist es insbesondere gelungen,
ziemlich scharfe und leicht durchfuhrbare Fehierkontrollen aufzustellen und eine
automatische Schrittweitensteuerung anzugeben. Ais numerisches Beispiel wird
das Dreikorperproblem Sonne-Jupiter-achter Jupitermond auf einer elektroni
schen Rechenanlage SIEMENS 2002 behandelt. Es wird aber nicht nur gezeigt, daB
die Methode als solche zur numerischen Behandlung solcher verwickelten Pro
bleme durchaus gut geeignet ist, sondern es wird auch ein Vergleich mit anderen
Methoden zur numerischen Behandlung derartiger Differentialgleichungspro
bleme angestellt. Es wurden hierfur zwei erst in den letzten Jahren von E. FEHL
BERG angegebene Verfahren verwendet, von denen das eine eine Modifizierung
der altbekannten RUNGE-KuTTA-Methode darstelIt, mit der man eine wesentliche
Verbesserung der Fehlerordnung erreicht, das andere eine ebenfalls von E. FEHL
BERG angegebene Verbesserung des Differenzenverfahrens nach ADAMS-STORMER.
Die vorstehenden Untersuchungen sollen spater noch erganzt werden durch einen
Bericht uber weitere Anwendungen und Ausbaumoglichkeiten der GRaBNER
Methode.
7
KAPITEL I
Darlegung der Methode der LIE-Reihen und Ausbau
flir die numerische Rechnung
Von W. GROBNER stammt der Gedanke, die formale U:isung von Anfangswert
problemen gewahnlicher regularer Differentialgleichungssysteme mit Hilfe von
LIE-Reihen darzustellen. Herr GROBNER hat zu diesem Zweck nicht nur die
Theorie dieser Reihen wesentlich ausgebaut, sondern durch eine Reihe von Satzen,
insbesondere durch eine geeignete Umordnung der Reihen, das theoretische
Rustzeug geschaffen, urn diese Methode auch fUr die numerische Behandlung
solcher Probleme nutzbar zu machen. Aus diesem Grunde solI im vorliegenden
Bericht die Behandlung von Anfangswertproblemen gewahnlicher Differential
gleichungen mittels LIE-Reihen kurz als GROBNER-Methode bezeichnet werden.
1m Hinblick auf die AusfUhrungen in Kapitel II dieser Arbeit verwenden wir,
urn Buchstabensymbole zu sparen, eine von [7] 1 abweichende Bezeichnung, die
aber doch so gewahlt ist, daB in diesem speziellen Anwendungsgebiet - Lasung
von Anfangswertproblemen gewahnlicher Differentialgleichungssysteme - kein
AniaB zu MiBverstandnissen besteht. Korrekterweise muBten namlich die Vari
ablen der Operatoren von den durch die Reihen dargestellten Funktionen deutlich
unterschieden werden.
1. Zusammenstellung wichtiger Satze aus der allgemeinen Theorie
(fehlende Beweise findet man in [7])
I.} Liisung von Differentialgleichungssystemen fllittels LIE-Reihen,'
Sei
dZ
- i = .lh(Zl, ... , Zn) (i = 1, ... , n) (1.1)
dt
ein Differentialgleichungssystem, in welchem t die unabhangige Variable und
Zl, ... , Zn die gesuchten Funktionen sind, die den Anfangsbedingungen
(i=l, ... ,n) (1.2)
genugen sollen.
1 In [] gesetzte Ziffern beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am Ende der Arbcit.
9
Sind nun -&l(Zl, ... , Zn), ... , -&n(Zl, ... , Zn) aufgefaBt als Funktionen kom
plexer Variablen Zl, ... , Zn im Punkte (1.2) regular und nicht alle -&i = 02,
so lassen sich die Losungen als LIE-Reihen anschreiben:
(i = 1, ... , n). (1.3)
Sie sind mit dem Differentialoperator
(1.4)
gebildet; das der eckigen Klammer angehiingte Symbol Z( bedeutet, daB nach
0)
AusfUhrung aller durch Dv vorgeschriebenen Differentiationen3 die Variablen
Zl, ... , Zn zu ersetzen sind durch die konstanten Anfangswerte ZiO), ... , zl?).
Allgemein kann jede in (1.2) regulare Funktion f (Zl, ... , Zn) der Losungen als
LIE-Reihe dargestellt werden:
L (t - to)v
f(Zl(t), ... , Zn(t») = 00 I [Dvf(Zl, ... , Zn)]z(O). (1.3')
V=O
'I.
Die Reihe konvergiert unter den genannten Voraussetzungen fUr It - to I < T,
wo T > 0 eine von f, den Differentialgleichungen und den Anfangswerten ab
hangige Schranke ist (vgl. [7], § 1); die Losungen konnen langs jeden Weges,
der singuliire Stellen von fund D meidet, analytisch fortgesetzt werden, und zwar
durch dieselben Reihendarstellungen, in die nur die jeweiligen Anfangswerte ein
zusetzen sind.
Anmerkung ,: Ein nicht autonomes System (d. h. ein System, bei dem die -&i
auch noch explizit von t abhangen)
dZ
- i = -&i(Zl, ... , Zn, t) (i = 1, ... ,n)
dt
laBt sich auf den obigen Fall zuriickfiihren. Man setzt t = Zn+1 und bekommt das
auto nome System
(i = 1, ... , n, n + 1) (1.1 ')
SteIlen, an denen aIle -&i gleichzeitig verschwinden, nennen wir kritisch, die Losungs
2
methode kann dort versagen. Der Fall, wo aIle -&1 identisch verschwinden, ist hin
gegen trivial. 1st der Anfangspunkt (1.2) nicht kritisch, so kann auch bei der analyti
schen Fortsetzung der Losungen kein kritischer Punkt erreicht werden (vgl. [7],
p.36).
Dvf(Zl, ... , Zn) ist erklart durch
3
af
DOf = f, Dlf = Df = Ln -&k -, DVf = D(DV-lf).
k= 1 aZk
10
mit &n+1 == 1 und ZiO!l = to, hat also von vornherein alle Oberlegungen fur
+
n 1 statt fur n Gleichungen anzustellen, weshalb in den weiteren AusfUhrun
gen hieruber nichts mehr erwahnt zu werden braucht.
Entsprechend kann eine in Z\O), ... , Z!,O), to regulare Funktion f (Zl, ... , Zn, t)
der Ulsungen des Systems (1.1), welche auch noch explizit von t abhiingt, be-
+
rechnet werden, indem man den Operator (1.4) mit dem Zusatzglied _0_
aZn+l
versieht. Wenn diese Oberlegungen sinngemaB berucksichtigt werden, kann frei
lich die ursprungliche Bezeichnung t fUr Zn+l beibehalten werden.
Anmerktlng 2 : Eine geeignete Substitution
Jt -:--d-,; --
"A = (1.5)
to p(Zl(';), ... ,Zn(';))
(p =l= 0 und regular im betrachteten Gebiet) fuhrt manchmal zu einer Verein
fachung des Systems (1.1), das dadurch ubergeht in
dZi dZi dt *
- = - - = p(Zl, ... , Zn) &i(Zl, ... , Zn) = &i (Zl, ... , Zn),
d"A dt d"A
(1.6)
dt
- = p(Zl, ... , Zn).
d"A
Damit wird unter Umstanden die Integration von (1.1) erleichtert (vgl. hierzu als
Beispiel 8d). Der zu (1.5) gehOrige Operator ist
a a
Ln +
D* = &k(Zl, ... , Zn) - p(Zl' ... , Zn)-
at
k= 1 aZk
(1.7)
a
= p(Zl' ... , Zn) D + p(Zl, ... , Zn) -
at
( nach Anmerkung 1 kommt eventuell noch das Zusatzglied :"A hinzu).
Die Losungen
beziehungsweise
f(Zl("A), ... , Zn(A)) = L00 -"AV [D*vf(Zl , ... , Zn)]z(O),to (1.8')
v=O \I!
konnen dann unter Umstanden als Funktionen des neuen Parameters "A" in ge
schlossener Form angegeben werden, und es konnen dabei Aussagen uber ihre
4 Wir wollen keine neuen Funktionssyrnbole einfiihren und schreiben daher, urn Zeichen
zu sparen, einfach Zi(A) statt etwa Zi(A) = Zi("A(t)) = Zi(t). Man nennt"A eine regu
larisierende Variable, wenn die Losungen als Funktionen von A ganz sind.
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Gestalt, iiber Periodizitatseigenschaften und dgl. gemacht werden, bevor man
das Integral
A
J P( Zl (Al), ... , Zn (Al») dAl = t - to (1.9)
o
kennt, welches den Zusammenhang zwischen A und t herstellt (vgl. wiederum
Beispiel 8 d).
2.) U mordnung der Reihen :
Fiir numerische Auswertungen konvergieren die Losungen in der Form (1.3)
jedoch meist zu schwach (wenn sie nicht zufallig, vielleicht nach Einfiihrung
eines neuen Parameters, durch bekannte Funktionen in geschlossener Form aus
gedriickt werden konnen). Eine Umordnung behebt dies en Obelstand.
Wir zerlegen den Operator D in zwei Bestandteile
(1.10)
etwa
(1.11)
und zwar zweckmaBig so, daB in der Nahe des Anfangspunktes I-&i - Cjl! 1 < 1C jli 1
ist und die zu Dl gehorigen Funktionen
(i = 1, ... , n) (1.12)
fiir jeden endlichen Wert von t regular sind und durch bekannte Funktionen in
geschlossener Form ausgedriickt werden konnen [dies ist zwar nicht notwendig,
aber giinstig, damit durch die Zerlegung (1.10) keine weiteren Singularitaten
eingeschleppt werden, Beispiele vgl. 8.].
+
Setzt man nun die Zerlegung (1.10) in (1.3) ein, entwickelt (Dl D2)v unter
Beachtung der Reihenfolge der Faktoren (denn Dl und D2 sind im allgemeinen
nicht miteinander vertauschbar), ordnet dann nach der Stellung des [auf der
rechten Seite von (1.15)] hervorgehobenen Operators D2 und wendet den Ver
tauschungssatz fiir LIE-Reihen (vgl. [7]) an, so entstehen (vgl. Anmerkung 3)
die Formeln
(i = 1, ... , n) (1.13)
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(vgl. [7] § 12) oder allgemeiner
f(Z1(t), ... , Zn(t)) =
welche angeben, wie die zu D1 geharigen Funktionen Zia(t) bzw.
f(Z1a(t), ... , Zna(t))
abzuandern sind, damit die gesuchten Lasungsfunktionen entstehen. Das
der eckigen Klammer angehiingte Symbol Za ( T) solI andeuten, daB nach An
wendung von D2 Doc auf f (Z1, ... , Zn) jede Variable Zk durch die entsprechende
Funktion Zka( T) zu ersetzen ist, so daB also der Klammerinhalt eine wohlbekannte
Funktion von T ist. Es ist besonders zu beachten, daB die Operatoren Doc und
D2 nicht miteinander vertauschbar sind und daB die Spezialisierung auf Anfangs
werte oder Naherungs16sungen erst nach Ausfiihrung aller vorgeschriebenen
Differentiationen vorgenommen werden darf.
Bei der numerischen Auswertung dieser Formeln muB man sich dann allerdings
auf die wesentlichen Glieder der Reihen beschranken
Zi(t) = Zia(t)+ Lm Jt (t - ,T )oc [D2DocZi]za("ndT (i = 1, ... ,n) (1.14)
oc = 0 to 0(,
[und eine analoge Formel fiir f(Z1' ... , Zn)] und hat m 5 bzw. die Schrittweite
Llt = t - to so zu wahlen, daB sich Zi(t) von der wirklichen Lasung Zi(t) im
Rahmen der vorgesehenen Genauigkeit nicht unterscheidet. Dazu ist aber not
wendig, daB man iiber die Abbruchfehler etwas weiB.
Anmerkung 3 : Man bestatigt durch vollstandige Induktion
Lv
(D1 + D2)v = D~ + D"~-(3D2D(3-1 (v=1,2, ... ) (1.15)
[>=1
und fiihrt unter Verwendung der Formel (vgl. [7], S. 92)
(t - to)v =lt (t - T)(3-1 (T - to)v-(3
(~-1)! (v-~)! (1 ~ ~ ~ v) (1.16)
v! dT
(1.8') iiber in
L (t - ,t o)v
f(Z1(t), ... , Zn(t)) = 00 [D~ f(Z1, ... , Zn)1z(O) +
V= 0 V.
(1.17)
5 Man kann ohne weiteres tiberall rr:i statt m setzen, wobei die mi nicht einander gleich
zu sein brauchen; wir unterdrticken den Index i, wei! es nicht notwendig ist, ihn
evident zu halten.
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