Table Of ContentLectu re Notes in
Operations Research and
Mathematical Systems
Economics, Computer Science, Information and Control
Edited by M. Beckmann, Providence and H. P. Kunzi, Zurich
50
U nterneh mensforsch un g
Heute
Obersichtsvortrage der Zuricher Tagung
von SVOR und DGU, September 1970
Herausgegeben von M. Beckmann
Brown University und Technische Universitat Munchen
Springer-Verlag
Berlin· Heidelberg· New York 1971
Advisory Board
H. Albach· A. V. Balakrishnan· F. Ferschl . R. E. Kalman· W. Krelle . N. Wirth
AMS Subject Classifications (1970): 90Axx, 90Bxx, 90Cxx
ISBN-13:978-3-540-05513-6 e-ISBN-13:978-3-642-80630-8
DOl: 10.1007/978-3-642-80630-8
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Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher,
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© by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1971. Library of Congress Catalog Card Number-73-165796.
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1971
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Die hier abgedruckten Aufsatze wurden als Obersichts
vortrage auf Einladung der Schweizerischen Gesellschaft fUr
Operations Research und der Deutschen Gesellschaft fUr
Unternehmungsforschung bei der gemeinsamen Jahrestagung im
Oktober 1970 in ZUrich gehalten. Ihre Veroffentlichung als
50. Band der Lecture Notes in Mathematical Systems solI
deren Funktion unterstreichen, rasch und zuverlassig Uber
neue Entwicklungen sowie neuartige Darstellungen aus den
Gebieten der Mathematischen Nationalokonomie, der Unternehmens
forschung und verwandter mathematischer Systeme zu infor
mieren. Dem Stil der Autoren und dem Format der Arbeiten
wurden dabei ein Minimum an Beschrankungen auferlegt.
Providence und ZUrich im Marz 1971
Martin Beckmann und Hans Paul KUnzi
Inhaltsverzeichnis
Ober einen Losungsansatz zum Vektormaximumproblem
von W. Dinkelbach, Regensburg
Neuere Entwicklungen auf dem Gebiet der
Warteschlangentheorie
von F. Ferschl, Bonn 14
Neuere Entwicklungen der stochastischen
Lagerhaltungstheorie
von D. Milnchen 30
Hochst~dter,
Entwicklungstendenzen in der mathematischen
Optimierung, aufgezeigt an Beispielen der
neueren Literatur
von P. Kall, Mannheim 52
Ganzzahlige Programmierung - Ein Oberblick
von B. Korte, Bonn 61
Grundbegriffe der Entscheidungstheorie
von W. Uhlmann, Wilrzburg 128
Uber einen LBsungsansatz zum Vektormaximumproblem
von
W. Dinkelbach, Regensburg
1. Einleitung
=============
Das Vektormaximumproblem, interpretiert als Problem mehrfacher Ziel
setzung, ist von sehr allgemeiner Bedeutung. Fast jeder Mensch steht
t!glich in Situationen, in denen er sich fUr eine von mehreren Alter
nativen entscheiden Auf der einen Seite, d.h. bei Verfolgung des
m~.
einen von ihm gesetzten Zieles, mUSte er sich fUr eine erste Alterna
tive entscheiden; auf der anderen Seite, d.h. bei BerUcksichtigung
eines anderen gleichzeitig von ihm verfolgten Zieles, mUSte er sich
fUr eine andere Alternative entscheiden. - In der Betriebswirtschafts
lehre hat das Problem mehrfacher Zielsetzung in neuerer Zeit mehr und
mehr Beachtung gefunden, nachdem man eingesehen hatte, daS es zu ele
mentar ist, stets nur von einer Zielsetzung, im allgemeinen der Gewinn
maximierung, auszugehen (vgl. etwa Gutenbepg [1966]; Johnsen [1968]).
- Auch in der Volkswirtschaftslehre spielt der Zielkonflikt in der Wirt
schaftspolitik eine bedeutende Rolle. Man denke nur an die magischen
Vielecke, bei denen es um die gleichzeitige ErfUllung mehrerer wirt
schaftspolitischer Zielsetzungen geht (vgl. etwa ~t [1967]). - In
L!ndern mit zentral gelenkten Volkswirtschaften haben sich sowohl
Mathematiker wie mit dem Vektormaximumproblem befaSt. Dort hat
~konomen
man auch relativ frUh die besondere Bedeutung des Problems mehrfacher
Zielsetzung fUr die Volkswirtschaftsplanung erkannt (vgl. etwa Bod
[1963], Kopnai [1967], S. 386-389).
Das Vektormaximumproblem selbst wird erstmalig in der vielzitierten
Arbeit "Nontineap Ppogpamming" von Kuhn-Tuckep [1951] erw!hnt. Der Be
griff der (funktional) effizienten LBsung, der in diesem Rahmen eine
wichtige Rolle spielt, wurde in Anlehnung an Koopmans von Chapnes
Coopep [1961] eingefUhrt. Zusammenh!nge zwischen effizienten LBsungen
eines Vektormaximumproblems und gewichteten Zielfunktionen wurden von
Kuhn-Tuckep [1951], Kaptin [1959] und Geoffpion [1965] bewiesen.
2
Die optimale L6sung eines Vektormaximumproblems wird als die Menge aller
effizienten Vektoren definiert. Man kann die so definierte L6sung als
"vollstandige LBsung" eines Vektormaximurnproblems bezeichnen. Hier
durch wird die Menge der zulassigen LBsungen mBglicherweise erheblich
eingeschrankt. doch im allgemeinen keine eindeutig optimale LBsung des
Problems gefunden. Um zu einer eindeutig optimal en LBsung eines Vektor
maximumproblems zu kommen. ist es notwendig. zusatzliche Voraussetzun
gen einzufUhren. mit deren Hilfe ein oder einige Elemente der voll
standigen LBsung, also eine Teilmenge aller effizienten LBsungen. ein
deutig als optimale bestimmt werden k6nnen. Nicht
Kompromi~lBsung
effiziente L6sungen kBnnen von vornherein Betracht bleiben. da
au~er
sie sicherlich nicht als "rational" bezeichnet werden k6nnen. Als eine
MBglichkeit. dieses Problem in Angriff zu nehmen, wird vielfach - als
zusatzliche Voraussetzung - eine skalare Praferenzfunktion t als Er
satzzielfunktion eingefUhrt, die die ursprUnglichen Zielfunktionen zu
Auf diese Weise ist es mBglich. als Teil
sammenfa~t. Kompromi~lBsungen
menge der vollstandigen LBsung zu bestimmen. die dann sowohl effizient
bezUglich der ursprUnglichen Zielfunktionen als auch optimal in bezug
auf die gewahlte Ersatzzielfunktion sind.
1m dritten Abschnitt dieses Beitrages wird ein relativ allgemeiner An
satz zur Definition einer Praferenzfunktion t als Ersatzzielfunktion
dargestellt und gezeigt. da~ in diesem Ansatz einige bekannte Verfah
rent die nicht unmittelbar zur LBsung des Vektormaximumproblems ent
wickelt wurden, jedoch hierzu herangezogen werden k6nnen. als Spezial
falle enthalten sind. So wird,ausgehend von den Definitionen und dem
Effizienztheorem des zweiten Abschnittes. gezeigt, unter welchen
Voraussetzungen sich das goat p~og~amming zur LBsung eines Vektormaxi
mumproblems verwenden laet bzw. die mit Hilfe des goat p~og~amming
gefundenen L6sungen effizient sind. Als zweiter Spezialfall wird die
Tschebyscheff-Approximation erBrtert. Es wird nachgewiesen, d~ die
mit Hilfe dieses Ansatzes gefundenen L6sungen eines Vektormaximumpro
blems effizient sind.
Zur Bezeichnungsweise: $ bezeichnet die Menge der natUrlichen Zahlen,
$ die der reellen Zahlen. Bei unterstrichenen Symbolen handelt es sich
urn Spaltenvektoren. Die Ubrigen Symbole bedUrfen keiner gesonderten
Erklarung.
3
2. Das Vektormaximumproblem
===========================
Es sei Xc: .N (N E: $) konvex, ferner ~{~5> = (zl (!) ,. •• ,zK(~» T eine
(vektorwertige) Funktion mit K > 1 und zk{!) konkav fUr! & X
(k = 1,. •• ,K) , die X auf dem Bildraum ~(X) c: ,K abbildet.
Definition 1:
Ein Vektormaximumproblem besteht aus folgender Problemstellung:
(VMP) IImaxll : ! X}.
{~(~) &
Die Menge X hei~t zul~ssiger Bereich; die Funktionen zk(Z) hei~en Ziel
funktionenj (VMP) ist ein deterministisc'hes statisches Entscheidungs
mod ell mit mehrfacher Zielsetzung. Es ist
selbstverst~ndlich, da~
K > 1 sein mu~, da anderenfalls ein lIeindimensionalesll Problem vorliegt.
Die AnfUhrungszeichen deuten darauf hin, da~ es sich hier nicht um ein
gew6hnliches Maximierungsproblem handelt. Weiterhin wird vorausgesetzt,
d~ fUr alle Zielfunktionen zk(!) individuelle optimale L6sungen
!~ E: X, d.h. L6sungen, die zk(!) in X maximieren, existieren
(k = 1, ••. ,K). Es sei
Fallen diese K individuellen optimalen L6sungen zusammen, gilt also
x* = X_I (k = l, ••• ,K),
-k
dann spricht man von einer perfeot solution (Geoffrion [1965], S. 2).
Es liegt kein spezifisches Vektormaximumproblem mehr vor.
Die folgende Definition von effizienten Vektoren spielt beim Vektor
maximumproblem eine zentrale Rolle. Sie geht auf Charnes-Cooper ([1961],
&
S. 321) zurUck. Ein Vektor & X hei~t genau dann effizient bzw.
funktional effizient bezUglich X und der Zielfunktionen zl(~), ••• ,zK(!)'
wenn es keinen anderen Vektor !' E: X gibt, so da~ die Werte der Ziel
funktionen an der Stelle !' nicht kleiner und fUr mindestens eine Ziel
funktion gr6~er sind als die entsprechenden Werte der Zielfunktionen
g.
an der Stelle Genauer:
4
Definition 2:
Ein Vektor & & X hei~t genau dann effizient bezUglich X und
Zl(~), ••• ,ZK(~)' wenn kein Vektor ~' & X mit der Eigenschaft
(k = 1, ••• ,K)
und
zk(~') > zk(&) (fUr mindestens ein k & {l, ••• ,K})
existiert.
Definition 3:
Die Menge aller effizienten Vektoren von (VMP)
hei~t vollst~ndige
L6sung von (VMP).
Das Effizienztheorem stellt einen Zusammenhang her zwischen einem Vek
tormaximumproblem und einem verwandten parametrischen Programme Dieser
Zusammenhang wird in Abschnitt 3 ben6tigt und 5011 daher im folgenden
kurz dargestellt werden.
Man betrachte das Vektormaximumproblem (VMP) sowie das parametrische
Programm
(KPP)
K
mit tk > 0 (k = l, ••• ,K) und I tk = 1.
k=l
Es gilt nun der folgende Satz, welcher eine von mehreren m6g1ichen
Versionen des Effizienztheorems darstellt.
Satz 1 (Effizienztheorem):
&
Wenn & L6sung von (KPP) ist, dann ist effizienter Vektor von (VMP).
(Vgl. Kuhn-Tucker [1951], S. 488; Geoffrion [1965], S. 47; Geoffrion
[1968], S. 619; Dinketbach [1969], S. 161.)
5
Durch das Effizienztheorem wird die vielfach zur L5sung des Vektormaxi
mumproblems (in dies em Zusammenhang meist Zielkonflikt genannt) heran
gezogene Zielgewichtung gerechtfertigt.
3. Ein L5sungsansatz zum Vektormaximumproblem mit Hilfe einer Abstands-
==============-========================================================
funktion
========
3.1. Definition des Ersatzprogramms
Zur L5sung praktischer Probleme mit mehrfacher Zielsetzung kann man
sich mit der Bestimmung der L5sung (VMP) nicht zufrieden
vollst~ndigen
geben. Ein Entscheidungsproblem verlangt nach einer in bezug auf eine
Zielvorstellung des optimalen L5sung. Genau das
Entscheidungstr~gers
ist mit der Angabe der L5sung nicht wenn
vollst~ndigen gew~hrleistet,
nicht die Menge der effizienten L5sungen einelementig ist. 1st
zuf~llig
,1
=
eine Funktion ~ ~(zl(~)' ••• ,zK(!»' die fUr jedes ! E X den Vektor
~(!) E ~K in den abbildet, gegeben, dann sei das Programm
(EP) max {~(~(~» : ~ E X}
als Ersatzprogramm fUr (VMP) bezeichnet.
Ein Ersatzprogramm kann nach dem bisher Gesagten nur dann sinnvoll sein,
wenn es zu einer effizienten L5sung fUhrt. Dies ist fUr jede spezielle
Form von zu prUfen. Das bereits eingefUhrte K-parametrische Programm
~
(KPP) ist ein Beispiel fUr ein derartiges Ersatzprogramm; aufgrund des
Effizienztheorems fUhrt es in der Tat zu einer effizienten L5sung.
Durch die Vektorfunktion ~(!) = (zl(~) , ••• ,zK(!»T wird der zul~ssige
Bereich X auf den Bildraum ~(X) C J/tK abgebildet. Der folgende Ansatz
Z
geht von diesem Grundgedanken aus: Es sei E J/tK eine "erstrebenswerte"
Kombination von Wert en der Zielfunktionen. FUr die weiteren AusfUhrun
gen sei
Iat !~ • ~* fUr alle k, ist das Entscheidungsproblem ge15st; es
existiert eine pe~feat soLution; alle Zielfunktionen zk(~)
(k = 1, ••• ,K) nehmen an der Stelle !* E X ihren maximalen Wert an.
1m allgemeinen - und so sei hier vorausgesetzt - existiert jedoch kein
6
!*£ X mit dieser Eigenschaft. Dann soll ein Vektor X £ X als p-optimal
-p
bezeichnet werden. dessen zugeh5riger Vektor z(x ) £ ~(X) einen minima-
- -p
len Abstand zum Vektor ~* hat. Es sei
=
(k 1 .....K ) •
Ferner bezeichne p(~' .~") eine Abstandsfunktion auf Z* x Z*. Dann ist
diejenige zul~ssige L5sung !p p-optimal. fUr die gilt:
!p £ {& : p(~* .~(&» = min {p(~* .~(!» : ! £ X}}.
Das Ersatzprogramm mit Hilfe einer Abstandsfunktion lautet damit
Als Beispiel fUr eine Abstandsfunktion bietet sich in diesem Rahmen die
Ve kt ornorm an. M1' t ' = (z'l .··· .zK, )T £ Z* • z_" -- ( z"l .···.zK") T £ Z*
~
und p ~ 1 gilt damit
Mit der so definierten Abstandsfunktion handelt es sich bei (EPp) um
eine spezielle Form der in der Approximationstheorie behandelten Pro-
*
blemstellungen: Ge ge b en 1• st e1• n z £ JbK • gesucht "1 st e1n
~\
~(!p) £ {~(!) I ! £ X} C. ,K. so ~ap.;
fUr alle ! £ X gilt (vgl. u.a. Rice [1964]. Meinardu8 [1964]. Riv~in
[1969]).
3.2. Beispiele
2~g~!~_gesf_~rear~~~f~a
Das goa~ programming geht von linearen Ungleichungssystemen ohne zu
l~ssige L5sungen aus. Derartige Ungleichungssysteme k5nnen bei linea
ren Programmen beispielsweise dadurch entstehen. daP.; zu dem zun~chst
gegebenen Ungleichungssystem mit zul~ssigen L5sungen einige zus~tzli-
