Université de Montréal Brisure de symétrie par la réduction des groupes de Lie simples à leurs ...

186 Pages·2012·0.59 MB·English

Université de Montréal
Brisure de symétrie par la réduction des groupes de
Lie simples à leurs sous-groupes de Lie réductifs
maximaux
par
Michelle Larouche
Départementdemathématiquesetdestatistique
Facultédesartsetdessciences
ThèseprésentéeàlaFacultédesétudessupérieures
envuedel’obtentiondugradede
PhilosophiæDoctor(Ph.D.)
enMathématiques
décembre 2012
(cid:13)c MichelleLarouche,2012

Université de Montréal
Facultédesétudessupérieures
Cettethèseintitulée
Brisure de symétrie par la réduction des groupes de
Lie simples à leurs sous-groupes de Lie réductifs
maximaux
présentéepar
Michelle Larouche
aétéévaluéeparunjurycomposédespersonnessuivantes:
PavelWinternitz
(président-rapporteur)
JiriPatera
(directeurderecherche)
AlfredMichelGrundland
(membredujury)
MarkWalton
(examinateurexterne)
NeilStewart
(représentantdudoyendelaFES)
Thèseacceptéele:
19novembre2012

v
RÉSUMÉ
Dans ce travail, nous exploitons des propriétés déjà connues pour les sys-
tèmes de poids des représentations afin de les définir pour les orbites des
groupesdeWeyldesalgèbresdeLiesimples,traitéesindividuellement,etnous
étendons certaines de ces propriétés aux orbites des groupes de Coxeter non
cristallographiques. D’abord, nous considérons les points d’une orbite d’un
groupedeCoxeterfiniGcommelessommetsd’unpolytope(G-polytope)cen-
tré à l’origine d’un espace euclidien réel à n dimensions. Nous introduisons
lesproduitsetlespuissancessymétriséesdeG-polytopesetnousendécrivons
la décomposition en des sommes de G-polytopes. Plusieurs invariants des G-
polytopessontprésentés.Ensuite,lesorbitesdesgroupesdeWeyldesalgèbres
de Lie simples de tous types sont réduites en l’union d’orbites des groupes de
Weyldessous-algèbresréductivesmaximalesdel’algèbre.Nouslistonslesma-
trices qui transforment les points des orbites de l’algèbre en des points des or-
bites des sous-algèbres pour tous les cas n ≤ 8 ainsi que pour plusieurs séries
infiniesdespairesd’algèbre-sous-algèbre.Denombreuxexemplesderèglesde
branchement sont présentés. Finalement, nous fournissons une nouvelle des-
cription, uniforme et complète, des centralisateurs des sous-groupes réguliers
maximaux des groupes de Lie simples de tous types et de tous rangs. Nous
présentons des formules explicites pour l’action de tels centralisateurs sur les
représentations irréductibles des algèbres de Lie simples et montrons qu’elles
peuventêtreutiliséesdanslecalculdesrèglesdebranchementimpliquantces
sous-algèbres.
Mots clés: groupes de Weyl, algèbres de Lie simples, sous-algèbres réduc-
tivesmaximales,réduction,matricesdeprojection,centralisateurs.

vii
ABSTRACT
Inthiswork,weexploitpropertieswellknownforweightsystemsofrepre-
sentationstodefinethemforindividualorbitsoftheWeylgroupsofsimpleLie
algebras,andweextendsomeofthesepropertiestoorbitsofnon-crystallographic
Coxeter groups. Points of an orbit of a finite Coxeter group G are conside-
red as vertices of a polytope (G-polytope) centered at the origin of a real n-
dimensionalEuclideanspace.ProductsandsymmetrizedpowersofG-polytopes
are introduced and their decomposition into the sums of G-polytopes is des-
cribed.SeveralinvariantsofG-polytopesarefound.TheorbitsofWeylgroups
of simple Lie algebras of all types are reduced to the union of orbits of the
Weyl groups of maximal reductive subalgebras of the algebra. Matrices trans-
forming points of the orbits of the algebra into points of subalgebra orbits are
listed for all cases n ≤ 8 and for many infinite series of algebra-subalgebra
pairs. Numerous examples of branching rules are shown. Finally, we present
a new, uniform and comprehensive description of centralizers of the maximal
regular subgroups in compact simple Lie groups of all types and ranks. Expli-
cit formulas for the action of such centralizers on irreducible representations
of the simple Lie algebras are given and shown to have application to compu-
tationofthebranchingruleswithrespecttothesesubalgebras.
Keywords: Weyl groups, simple Lie algebras, maximal reductive subalge-
bras,reduction,projectionmatrices,centralizers.

ix
TABLE DES MATIÈRES
Résumé.................................................................. v
Abstract ................................................................. vii
Listedestableaux........................................................ xv
Listedesfigures .........................................................xvii
Remerciements.......................................................... xix
Introduction............................................................. 1
Chapitre1. Theringsofn-dimensionalpolytopes..................... 9
1.1. Introduction .................................................... 10
1.2. ReflectionsgeneratingfiniteCoxetergroups..................... 14
1.2.1. n = 1......................................................... 14
1.2.2. n = 2......................................................... 15
1.2.3. Generalcase:CoxeterandDynkindiagrams ................. 15
1.3. Rootandweightlattices......................................... 17
1.4. TheorbitsofCoxetergroups .................................... 18
1.4.1. Computingpointsofanorbit................................. 18
1.4.2. OrbitsofA ,C ,G ,andH .................................. 19
2 2 2 2
1.4.3. OrbitsofA ,B ,C ,andH ................................... 21
3 3 3 3
1.5. Orbitsaspolytopes.............................................. 22
1.5.1. Explanationofthetables ..................................... 23
x
1.6. Decompositionofproductsofpolytopes......................... 27
1.6.1. MultiplicationofG-invariantpolynomials.................... 27
1.6.2. ProductsofG-orbits.......................................... 28
1.6.3. Two-dimensionalexamples................................... 29
1.6.4. Three-dimensionalexamples................................. 30
1.6.5. DecompositionofproductsofE orbits....................... 30
8
1.7. Decompositionofsymmetrizedpowersoforbits ................ 31
1.7.1. SymmetrizedpowersofG-polynomials....................... 31
1.7.2. SymmetrizedpowersofG-orbits ............................. 32
1.7.3. Two-dimensionalexamples................................... 33
1.7.4. Three-dimensionalexamples................................. 34
1.8. Congruenceclasses,indices,andanomalynumbersofpolytopes 35
1.8.1. Congruenceclasses........................................... 35
1.8.2. Thesecondandhigherindices................................ 36
1.8.3. Anomalynumbers ........................................... 37
1.9. Concludingremarks ............................................ 40
Chapitre2. BranchingrulesfortheWeylgrouporbitsoftheLiealgebra
A .......................................................... 43
n
2.1. Introduction .................................................... 44
2.2. Preliminaries.................................................... 48
2.3. Constructionofprojectionmatrices.............................. 49
2.4. Equidimensionalorbitbranchingrules.......................... 50
2.4.1. OrbitbranchingrulesforA ⊃ A ×U .................... 51
n n−1 1
2.4.1.1. A ⊃ U .................................................. 51
1 1
2.4.1.2. A ⊃ A ×U ............................................ 51
2 1 1
2.4.1.3. A ⊃ A ×U ............................................ 51
3 2 1