universidade federal do oeste do pará programa de pós-graduação matemática em rede nacional

167 Pages·2013·5.09 MB·Portuguese

UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL

Aroldo Eduardo Athias Rodrigues

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO:
Evolução Histórica, Fundamentos e Sugestões para o Ensino.

Santarém (PA)
2013
Aroldo Eduardo Athias Rodrigues

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO:
Evolução Histórica, Fundamentos e Sugestões para o Ensino.

Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação Matemática em Rede
Nacional – Mestrado Profissional em
Matemática em Rede Nacional
(PROFMAT), da Universidade Federal do
Oeste do Pará (UFOPA), Instituto de
Ciências da Educação, como requisito
parcial para a obtenção do título de
Mestre em Matemática.

Orientador:
Prof. Dr. Hugo Alex Carneiro Diniz

Santarém (PA)
2013
Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)
Sistema Integrado de Gestão da Informação – SIGI/UFOPA

P813j Rodrigues, Aroldo Eduardo Athias
Sistemas de numeração: evolução histórica, fundamentos e sugestões
para o ensino / Aroldo Eduardo Athias Rodrigues. – Santarém, 2013.
166 f. : il.

Orientador Hugo Alex Carneiro Diniz.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Oeste do Pará, Instituto de
Ciências da Educação, Programa de Pós-Graduação Matemática em Rede
Nacional, Mestrado Profissional em Matemática. Santarém, 2013.

1. Sistemas de numeração. 2. Matemática – Estudo e ensino. 3. Matemática
- Metodologia. I. Diniz, Hugo Alex Carneiro, orient. II. Título.

CDD: 23 ed. 513.5

Bibliotecário - Documentalista: Mayco Ferreira Chaves – CRB/2 1357
Aroldo Eduardo Athias Rodrigues

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO:
Evolução Histórica, Fundamentos e Sugestões para o Ensino.

Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação Matemática em Rede
Nacional – Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT), da
Universidade Federal do Oeste do Pará (UFOPA), Instituto de Ciências da
Educação, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em
Matemática.

Aprovada por:

Prof. Dr. Hugo Alex Carneiro Diniz
Orientador – UFOPA

Prof. Dr. Sebastián Mancuso
Examinador – UFOPA

Prof. Dr. Marcos Monteiro Diniz
Examinador – UFPA

Santarém (PA)
2013
DEDICATÓRIA

À minha linda e amada esposa Kássya e
aos meus queridos filhos Eduardo e
Isabela que, compreendendo minhas
ausências, contribuíram muito para que
este trabalho pudesse ser escrito.
AGRADECIMENTOS

A Deus, cuja permissão é necessária para
que algo se concretize.
À minha mãe, Noemi, que com seu
imenso amor, carinho e dedicação,
possibilitou que eu tivesse uma trajetória
de vida que me conduziu até aqui.
Aos meus professores, que na sublime
tarefa docente, muitas vezes deixaram
suas famílias para compartilhar seu saber
comigo.
À minha tia Ruth e à minha madrinha
Denise, que me deram abrigo e atenção
quando precisei me estabelecer em sua
casa.
Ao meu orientador, Prof. Hugo Diniz,
cujas valiosas contribuições tornaram este
trabalho muito melhor.
Aos meus amigos e colegas da turma do
PROFMAT/UFOPA 2011 pelos momentos
de alegria e angústia compartilhados.
Aos meus alunos e colegas de trabalho,
os quais me ensinaram valiosas lições
sobre o ser humano.
À minha cunhada, Thaiza, que
gentilmente se dispôs a fazer as
necessárias correções gramaticais e
ortográficas deste trabalho.
Os algarismos são uma substância poética,
permeados de humanidade.
Georges Ifrah
RESUMO

São os sistemas de numeração que permitem a representação dos números, os
quais, juntamente com as formas, constituem o principal objeto de estudo da
Matemática. É através deles também que se podem justificar os procedimentos
adotados para efetuar as quatro operações aritméticas básicas: adição, subtração,
multiplicação e divisão. É, portanto, extremamente importante que o professor de
Matemática tenha uma compreensão profunda do funcionamento dos sistemas de
numeração, em especial, do sistema de numeração posicional decimal (SNPD),
amplamente difundido e utilizado em todas as partes do mundo atual, e que está
fundado sobre a base decimal e no chamado princípio de posição. Este trabalho é
fruto de pesquisa bibliográfica, feita a respeito do tema “sistemas de numeração”,
bem como das reflexões de seu autor acerca das propriedades dos sistemas de
numeração, em especial aquelas relacionadas com os critérios de divisibilidade e a
representação dos números reais em sistemas posicionais. O trabalho aborda o
tema a partir de três aspectos principais: sua evolução histórica e aplicações; as
propriedades puramente matemáticas dos sistemas de numeração posicionais; e a
forma como o professor pode utilizar os dois aspectos anteriores em suas aulas. Seu
objetivo é reunir, em um único material, as informações mais relevantes a respeito
dos sistemas de numeração, dentro dos três aspectos citados anteriormente, para
que tanto professores de Matemática quanto outros indivíduos interessados em
saber mais sobre o tema, consultando-o, obtenham, com relativa facilidade, sólidas
e confiáveis informações a respeito desta temática.

Palavras-chave: Sistemas de numeração. Critérios de divisibilidade. Base. Princípio
de posição. Evolução histórica.
ABSTRACT

Numeral systems allow the representation of numbers. They all together with the
forms constitute the main object of studying of the Mathematic. It is also through
them that someone can justify procedures used to perform the four basic arithmetic
operations: addition, subtraction, multiplication and division. It is therefore extremely
important that the math teacher has a deep understanding of the functioning of
numeral systems, in especial, the decimal positional numeral system (DPNS), widely
disseminated and used in all parts of the world today, and that is founded on the
decimal base and on the called positional notation. This work is the resulting of a
bibliographical research, it has done on the topic “numeral systems” as well as the
reflections of the author on the properties of numbering systems, in particular those
related to the criteria for divisibility and the representation of real numbers in
positional systems. The work addresses the topic from three main aspects: its
historical evolution and applications; purely mathematical properties of positional
numeral systems; and how the teacher can use the two previous aspects in their
classes. Its goal is to gather, in a single material, the most relevant information about
the numeral systems within the three aspects mentioned above. For both math
teachers as other individuals interested in learning more about this topic, referring to
it they can obtain with relative ease, solid and reliable information on this subject.
Keywords: Numeral systems. Criteria for divisibility. Base. Positional notation.
Historical evolution.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO................................................................................................. 12

1 EVOLUÇÃO HISTÓRICA DOS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO................ 15
1.1 Senso numérico e contagem............................................................ 16
1.2 Número, numeral e algarismo.......................................................... 17
1.3 Base de um sistema de numeração................................................. 19
1.4 As civilizações e seus sistemas de numeração............................... 22
1.4.1 Sistemas de numeração não posicionais.............................. 23
1.4.2 Sistemas de numeração posicionais..................................... 27
1.5 Origem dos algarismos indo-arábicos................................................. 34
1.6 Sugestões de atividades..................................................................... 37

2 SISTEMAS POSICIONAIS......................................................................... 38
2.1 Aplicações........................................................................................ 39
2.2 Mudança de base............................................................................. 41
2.2.1 Diagrama de pontos.............................................................. 41
2.2.2 Divisões sucessivas.............................................................. 49
2.2.3 Extensão dos numerais......................................................... 53
2.3 Sugestões de atividades.................................................................. 56

3 CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE.............................................................. 59
3.1 Critérios de divisibilidade no SNPD.................................................. 60
3.2 Generalização dos critérios de divisibilidade.................................... 63
3.3 Um teorema curioso e seu corolário................................................. 78
3.4 Considerações sobre outras bases.................................................. 80
3.5 Sugestões de atividades.................................................................. 82

4 REPRESENTAÇÃO POSICIONAL DE NÚMEROS REAIS....................... 84
4.1 Contexto histórico............................................................................. 85
4.2 Representação posicional dos reais................................................. 92
4.3 Considerações acerca de periodicidade.......................................... 98
4.4 Sugestões de atividades.................................................................. 104